कॉची गुणनफल

गणित में, विशेष रूप से गणितीय विश्लेषण में, कॉची उत्पाद दो श्रृंखलाओं (गणित) का असतत कनवल्शन है। इसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ ऑगस्टिन-लुई कॉची के नाम पर रखा गया है।

परिभाषाएँ

कॉची उत्पाद अनंत श्रृंखला पर लागू हो सकता है या पावर श्रृंखला। जब लोग इसे सीमित अनुक्रमों पर लागू करते हैं या परिमित श्रृंखला, जिसे केवल गैर-शून्य गुणांकों की एक सीमित संख्या के साथ श्रृंखला के उत्पाद के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है (देखें कन्वोल्यूशन#असतत कन्वोल्यूशन)।

कन्वर्जेंस (गणित) मुद्दों पर #कन्वर्जेंस और मर्टेंस प्रमेय में चर्चा की गई है।

दो अनंत श्रृंखलाओं का कॉची उत्पाद

होने देना ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ और ${\textstyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{j}}$ जटिल पदों वाली दो अनंत श्रृंखलाएँ हों। इन दो अनंत श्रृंखलाओं के कॉची उत्पाद को असतत कनवल्शन द्वारा निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ कहाँ $c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}$.

दो पावर श्रृंखला का कॉची उत्पाद

निम्नलिखित दो शक्ति श्रृंखलाओं पर विचार करें

$\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}$ और $\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}$

जटिल गुणांकों के साथ $\{a_{i}\}$ और $\{b_{j}\}$. इन दो शक्ति श्रृंखलाओं के कॉची उत्पाद को असतत कनवल्शन द्वारा निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}$ कहाँ $c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}$.

अभिसरण और मर्टेंस प्रमेय

Not to be confused with Mertens' theorems concerning distribution of prime numbers.

होने देना (a_n)_n≥0 और (b_n)_n≥0 वास्तविक या जटिल अनुक्रम हों। यह फ्रांज मर्टेंस द्वारा सिद्ध किया गया था कि, यदि श्रृंखला ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ अभिसरण श्रृंखला को A और ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$ में एकत्रित हो जाता है B, और उनमें से कम से कम एक पूर्ण अभिसरण, फिर उनका कॉची उत्पाद अभिसरण होता है AB. प्रमेय अभी भी बानाच बीजगणित में मान्य है (निम्नलिखित प्रमाण की पहली पंक्ति देखें)।

दोनों श्रृंखलाओं का अभिसरण होना पर्याप्त नहीं है; यदि दोनों अनुक्रम सशर्त अभिसरण हैं, तो कॉची उत्पाद को दो श्रृंखलाओं के उत्पाद की ओर अभिसरण नहीं करना पड़ता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण से पता चलता है:

उदाहरण

दो वैकल्पिक श्रृंखलाओं पर विचार करें

$$a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\,,$$

जो केवल सशर्त रूप से अभिसरण हैं (पूर्ण मूल्यों की श्रृंखला का विचलन प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण और हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) के विचलन से होता है)। उनके कॉची उत्पाद की शर्तें दी गई हैं

$$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}$$

प्रत्येक पूर्णांक के लिए n ≥ 0. चूंकि प्रत्येक के लिए k ∈ {0, 1, ..., n} हमारे पास असमानताएं हैं k + 1 ≤ n + 1 और n – k + 1 ≤ n + 1, यह हर में वर्गमूल के लिए अनुसरण करता है √(k + 1)(n − k + 1) ≤ n +1, इसलिए, क्योंकि हैं n + 1 सारांश,

$$|c_{n}|\geq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n+1}}=1$$

प्रत्येक पूर्णांक के लिए n ≥ 0. इसलिए, c_n शून्य पर अभिसरित नहीं होता है n → ∞, इसलिए की श्रृंखला (c_n)_n≥0 परीक्षण शब्द से भिन्न होता है।

मर्टेंस प्रमेय का प्रमाण

सरलता के लिए, हम इसे सम्मिश्र संख्याओं के लिए सिद्ध करेंगे। हालाँकि, जो प्रमाण हम देने जा रहे हैं वह औपचारिक रूप से एक मनमाना बनच बीजगणित के लिए समान है (यहां तक ​​कि कम्यूटेटिविटी या एसोसिएटिविटी की भी आवश्यकता नहीं है)।

व्यापकता की हानि के बिना मान लें कि श्रृंखला ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ बिल्कुल एकाग्र हो जाता है। आंशिक योग परिभाषित करें

$$A_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i},\quad B_{n}=\sum _{i=0}^{n}b_{i}\quad {\text{and}}\quad C_{n}=\sum _{i=0}^{n}c_{i}$$

