घन सतह: Difference between revisions

Revision as of 09:04, 17 May 2023

गणित में, घन सतह 3-आयामी क्षेत्र में सतह के रूप में होती है, जिसे घात 3 के बहुपद समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है। बीजगणितीय ज्यामिति में घन सतह मौलिक उदाहरण के रूप में हैं। इस सिद्धांत को एफ़ेईन क्षेत्र के अतिरिक्त प्रक्षेपण क्षेत्र में काम करके सरलीकृत किया गया है और इसलिए घन सतहों को सामान्यतः प्रक्षेपीय 3-स्पेस $\mathbf {P} ^{3}$ के रूप में जाना जाता है और इस प्रकार वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त जटिल संख्याओं पर सतहों के फोकस करने पर सिद्धांत अधिक समरूप हो जाता है और इस प्रकार ध्यान दें कि जटिल सतह का वास्तविक आयाम 4 होता है। फर्मेट घन सतह का एक सरल उदाहरण है।

x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3}=0

$\mathbf {P} ^{3}$ . घन सतहों के कई गुण सामान्यतः डेल पेज़ो की सतहों के लिए पकड़ अधिक होती है।

एक चिकनी घन सतह (क्लबश सतह)

घन सतहों की तर्कसंगतता

बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र X पर चिकनी घन सतहों की केंद्रीय विशेषता यह है कि वे सभी तर्कसंगत विविधताओ के रूप में होती है, जैसा कि 1866 में अल्फ्रेड क्लेब्सच द्वारा दिखाया गया है।^[1] अर्थात, यहां एक से एक पत्राचार है जो प्रक्षेपीय समतल $\mathbf {P} ^{2}$ के मध्य निम्न आयामी उप समुच्चय तथा X शून्य से निम्न आयामी उपसमुच्चय के मध्य तार्किक फलनों द्वारा परिभाषित होता है। सामान्य रूप से, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रत्येक अलघुकरणीय घन सतह संभवतः अद्वितीय तर्कसंगत के रूप में होते है।^[2] जब तक कि यह किसी घन वक्र पर काल्पनिक शंकु न हो। इस संबंध में, $\mathbf {P} ^{3}$ में कम से कम 4 डिग्री की चिकनी सतह की तुलना में घन सतहें बहुत सरल रूप में होती है, जो कभी भी तर्कसंगत नहीं होते हैं और इस प्रकार अभिलाक्षणिक (बीजगणित) शून्य में कम से कम 4 इंच की चिकनी सतहें $\mathbf {P} ^{3}$ अनियंत्रित समान नहीं होती हैं।^[3]

क्लेब्स ने अधिक दृढ़ता से दिखाया कि प्रत्येक चिकनी घन सतह $\mathbf {P} ^{3}$ बीजगणितीय द्वारा निर्मित क्षेत्र आइसोमोर्फिक है तथा $\mathbf {P} ^{2}$ को 6 बिन्दुओं पर उडान भरने के लिए समरूप है।^[4] परिणाम स्वरुप, जटिल संख्याओं पर हर चिकनी घन सतह जुड़ी हुई राशि के लिए भिन्न -भिन्न होती है $\mathbf {CP} ^{2}\#6(-\mathbf {CP} ^{2})$ , जहां ऋण चिह्न ओरिएंटेशन के परिवर्तन को संदर्भित करता है। इसके विपरीत $\mathbf {P} ^{2}$ से 6 बिन्दुओं पर एक घन सतह के लिए आइसोमोर्फिक है और यदि बिंदु सामान्य स्थिति में हैं, जिसका अर्थ है कि तीन बिंदु एक रेखा पर नहीं हैं और सभी 6 शंकु पर स्थित नहीं हैं और इस प्रकार जटिल कई गुना या एक बीजगणितीय विविधता के रूप में सतह उन 6 बिंदुओं की व्यवस्था पर निर्भर करती है।

