शीफ कोहोलॉजी: Difference between revisions

Revision as of 09:09, 16 May 2023

गणित में, शीफ कोहोलॉजी टोपोलॉजिकल स्पेस पर शीफ (गणित) के वैश्विक वर्गों का विश्लेषण करने के लिए होमोलॉजिकल बीजगणित का अनुप्रयोग है। व्यापक रूप से बोलते हुए, शीफ कोहोलॉजी विश्व स्तर पर ज्यामितीय समस्या को समाधान करने के लिए बाधाओं का वर्णन करती है, जब इसे स्थानीय रूप से समाधान किया जा सकता है। शेफ कॉहोलॉजी के अध्ययन के लिए केंद्रीय कार्य ग्रोथेंडिक का 1957 तोहोकू पेपर है।

ऑस्ट्रिया में ऑफलाग XVII-A के युद्ध शिविर के कैदी में जॉन लेरे द्वारा शेव्स, शीफ कोहोलॉजी और वर्णक्रमीय अनुक्रम प्रस्तुत किए गए थे।^[1] 1940 से 1945 तक, लेरे और अन्य कैदियों ने शिविर में विश्वविद्यालय का आयोजन किया था।

1950 के दशक में लेरे की परिभाषाओं को सरल और स्पष्ट किया गया था। यह स्पष्ट हो गया कि शेफ सह-समरूपता न केवल बीजगणितीय टोपोलॉजी में कोहोलॉजी के लिए नया दृष्टिकोण था, किन्तु जटिल विश्लेषणात्मक ज्यामिति और बीजगणितीय ज्यामिति में भी शक्तिशाली विधि थी। इन विषयों में अधिकांश निर्दिष्ट स्थानीय गुणों के साथ वैश्विक कार्य (गणित) का निर्माण करना सम्मिलित होता है, और शेफ कोहोलॉजी आदर्श रूप से ऐसी समस्याओं के अनुकूल होती है। रीमैन-रोच प्रमेय और हॉज सिद्धांत जैसे पहले के कई परिणाम शीफ कोहोलॉजी का उपयोग करके सामान्यीकृत या उत्तम समझे गए हैं।

परिभाषा

टोपोलॉजिकल स्पेस X पर एबेलियन समूहों के शेवों की श्रेणी एक एबेलियन श्रेणी है, और इसलिए यह पूछने में समझ में आता है कि कब मोर्फिज्म f: B → C का शेव्स इंजेक्शन (एकरूपता) या विशेषण (अधिरूपता) है। उत्तर यह है कि f अंतःक्षेपी (क्रमशः विशेषण) है यदि और केवल यदि शीफ (शीफ) B_x → C_x पर संबंधित समरूपता X में प्रत्येक बिंदु x के लिए अंतःक्षेपी फलन (क्रमशः आच्छादन फलन) है। यह अनुसरण करता है कि f अंतःक्षेपी है यदि और केवल यदि U पर वर्गों का समरूपता B(U) → C(U) X में प्रत्येक खुले समुच्चय U के लिए अंतःक्षेपी है। प्रक्षेपकता अधिक सूक्ष्म है, चूंकि: मोर्फिज्म एफ विशेषण है यदि और केवल यदि X में प्रत्येक खुले समुच्चय U के लिए, U के ऊपर सी के प्रत्येक खंड, और U में हर बिंदु X, X का खुला निकटतम (गणित) V है U में ऐसा है कि V तक सीमित है, V के ऊपर B के कुछ खंड की छवि है। (शब्दों में: C का प्रत्येक खंड स्थानीय रूप से B के अनुभागों के लिए लिफ्ट करता है।)

परिणामस्वरूप, सवाल उठता है: शेवों के B → C और X के ऊपर C के एक खंड को देखते हुए, X के ऊपर B के एक खंड की छवि कब है? यह ज्यामिति में सभी प्रकार के स्थानीय-बनाम-वैश्विक प्रश्नों के लिए एक मॉडल है। शेफ कोहोलॉजी संतोषजनक सामान्य उत्तर देता है। अर्थात्, A को प्रक्षेपण B → C का कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) होने दें, जो X पर संक्षिप्त त्रुटिहीन अनुक्रम देता है

0\to A\to B\to C\to 0

फिर एबेलियन समूहों का लंबा त्रुटिहीन क्रम होता है, जिसे शीफ कोहोलॉजी समूह कहा जाता है:

