सम और विषम फलन

Not to be confused with सम और विषम संख्याएँ.

साइन फलन और इसके सभी टेलर बहुपद विषम फलन हैं। यह छवि दिखाती है $\sin(x)$ और इसके टेलर सन्निकटन, डिग्री 1, 3, 5, 7, 9, 11 और 13 के बहुपद।

कोज्या फलन और इसके सभी टेलर बहुपद सम फलन हैं। यह छवि दिखाती है $\cos(x)$ और इसकी टेलर डिग्री 4 का सन्निकटन।

गणित में, सम फलन और विषम फलन फलन (गणित) होते हैं जो योगात्मक व्युत्क्रम लेने के संबंध में विशेष समरूपता संबंधों को संतुष्ट करते हैं। वे गणितीय विश्लेषण के कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण हैं, विशेष रूप से शक्ति श्रृंखला और फूरियर श्रृंखला के सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं। उन्हें ऊर्जा समीकरण की शक्तियों की समता (गणित) के लिए नामित किया गया है जो प्रत्येक परिस्थिति को पूरा करते हैं: फलन $f(x)=x^{n}$ यह एक सम फलन है यदि n एक सम पूर्णांक है , और यदि n एक विषम पूर्णांक है, तो यह एक विषम फलन है।

परिभाषा और उदाहरण

समता और विषमता को सामान्यतः वास्तविक फलनों के लिए माना जाता है, जो वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान कार्य हैं। हालांकि, अवधारणाओं को सामान्यतः उन फलनों के लिए परिभाषित किया जा सकता है जिनके फलन और सहकार्यक्षेत्र दोनों के कार्यक्षेत्र में योगात्मक व्युत्क्रम की धारणा है। इसमें एबेलियन समूह, सभी वृत्त (बीजगणित), सभी क्षेत्र (गणित), और सभी सदिश रिक्त स्थान सम्मिलित हैं। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक वास्तविक कार्य विषम या सम (या न ही) हो सकता है, जैसा कि सदिश चर का एक जटिल संख्या-मूल्यवान कार्य हो सकता है।

किसी फलन के उनके लेखाचित्र की समरूपता को व्यख्या करने के लिए दिए गए उदाहरण वास्तविक फलन हैं।

सम कार्य

छवि: फलन एक्स ^2.svg|right|thumb|$f(x)=x^{2}$ सम फलन का उदाहरण है।

मान लीजिए f एक वास्तविक चर का वास्तविक-मूल्यवान फलन है। तब यदि निम्नलिखित समीकरण सभी x के लिए मान्य है तो f 'सम' है जैसे कि x और -x f के कार्यक्षेत्र में हैं:

$f(x)=f(-x)$

(Eq.1)

या समतुल्य यदि निम्न समीकरण ऐसे सभी x के लिए मान्य है:

$f(x)-f(-x)=0.$

ज्यामितीय रूप से, एक सम फलन का लेखाचित्र y-अक्ष के संबंध में समरूपता है, जिसका अर्थ है कि y-अक्ष के आधार में परावर्तन (गणित) के बाद इसका लेखाचित्र अपरिवर्तित रहता है।

सम फलनों के उदाहरण हैं:

• निरपेक्ष मूल्य $x\mapsto |x|,$
• $x\mapsto x^{2},$
• $x\mapsto x^{4},$
• त्रिकोणमितीय फलन $\cos ,$
• अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य $\cosh .$

विषम कार्य

$f(x)=x^{3}$ विषम फलन का उदाहरण है।

पुनः, मान लीजिए f एक वास्तविक चर का वास्तविक-मूल्यवान फलन है। तब f 'विषम' होता है यदि निम्नलिखित समीकरण सभी x के लिए ऐसा रखता है कि x और -x f के कार्यक्षेत्र में हैं:

$-f(x)=f(-x)$

(Eq.2)

या समतुल्य यदि निम्न समीकरण ऐसे सभी x के लिए मान्य है:

$f(x)+f(-x)=0.$

ज्यामितीय रूप से, एक विषम फलन के लेखाचित्ऱ में मूलबिंदु (गणित) के संबंध में घूर्णी समरूपता होती है, जिसका अर्थ है कि मूल के अक्ष में 180 घात (कोण) के घूर्णन (गणित) के बाद इसका लेखाचित्ऱ अपरिवर्तित रहता है।

विषम फलनों के उदाहरण हैं:

• तत्समक फलन $x\mapsto x,$
• $x\mapsto x^{3},$
• ज्या $\sin ,$
• अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य $\sinh ,$
• त्रुटि फलन $\operatorname {erf} .$

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$f(x)=x^{3}+1$ न तो सम है और न ही विषम।

मूल गुण

विशिष्टता

• यदि कोई फलन सम और विषम दोनों है, तो यह हर जगह परिभाषित होने पर 0 के बराबर होता है।
• यदि कोई फलन विषम है, तो उस फलन का निरपेक्ष मान एक सम फलन होता है।

जोड़ और घटाव

• दो सम फलनों का योग सम है।
• दो विषम फलनों का योग विषम होता है।
• दो विषम फलनों के बीच का घटाव विषम है।
• दो सम फलनों के बीच का अंतर सम है।
• सम और विषम फलन का योग सम या विषम नहीं है, जब तक कि किसी फलन के दिए गए कार्यक्षेत्र पर कोई एक फलन शून्य के बराबर न हो।

गुणा और भाग

• दो सम फलनों का गुणनफल सम फलन होता है।
  • इसका अर्थ है कि किसी भी संख्या में सम फलनों का गुणनफल भी एक सम फलन होता है।
• दो विषम फलनों का गुणनफल एक सम फलन होता है।
• एक सम फलन और एक विषम फलन का गुणनफल एक विषम फलन होता है।
• दो सम फलनों का विभाजन (गणित) एक सम फलन है।
• दो विषम फलनों का भागफल एक सम फलन होता है।
• सम फलन और विषम फलन का भागफल विषम फलन होता है।

रचना

• दो सम फलनों का फलन संघटन सम है।
• दो विषम फलनों का संघटन विषम होता है।
• सम फलन और विषम फलन का संघटन सम होता है।
• सम फलन वाले किसी भी फलन का संघटन सम होता है (लेकिन इसके विपरीत नहीं)।

सम-विषम अपघटन

प्रत्येक फलन एक सम और एक विषम फलन के योग के रूप में विशिष्ट रूप से विघटित हो सकता है, जिसे क्रमशः सम भाग और फलन का विषम भाग कहा जाता है; अगर कोई परिभाषित करता है

$f_{\text{e}}(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}$

(Eq.3)

और

$f_{\text{o}}(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}$

(Eq.4)

तब $f_{\text{e}}$ सम है, $f_{\text{o}}$ विषम है, और

$$