सम और विषम फलन

Not to be confused with सम और विषम संख्याएँ.

File:Sintay SVG.svg

साइन फलन और इसके सभी टेलर बहुपद विषम फलन हैं। यह छवि दिखाती है $\sin(x)$ और इसके टेलर सन्निकटन, डिग्री 1, 3, 5, 7, 9, 11 और 13 के बहुपद।

File:Développement limité du cosinus.svg

कोज्या फलन और इसके सभी टेलर बहुपद सम फलन हैं। यह छवि दिखाती है $\cos(x)$ और इसकी टेलर डिग्री 4 का सन्निकटन।

गणित में, सम फलन और विषम फलन फलन (गणित) होते हैं जो योगात्मक व्युत्क्रम लेने के संबंध में विशेष समरूपता संबंधों को संतुष्ट करते हैं। वे गणितीय विश्लेषण के कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण हैं, विशेष रूप से शक्ति श्रृंखला और फूरियर श्रृंखला के सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं। उन्हें ऊर्जा समीकरण की शक्तियों की समता (गणित) के लिए नामित किया गया है जो प्रत्येक शर्त को पूरा करते हैं: फलन $f(x)=x^{n}$ यदि n एक सम पूर्णांक है, तो यह एक सम फलन है, और यदि n एक विषम पूर्णांक है, तो यह एक विषम फलन है।

परिभाषा और उदाहरण

समता और विषमता को सामान्यतः वास्तविक फलनों के लिए माना जाता है, जो वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान कार्य हैं। हालांकि, अवधारणाओं को सामान्यतः उन फलनों के लिए परिभाषित किया जा सकता है जिनके फलन और कोडोमेन दोनों के कार्यक्षेत्र में योगात्मक व्युत्क्रम की धारणा है। इसमें एबेलियन समूह, सभी वृत्त (बीजगणित), सभी क्षेत्र (गणित), और सभी सदिश रिक्त स्थान सम्मिलित हैं। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक वास्तविक कार्य विषम या सम (या न ही) हो सकता है, जैसा कि सदिश चर का एक जटिल संख्या-मूल्यवान कार्य हो सकता है, और इसी तरह।

किसी फलन के उनके लेखाचित्र की समरूपता को दर्शाने के लिए दिए गए उदाहरण वास्तविक फलन हैं।

सम कार्य

छवि: फलन एक्स ^2.svg|right|thumb|$f(x)=x^{2}$ सम फलन का उदाहरण है।

मान लीजिए f एक वास्तविक चर का वास्तविक-मूल्यवान फलन है। तब f 'सम' है यदि निम्नलिखित समीकरण सभी x के लिए मान्य है जैसे कि x और -x f के कार्यक्षेत्र में हैं:

$f(x)=f(-x)$

(Eq.1)

या समतुल्य यदि निम्न समीकरण ऐसे सभी x के लिए मान्य है:

$f(x)-f(-x)=0.$

ज्यामितीय रूप से, एक सम फलन का लेखाचित्र y-अक्ष के संबंध में समरूपता है, जिसका अर्थ है कि y-अक्ष के आधार में परावर्तन (गणित) के बाद इसका लेखाचित्र अपरिवर्तित रहता है।

सम फलनों के उदाहरण हैं:

• निरपेक्ष मूल्य $x\mapsto |x|,$
• $x\mapsto x^{2},$
• $x\mapsto x^{4},$
• त्रिकोणमितीय फलन $\cos ,$
• अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य $\cosh .$

विषम कार्य

File:Function-x3.svg

$f(x)=x^{3}$ विषम फलन का उदाहरण है।

पुनः, मान लीजिए f एक वास्तविक चर का वास्तविक-मूल्यवान फलन है। तब f 'विषम' होता है यदि निम्नलिखित समीकरण सभी x के लिए ऐसा रखता है कि x और -x f के कार्यक्षेत्र में हैं:

$-f(x)=f(-x)$

(Eq.2)

या समतुल्य यदि निम्न समीकरण ऐसे सभी x के लिए मान्य है:

$f(x)+f(-x)=0.$

ज्यामितीय रूप से, एक विषम फलन के लेखाचित्ऱ में मूलबिंदु (गणित) के संबंध में घूर्णी समरूपता होती है, जिसका अर्थ है कि मूल के अक्ष में 180 डिग्री (कोण) के घूर्णन (गणित) के बाद इसका लेखाचित्ऱ अपरिवर्तित रहता है।

विषम फलनों के उदाहरण हैं:

• तत्समक फलन $x\mapsto x,$
• $x\mapsto x^{3},$
• ज्या $\sin ,$
• अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य $\sinh ,$
• त्रुटि फलन $\operatorname {erf} .$

File:Function-x3plus1.svg

$f(x)=x^{3}+1$ न तो सम है और न ही विषम।

मूल गुण

विशिष्टता

• यदि कोई फलन सम और विषम दोनों है, तो यह हर जगह परिभाषित होने पर 0 के बराबर होता है।
• यदि कोई फलन विषम है, तो उस फलन का निरपेक्ष मान एक सम फलन होता है।

जोड़ और घटाव

• दो सम फलनों का योग सम है।
• दो विषम फलनों का योग विषम होता है।
• दो विषम फलनों के बीच का घटाव विषम है।
• दो सम फलनों के बीच का अंतर सम है।
• सम और विषम फलन का योग सम या विषम नहीं है, जब तक कि किसी फलन के दिए गए कार्यक्षेत्र पर कोई एक फलन शून्य के बराबर न हो।

गुणा और भाग

• दो सम फलनों का गुणनफल सम फलन होता है।
  • इसका अर्थ है कि किसी भी संख्या में सम फलनों का गुणनफल भी एक सम फलन होता है।
• दो विषम फलनों का गुणनफल एक सम फलन होता है।
• एक सम फलन और एक विषम फलन का गुणनफल एक विषम फलन होता है।
• दो सम फलनों का विभाजन (गणित) एक सम फलन है।
• दो विषम फलनों का भागफल एक सम फलन होता है।
• सम फलन और विषम फलन का भागफल विषम फलन होता है।

रचना

• दो सम फलनों का फलन संघटन सम है।
• दो विषम फलनों का संघटन विषम होता है।
• सम फलन और विषम फलन का संघटन सम होता है।
• सम फलन वाले किसी भी फलन का संघटन सम होता है (लेकिन इसके विपरीत नहीं)।

सम-विषम अपघटन

प्रत्येक फलन एक सम और एक विषम फलन के योग के रूप में विशिष्ट रूप से विघटित हो सकता है, जिसे क्रमशः सम भाग और फलन का विषम भाग कहा जाता है; अगर कोई परिभाषित करता है

$f_{\text{e}}(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}$

(Eq.3)

और

$f_{\text{o}}(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}$

(Eq.4)

तब $f_{\text{e}}$ सम है, $f_{\text{o}}$ विषम है, और

$f(x)=f_{\text{e}}(x)+f_{\text{o}}(x).$

इसके विपरीत यदि

$f(x)=g(x)+h(x),$

जहाँ g सम है और h तब विषम है $g=f_{\text{e}}$ और $h=f_{\text{o}},$ तब से

${\begin{aligned}2f_{\text{e}}(x)&=f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+h(x)+h(-x)=2g(x),\\2f_{\text{o}}(x)&=f(x)-f(-x)=g(x)-g(-x)+h(x)-h(-x)=2h(x).\end{aligned}}$

उदाहरण के लिए, अतिशयोक्तिपूर्ण कोटिज्या और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्या को घातांकी फलन के सम और विषम भागों के रूप में माना जा सकता है, क्योंकि पहला एक सम फलन है, दूसरा विषम है, और

$e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}$.