0\to H^{0}(X,A)\to H^{0}(X,B)\to H^{0}(X,C)\to H^{1}(X,A)\to \cdots ,

जहां H⁰(X,A) X पर A के वैश्विक अनुभागों का समूह A(X) है। उदाहरण के लिए, यदि समूह H¹(X,A) शून्य है, तो इस त्रुटिहीन अनुक्रम का तात्पर्य है कि C का प्रत्येक वैश्विक खंड B के वैश्विक खंड को उठाता है। अधिक सामान्यतः, त्रुटिहीन अनुक्रम उच्च कोहोलॉजी समूहों के ज्ञान को लक्षित करने के लिए मौलिक उपकरण बनाता है। शेवों के वर्गों को समझें।

शेफ कोहोलॉजी की अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक की परिभाषा, जो अब मानक है, होमोलॉजिकल बीजगणित की भाषा का उपयोग करती है। आवश्यक बिंदु यह है कि टोपोलॉजिकल स्पेस X को ठीक किया जाए और कोहोलॉजी को X पर एबेलियन समूहों के शेव से लेकर एबेलियन समूहों तक ऑपरेटर के रूप में सोचा जाए। अधिक विस्तार से, X पर एबेलियन समूहों के शेवों से एबेलियन समूहों के लिए फंक्शनल E ↦ E (X) से प्रारंभ करें। यह त्रुटिहीन कारक छोड़ दिया गया है, किन्तु सामान्यतः सही त्रुटिहीन नहीं है। फिर समूह Hⁱ(X,E) पूर्णांकों के लिए i को फ़ैक्टर E ↦ E(X) के सही व्युत्पन्न फ़ैक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है। यह इसे स्वचालित बनाता है कि Hⁱ(X,E) i < 0 के लिए शून्य है, और वह H⁰(X,E) वैश्विक वर्गों का समूह E(X) है। ऊपर दिया गया लंबा त्रुटिहीन क्रम भी इस परिभाषा से सीधा है।

व्युत्पन्न फलन की परिभाषा का उपयोग करता है कि किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस X पर एबेलियन समूहों के शेवों की श्रेणी में पर्याप्त इंजेक्शन हैं; अर्थात्, प्रत्येक शीफ E के लिए इंजेक्शन E → I के साथ इंजेक्शन शीफ I है।^[2] यह इस प्रकार है कि प्रत्येक शीफ E में इंजेक्शन संकल्प (बीजगणित) होता है:

0\to E\to I_{0}\to I_{1}\to I_{2}\to \cdots .

फिर शीफ कोहोलॉजी समूह Hⁱ(X,E) एबेलियन समूहों की श्रृंखला परिसर के कोहोलॉजी समूह (समरूपता मॉडुलो का कर्नेल पिछले की छवि) हैं:

0\to I_{0}(X)\to I_{1}(X)\to I_{2}(X)\to \cdots .

होमोलॉजिकल बीजगणित में मानक तर्कों का अर्थ है कि ये कोहोलॉजी समूह ई कोलाई के इंजेक्शन संकल्प की पसंद से स्वतंत्र हैं।

शेफ कोहोलॉजी की गणना करने के लिए परिभाषा का उपयोग संभवतः ही कभी सीधे किया जाता है। यह फिर भी शक्तिशाली है, क्योंकि यह महान सामान्यता में काम करता है (किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस पर एबेलियन समूहों का कोई भी शीफ), और यह आसानी से शीफ कोहोलॉजी के औपचारिक गुणों को दर्शाता है, जैसे कि ऊपर दी गई लंबी त्रुटिहीन अनुक्रम। विशिष्ट वर्गों के स्पेस या शेवों के लिए, शीफ कोहोलॉजी की गणना के लिए कई उपकरण हैं, जिनमें से कुछ की चर्चा नीचे की गई है।

कार्यात्मकता

टोपोलॉजिकल स्पेस के किसी भी निरंतर माप f: X → Y और Y पर एबेलियन समूहों के किसी भी शीफ E के लिए, 'पुलबैक होमोमोर्फिज्म' होता है।

f^{*} : H^{j} (Y, E) \to H^{j} (X, f^{*} (E)

[1]

[2]

