मिलनोर संख्या

गणित और विशेष रूप से विलक्षणता सिद्धांत में जॉन मिल्नोर के नाम पर मिल्नोर संख्या रोगाणु फलन का अचर है।

यदि f एक जटिल-मूल्यवान होलोमोर्फिक रोगाणु (गणित) है तो f की मिलनोर संख्या, जिसे μ(f) कहा जाता है, या तो एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है, या अनंत है . इसे अंतर ज्यामिति इनवेरिएंट (गणित) और एक अमूर्त बीजगणित इनवेरिएंट दोनों माना जा सकता है। यही कारण है कि यह बीजगणितीय ज्यामिति और विलक्षणता सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

बीजगणितीय परिभाषा

एक पूर्णसममितिक सम्मिश्र रोगाणु फलन पर विचार करें (गणित)

$f:(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)\$ और सभी रोगाणु फलन $(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)$ के वलय को ${\mathcal {O}}_{n}$ द्वारा निरूपित करें। फलन के प्रत्येक स्तर $\mathbb {C} ^{n}$में संकुल अधिपृष्ठ है, इसलिए हम $f$ को अधिपृष्ठ विलक्षणता कहेंगे।

मान लें कि यह एक विलगित विलक्षणता है: पूर्णसममितिक प्रतिचित्रण के स्थिति में कहा जा सकता हैं कि अधिपृष्ठ विलक्षणता $f$, $0\in \mathbb {C} ^{n}$ पर एकल है यदि इसकी प्रवणता $\nabla f$, $0$ एक विलक्षण बिंदु पृथक है यदि यह पर्याप्ततः निम्न सामीप्य में एकमात्र विलक्षण बिंदु है। विशेष रूप से, प्रवणता की बहुलता

$\mu (f)=\dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {O}}_{n}/\nabla f$

रूकर के नलस्टेलेंसत्ज के अनुप्रयोग द्वारा परिमित है। यह संख्या $\mu (f)$, $0$ विलक्षणता $f$ की मिलनोर संख्या है।

ध्यान दें कि प्रवणता की बहुलता परिमित है केवल यदि मूल f का एक पृथक क्रांतिक बिंदु है।

ज्यामितीय व्याख्या

मिलनोर मूल रूप से पुर: $\mu (f)$ निम्नलिखित तरीके से ज्यामितीय शब्दों में। सभी फाइबर $f^{-1}(c)$ मूल्यों के लिए $c$ के करीब $0$ वास्तविक आयाम के कई गुना विलक्षण हैं $2(n-1)$. एक छोटी खुली डिस्क के साथ उनका प्रतिच्छेदन $D_{\epsilon }$ पर केंद्रित है $0$ एक चिकना बहुरूपी है $F$ मिलनोर फाइबर कहा जाता है। डिफियोमोर्फिज्म तक $F$ पर निर्भर नहीं है $c$ या $\epsilon$ अगर वे काफी छोटे हैं। यह मिलनोर मानचित्र के तंतु के लिए भी भिन्न है।

द मिल्नोर फाइबर $F$ आयाम का एक सहज कई गुना है $2(n-1)$ और वेज योग के समान होमोटॉपी है $\mu (f)$ क्षेत्रों $S^{n-1}$. कहने का मतलब यह है कि इसकी मध्य बेट्टी संख्या है $b_{n-1}(F)$ मिलनोर संख्या के बराबर है और इसमें आयाम में एक बिंदु की समरूपता (गणित) से कम है $n-1$. उदाहरण के लिए, प्रत्येक विलक्षण बिंदु के पास एक जटिल समतल वक्र $z_{0}$ गुलाब (टोपोलॉजी) के लिए मिलनोर फाइबर होमोटोपिक है। की एक कील $\mu _{z_{0}}(f)$ मंडलियां (मिल्नोर संख्या एक स्थानीय संपत्ति है, इसलिए अलग-अलग एकवचन बिंदुओं पर इसके अलग-अलग मान हो सकते हैं)।

इस प्रकार हमारे पास समानताएं हैं

मीलनोर संख्या = गोलों की संख्या में कील योग = मध्य की बेट्टी संख्या $F$ = एक सतत मानचित्रण की डिग्री $z\to {\frac {{\nabla }f(z)}{\|{\nabla }f(z)\|}}$ पर $S_{\epsilon }$ = ढाल की बहुलता $\nabla f$

मिल्नोर संख्या को देखने का एक अन्य तरीका गड़बड़ी सिद्धांत है। हम कहते हैं कि एक बिंदु एक पतित विलक्षण बिंदु है, या कि f में एक पतित विलक्षणता है $z_{0}\in \mathbb {C} ^{n}$ अगर $z_{0}$ एक विलक्षण बिंदु है और दूसरे क्रम के सभी आंशिक डेरिवेटिव के हेसियन मैट्रिक्स में शून्य निर्धारक है $z_{0}$:

$\det \left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\partial z_{j}}}\right)_{1\leq i\leq j\leq n}^{z=z_{0}}=0.$

हम मानते हैं कि f में 0 पर एक पतित विलक्षणता है। हम इस पतित विलक्षणता की बहुलता के बारे में यह सोचकर बोल सकते हैं कि कितने बिंदु असीम रूप से चिपके हुए हैं। यदि हम अब गड़बड़ी सिद्धांत को एक निश्चित स्थिर तरीके से f की छवि 0 पर पृथक पतित विलक्षणता अन्य पृथक विलक्षणताओं में विभाजित कर देंगे जो गैर-पतित हैं! ऐसी पृथक गैर-पतित विलक्षणताओं की संख्या उन बिंदुओं की संख्या होगी जो असीम रूप से चिपकी हुई हैं।

संक्षेप में, हम एक अन्य फलन जर्म जी लेते हैं जो मूल बिंदु पर गैर-एकवचन है और नए फलन जर्म h := f + εg पर विचार करते हैं जहां ε बहुत छोटा है। जब ε = 0 तब h = f। फलन h को मोर्स सिद्धांत#f का औपचारिक विकास कहा जाता है। एच की विलक्षणताओं की गणना करना बहुत कठिन है, और वास्तव में यह कम्प्यूटेशनल रूप से असंभव हो सकता है। अंकों की यह संख्या जो असीम रूप से चिपकी हुई है, f की यह स्थानीय बहुलता, f की मिलनोर संख्या है।

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