रिक्की वक्रता

विभेदक ज्यामिति में, रिक्की वक्रता टेंसर, जिसका नाम ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्ट्रो के नाम पर रखा गया है, एक ज्यामितीय वस्तु है जो कई गुना पर रीमैनियन मैनिफोल्ड या छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड|छद्म-रीमैनियन मीट्रिक की पसंद से निर्धारित होती है। मोटे तौर पर, इसे उस डिग्री के माप के रूप में माना जा सकता है, जिस तक किसी दिए गए मीट्रिक टेंसर की ज्यामिति सामान्य [[छद्म-यूक्लिडियन स्थान]] या छद्म-यूक्लिडियन स्पेस से स्थानीय रूप से भिन्न होती है।

रिक्की टेंसर को इस माप से पहचाना जा सकता है कि अंतरिक्ष में जियोडेसिक्स के साथ चलते समय एक आकृति कैसे विकृत हो जाती है। सामान्य सापेक्षता में, जिसमें छद्म-रिमानियन सेटिंग शामिल है, यह रायचौधुरी समीकरण में रिक्की टेंसर की उपस्थिति से परिलक्षित होता है। आंशिक रूप से इसी कारण से, आइंस्टीन फ़ील्ड समीकरणों का प्रस्ताव है कि स्पेसटाइम को छद्म-रीमैनियन मीट्रिक द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिसमें रिक्की टेंसर और ब्रह्मांड की पदार्थ सामग्री के बीच एक आश्चर्यजनक सरल संबंध है।

मीट्रिक टेंसर की तरह, रिक्की टेंसर मैनिफ़ोल्ड के प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान को एक सममित द्विरेखीय रूप प्रदान करता है (Besse 1987, p. 43). मोटे तौर पर, कोई रीमैनियन ज्यामिति में रिक्की वक्रता की भूमिका को कार्यों के विश्लेषण में लाप्लास ऑपरेटर की भूमिका के अनुरूप बना सकता है; इस सादृश्य में, रीमैन वक्रता टेंसर, जिसमें से रिक्की वक्रता एक प्राकृतिक उप-उत्पाद है, एक फ़ंक्शन के दूसरे डेरिवेटिव के पूर्ण मैट्रिक्स के अनुरूप होगा। हालाँकि, समान सादृश्य निकालने के लिए लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर हैं।

निम्न-आयामी टोपोलॉजी |थ्री-डायमेंशनल टोपोलॉजी में, रिक्की टेंसर में वह सारी जानकारी होती है जो उच्च आयामों में अधिक जटिल रीमैन वक्रता टेंसर द्वारा एन्कोड की जाती है। कुछ हद तक, यह सादगी कई ज्यामितीय और विश्लेषणात्मक उपकरणों के अनुप्रयोग की अनुमति देती है, जिसके कारण रिचर्ड एस हैमिल्टन और ग्रिगोरी पेरेलमैन के काम के माध्यम से पोंकारे अनुमान का समाधान हुआ।

विभेदक ज्यामिति में, रीमैनियन मैनिफोल्ड पर रिक्की टेंसर पर निचली सीमाएं एक स्थिर वक्रता वाले अंतरिक्ष रूप की ज्यामिति के साथ तुलना करके वैश्विक ज्यामितीय और टोपोलॉजिकल जानकारी निकालने की अनुमति देती हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि रिक्की टेंसर पर निचली सीमाओं का उपयोग रीमानियन ज्यामिति में लंबाई कार्यात्मकता का अध्ययन करने में सफलतापूर्वक किया जा सकता है, जैसा कि पहली बार 1941 में मायर्स प्रमेय के माध्यम से दिखाया गया था।

रिक्की टेंसर का एक सामान्य स्रोत यह है कि यह तब उत्पन्न होता है जब कोई टेंसर लाप्लासियन के साथ सहसंयोजक व्युत्पन्न को स्थानांतरित करता है। उदाहरण के लिए, यह बोचनर के सूत्र में इसकी उपस्थिति की व्याख्या करता है, जिसका उपयोग रीमैनियन ज्यामिति में सर्वव्यापी रूप से किया जाता है। उदाहरण के लिए, यह सूत्र बताता है कि क्यों शिंग-तुंग याउ (और चेंग-याउ और ली-याउ असमानताओं जैसे उनके विकास) के कारण ग्रेडिएंट अनुमान लगभग हमेशा रिक्की वक्रता के लिए निचली सीमा पर निर्भर करते हैं।

2007 में, जॉन लोट (गणितज्ञ), कार्ल-थियोडोर स्टर्म और सेड्रिक विलानी ने निर्णायक रूप से प्रदर्शित किया कि रिक्की वक्रता पर निचली सीमा को पूरी तरह से रीमैनियन मैनिफोल्ड की मीट्रिक अंतरिक्ष संरचना के साथ-साथ इसके वॉल्यूम फॉर्म के संदर्भ में समझा जा सकता है। इसने रिक्की वक्रता और वासेरस्टीन मीट्रिक और परिवहन सिद्धांत (गणित) के बीच एक गहरा संबंध स्थापित किया, जो वर्तमान में बहुत शोध का विषय है।

परिभाषा

लगता है कि $\left(M,g\right)$ एक $n$आयामी रीमैनियन मैनिफोल्ड या छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड, सुसज्जित इसके लेवी-सिविटा कनेक्शन के साथ $\nabla$. रीमैनियन वक्रता टेंसर $M$ एक नक्शा है जो सहज वेक्टर फ़ील्ड लेता है $X$, $Y$, और $Z$, और वेक्टर फ़ील्ड लौटाता है

$$R(X,Y)Z:=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z$$

वेक्टर फ़ील्ड पर $X,Y,Z$. तब से $R$ के लिए एक टेंसर फ़ील्ड है प्रत्येक बिंदु $p\in M$, यह एक (बहुरेखीय) मानचित्र को जन्म देता है:

$$\operatorname {R} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to T_{p}M.$$

प्रत्येक बिंदु के लिए परिभाषित करें $p\in M$ वो नक्शा $\operatorname {Ric} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R}$ द्वारा

$$\operatorname {Ric} _{p}(Y,Z):=\operatorname {tr} {\big (}X\mapsto \operatorname {R} _{p}(X,Y)Z{\big )}.$$

यानी तय कर लिया है $Y$ और $Z$, फिर किसी भी आधार के लिए

$v_{1},\ldots ,v_{n}$ सदिश स्थान का $T_{p}M$, किसी के पास

$$\operatorname {Ric} _{p}(Y,Z)=\sum _{i=1}\langle \operatorname {R} _{p}(v_{i},Y)Z,v_{i}\rangle .$$

यह (मल्टी)लीनियर का एक मानक अभ्यास है बीजगणित यह सत्यापित करने के लिए कि यह परिभाषा आधार की पसंद पर निर्भर नहीं करती है

$v_{1},\ldots ,v_{n}$.

अमूर्त सूचकांक संकेतन में,

$${\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{c}}_{ab}={\mathrm{R}}^c{}_{bca}={\mathrm{R}}^c{}_{acb}$$