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 परिणामस्वरूप, निरंतर गुणांक वाले शीफ कोहोलॉजी की कई मूलभूत गणना एकवचन कोहोलॉजी की गणना के समान हैं। गोले, प्रोजेक्टिव स्पेस, तोरी और सतहों के कोहोलॉजी के लिए कोहोलॉजी पर लेख देखें।
-स्वैच्छिक विधि से टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए, एकवचन कोहोलॉजी और शीफ कोहोलॉजी (निरंतर गुणांक के साथ) अलग-अलग हो सकते हैं। यह H<sup>0 के लिए भी होता है। एकवचन कोहोलॉजी H<sup>0(X,'Z') X के [[पथ घटक|पथ घटकों]] के समुच्चय से पूर्णांक 'Z' तक सभी कार्यों का समूह है, जबकि शीफ कोहोलॉजी H<sup>0(X,'Z'<sub>''X''</sub>) X से 'Z' तक स्थानीय रूप से स्थिर कार्यों का समूह है। ये भिन्न हैं, उदाहरण के लिए, जब X [[कैंटर सेट|कैंटर समुच्चय]] है। वास्तविक में, शीफ कोहोलॉजी H<sup>0(X,'Z'<sub>''X''</sub>) उस स्थिति में [[गणनीय]] एबेलियन समूह है, जबकि एकवचन कोहोलॉजी H<sup>0(X,'Z') X से 'Z' तक के सभी कार्यों का समूह है, जिसमें [[प्रमुखता]] <math>2^{2^{\aleph_0}}</math>है।
+स्वैच्छिक विधि से टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए, एकवचन कोहोलॉजी और शीफ कोहोलॉजी (निरंतर गुणांक के साथ) अलग-अलग हो सकते हैं। यह H<sup>0 के लिए भी होता है। एकवचन कोहोलॉजी H<sup>0(X,'Z') X के [[पथ घटक|पथ घटकों]] के समुच्चय से पूर्णांक 'Z' तक सभी कार्यों का समूह है, जबकि शीफ कोहोलॉजी H<sup>0(X,'Z'<nowiki/>''X'') X से 'Z' तक स्थानीय रूप से स्थिर कार्यों का समूह है। ये भिन्न हैं, उदाहरण के लिए, जब X [[कैंटर सेट|कैंटर समुच्चय]] है। वास्तविक में, शीफ कोहोलॉजी H<sup>0(X,'Z'<nowiki/>''X'') उस स्थिति में [[गणनीय]] एबेलियन समूह है, जबकि एकवचन कोहोलॉजी H<sup>0(X,'Z') X से 'Z' तक के सभी कार्यों का समूह है, जिसमें [[प्रमुखता]] <math>2^{2^{\aleph_0}}</math>है।
 पैराकॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस X और X पर एबेलियन समूहों के किसी भी शेफ ई के लिए, कोहोलॉजी समूह H<sup>j</sup>(X,E) X के [[आवरण आयाम]] से बड़े j के लिए शून्य हैं।<ref>{{harv|Godement|1973|loc=II.5.12.}}</ref> (यह एकवचन कोहोलॉजी के लिए समान सामान्यता में नहीं है: उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन स्पेस '''R'''<sup>3</sup> का [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] सबसमुच्चय है जिसमें असीमित रूप से कई डिग्री में शून्येतर एकवचन कोहोलॉजी है।<ref>{{harv|Barratt|Milnor|1962}}</ref> कवरिंग आयाम टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड या CW जटिल के लिए आयाम की सामान्य धारणा से सहमत है।
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 == कोहोलॉजी की परिमितता ==
