सुपरमैनफोल्ड: Difference between revisions

Revision as of 02:22, 14 March 2023

भौतिक विज्ञान और गणित में, सुपरमेनिफोल्ड्स सुपरसिमेट्री से आने वाले विचारों के आधार पर कई गुना अवधारणा के सामान्यीकरण हैं। कई परिभाषाएँ उपयोग में हैं, जिनमें से कुछ का वर्णन नीचे किया गया है।

अनौपचारिक परिभाषा

भौतिक विज्ञान की पाठ्यपुस्तकों और परिचयात्मक व्याख्यानों में सामान्यतः अनौपचारिक परिभाषा का उपयोग किया जाता है। यह बोसोनिक और फर्मियोनिक निर्देशांक दोनों के साथ कई गुना के रूप में एक सुपरमनीफोल्ड को परिभाषित करता है। स्थानीय रूप से, यह समन्वय चार्ट से बना है जो इसे सपाट, "यूक्लिडियन" सुपरस्पेस जैसा दिखता है। इन स्थानीय निर्देशांकों को अक्सर द्वारा निरूपित किया जाता है

(x,\theta ,{\bar {\theta }})

जहाँ x (वास्तविक-संख्या-मूल्यवान) स्पेसटाइम निर्देशांक है, और $\theta \,$ और ${\bar {\theta }}$ ग्रासमैन मूल्यवान स्थानिक "दिशाएं" हैं।

ग्रासमैन-मूल्यवान निर्देशांक की भौतिक व्याख्या बहस का विषय है; सुपरसिमेट्री के लिए स्पष्ट प्रायोगिक खोजों ने कोई सकारात्मक परिणाम नहीं दिया है। चूंकि, ग्रासमैन चरों का उपयोग कई महत्वपूर्ण गणितीय परिणामों के अद्भुत सरलीकरण की अनुमति देता है। इसमें अन्य बातों के अलावा, कार्यात्मक इंटीग्रल की एक कॉम्पैक्ट परिभाषा, बीआरएसटी क्वांटिज़ेशन में भूतों का उचित उपचार, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में इन्फिनिटीज़ को रद्द करना, अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय पर विटन का काम, और समरूपता को प्रतिबिंबित करने के लिए अधिकांशतः अनुप्रयोग होते हैं।

ग्रासमैन-मूल्यवान निर्देशांकों के उपयोग ने सुपरमैथमैटिक्स के क्षेत्र को जन्म दिया है, जिसमें ज्यामिति के बड़े हिस्से को सुपर-समकक्षों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें अधिकांश रिमेंनियन ज्यामिति और झूठ समूह के अधिकांश सिद्धांत और झूठ बीजगणित (जैसे सुपरलेजेब्रस, आदि) अधिकांशतः हैं। ।) हालांकि, मुद्दे बने हुए हैं, जिसमें डॉ कहलमज गर्भाशय के सुपरमैनफोल्ड्स के उचित विस्तार अधिकांशतः हैं।

परिभाषा

सुपरमैनिफोल्ड्स की तीन अलग-अलग परिभाषाएं उपयोग में हैं। एक परिभाषा चक्राकार स्थान के ऊपर एक पूले के रूप में है; इसे कभी-कभी बीजगणितीय ज्यामिति|बीजगणितीय-ज्यामितीय दृष्टिकोण कहा जाता है।^[1] इस दृष्टिकोण में एक गणितीय लालित्य है, लेकिन विभिन्न गणनाओं और सहज ज्ञान युक्त समझ में समस्या हो सकती है। एक दूसरे दृष्टिकोण को ठोस दृष्टिकोण कहा जा सकता है,^[1]क्योंकि यह सामान्य गणित से अवधारणाओं की एक विस्तृत श्रेणी को आसानी से और स्वाभाविक रूप से सामान्यीकृत करने में सक्षम है। इसकी परिभाषा में असीमित संख्या में सुपरसिमेट्रिक जेनरेटर के उपयोग की आवश्यकता है; हालाँकि, इन जनरेटर की एक सीमित संख्या के अलावा सभी में कोई सामग्री नहीं होती है, क्योंकि ठोस दृष्टिकोण के लिए टोपोलॉजी टोपोलॉजिकल स्पेस की तुलना के उपयोग की आवश्यकता होती है जो लगभग सभी को समकक्ष बनाती है। आश्चर्यजनक रूप से, ये दो परिभाषाएँ, एक सीमित संख्या में सुपरसिमेट्रिक जनरेटर के साथ, और एक अनंत संख्या में जनरेटर के साथ, समतुल्य हैं।^[1]^[2] एक तीसरा दृष्टिकोण एक सुपरमनीफोल्ड को एक सुपरपॉइंट के आधार टोपोस के रूप में वर्णित करता है। यह दृष्टिकोण सक्रिय शोध का विषय बना हुआ है।^[3]