एक घन सतह पर 27 रेखाएँ

घन सतहों के लिए तर्कसंगतता के अधिकांश प्रमाण सतह पर एक रेखा खोजने से प्रारंभ होते हैं। (प्रक्षेपी ज्यामिति के संदर्भ में, एक रेखा में $\mathbf {P} ^{3}$ के लिए आइसोमॉर्फिक है $\mathbf {P} ^{1}$ अधिक यथार्थ रूप से, आर्थर केली और जॉर्ज सामन ने 1849 में दिखाया कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रत्येक चिकनी घन सतह में ठीक 27 रेखाएँ होती हैं।^[5] यह क्यूबिक्स की एक विशिष्ट विशेषता है: एक चिकनी चतुष्कोणीय ( घात 2) सतह रेखाओं के एक सतत परिवार द्वारा कवर की जाती है, जबकि घात की अधिकांश सतहें कम से कम 4 इंच की होती हैं। $\mathbf {P} ^{3}$ कोई रेखा नहीं है। 27 पंक्तियों को खोजने के लिए एक अन्य उपयोगी तकनीक में शुबर्ट कैलकुलस सम्मलित है, जो लाइनों के ग्रासमानियन के प्रतिच्छेदन सिद्धांत का उपयोग करके लाइनों की संख्या की गणना करता है। $\mathbf {P} ^{3}$ .

चूंकि चिकनी जटिल घन सतह के गुणांक भिन्न होते हैं, 27 रेखाएं लगातार चलती हैं। परिणाम स्वरुप , चिकनी घन सतहों के परिवार में एक बंद लूप 27 लाइनों का क्रमपरिवर्तन निर्धारित करता है। इस प्रकार उत्पन्न होने वाली 27 रेखाओं के क्रमचय के समूह (गणित) को घनीय सतहों के परिवार का मोनोड्रोमी समूह कहा जाता है। 19वीं शताब्दी की एक उल्लेखनीय खोज यह थी कि मोनोड्रोमी समूह न तो तुच्छ है और न ही संपूर्ण सममित समूह $S_{27}$ ; यह एक E6 (गणित) #Weyl समूह है, जो लाइनों के सेट पर सकर्मक रूप से कार्य करता है।^[4]इस समूह को धीरे-धीरे मान्यता दी गई (एली कार्टन (1896), आर्थर कोबल (1915-17), और पैट्रिक डु वैल (1936) द्वारा) प्रकार के वेइल समूह के रूप में $E_{6}$ , E6 (गणित) से संबंधित 6-आयामी वास्तविक सदिश स्थान पर प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न एक समूह|झूठे समूह $E_{6}$ आयाम 78 का।^[4]

आदेश 51840 के समान समूह को कॉम्बिनेटरियल शब्दों में वर्णित किया जा सकता है, 27 पंक्तियों के ग्राफ (असतत गणित) के ऑटोमोर्फिज़्म समूह के रूप में, प्रत्येक पंक्ति के लिए एक शीर्ष और जब भी दो रेखाएँ मिलती हैं, एक किनारे के साथ।^[6] इस ग्राफ का विश्लेषण 19वीं शताब्दी में श्लाफली डबल सिक्स कॉन्फ़िगरेशन जैसे सबग्राफ का उपयोग करके किया गया था। पूरक ग्राफ (एक किनारे के साथ जब भी दो रेखाएँ भिन्न होती हैं) को श्लाफली ग्राफ के रूप में जाना जाता है।