साथ

$$c_{i}=\sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{i-k}\,.$$

तब

$$C_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{n-i}B_{i}$$

पुनर्व्यवस्था द्वारा, इसलिए

$C_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{n-i}(B_{i}-B)+A_{n}B\,.$

(1)

हल करना ε > 0. तब से ${\textstyle \sum _{k\in \mathbb {N} }|a_{k}|<\infty }$ पूर्ण अभिसरण द्वारा, और तब से B_n में एकत्रित हो जाता है B जैसा n → ∞, एक पूर्णांक मौजूद है N ऐसा कि, सभी पूर्णांकों के लिए n ≥ N,

$|B_{n}-B|\leq {\frac {\varepsilon /3}{\sum _{k\in \mathbb {N} }|a_{k}|+1}}$

(2)

(यह एकमात्र स्थान है जहां पूर्ण अभिसरण का उपयोग किया जाता है)। की श्रृंखला के बाद से (a_n)_n≥0 अभिसरण, व्यक्ति a_n शब्द परीक्षण द्वारा 0 पर अभिसरण होना चाहिए। अतः एक पूर्णांक मौजूद है M ऐसा कि, सभी पूर्णांकों के लिए n ≥ M,

$|a_{n}|\leq {\frac {\varepsilon }{3N(\max _{i\in \{0,\dots ,N-1\}}|B_{i}-B|+1)}}\,.$

(3)

इसके अलावा, तब से A_n में एकत्रित हो जाता है A जैसा n → ∞, एक पूर्णांक मौजूद है L ऐसा कि, सभी पूर्णांकों के लिए n ≥ L,

$|A_{n}-A|\leq {\frac {\varepsilon /3}{|B|+1}}\,.$

(4)

फिर, सभी पूर्णांकों के लिए n ≥ max{L, M + N}, प्रतिनिधित्व का उपयोग करें (1) के लिए C_n, योग को दो भागों में विभाजित करें, निरपेक्ष मान के लिए त्रिभुज असमानता का उपयोग करें, और अंत में तीन अनुमानों का उपयोग करें (2), (3) और (4) उसे दिखाने के लिए

$${\begin{aligned}|C_{n}-AB|&={\biggl |}\sum _{i=0}^{n}a_{n-i}(B_{i}-B)+(A_{n}-A)B{\biggr |}\\&\leq \sum _{i=0}^{N-1}\underbrace {|a_{\underbrace {\scriptstyle n-i} _{\scriptscriptstyle \geq M}}|\,|B_{i}-B|} _{\leq \,\varepsilon /(3N){\text{ by (3)}}}+{}\underbrace {\sum _{i=N}^{n}|a_{n-i}|\,|B_{i}-B|} _{\leq \,\varepsilon /3{\text{ by (2)}}}+{}\underbrace {|A_{n}-A|\,|B|} _{\leq \,\varepsilon /3{\text{ by (4)}}}\leq \varepsilon \,.\end{aligned}}$$

अभिसरण श्रृंखला द्वारा, C_n → AB आवश्यकता अनुसार।

सेसारो का प्रमेय

ऐसे मामलों में जहां दो अनुक्रम अभिसरण हैं लेकिन पूरी तरह से अभिसरण नहीं हैं, कॉची उत्पाद अभी भी सिजेरो योग है। विशेष रूप से:

अगर ${\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}}$, ${\textstyle (b_{n})_{n\geq 0}}$ के साथ वास्तविक अनुक्रम हैं ${\textstyle \sum a_{n}\to A}$ और ${\textstyle \sum b_{n}\to B}$ तब

$${\frac {1}{N}}\left(\sum _{n=1}^{N}\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{i-k}\right)\to AB.$$

इसे उस मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है जहां दो अनुक्रम अभिसरण नहीं हैं बल्कि सिजेरो सारांश योग्य हैं:

प्रमेय

के लिए ${\textstyle r>-1}$ और ${\textstyle s>-1}$, मान लीजिए अनुक्रम ${\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}}$ है ${\textstyle (C,\;r)}$ योग ए और के साथ योगयोग्य ${\textstyle (b_{n})_{n\geq 0}}$ है ${\textstyle (C,\;s)}$ योग बी के साथ योगयोग्य। फिर उनका कॉची उत्पाद है ${\textstyle (C,\;r+s+1)}$ योग AB के साथ योगयोग्य।