बीजगणित-ज्यामितीय: एक पुलिया के रूप में

हालांकि सुपरमनीफोल्ड गैर-अनुवर्ती ज्यामिति के विशेष मामले हैं, लेकिन उनकी स्थानीय संरचना उन्हें मानक अंतर ज्यामिति और स्थानीय रूप से चक्राकार स्थानों के उपकरणों के साथ अध्ययन करने के लिए बेहतर बनाती है।

आयाम का सुपरमैनीफोल्ड एम (पी,क्यू) algebra के एक शीफ (गणित) के साथ एक टोपोलॉजिकल स्पेस एम है, जिसे सामान्यतः ओ के रूप में दर्शाया जाता है।_Mया सी^∞(एम), जो स्थानीय रूप से आइसोमोर्फिक है $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{p})\otimes \Lambda ^{\bullet }(\xi _{1},\dots \xi _{q})$ , जहां बाद वाला q जनरेटर पर ग्रासमैन (बाहरी) बीजगणित है।

आयाम (1,1) के एक सुपरमैनिफोल्ड 'एम' को कभी-कभी सुपर-रीमैन सतह कहा जाता है।

ऐतिहासिक रूप से, यह दृष्टिकोण फेलिक्स बेरेज़िन, दिमित्रिस वामपंथी और बर्ट्रम कॉन्स्टेंट से जुड़ा हुआ है।

=== कंक्रीट: एक चिकनी कई गुना === के रूप में एक अलग परिभाषा एक सुपरमैनिफोल्ड को फैशन में वर्णित करती है जो एक चिकनी मैनिफोल्ड के समान होती है, सिवाय इसके कि मॉडल स्पेस $\mathbb {R} ^{p}$ मॉडल सुपरस्पेस द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है $\mathbb {R} _{c}^{p}\times \mathbb {R} _{a}^{q}$ .

इसे सही ढंग से परिभाषित करने के लिए, यह स्पष्ट करना आवश्यक है कि क्या है $\mathbb {R} _{c}$ और $\mathbb {R} _{a}$ हैं। इन्हें ग्रासमैन नंबरों के एक-आयामी स्थान के सम और विषम वास्तविक उप-स्थानों के रूप में दिया जाता है, जो सम्मेलन द्वारा, एंटी-कम्यूटिंग वेरिएबल्स की एक अनंत अनंत संख्या द्वारा उत्पन्न होते हैं: यानी एक-आयामी स्थान द्वारा दिया जाता है $\mathbb {C} \otimes \Lambda (V),$ जहाँ V अनंत-आयामी है। एक तत्व z को वास्तविक कहा जाता है यदि $z=z^{*}$ ; ग्रासमैन जेनरेटर की केवल एक समान संख्या वाले वास्तविक तत्व अंतरिक्ष बनाते हैं $\mathbb {R} _{c}$ सी-नंबरों का, जबकि वास्तविक तत्वों में केवल विषम संख्या में ग्रासमैन जनरेटर होते हैं जो अंतरिक्ष बनाते हैं $\mathbb {R} _{a}$ a-संख्याओं का। ध्यान दें कि c-नंबर कम्यूट करते हैं, जबकि a-नंबर एंटी-कम्यूट करते हैं। रिक्त स्थान $\mathbb {R} _{c}^{p}$ और $\mathbb {R} _{a}^{q}$ इसके बाद पी-फोल्ड और क्यू-फोल्ड कार्टेशियन उत्पादों के रूप में परिभाषित किया जाता है $\mathbb {R} _{c}$ और $\mathbb {R} _{a}$ .^[4] जैसा कि एक साधारण मैनिफोल्ड के मामले में होता है, तब सुपरमेनीफोल्ड को एटलस (टोपोलॉजी) के संग्रह के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो अलग-अलग ट्रांज़िशन फ़ंक्शंस के साथ एक साथ चिपक जाता है।^[4]चार्ट के संदर्भ में इस परिभाषा के लिए आवश्यक है कि संक्रमण कार्यों में एक चिकनी संरचना और एक गैर-लुप्त होने वाला जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक हो। यह केवल तभी पूरा किया जा सकता है जब व्यक्तिगत चार्ट एक टोपोलॉजी का उपयोग करते हैं जो कि ग्रासमैन बीजगणित पर वेक्टर-स्पेस टोपोलॉजी की तुलना में टोपोलॉजी की तुलना है। यह टोपोलॉजी प्रक्षेपित करके प्राप्त की जाती है $\mathbb {R} _{c}^{p}$ नीचे $\mathbb {R} ^{p}$ और फिर उस पर प्राकृतिक टोपोलॉजी का उपयोग करना। परिणामी टोपोलॉजी हॉसडॉर्फ स्पेस नहीं है, लेकिन इसे प्रोजेक्टिवली हॉसडॉर्फ कहा जा सकता है।^[4]