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 == घन सतहों की तर्कसंगतता ==
-बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र X पर चिकनी घन सतहों की केंद्रीय विशेषता यह है कि वे  सभी तर्कसंगत विविधताएं है जैसा कि 1866 में  [[अल्फ्रेड क्लेब्सच]] द्वारा दिखाया गया है।<ref>Reid (1988), Corollary 7.4.</ref> अर्थात, यहां एक से एक पत्राचार है जो प्रक्षेपीय समतल  <math>\mathbf{P}^2</math> के मध्य निम्न आयामी उप समुच्चय  तथा X शून्य से निम्न आयामी उपसमुच्चय के मध्य तार्किक फलनों द्वारा परिभाषित होता है। सामान्य रूप से, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रत्येक अलघुकरणीय घन सतह संभवतः अद्वितीय तर्कसंगत के रूप में होते है।<ref>Kollár, Smith, Corti (2004), Example 1.28.</ref>  जब तक कि यह किसी घन वक्र पर काल्पनिक शंकु न हो। इस संबंध में, <math>\mathbf{P}^3</math> में कम से कम 4 डिग्री की चिकनी सतह की तुलना में घन सतहें बहुत सरल रूप में होती है, जो कभी भी तर्कसंगत नहीं होते हैं और इस प्रकार अभिलाक्षणिक (बीजगणित) शून्य में कम से कम 4 इंच की  चिकनी सतहें <math>\mathbf{P}^3</math> [[अनियंत्रित]] समान नहीं होती हैं।<ref>Kollár, Smith, Corti (2004), Exercise 1.59.</ref>
+बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र X पर चिकनी घन सतहों की केंद्रीय विशेषता यह है कि वे  सभी तर्कसंगत विविधताओ के रूप में होती है, जैसा कि 1866 में  [[अल्फ्रेड क्लेब्सच]] द्वारा दिखाया गया है।<ref>Reid (1988), Corollary 7.4.</ref> अर्थात, यहां एक से एक पत्राचार है जो प्रक्षेपीय समतल  <math>\mathbf{P}^2</math> के मध्य निम्न आयामी उप समुच्चय  तथा X शून्य से निम्न आयामी उपसमुच्चय के मध्य तार्किक फलनों द्वारा परिभाषित होता है। सामान्य रूप से, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रत्येक अलघुकरणीय घन सतह संभवतः अद्वितीय तर्कसंगत के रूप में होते है।<ref>Kollár, Smith, Corti (2004), Example 1.28.</ref>  जब तक कि यह किसी घन वक्र पर काल्पनिक शंकु न हो। इस संबंध में, <math>\mathbf{P}^3</math> में कम से कम 4 डिग्री की चिकनी सतह की तुलना में घन सतहें बहुत सरल रूप में होती है, जो कभी भी तर्कसंगत नहीं होते हैं और इस प्रकार अभिलाक्षणिक (बीजगणित) शून्य में कम से कम 4 इंच की  चिकनी सतहें <math>\mathbf{P}^3</math> [[अनियंत्रित]] समान नहीं होती हैं।<ref>Kollár, Smith, Corti (2004), Exercise 1.59.</ref>
