पेरिन संख्या

गणित में, पेरिन संख्याओं को पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है

P(n) = P(n − 2) + P(n − 3) के लिए n > 2,

प्रारंभिक मूल्यों के साथ:

P(0) = 3, P(1) = 0, P(2) = 2.

पेरिन संख्याओं का पूर्णांक अनुक्रम प्रारंभ होता है

3 (संख्या), 0 (संख्या), 2 (संख्या), 3, 2, 5 (संख्या), 5, 7 (संख्या), 10 (संख्या), 12 (संख्या), 17 (संख्या), 22 (संख्या ), 29 (संख्या), 39 (संख्या), ... (sequence A001608 in the OEIS)

n-वर्टेक्स चक्र ग्राफ में विभिन्न अधिकतम स्वतंत्र समुच्चय की संख्या को n > 1 के लिए एनवें पेरिन संख्या द्वारा गिना जाता है.

इतिहास

इस प्रकार से क्रम का उल्लेख एडौर्ड लुकास (1876) द्वारा स्पष्ट रूप से किया गया था। और 1899 में, इसी क्रम का स्पष्ट रूप से उल्लेख फ्रांकोइस ओलिवर राउल पेरिन द्वारा किया गया था। इस क्रम का अधिक व्यापक उपचार एडम्स और शैंक्स (1982) द्वारा दिया गया था।

गुण

सृजन फलन

पेरिन अनुक्रम का जनक फलन है

$G(P(n);x)={\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}-x^{3}}}.$

आव्यूह सूत्र

${\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}^{\!n}{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}P\left(n\right)\\P\left(n+1\right)\\P\left(n+2\right)\end{pmatrix}}$

बिनेट जैसा सूत्र

भुजाओं की लंबाई वाले समबाहु त्रिभुजों का सर्पिल जो पेरिन अनुक्रम का अनुसरण करता है।

इस प्रकार से पेरिन संख्याओं को समीकरण के बहुपद के मूल की घातों के रूप में लिखा जा सकता है

$x^{3}-x-1=0.$

इस समीकरण के 3 मूल होते हैं; और वास्तविक संख्या मूल p (प्लास्टिक संख्या के रूप में जाना जाता है) और दो जटिल संयुग्मी मूल q और r। इन तीन रूट को देखते हुए यह दर्शाया गया है , की लुकास अनुक्रम बिनेट सूत्र का पेरिन अनुक्रम एनालॉग है

$P(n)=p^{n}+q^{n}+r^{n}.$

चूँकि सम्मिश्र संख्या मूल q और r दोनों का निरपेक्ष मान 1 से घट जाता है, इन मूलों की पॉवर उच्च n के लिए अनुक्रम 0 की सीमा तय करती हैं। उच्च n के लिए सूत्र घट जाती है

$P(n)\approx p^{n}$

अतः इस सूत्र का उपयोग उच्च n के लिए पेरिन अनुक्रम के मानों की त्वरित गणना करने के लिए किया जा सकता है। और पेरिन अनुक्रम में क्रमिक पदों का अनुपात p, अर्थात प्लास्टिक संख्या के समीप पहुंचता है, जिसका मान लगभग 1.324718 है। यह स्थिरांक पेरिन अनुक्रम से यह संबंध रखता है जो की स्वर्णिम अनुपात लुकास संख्या क्र रूप में किया जाता है। इसी प्रकार के संबंध p और पाडोवन अनुक्रम के मध्य होते है , और सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि संख्याओं के मध्य होते है , और चांदी अनुपात और पेल संख्याओं के मध्य भी उपस्तिथ होते हैं।

गुणन सूत्र

इस प्रकार से बिनेट सूत्र से, हम G(n − 1), G(n) और G(n+ 1) के संदर्भ में G(kn) के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं; हम जानते हैं

${\begin{matrix}G(n-1)&=&p^{-1}p^{n}+&q^{-1}q^{n}+&r^{-1}r^{n}\\G(n)&=&p^{n}+&q^{n}+&r^{n}\\G(n+1)&=&pp^{n}+&qq^{n}+&rr^{n}\end{matrix}}$

जो की हमें विभाजन क्षेत्र पर गुणांकों के साथ रैखिक समीकरणों की तीन प्रणालियाँ देता है $x^{3}-x-1$; और व्युत्क्रमणीय आव्यूह द्वारा आव्यूह (गणित) जिसे हम हल कर सकते हैं $p^{n},q^{n},r^{n}$ और फिर हम उन्हें kth घात तक बढ़ा सकते हैं और योग की गणना कर सकते हैं।

उदाहरण मैग्मा कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली कोड:

P<x> := PolynomialRing(Rationals());
S<t> := SplittingField(x^3-x-1);
P2<y> := PolynomialRing(S);
p,q,r := Explode([r[1] : r in Roots(y^3-y-1)]);
Mi:=Matrix([[1/p,1/q,1/r],[1,1,1],[p,q,r]])^(-1);
T<u,v,w> := PolynomialRing(S,3);
v1 := ChangeRing(Mi,T) *Matrix([[u],[v],[w]]);
[p^i*v1[1,1]^3 + q^i*v1[2,1]^3 + r^i*v1[3,1]^3 : i in [-1..1]];

$u=G(n-1),v=G(n),w=G(n+1)$ परिणाम के साथ, यदि हमारे पास है , तब

$\begin{array}{ccc}23G(2n-<!--\; -\; -->1)& =& 4u^2+3v^2+9w^2+18\end{array}$