उदाहरण

• कुछ के लिए ${\textstyle x,y\in \mathbb {R} }$, होने देना ${\textstyle a_{n}=x^{n}/n!}$ और ${\textstyle b_{n}=y^{n}/n!}$. तब
  $$c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {y^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}x^{i}y^{n-i}={\frac {(x+y)^{n}}{n!}}$$
  परिभाषा और द्विपद सूत्र के अनुसार। चूंकि, औपचारिक श्रृंखला, ${\textstyle \exp(x)=\sum a_{n}}$ और ${\textstyle \exp(y)=\sum b_{n}}$, हमने वो करके दिखाया है ${\textstyle \exp(x+y)=\sum c_{n}}$. चूँकि दो निरपेक्ष अभिसरण श्रृंखलाओं के कॉची उत्पाद की सीमा उन श्रृंखलाओं की सीमाओं के उत्पाद के बराबर है, हमने सूत्र को सिद्ध कर दिया है ${\textstyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$ सभी के लिए ${\textstyle x,y\in \mathbb {R} }$.
• दूसरे उदाहरण के तौर पर, आइए ${\textstyle a_{n}=b_{n}=1}$ सभी के लिए ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$. तब ${\textstyle c_{n}=n+1}$ सभी के लिए $n\in \mathbb {N}$ तो कॉची उत्पाद
  $$\sum c_{n}=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )$$
  एकत्रित नहीं होता.

सामान्यीकरण

उपरोक्त सभी अनुक्रमों पर लागू होते हैं ${\textstyle \mathbb {C} }$ (जटिल आंकड़े)। कॉची उत्पाद को श्रृंखला के लिए परिभाषित किया जा सकता है ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ रिक्त स्थान (यूक्लिडियन स्थान स्थान) जहां गुणन आंतरिक उत्पाद है। इस मामले में, हमारे पास यह परिणाम है कि यदि दो श्रृंखलाएं पूरी तरह से अभिसरण करती हैं तो उनका कॉची उत्पाद पूरी तरह से सीमाओं के आंतरिक उत्पाद में परिवर्तित हो जाता है।

अनंत अनेक अनंत श्रृंखलाओं के उत्पाद

होने देना $n\in \mathbb {N}$ ऐसा है कि $n\geq 2$ (वास्तव में निम्नलिखित भी सत्य है $n=1$ लेकिन उस स्थिति में कथन तुच्छ हो जाता है) और चलो ${\textstyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }a_{1,k_{1}},\ldots ,\sum _{k_{n}=0}^{\infty }a_{n,k_{n}}}$ जटिल गुणांकों वाली अनंत श्रृंखला हो, जिसमें से को छोड़कर सभी $n$एक बिल्कुल अभिसरण करता है, और $n$वें एक जुटता है. फिर तो हद हो गयी

$$\lim _{N\to \infty }\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}\leq N}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n,k_{n}}$$

मौजूद है और हमारे पास है:

$$\prod _{j=1}^{n}\left(\sum _{k_{j}=0}^{\infty }a_{j,k_{j}}\right)=\lim _{N\to \infty }\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}\leq N}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n,k_{n}}$$

प्रमाण

क्योंकि

$$\forall N\in \mathbb {N} :\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}\leq N}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n,k_{n}}=\sum _{k_{1}=0}^{N}\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}$$

कथन को प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है $n$: के लिए मामला $n=2$ कॉची उत्पाद के बारे में दावे के समान है। यह हमारा इंडक्शन बेस है.

प्रेरण चरण इस प्रकार है: दावे को सत्य होने दें $n\in \mathbb {N}$ ऐसा है कि $n\geq 2$, और जाने ${\textstyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }a_{1,k_{1}},\ldots ,\sum _{k_{n+1}=0}^{\infty }a_{n+1,k_{n+1}}}$ जटिल गुणांकों वाली अनंत श्रृंखला हो, जिसमें से को छोड़कर सभी $n+1$एक बिल्कुल अभिसरण करता है, और $n+1$-वह एकाग्र होता है। हम पहले श्रृंखला में प्रेरण परिकल्पना को लागू करते हैं ${\textstyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }|a_{1,k_{1}}|,\ldots ,\sum _{k_{n}=0}^{\infty }|a_{n,k_{n}}|}$. हमें वह श्रृंखला प्राप्त होती है

$$\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}|a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}|$$

अभिसरण, और इसलिए, त्रिकोण असमानता और सैंडविच मानदंड, श्रृंखला द्वारा

$$\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\left|\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}\right|$$

अभिसरण, और इसलिए श्रृंखला

$$\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}$$

बिल्कुल एकाग्र हो जाता है। इसलिए, प्रेरण परिकल्पना द्वारा, मर्टेंस ने जो साबित किया, और चर के नाम बदलकर, हमारे पास है:

$$n+1$$