-अधिक दृढ़ता से, क्लेब्स ने दिखाया कि प्रत्येक चिकनी घन सतह <math>\mathbf{P}^3</math> एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के ऊपर [[उड़ाते हुए]] | ब्लो-अप के लिए आइसोमोर्फिक है <math>\mathbf{P}^2</math> 6 बिंदुओं पर।<ref name="Dnotes">Dolgachev (2012), Chapter 9, Historical notes.</ref> परिणाम स्वरुप , जटिल संख्याओं पर हर चिकनी घन सतह जुड़ी हुई राशि के लिए अलग-अलग होती है <math>\mathbf{CP}^2\# 6(-\mathbf{CP}^2)</math>, जहां माइनस साइन [[ उन्मुखता | उन्मुखता]] में बदलाव को दर्शाता है। इसके विपरीत, का झटका <math>\mathbf{P}^2</math> 6 बिंदुओं पर एक घन सतह के लिए आइसोमोर्फिक है यदि और केवल यदि बिंदु सामान्य स्थिति में हैं, जिसका अर्थ है कि तीन बिंदु एक रेखा पर नहीं हैं और सभी 6 एक शंकु पर स्थित नहीं हैं। [[जटिल कई गुना]] (या एक बीजगणितीय विविधता) के रूप में, सतह उन 6 बिंदुओं की व्यवस्था पर निर्भर करती है।
+क्लेब्स ने अधिक दृढ़ता से दिखाया कि प्रत्येक चिकनी घन सतह <math>\mathbf{P}^3</math> बीजगणितीय द्वारा निर्मित क्षेत्र आइसोमोर्फिक है तथा <math>\mathbf{P}^2</math> को 6 बिन्दुओं पर  [[उडान भरने]] के लिए समरूप है।<ref name="Dnotes">Dolgachev (2012), Chapter 9, Historical notes.</ref> परिणाम स्वरुप, जटिल संख्याओं पर हर चिकनी घन सतह जुड़ी हुई राशि के लिए भिन्न -भिन्न  होती है <math>\mathbf{CP}^2\# 6(-\mathbf{CP}^2)</math>, जहां ऋण चिह्न [[ओरिएंटेशन]] के परिवर्तन को संदर्भित करता है। इसके विपरीत <math>\mathbf{P}^2</math> से 6 बिन्दुओं पर एक घन सतह के लिए आइसोमोर्फिक है और यदि  बिंदु सामान्य स्थिति में हैं, जिसका अर्थ है कि तीन बिंदु एक रेखा पर नहीं हैं और सभी 6 शंकु पर स्थित नहीं हैं और इस प्रकार [[जटिल कई गुना]] या एक बीजगणितीय विविधता के रूप में सतह उन 6 बिंदुओं की व्यवस्था पर निर्भर करती है।
 ==एक घन सतह पर 27 रेखाएँ==
 घन सतहों के लिए तर्कसंगतता के अधिकांश प्रमाण सतह पर एक रेखा खोजने से प्रारंभ  होते हैं। (प्रक्षेपी ज्यामिति के संदर्भ में, एक रेखा में <math>\mathbf{P}^3</math> के लिए आइसोमॉर्फिक है <math>\mathbf{P}^1</math>अधिक यथार्थ  रूप से, [[आर्थर केली]] और [[जॉर्ज सामन]] ने 1849 में दिखाया कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रत्येक चिकनी घन सतह में ठीक 27 रेखाएँ होती हैं।<ref>Reid (1988), section 7.6.</ref> यह क्यूबिक्स की एक विशिष्ट विशेषता है: एक चिकनी चतुष्कोणीय ( घात 2) सतह रेखाओं के एक सतत परिवार द्वारा कवर की जाती है, जबकि  घात की अधिकांश सतहें कम से कम 4 इंच की होती हैं। <math>\mathbf{P}^3</math> कोई रेखा नहीं है। 27 पंक्तियों को खोजने के लिए एक अन्य उपयोगी तकनीक में [[शुबर्ट कैलकुलस]] सम्मलित  है, जो लाइनों के [[ ग्रासमानियन ]] के प्रतिच्छेदन सिद्धांत का उपयोग करके लाइनों की संख्या की गणना करता है। <math>\mathbf{P}^3</math>.
