शुबर्ट कैलकुलस

गणित में, शुबर्ट गणना (कैलकुलस) बीजगणितीय ज्यामिति की एक शाखा है, जिसे उन्नीसवीं शताब्दी में हर्मन शूबर्ट द्वारा प्रस्तुत किया गया था, ताकि प्रक्षेपी ज्यामिति (गणना ज्यामिति का भाग) की विभिन्न गणना की समस्याओं को संशोधन किया जा सके। यह कई अधिक आधुनिक सिद्धांतों का प्रणेता था, उदाहरण के लिए विशेषता वर्ग, और विशेष रूप से इसके एल्गोरिथम स्वरूप वर्तमान मे भी सम्मिलित हैं। वाक्यांश "शुबर्ट गणना" का उपयोग कभी-कभी रैखिक उप-समष्टि की गणनात्मक ज्यामिति के अर्थ के लिए किया जाता है, जो सामान्य रूप से ग्रासमैनियन की सह-समरूपता वलय का वर्णन करने के समान होता है, और कभी-कभी गैर-रैखिक असमरूपता के अधिक सामान्य गणनात्मक ज्यामिति का तात्पर्य होता है। इससे भी अधिक सामान्य रूप से, "श्यूबर्ट गणना" को प्रायः सामान्यीकृत सह-समरूपता सिद्धांतों में समान प्रश्नों के अध्ययन को सम्मिलित करने के लिए समझा जाता है।

शुबर्ट द्वारा प्रस्तुत की गई वस्तुएँ शुबर्ट कोशिकाएँ हैं, जो किसी दिए गए चिन्ह (रैखिक बीजगणित) के साथ प्रक्षेपीय समष्टि में एक रेखीय उप-समष्टि की विस्तार (ज्यामिति) की स्थितियों द्वारा परिभाषित ग्रासमैनियन में स्थानीय रूप से संवृत समुच्चय हैं। और अधिक जानकारी के लिए शुबर्ट किस्म देखें।

इन शीर्षों का प्रतिच्छेदन सिद्धांत, जिसे संबंधित सह-समरूपता वर्गो के ग्रासमैनियन के सह-समरूपता वलय में गुणनफल संरचना के रूप में देखा जा सकता है, सिद्धांत रूप में उन स्थितियों की भविष्यवाणी की स्वीकृति देता है जहां शीर्षों के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप बिंदुओं का एक परिमित समुच्चय होता है, जो गणनात्मक प्रश्नों के संभावित मूर्त उत्तर होते हैं। एक सहायक सैद्धांतिक परिणाम यह है कि शुबर्ट शीर्ष (या बल्कि, उनके वर्ग) पूरे सह-समरूपता वलय का विस्तार करती हैं।

जैसे ही शीर्षों को अनुक्रमित किया जाता है, विस्तृत गणनाओं में संयोजी स्वरूपों को प्रविष्ट किया जाता है। ग्रासमानियन से उत्थापन मे जो एक सजातीय समष्टि होता है, उस पर कार्य करने वाले सामान्य रैखिक समूह के लिए, इसी तरह के प्रश्न ब्रुहाट विघटन और परवलयिक उपसमूहो (अभिगम आव्यूह द्वारा) के वर्गीकरण में सम्मिलित होते हैं।

हिल्बर्ट की पन्द्रहवीं समस्या शुबर्ट की प्रणाली को एक दृढ़ आधार पर स्थापित करना है।

निर्माण

शूबर्ट गणना का निर्माण ग्रासमानियन के चाउ वलय का उपयोग करके किया जा सकता है, जहां ज्यामितीय रूप से सार्थक डेटा द्वारा उत्पन्न चक्रों का प्रतिनिधित्व किया जाता है। और $G(k,V)$ को निश्चित $n$-आयामी सदिश समष्टि $V$ मे k-तलों के ग्रासमानियन के रूप में निरूपित करें, और $A^{*}(G(k,V))$ इसकी चाउ वलय पर ध्यान दें कि कभी-कभी ग्रासमानियन को इस रूप $G(k,n)$ में दर्शाया जाता है। यदि सदिश समष्टि स्पष्ट रूप से नहीं दिया गया है। यादृच्छिक रूप से पूर्ण चिन्ह ${\mathcal {V}}$ से संबद्ध

$0\subset V_{1}\subset \cdots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V$

और एक ह्रासमान $k$-पूर्णांकों का समूह $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{k})$ जहां

$n-k\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{k}\geq 0$

च्यूबर्ट चक्र (जिन्हें चाउ वलय के अतिरिक्त शीर्ष समरूपता पर विचार करते समय शुबर्ट शीर्ष कहा जाता है) होता हैं जिसे $\Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})\subset G(k,V)$ के रूप में परिभाषित किया गया है

$\Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})=\{\Lambda \in G(k,V):\dim(V_{n-k+i-a_{i}}\cap \Lambda )\geq i{\text{ for all }}i\geq 1\}$

चूंकि वर्ग $[\Sigma _{\mathbb {a} }({\mathcal {V}})]\in A^{*}(G(k,V))$ पूर्ण चिन्ह पर निर्भर नहीं करता है, जिसे वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है

$\sigma _{\mathbb {a} }:=[\Sigma _{\mathbb {a} }]\in A^{*}(G(k,V))$

जिन्हें शूबर्ट वर्ग कहा जाता है। यह दिखाया जा सकता है कि ये वर्ग चाउ वलय उत्पन्न करते हैं, और संबद्ध प्रतिच्छेदन सिद्धांत को शूबर्ट गणना कहा जाता है। दिए गए अनुक्रम पर ध्यान दें $\mathbb {a} =(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)$ शुबर्ट वर्ग $\sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}$ सामान्य रूप से सिर्फ $\sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j})}$ के रूप में दर्शाया जाता है। साथ ही, एक पूर्णांक $\sigma _{a_{1}}$ द्वारा दिए गए शूबर्ट वर्ग को विशेष वर्ग कहा जाता है। नीचे गिआम्बेली सूत्र का उपयोग करके इन विशेष वर्गों से सभी शुबर्ट वर्ग उत्पन्न किए जा सकते हैं।

स्पष्टीकरण

परिभाषा की व्याख्या करने के लिए, एक सामान्य $k$-तल $\Lambda \subset V$ पर विचार करें: इसमें $V_{j}$ के लिए $j\leq n-k$ के साथ केवल एक शून्य प्रतिच्छेदन होगा, जबकि $\dim(V_{j}\cap \Lambda )=i$ के लिए $j=n-k+i\geq n-k$ का प्रतिच्छेदन होगा। उदाहरण के लिए, $G(4,$