यह कि यह परिभाषा पहली परिभाषा के समतुल्य है, बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है; हालाँकि, यह मोटे टोपोलॉजी का उपयोग है जो इसे ऐसा बनाता है, अधिकांश बिंदुओं को समान बनाकर। वह है, $\mathbb {R} _{c}^{p}\times \mathbb {R} _{a}^{q}$ मोटे टोपोलॉजी के साथ अनिवार्य रूप से आइसोमोर्फिक है^[1]^[2]को $\mathbb {R} ^{p}\otimes \Lambda ^{\bullet }(\xi _{1},\dots \xi _{q})$

गुण

एक नियमित मैनिफोल्ड के विपरीत, एक सुपरमैनिफोल्ड पूरी तरह से बिंदुओं के एक सेट से बना नहीं है। इसके बजाय, कोई दोहरा दृष्टिकोण लेता है कि एक सुपरमैनफोल्ड एम की संरचना उसके शीफ ओ में समाहित है_Mचिकने कार्यों की। दोहरे दृष्टिकोण में, एक अंतःक्षेपी मानचित्र ढेरों के प्रक्षेपण से मेल खाता है, और एक विशेषण नक्शा ढेरों के इंजेक्शन से मेल खाता है।

दोहरे दृष्टिकोण के लिए एक वैकल्पिक दृष्टिकोण बिंदुओं के फ़ैक्टर का उपयोग करना है।

यदि 'एम' आयाम (पी, क्यू) का एक सुपरमैनफोल्ड है, तो अंतर्निहित स्थान एम एक अलग-अलग कई गुना की संरचना को प्राप्त करता है जिसका चिकनी कार्यों का शीफ ओ है_M/I, जहां I सभी विषम कार्यों द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग थ्योरी) है। इस प्रकार M को 'M' का अंतर्निहित स्थान या पिंड कहा जाता है। भागफल नक्शा ओ_M→ द_M/I एक अंतःक्षेपी मानचित्र M → 'M' से संबंधित है; इस प्रकार एम 'एम' का एक सबमनीफोल्ड है।

उदाहरण

चलो एम कई गुना हो। विषम स्पर्शरेखा बंडल ΠTM, M पर अवकल रूपों के शीफ Ω(M) द्वारा दिया गया एक सुपरमैनिफोल्ड है।
अधिक आम तौर पर, E → M को सदिश बंडल होने दें। तब ΠE शीफ Γ(ΛE^{*</सुप>). वास्तव में, Π सदिश बंडलों की श्रेणी से सुपरमैनिफोल्ड्स की श्रेणी का एक फ़नकार है।}
सुपरग्रुप (भौतिकी) सुपरमैनिफोल्ड्स के उदाहरण हैं।

स्नातक प्रमेय

बैचेलर के प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक सुपरमैनिफोल्ड फॉर्म ΠE के सुपरमैनफोल्ड के लिए गैर-कैनोनिक रूप से आइसोमॉर्फिक है। गैर-प्रामाणिक रूप से यह शब्द किसी को यह निष्कर्ष निकालने से रोकता है कि सुपरमैनिफोल्ड केवल सदिश बंडलों का महिमामंडन करते हैं; हालांकि फंक्टर Π विशेष रूप से सुपरमैनिफोल्ड्स के आइसोमोर्फिज्म वर्गों पर मैप करता है, यह श्रेणियों का समकक्ष नहीं है। यह 1979 में मार्जोरी बैचलर द्वारा प्रकाशित किया गया था।^[5] बैथेलर के प्रमेय का गणितीय प्रमाण अनिवार्य रूप से एकता के विभाजन के अस्तित्व पर निर्भर करता है, इसलिए यह जटिल या वास्तविक-विश्लेषणात्मक सुपरमैनिफोल्ड के लिए नहीं है।