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 चूंकि चिकनी जटिल घन सतह के गुणांक भिन्न होते हैं, 27 रेखाएं लगातार चलती हैं। परिणाम स्वरुप , चिकनी घन सतहों के परिवार में एक बंद लूप 27 लाइनों का क्रम[[परिवर्तन]] निर्धारित करता है। इस प्रकार उत्पन्न होने वाली 27 रेखाओं के क्रमचय के [[समूह (गणित)]] को घनीय सतहों के परिवार का [[मोनोड्रोमी समूह]] कहा जाता है। 19वीं शताब्दी की एक उल्लेखनीय खोज यह थी कि मोनोड्रोमी समूह न तो तुच्छ है और न ही संपूर्ण [[सममित समूह]] <math>S_{27}</math>; यह एक E6 (गणित) #Weyl समूह है, जो लाइनों के सेट पर सकर्मक रूप से कार्य करता है।<ref name="Dnotes" />इस समूह को धीरे-धीरे मान्यता दी गई (एली कार्टन (1896), [[आर्थर कोबल]] (1915-17), और [[पैट्रिक डु वैल]] (1936) द्वारा) प्रकार के [[वेइल समूह]] के रूप में <math>E_6</math>, E6 (गणित) से संबंधित 6-आयामी वास्तविक सदिश स्थान पर प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न एक समूह|झूठे समूह <math>E_6</math>आयाम 78 का।<ref name="Dnotes" />
-आदेश 51840 के समान समूह को कॉम्बिनेटरियल शब्दों में वर्णित किया जा सकता है, 27 पंक्तियों के [[ग्राफ (असतत गणित)]] के ऑटोमोर्फिज़्म समूह के रूप में, प्रत्येक पंक्ति के लिए एक शीर्ष और जब भी दो रेखाएँ मिलती हैं, एक किनारे के साथ।<ref>Hartshorne (1997), Exercise V.4.11.</ref> इस ग्राफ का विश्लेषण 19वीं शताब्दी में श्लाफली डबल सिक्स कॉन्फ़िगरेशन जैसे सबग्राफ का उपयोग करके किया गया था। पूरक ग्राफ (एक किनारे के साथ जब भी दो रेखाएँ अलग होती हैं) को श्लाफली ग्राफ के रूप में जाना जाता है।
+आदेश 51840 के समान समूह को कॉम्बिनेटरियल शब्दों में वर्णित किया जा सकता है, 27 पंक्तियों के [[ग्राफ (असतत गणित)]] के ऑटोमोर्फिज़्म समूह के रूप में, प्रत्येक पंक्ति के लिए एक शीर्ष और जब भी दो रेखाएँ मिलती हैं, एक किनारे के साथ।<ref>Hartshorne (1997), Exercise V.4.11.</ref> इस ग्राफ का विश्लेषण 19वीं शताब्दी में श्लाफली डबल सिक्स कॉन्फ़िगरेशन जैसे सबग्राफ का उपयोग करके किया गया था। पूरक ग्राफ (एक किनारे के साथ जब भी दो रेखाएँ भिन्न  होती हैं) को श्लाफली ग्राफ के रूप में जाना जाता है।
 [[File:Schläfli graph.svg|thumb|right|श्लाफली ग्राफ]]घन सतहों के बारे में कई समस्याओं को कॉम्बिनेटरिक्स के उपयोग से हल किया जा सकता है <math>E_6</math> [[मूल प्रक्रिया]]। उदाहरण के लिए, 27 पंक्तियों को वजन (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) के साथ पहचाना जा सकता है # झूठ समूह के मौलिक प्रतिनिधित्व के अर्ध-सरल झूठ बीजगणित के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में वजन <math>E_6</math>. एक घन सतह पर होने वाली विलक्षणता के संभावित सेट को उप-प्रणालियों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है <math>E_6</math> मूल प्रक्रिया।<ref>Bruce & Wall (1979), section 4; Dolgachev (2012), Table 9.1.</ref> इस संबंध के लिए एक व्याख्या यह है कि <math>E_6</math> जाली [[एंटीकैनोनिकल]] वर्ग के ऑर्थोगोनल पूरक के रूप में उत्पन्न होती है <math>-K_X</math> [[पिकार्ड समूह]] में <math>\operatorname{Pic}(X)\cong \mathbf{Z}^7</math>, इसके प्रतिच्छेदन रूप के साथ (सतह पर घटता के [[प्रतिच्छेदन सिद्धांत]] से आ रहा है)। एक चिकनी जटिल घन सतह के लिए, पिकार्ड जाली को [[सह-समरूपता]] समूह के साथ भी पहचाना जा सकता है <math>H^2(X,\mathbf{Z})</math>.