-शीफ कोहोलॉजी पर मजबूत परिमितता परिणाम है। मान लें कि X कॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ स्पेस है, और R [[प्रमुख आदर्श डोमेन]] है, उदाहरण के लिए फ़ील्ड या पूर्णांकों का वलय 'Z'। मान लो ई X पर आर-मॉड्यूल का शेव हो, और मान लें कि ई ने स्थानीय रूप से अंतिम रूप से कोहोलॉजी उत्पन्न की है, जिसका अर्थ है कि X में प्रत्येक बिंदु X के लिए, प्रत्येक पूर्णांक जे, और X के प्रत्येक खुले निकटतम यू, खुला निकटतम वी ⊂ है x का U ऐसा है कि H की छवि<sup>जे</sup>(यू, ई) → एच<sup>j</sup>(V,E) फ़ाइनली जनरेट किया गया R-मॉड्यूल है। फिर कोहोलॉजी समूह एच<sup>j</sup>(X,E) सूक्ष्म रूप से उत्पन्न आर-मॉड्यूल हैं।<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=Theorem II.17.4}}, {{harv|Borel|1984|loc=V.3.17.}}</ref>
+शीफ कोहोलॉजी पर मजबूत परिमितता परिणाम है। मान लें कि X कॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ स्पेस है, और R [[प्रमुख आदर्श डोमेन]] है, उदाहरण के लिए फ़ील्ड या पूर्णांकों का वलय 'Z'। मान लो E को X पर R-मॉड्यूल का एक शीफ हो, और मान लें कि E ने स्थानीय रूप से अंतिम रूप से कोहोलॉजी उत्पन्न की है, जिसका अर्थ है कि X में प्रत्येक बिंदु X के लिए, प्रत्येक पूर्णांक J, और X के प्रत्येक खुले निकटतम यू, खुला निकटतम V ⊂ U का x ऐसा है कि ''H<sup>j</sup>''(''U'',''E'') → ''H<sup>j</sup>''(''V'',''E'') की छवि एक अंतिम रूप से उत्पन्न R-मॉड्यूल है। फिर कोहोलॉजी समूह H<sup>j</sup>(X,E) सूक्ष्म रूप से उत्पन्न R-मॉड्यूल हैं।<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=Theorem II.17.4}}, {{harv|Borel|1984|loc=V.3.17.}}</ref>
-उदाहरण के लिए, कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस X के लिए जो स्थानीय रूप से सिकुड़ा हुआ है (कमजोर अर्थ में शीफ कोहोलॉजी # शीफ कोहोलॉजी पर निरंतर गुणांक के साथ चर्चा की गई है), शीफ कोहोलॉजी समूह एच<sup>j</sup>(X,'Z') प्रत्येक पूर्णांक j के लिए अंतिम रूप से उत्पन्न होता है।
+उदाहरण के लिए, कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस X के लिए जो स्थानीय रूप से सिकुड़ा हुआ है (कमजोर अर्थ में शीफ कोहोलॉजी # शीफ कोहोलॉजी पर निरंतर गुणांक के साथ चर्चा की गई है), शीफ कोहोलॉजी समूह H<sup>j</sup>(X,'Z') प्रत्येक पूर्णांक j के लिए अंतिम रूप से उत्पन्न होता है।
 स्थिति जहां परिमितता परिणाम लागू होता है वह [[निर्माण योग्य शीफ]] का होता है। बता दें कि X [[स्थैतिक रूप से स्तरीकृत स्थान]] है। विशेष रूप से, X बंद उपसमुच्चय के अनुक्रम के साथ आता है
 :<math>X=X_n\supset X_{n-1}\supset\cdots\supset X_{-1}=\emptyset</math>
-ऐसा है कि प्रत्येक अंतर X<sub>''i''</sub>-X<sub>''i''−1</sub> आयाम i का सामयिक मैनीफोल्ड है। X पर आर-मॉड्यूल का शीफ ई दिए गए स्तरीकरण के संबंध में 'संरचनात्मक' है यदि प्रत्येक स्तर X के लिए ई का प्रतिबंध<sub>''i''</sub>-X<sub>''i''−1</sub> स्थानीय रूप से स्थिर है, शीफ के साथ सूक्ष्म रूप से उत्पन्न आर-मॉड्यूल। X पर शीफ ई जो कि दिए गए स्तरीकरण के संबंध में रचनात्मक है, स्थानीय रूप से अंतिम रूप से कोहोलॉजी उत्पन्न करता है।<ref>{{harv|Borel|1984|loc=Proposition V.3.10.}}</ref> यदि X कॉम्पैक्ट है, तो यह इस प्रकार है कि कोहोलॉजी समूह एच<sup>j</sup>(X,E) X के गुणकों के साथ रचनात्मक शीफ में अंतिम रूप से उत्पन्न होते हैं।