विषम सहानुभूतिपूर्ण संरचनाएँ

विषम सहानुभूतिपूर्ण रूप

कई भौतिक और ज्यामितीय अनुप्रयोगों में, एक सुपरमैनिफोल्ड ग्रासमैन-विषम सहानुभूतिपूर्ण कई गुना से सुसज्जित होता है। सुपरमैनिफोल्ड पर सभी प्राकृतिक ज्यामितीय वस्तुओं को वर्गीकृत किया जाता है। विशेष रूप से, दो रूपों का बंडल ग्रेडिंग से लैस है। सुपरमैनिफोल्ड पर एक विषम सहानुभूतिपूर्ण रूप ω एक बंद, विषम रूप है, जो टीएम पर एक गैर-पतित जोड़ी को प्रेरित करता है। ऐसे सुपरमैनिफोल्ड को पी-मैनिफोल्ड कहा जाता है। इसका श्रेणीबद्ध आयाम आवश्यक रूप से (एन, एन) है, क्योंकि विषम सहानुभूतिपूर्ण रूप विषम और सम चरों की जोड़ी को प्रेरित करता है। पी-मैनिफोल्ड्स के लिए डार्बौक्स प्रमेय का एक संस्करण है, जो एक की अनुमति देता है निर्देशांक के एक सेट के साथ स्थानीय रूप से पी-कई गुना लैस करने के लिए जहां अजीब सहानुभूतिपूर्ण रूप ω लिखा जाता है

ω =

[1]

[2]

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[4]