 Ekardt बिंदु वह बिंदु है जहां 27 में से 3 रेखाएँ मिलती हैं। अधिकांश घन सतहों में कोई एकार्ट पॉइंट नहीं होता है, लेकिन ऐसे बिंदु सभी चिकनी घन सतहों के परिवार के [[ codimension ]] -1 उप समुच्चय  पर होते हैं।<ref>Dolgachev (2012), section 9.1.4.</ref>
-एक्स पर एक घन सतह और के विस्फोट के बीच एक पहचान को देखते हुए <math>\mathbf{P}^2</math> सामान्य स्थिति में 6 बिंदुओं पर, X पर 27 पंक्तियों को इस प्रकार देखा जा सकता है: ब्लो अप द्वारा बनाए गए 6 असाधारण वक्र, 6 बिंदुओं के जोड़े के माध्यम से 15 पंक्तियों के द्विवार्षिक परिवर्तन <math>\mathbf{P}^2</math>, और 6 शंकुओं के द्विभाजित रूपांतरण जिनमें 6 बिंदुओं में से एक को छोड़कर सभी सम्मलित  हैं।<ref>Hartshorne (1997), Theorem V.4.9.</ref> एक दी गई घन सतह को विस्फोट के रूप में देखा जा सकता है <math>\mathbf{P}^2</math> एक से अधिक विधियों  से (वास्तव में, 72 अलग-अलग विधियों  से), और इसलिए ब्लो-अप के रूप में एक विवरण सभी 27 पंक्तियों के बीच समरूपता को प्रकट नहीं करता है।
+एक्स पर एक घन सतह और के विस्फोट के बीच एक पहचान को देखते हुए <math>\mathbf{P}^2</math> सामान्य स्थिति में 6 बिंदुओं पर, X पर 27 पंक्तियों को इस प्रकार देखा जा सकता है: ब्लो अप द्वारा बनाए गए 6 असाधारण वक्र, 6 बिंदुओं के जोड़े के माध्यम से 15 पंक्तियों के द्विवार्षिक परिवर्तन <math>\mathbf{P}^2</math>, और 6 शंकुओं के द्विभाजित रूपांतरण जिनमें 6 बिंदुओं में से एक को छोड़कर सभी सम्मलित  हैं।<ref>Hartshorne (1997), Theorem V.4.9.</ref> एक दी गई घन सतह को विस्फोट के रूप में देखा जा सकता है <math>\mathbf{P}^2</math> एक से अधिक विधियों  से (वास्तव में, 72 भिन्न -भिन्न  विधियों  से), और इसलिए ब्लो-अप के रूप में एक विवरण सभी 27 पंक्तियों के बीच समरूपता को प्रकट नहीं करता है।
 घन सतहों और के बीच संबंध <math>E_6</math> रूट सिस्टम सभी डेल पेज़ो सतहों और रूट सिस्टम के बीच संबंध का सामान्यीकरण करता है। यह गणित में कई ADE वर्गीकरणों में से एक है। इन उपमाओं का अनुसरण करते हुए, [[वेरा सर्गनोवा]] और [[एलेक्सी स्कोरोबोगाटोव]] ने घन सतहों और लाइ समूह के बीच एक सीधा ज्यामितीय संबंध दिया। <math>E_6</math>.<ref>Serganova & Skorobogatov (2007).</ref>