+ऐसा है कि प्रत्येक अंतर X<sub>''i''</sub>-X<sub>''i''−1</sub> आयाम i का सामयिक मैनीफोल्ड है। X पर आर-मॉड्यूल का शीफ E दिए गए स्तरीकरण के संबंध में 'संरचनात्मक' है यदि प्रत्येक स्तर ''X<sub>i</sub>''−''X<sub>i</sub>''<sub>−1</sub>के लिए ई का प्रतिबंध स्थानीय रूप से स्थिर रूप से उत्पन्न आर-मॉड्यूल शीफ के साथ स्थिर है। X पर एक शीफ ई जो दिए गए स्तरीकरण के संबंध में रचनात्मक है, स्थानीय रूप से अंतिम रूप से कोहोलॉजी उत्पन्न करता है।<ref>{{harv|Borel|1984|loc=Proposition V.3.10.}}</ref> यदि X कॉम्पैक्ट है, तो यह अनुसरण करता है कि एक रचनात्मक शीफ में गुणांक वाले X के कोहोलॉजी समूह Hj(X,E) अंतिम रूप से उत्पन्न होते हैं।
-अधिक सामान्यतः, मान लें कि X कॉम्पैक्ट करने योग्य है, जिसका अर्थ है कि कॉम्पैक्ट स्तरीकृत स्थान W है जिसमें X खुले उपसमुच्चय के रूप में है, W-X के साथ [[जुड़ा हुआ घटक (टोपोलॉजी)]] है। फिर, X पर आर-मॉड्यूल के किसी भी रचनात्मक शीफ ई के लिए, आर-मॉड्यूल एच<sup>जे</sup>(X, ई) और एच<sub>''c''</sub><sup>j</sup>(X,E) अंतिम रूप से उत्पन्न होते हैं।<ref>{{harv|Borel|1984|loc=Lemma V.10.13.}}</ref> उदाहरण के लिए, कोई भी जटिल [[बीजगणितीय किस्म]] X, अपने क्लासिकल (यूक्लिडियन) टोपोलॉजी के साथ, इस अर्थ में कॉम्पैक्ट करने योग्य है।
+अधिक सामान्यतः, मान लें कि X कॉम्पैक्ट करने योग्य है, जिसका अर्थ है कि कॉम्पैक्ट स्तरीकृत स्थान W है जिसमें X खुले उपसमुच्चय के रूप में है, W-X [[जुड़ा हुआ घटक (टोपोलॉजी)|स्ट्रैटा के जुड़े घटकों (टोपोलॉजी)]] का एक संघ है। फिर, X पर R-मॉड्यूल के किसी भी रचनात्मक शीफ ई के लिए, R-मॉड्यूल ''H<sup>j</sup>''(''X'',''E'') और ''H<sub>c</sub><sup>j</sup>''(''X'',''E'') अंतिम रूप से उत्पन्न होते हैं।<ref>{{harv|Borel|1984|loc=Lemma V.10.13.}}</ref> उदाहरण के लिए, कोई भी जटिल [[बीजगणितीय किस्म]] X, अपने पारंपरिक (यूक्लिडियन) टोपोलॉजी के साथ, इस अर्थ में कॉम्पैक्ट करने योग्य है।
 == सुसंगत शीशों का कोहोलॉजी ==
-{{main|Coherent sheaf cohomology}}
+{{main|सुसंगत शीफ कोहोलॉजी}}
 बीजगणितीय ज्यामिति और जटिल विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, [[सुसंगत ढेर|सुसंगत शेव]] विशेष ज्यामितीय महत्व के शेवों का वर्ग है। उदाहरण के लिए, [[बीजगणितीय वेक्टर बंडल|बीजगणितीय सदिश बंडल]] (नोएदरियन योजना पर) या [[ होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल | होलोमॉर्फिक सदिश बंडल]] ([[जटिल विश्लेषणात्मक स्थान]] पर) को सुसंगत शीफ के रूप में देखा जा सकता है, किन्तु सुसंगत शेवों को सदिश बंडलों पर लाभ होता है कि वे एबेलियन श्रेणी बनाते हैं। योजना पर, [[अर्ध-सुसंगत]] शेवों पर विचार करना भी उपयोगी है, जिसमें अनंत रैंक के स्थानीय रूप से मुक्त शेव सम्मिलित हैं।
-सुसंगत शीफ में गुणांक के साथ योजना या जटिल विश्लेषणात्मक स्थान के कोहोलॉजी समूहों के बारे में बहुत कुछ जाना जाता है। यह सिद्धांत बीजगणितीय ज्यामिति में महत्वपूर्ण तकनीकी उपकरण है। मुख्य प्रमेयों में विभिन्न स्थितियों में कोहोलॉजी के लुप्त होने के परिणाम हैं, कोहोलॉजी की परिमित-आयामीता पर परिणाम, सुसंगत शीफ कोहोलॉजी और एकवचन कोहोलॉजी जैसे हॉज सिद्धांत के बीच तुलना, और रीमैन जैसे सुसंगत शीफ कोहोलॉजी में [[यूलर विशेषता]]ओं पर सूत्र। रोच प्रमेय।