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 {{Short description | Supersymmetric generalization of manifolds}}
-[[भौतिक विज्ञान]] और गणित में, सुपरमेनिफोल्ड्स [[सुपरसिमेट्री]] से आने वाले विचारों के आधार पर [[कई गुना]] अवधारणा के सामान्यीकरण हैं। कई परिभाषाएँ उपयोग में हैं, जिनमें से कुछ का वर्णन नीचे किया गया है।
+[[भौतिक विज्ञान|'''भौतिक विज्ञान''']] और गणित में, सुपरमेनिफोल्ड्स [[सुपरसिमेट्री]] से आने वाले विचारों के आधार पर [[कई गुना]] अवधारणा के सामान्यीकरण हैं। कई परिभाषाएँ उपयोग में हैं, जिनमें से कुछ का वर्णन नीचे किया गया है।
 == अनौपचारिक परिभाषा ==
-भौतिक विज्ञान की पाठ्यपुस्तकों और परिचयात्मक व्याख्यानों में आमतौर पर एक अनौपचारिक परिभाषा का उपयोग किया जाता है। यह बोसोनिक और [[फर्मियन]] निर्देशांक दोनों के साथ कई गुना के रूप में एक सुपरमनीफोल्ड को परिभाषित करता है। स्थानीय रूप से, यह [[एटलस (टोपोलॉजी)]] से बना है जो इसे एक सपाट, यूक्लिडियन [[ superspace ]] जैसा दिखता है। इन स्थानीय निर्देशांकों को अक्सर द्वारा निरूपित किया जाता है
+भौतिक विज्ञान की पाठ्यपुस्तकों और परिचयात्मक व्याख्यानों में सामान्यतः अनौपचारिक परिभाषा का उपयोग किया जाता है। यह बोसोनिक और [[फर्मियन|फर्मियोनिक]] निर्देशांक दोनों के साथ कई गुना के रूप में एक सुपरमनीफोल्ड को परिभाषित करता है। स्थानीय रूप से, यह समन्वय चार्ट से बना है जो इसे सपाट, "यूक्लिडियन" [[ superspace |सुपरस्पेस]] जैसा दिखता है। इन स्थानीय निर्देशांकों को अक्सर द्वारा निरूपित किया जाता है
 :<math>(x,\theta,\bar{\theta})</math>
-जहाँ x ([[वास्तविक संख्या]] | वास्तविक-संख्या-मूल्यवान) [[ अंतरिक्ष समय ]] निर्देशांक है, और <math>\theta\,</math> और <math>\bar{\theta}</math> [[ ग्रासमैन संख्या ]] | ग्रासमैन-मूल्यवान स्थानिक दिशाएं हैं।
+जहाँ x (वास्तविक-संख्या-मूल्यवान) स्पेसटाइम निर्देशांक है, और <math>\theta\,</math> और <math>\bar{\theta}</math> [[ ग्रासमैन संख्या | ग्रासमैन]] मूल्यवान स्थानिक "दिशाएं" हैं।
-ग्रासमैन-मूल्यवान निर्देशांक की भौतिक व्याख्या बहस का विषय है; सुपरसिमेट्री के लिए स्पष्ट प्रायोगिक खोजों ने कोई सकारात्मक परिणाम नहीं दिया है। हालांकि, ग्रासमैन चरों का उपयोग कई महत्वपूर्ण गणितीय परिणामों के जबरदस्त सरलीकरण की अनुमति देता है। इसमें अन्य बातों के अलावा, कार्यात्मक इंटीग्रल की एक कॉम्पैक्ट परिभाषा, बीआरएसटी क्वांटिज़ेशन में भूतों का उचित उपचार, [[ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत ]] में इन्फिनिटीज़ को रद्द करना, [[अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय]] पर विटन का काम, और मिरर समरूपता (स्ट्रिंग) के लिए हाल के अनुप्रयोग शामिल हैं। लिखित)।
+ग्रासमैन-मूल्यवान निर्देशांक की भौतिक व्याख्या बहस का विषय है; सुपरसिमेट्री के लिए स्पष्ट प्रायोगिक खोजों ने कोई सकारात्मक परिणाम नहीं दिया है। चूंकि, ग्रासमैन चरों का उपयोग कई महत्वपूर्ण गणितीय परिणामों के अद्भुत सरलीकरण की अनुमति देता है। इसमें अन्य बातों के अलावा, कार्यात्मक इंटीग्रल की एक कॉम्पैक्ट परिभाषा, बीआरएसटी क्वांटिज़ेशन में भूतों का उचित उपचार, [[ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत |क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में इन्फिनिटीज़ को रद्द करना, [[अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय]] पर विटन का काम, और समरूपता को प्रतिबिंबित करने के लिए अधिकांशतः अनुप्रयोग होते हैं।
-ग्रासमैन-मूल्यवान निर्देशांकों के उपयोग ने [[supermathematics]] के क्षेत्र को जन्म दिया है, जिसमें ज्यामिति के बड़े हिस्से को सुपर-समकक्षों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें अधिकांश रिमेंनियन ज्यामिति और [[झूठ समूह]]ों के अधिकांश सिद्धांत और [[झूठ बीजगणित]] (जैसे सुपरलेजेब्रस, आदि) शामिल हैं। ।) हालांकि, मुद्दे बने हुए हैं, जिसमें [[डॉ कहलमज गर्भाशय]] के सुपरमैनफोल्ड्स के उचित विस्तार शामिल हैं।
+ग्रासमैन-मूल्यवान निर्देशांकों के उपयोग ने [[supermathematics|सुपरमैथमैटिक्स]] के क्षेत्र को जन्म दिया है, जिसमें ज्यामिति के बड़े हिस्से को सुपर-समकक्षों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें अधिकांश रिमेंनियन ज्यामिति और [[झूठ समूह]] के अधिकांश सिद्धांत और [[झूठ बीजगणित]] (जैसे सुपरलेजेब्रस, आदि) अधिकांशतः हैं। ।) हालांकि, मुद्दे बने हुए हैं, जिसमें [[डॉ कहलमज गर्भाशय]] के सुपरमैनफोल्ड्स के उचित विस्तार अधिकांशतः हैं।
 == परिभाषा ==
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 हालांकि सुपरमनीफोल्ड गैर-अनुवर्ती ज्यामिति के विशेष मामले हैं, लेकिन उनकी स्थानीय संरचना उन्हें मानक [[अंतर ज्यामिति]] और स्थानीय रूप से चक्राकार स्थानों के उपकरणों के साथ अध्ययन करने के लिए बेहतर बनाती है।
-आयाम का सुपरमैनीफोल्ड एम (''पी'',''क्यू'') [[algebra]] के एक [[शीफ (गणित)]] के साथ एक टोपोलॉजिकल स्पेस ''एम'' है, जिसे आमतौर पर ''ओ'' के रूप में दर्शाया जाता है।<sub>'''M'''</sub>या सी<sup>∞</sup>(एम), जो स्थानीय रूप से आइसोमोर्फिक है <math>C^\infty(\mathbb{R}^p)\otimes\Lambda^\bullet(\xi_1,\dots\xi_q)</math>, जहां बाद वाला q जनरेटर पर ग्रासमैन (बाहरी) बीजगणित है।
+आयाम का सुपरमैनीफोल्ड एम (''पी'',''क्यू'') [[algebra]] के एक [[शीफ (गणित)]] के साथ एक टोपोलॉजिकल स्पेस ''एम'' है, जिसे सामान्यतः ''ओ'' के रूप में दर्शाया जाता है।<sub>'''M'''</sub>या सी<sup>∞</sup>(एम), जो स्थानीय रूप से आइसोमोर्फिक है <math>C^\infty(\mathbb{R}^p)\otimes\Lambda^\bullet(\xi_1,\dots\xi_q)</math>, जहां बाद वाला q जनरेटर पर ग्रासमैन (बाहरी) बीजगणित है।
 आयाम (1,1) के एक सुपरमैनिफोल्ड 'एम' को कभी-कभी [[सुपर-रीमैन सतह]] कहा जाता है।

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