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 फ़ील्ड k पर एक चिकनी घन सतह X जो बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है, k पर तर्कसंगत होने की आवश्यकता नहीं है। एक चरम स्थिति े के रूप में, परिमेय संख्या 'Q' (या p-adic संख्या) पर चिकनी घन सतहें होती हैं <math>\mathbf{Q}_p</math>) बिना परिमेय बिंदु के, जिस स्थिति में X निश्चित रूप से परिमेय नहीं है।<ref>Kollár, Smith, Corti (2004), Exercise 1.29.</ref> यदि एक्स (के) गैर-खाली है, तो [[बेंजामिन सीक्रेट]] और जेनोस कोल्लार द्वारा एक्स कम से कम अपरिमेय है।<ref>Kollár, Smith, Corti (2004), Theorems 1.37 and 1.38.</ref> के अनंत के लिए, एकता का अर्थ है कि के-तर्कसंगत बिंदुओं का सेट एक्स में ज़रिस्की घना है।
-K का निरपेक्ष गैलोज़ समूह बीजगणितीय बंद होने पर X की 27 पंक्तियों की अनुमति देता है <math>\overline{k}</math> k का (Weyl समूह के कुछ उपसमूह के माध्यम से <math>E_6</math>). यदि इस क्रिया की कुछ कक्षा में अलग-अलग रेखाएँ होती हैं, तो X एक बंद बिंदु पर k के ऊपर एक सरल डेल पेज़ो सतह का ब्लो-अप है। अन्यथा, X का पिकार्ड नंबर 1 है। (X का पिकार्ड समूह ज्यामितीय पिकार्ड समूह का एक उपसमूह है <math>\operatorname{Pic}(X_{\overline{k}})\cong \mathbf{Z}^7</math>।) बाद के स्थिति े में, सेग्रे ने दिखाया कि एक्स कभी भी तर्कसंगत नहीं है। अधिक दृढ़ता से, [[यूरी मैनिन]] ने एक द्विपक्षीय कठोरता बयान सिद्ध  कर दिया: पिकार्ड नंबर 1 के साथ दो चिकनी घन सतहें एक पूर्ण क्षेत्र के ऊपर [[ द्विवार्षिक ]] हैं यदि और केवल यदि  वे आइसोमोर्फिक हैं।<ref>Kollár, Smith, Corti (2004), Theorems 2.1 and 2.2.</ref> उदाहरण के लिए, ये परिणाम Q के ऊपर कई घन सतह देते हैं जो अपरिमेय हैं लेकिन तर्कसंगत नहीं हैं।
+K का निरपेक्ष गैलोज़ समूह बीजगणितीय बंद होने पर X की 27 पंक्तियों की अनुमति देता है <math>\overline{k}</math> k का (Weyl समूह के कुछ उपसमूह के माध्यम से <math>E_6</math>). यदि इस क्रिया की कुछ कक्षा में भिन्न -भिन्न  रेखाएँ होती हैं, तो X एक बंद बिंदु पर k के ऊपर एक सरल डेल पेज़ो सतह का ब्लो-अप है। अन्यथा, X का पिकार्ड नंबर 1 है। (X का पिकार्ड समूह ज्यामितीय पिकार्ड समूह का एक उपसमूह है <math>\operatorname{Pic}(X_{\overline{k}})\cong \mathbf{Z}^7</math>।) बाद के स्थिति े में, सेग्रे ने दिखाया कि एक्स कभी भी तर्कसंगत नहीं है। अधिक दृढ़ता से, [[यूरी मैनिन]] ने एक द्विपक्षीय कठोरता बयान सिद्ध  कर दिया: पिकार्ड नंबर 1 के साथ दो चिकनी घन सतहें एक पूर्ण क्षेत्र के ऊपर [[ द्विवार्षिक ]] हैं यदि और केवल यदि  वे आइसोमोर्फिक हैं।<ref>Kollár, Smith, Corti (2004), Theorems 2.1 and 2.2.</ref> उदाहरण के लिए, ये परिणाम Q के ऊपर कई घन सतह देते हैं जो अपरिमेय हैं लेकिन तर्कसंगत नहीं हैं।
 == एकवचन घन सतहें ==
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 === वर्गीकरण ===