+सुसंगत शीफ में गुणांक के साथ योजना या जटिल विश्लेषणात्मक स्थान के कोहोलॉजी समूहों के बारे में बहुत कुछ जाना जाता है। यह सिद्धांत बीजगणितीय ज्यामिति में महत्वपूर्ण तकनीकी उपकरण है। मुख्य प्रमेयों में विभिन्न स्थितियों में कोहोलॉजी के लुप्त होने के परिणाम हैं, सुसंगत शीफ कोहोलॉजी और एकवचन कोहोलॉजी जैसे हॉज सिद्धांत और रीमैन रोच प्रमेय जैसे सुसंगत शीफ कोहोलॉजी में [[यूलर विशेषता|यूलर विशेषताओं]] पर सूत्र के बीच कोहोलॉजी तुलना की परिमित-आयामीता पर परिणाम हैं।
 == साइट पर शेव ==
 के दशक में, ग्रोथेंडिक ने साइट की धारणा को परिभाषित किया, जिसका अर्थ है [[ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी]] से लैस श्रेणी। साइट 'सी' आकारिकी 'वी' के समुच्चय की धारणा को स्वयंसिद्ध करती है<sub>α</sub> → C में U, U का आवरण है। टोपोलॉजिकल स्पेस X प्राकृतिक तरीके से साइट का निर्धारण करता है: श्रेणी C में X के खुले उपसमुच्चय हैं, जिसमें morphisms सम्मिलित हैं, और morphisms V के समुच्चय के साथ<sub>α</sub> → U को U का आवरण कहा जा रहा है यदि और केवल यदि U खुले उपसमुच्चय V का मिलन है<sub>α</sub>. उस स्थिति से परे ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी का प्रेरक उदाहरण योजनाओं पर ईटेल टोपोलॉजी था। तब से, बीजगणितीय ज्यामिति में कई अन्य ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी का उपयोग किया गया है: [[एफपीक्यूसी टोपोलॉजी]], [[निस्नेविच टोपोलॉजी]], और इसी तरह।
-शेफ की परिभाषा किसी भी साइट पर काम करती है। तो साइट पर समुच्चय के पूले के बारे में बात कर सकते हैं, साइट पर एबेलियन समूहों के समूह, और इसी तरह। व्युत्पन्न फ़ैक्टर के रूप में शीफ कोहोलॉजी की परिभाषा साइट पर भी काम करती है। तो किसी के पास शीफ कोहोलॉजी समूह एच है<sup>j</sup>(X, E) किसी साइट के किसी ऑब्जेक्ट X और एबेलियन समूहों के किसी शेफ E के लिए। ईटेल टोपोलॉजी के लिए, यह ईटेल कोहोलॉजी की धारणा देता है, जिसके कारण वेइल अनुमानों का प्रमाण मिला। बीजगणितीय ज्यामिति में [[क्रिस्टलीय कोहोलॉजी]] और कई अन्य कोहोलॉजी सिद्धांतों को भी उपयुक्त साइट पर शीफ कोहोलॉजी के रूप में परिभाषित किया गया है।
+शेफ की परिभाषा किसी भी साइट पर काम करती है। तो एक साइट पर सेट के एक पूले के बारे में बात कर सकते हैं, एक साइट पर एबेलियन समूहों के एक समूह, और इसी प्रकार। एक व्युत्पन्न फ़ैक्टर के रूप में शीफ कोहोलॉजी की परिभाषा साइट पर भी काम करती है। तो किसी के पास साइट के किसी ऑब्जेक्ट X और एबेलियन समूहों के किसी भी शेफ E के लिए शेफ कोहोलॉजी समूह ''H<sup>j</sup>''(''X'', ''E'') है। ईटेल टोपोलॉजी के लिए, यह ईटेल कोहोलॉजी की धारणा देता है, जिसके कारण वेइल अनुमानों का प्रमाण मिला था। बीजगणितीय ज्यामिति में [[क्रिस्टलीय कोहोलॉजी]] और कई अन्य कोहोलॉजी सिद्धांतों को भी एक उपयुक्त साइट पर शीफ कोहोलॉजी के रूप में परिभाषित किया गया है।
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