इसके अतिरिक्त बीजगणितीय गुण

• सम फलनों का कोई भी रैखिक संयोजन सम होता है, और सम फलन वास्तविक संख्याओं पर एक सदिश स्थान बनाते हैं। इसी तरह, विषम फलनों का कोई भी रैखिक संयोजन विषम होता है, और विषम कार्य भी वास्तविक के ऊपर एक सदिश स्थान बनाते हैं। वास्तव में, सभी वास्तविक फलनों का सदिश स्थान सम और विषम फलनों के रैखिक उप-स्थान के सदिश रिक्त स्थान का प्रत्यक्ष योग है। पिछले अनुभाग में संपत्ति को व्यक्त करने का यह एक अधिक अमूर्त तरीका है।
  • फलनों के स्थान को इस संपत्ति के साथ-साथ ऊपर दिए गए कुछ लोगों द्वारा वास्तविक संख्याओं पर एक वर्गीकृत बीजगणित माना जा सकता है।

• सम फलन वास्तविक क्षेत्र के ऊपर एक बीजगणित बनाते हैं। हालांकि, विषम फलन वास्तविक के ऊपर एक बीजगणित नहीं बनाते हैं, क्योंकि वे गुणन के तहत समापन (गणित) नहीं हैं।

विश्लेषणात्मक गुण

किसी फलन के विषम या सम होने का अर्थ अवकलनीय फलन, या यहाँ तक कि सतत फलन भी नहीं है। उदाहरण के लिए, डिरिचलेट फलन सम है, लेकिन कहीं भी निरंतर नहीं है।

निम्नलिखित में, यौगिक, फूरियर श्रृंखला, टेलर श्रृंखला, और इसी तरह के गुण सम्मिलित हैं, मान लीजिए कि इन अवधारणाओं को उन फलनों से परिभाषित किया गया है जिन्हें माना जाता है।

बुनियादी विश्लेषणात्मक गुण

• सम फलन का अवकलज विषम होता है।
• किसी विषम फलन का अवकलज सम होता है।
• −A से +A तक के विषम फलन का समाकलन शून्य है (जहाँ A परिमित है, और फलन में −A और A के बीच कोई उर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख नहीं है)। एक विषम कार्य के लिए जो एक सममित अंतराल पर पूर्णांक है, उदा. $[-A,A]$, उस अंतराल पर समाकलन का परिणाम शून्य है; वह है

  $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0$.

• −A से +A तक के सम फलन का समाकल 0 से +A तक का समाकलन का दुगुना है (जहाँ A परिमित है, और फलन में -A और A के बीच कोई उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी रेखाएँ नहीं हैं। यह तब भी सत्य है जब A अनंत है, लेकिन केवल अगर अभिन्न अभिसरण); वह है

  $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx$.

श्रृंखला

• सम फलन की मैक्लॉरिन श्रृंखला में केवल सम शक्तियाँ सम्मिलित हैं।
• विषम फलन की मैक्लॉरिन श्रृंखला में केवल विषम घात सम्मिलित हैं।
• किसी आवधिक फलन सम फलन की फूरियर श्रृंखला में केवल त्रिकोणमितीय फलन पद सम्मिलित होते हैं।
• किसी आवधिक विषम फलन की फूरियर श्रृंखला में केवल त्रिकोणमितीय फलन पद सम्मिलित होते हैं।
• पूर्ण रूप से वास्तविक-मूल्यवान सम फलन का फूरियर रूपांतरण वास्तविक और सम है। (देखना फूरियर विश्लेषण § समरूपता गुण)
• विशुद्ध रूप से वास्तविक-मूल्यवान विषम फलन का फूरियर रूपांतरण काल्पनिक और विषम है। (देखना फूरियर विश्लेषण § समरूपता गुण)

गुणवृत्ति

संकेत संसाधन में, सुसंगत विरूपण तब होता है जब एक ज्या तरंग संकेत समृति-अल्प परिमाण गैर रेखीय प्रणाली के माध्यम से भेजा जाता है, यानी एक प्रणाली जिसका समय T पर प्रक्षेपण केवल समय T पर निविष्ट पर निर्भर करता है और किसी भी पिछले निविष्ट पर निर्भर नहीं करता है। ऐसी प्रणाली को एक प्रतिक्रिया फलन $V_{\text{out}}(t)=f(V_{\text{in}}(t))$ द्वारा वर्णित किया गया है। उत्पादित लयबद्ध का प्रकार प्रतिक्रिया फलन f पर निर्भर करता है:

• जब प्रतिक्रिया फलन भी होता है, तो परिणामी संकेत में निविष्ट ज्या तरंग के केवल गुणवृत्ति भी सम्मिलित होंगे; $0f,2f,4f,6f,\dots$
  • मौलिक आवृत्ति भी एक विषम सुसंगत है, इसलिए उपस्थित नहीं होगी।
  • एक साधारण उदाहरण एक फुल-वेव रेक्टिफायर है।
  • $0f$ h> घटक डीसी ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, सम-सममित स्थानांतरण फलनों की एक तरफा प्रकृति के कारण।
• जब यह विषम होता है, तो परिणामी संकेत में निविष्ट ज्या तरंग के केवल विषम गुणवृत्ति सम्मिलित होंगे; $1f,3f,5f,\dots$
  • प्रक्षेपण संकेत आधा तरंग सममित होगा।
  • एक सरल उदाहरण एक सममित इलेक्ट्रॉनिक एम्पलीफायर | पुश-पुल एम्पलीफायर में क्लिपिंग (ऑडियो) है।
• जब यह असममित होता है, परिणामी संकेत में सम या विषम गुणवृत्ति हो सकते हैं; $1f,2f,3f,\dots$
  • सरल उदाहरण एक अर्ध-लहर सुधारक हैं, और एक असममित वर्ग-ए एम्पलीफायर में क्लिपिंग हैं।

ध्यान दें कि यह अधिक जटिल तरंगों के लिए सही नहीं है। उदाहरण के लिए, सॉटूथ वेव में सम और विषम गुणवृत्ति दोनों होते हैं। सम-सममित पूर्ण-तरंग सुधार के बाद, यह एक त्रिकोण तरंग बन जाता है, जो डीसी ऑफ़सेट के अलावा, केवल विषम गुणवृत्ति होता है।

सामान्यीकरण

बहुभिन्नरूपी कार्य

समान समरूपता:

एक फलन $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ सम सममित कहा जाता है यदि:

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R}$

विषम समरूपता:

एक फलन $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ विषम सममित कहा जाता है यदि:

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R}$

जटिल-मूल्यवान कार्य

जटिल संख्या के लिए सम और विषम समरूपता की परिभाषा | वास्तविक तर्क के जटिल-मूल्यवान कार्य वास्तविक मामले के समान हैं लेकिन इसमें जटिल संयुग्मन सम्मिलित है।

समान समरूपता:

एक वास्तविक तर्क का एक जटिल-मूल्यवान कार्य $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ सम सममित कहा जाता है यदि:

$f(x)={\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R}$

विषम समरूपता:

एक वास्तविक तर्क का एक जटिल-मूल्यवान कार्य $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ विषम सममित कहा जाता है यदि:

$f(x)=-{\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R}$

परिमित लंबाई अनुक्रम

सम और विषम समरूपता की परिभाषाएँ एन-बिंदु अनुक्रमों तक विस्तारित हैं (अर्थात प्रपत्र के कार्य $f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R}$) निम्नलिखित नुसार:

समान समरूपता:

एक N-बिंदु अनुक्रम को सम सममित कहा जाता है यदि

$f(n)=f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.$

इस तरह के अनुक्रम को अक्सर पैलिंड्रोमिक अनुक्रम कहा जाता है; पैलिंड्रोमिक बहुपद भी देखें।

विषम समरूपता:

एक एन-बिंदु अनुक्रम को विषम सममित कहा जाता है यदि

$f(n)=-f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.$

इस तरह के अनुक्रम को कभी-कभी एंटी-पैलिंड्रोमिक अनुक्रम कहा जाता है; पैलिंड्रोमिक बहुपद भी देखें।

यह भी देखें

• जटिल संख्याओं में सामान्यीकरण के लिए हर्मिटियन फलन
• टेलर श्रृंखला
• फोरियर श्रेणी
• होल्स्टीन-हेरिंग विधि
• समता (भौतिकी)

संदर्भ

• Gelfand, I. M.; Glagoleva, E. G.; Shnol, E. E. (2002) [1969], Functions and Graphs, Mineola, N.Y: Dover Publications