-एक सामान्य विलक्षण घन सतह <math>X</math> में <math>\textbf{P}_{\mathbb{C}}^3</math> स्थानीय निर्देशांक के साथ <math>[x_0:x_1:x_2:x_3]</math> यदि इसके द्वारा दिया जाता है तो सामान्य रूप में कहा जाता है <math>F= x_3 f_2(x_0,x_1,x_2) -f_3(x_0,x_1,x_2) = 0</math>. विलक्षणता के प्रकार पर निर्भर करता है <math>X</math> सम्‍मिलित है, यह प्रक्षेपी सतह में समरूपता है <math>\textbf{P}^3</math> द्वारा दिए गए <math>F= x_3 f_2(x_0,x_1,x_2) -f_3(x_0,x_1,x_2) = 0</math> कहाँ <math>f_2, f_3</math> नीचे दी गई तालिका के अनुसार हैं। इसका अर्थ है कि हम सभी एकवचन घनीय सतहों का वर्गीकरण प्राप्त कर सकते हैं। निम्न तालिका के पैरामीटर इस प्रकार हैं: <math>a,b,c</math> के तीन भिन्न तत्व हैं <math>\mathbb{C} \setminus\{0,1\}</math>, पैरामीटर <math>d,e</math> में हैं <math>\mathbb{C} \setminus \{0,-1\}</math> और <math>u</math> का एक तत्व है <math>\mathbb{C}\setminus \{ 0\}</math>. ध्यान दें कि विलक्षणता के साथ दो अलग-अलग एकवचन घन सतहें हैं <math>D_4</math>. <ref name=":0">{{Cite journal|last=SAKAMAKI|first=YOSHIYUKI|title=बिना किसी पैरामीटर के सामान्य एकवचन घन सतहों पर ऑटोमोर्फिज्म समूह|date=2010|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=362|issue=5|pages=2641–2666|doi=10.1090/S0002-9947-09-05023-5|jstor=25677798|issn=0002-9947|doi-access=free}}</ref>
+एक सामान्य विलक्षण घन सतह <math>X</math> में <math>\textbf{P}_{\mathbb{C}}^3</math> स्थानीय निर्देशांक के साथ <math>[x_0:x_1:x_2:x_3]</math> यदि इसके द्वारा दिया जाता है तो सामान्य रूप में कहा जाता है <math>F= x_3 f_2(x_0,x_1,x_2) -f_3(x_0,x_1,x_2) = 0</math>. विलक्षणता के प्रकार पर निर्भर करता है <math>X</math> सम्‍मिलित है, यह प्रक्षेपी सतह में समरूपता है <math>\textbf{P}^3</math> द्वारा दिए गए <math>F= x_3 f_2(x_0,x_1,x_2) -f_3(x_0,x_1,x_2) = 0</math> कहाँ <math>f_2, f_3</math> नीचे दी गई तालिका के अनुसार हैं। इसका अर्थ है कि हम सभी एकवचन घनीय सतहों का वर्गीकरण प्राप्त कर सकते हैं। निम्न तालिका के पैरामीटर इस प्रकार हैं: <math>a,b,c</math> के तीन भिन्न तत्व हैं <math>\mathbb{C} \setminus\{0,1\}</math>, पैरामीटर <math>d,e</math> में हैं <math>\mathbb{C} \setminus \{0,-1\}</math> और <math>u</math> का एक तत्व है <math>\mathbb{C}\setminus \{ 0\}</math>. ध्यान दें कि विलक्षणता के साथ दो भिन्न -भिन्न  एकवचन घन सतहें हैं <math>D_4</math>. <ref name=":0">{{Cite journal|last=SAKAMAKI|first=YOSHIYUKI|title=बिना किसी पैरामीटर के सामान्य एकवचन घन सतहों पर ऑटोमोर्फिज्म समूह|date=2010|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=362|issue=5|pages=2641–2666|doi=10.1090/S0002-9947-09-05023-5|jstor=25677798|issn=0002-9947|doi-access=free}}</ref>
 {| class="wikitable mw-collapsible"
 |+Classification of singular cubic surfaces by singularity type <ref name=":0" />

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घन सतहों की तर्कसंगतता

एक घन सतह पर 27 रेखाएँ