ग्रासमैन संख्या

गणितीय भौतिकी में, हरमन ग्रासमैन के नाम पर ग्रासमान संख्या (जिसे एंटीकम्यूटिंग संख्या या सुपरसंख्या भी कहा जाता है), जटिल संख्याओं पर बाहरी बीजगणित का तत्व है। आयामी बीजगणित के विशेष स्थिति को दोहरी संख्या के रूप में जाना जाता है। ग्रासमैन संख्याों ने भौतिक विज्ञान में प्रारंभिक उपयोग देखा, जो फर्मीओनिक क्षेत्रों के लिए पथ अभिन्न सूत्रीकरण को व्यक्त करता है, चूंकि अब वे व्यापक रूप से सुपरस्पेस के लिए नींव के रूप में उपयोग किए जाते हैं, जिस पर सुपरसिमेट्री का निर्माण किया जाता है।

अनौपचारिक चर्चा

ग्रासमैन संख्याएं विरोधी आने वाले तत्वों या वस्तुओं द्वारा उत्पन्न होती हैं। एंटी-कम्यूटिंग वस्तुओं का विचार गणित के कई क्षेत्रों में उत्पन्न होता है: वे सामान्यतः अंतर ज्यामिति में देखे जाते हैं, जहां डिफरेंशियल फॉर्म एंटी-कम्यूटिंग होते हैं। विभेदक रूपों को सामान्यतः मैनिफोल्ड डेरिवेटिव के रूप में परिभाषित किया जाता है; चूँकि, कोई उस स्थिति पर विचार कर सकता है जहाँ कोई किसी भी अंतर्निहित मैनिफोल्ड के अस्तित्व को भूल जाता है या अनदेखा कर देता है, और यह भूल जाता है या अनदेखा कर देता है कि रूपों को डेरिवेटिव के रूप में परिभाषित किया गया था, और इसके अतिरिक्त, केवल ऐसी स्थिति पर विचार करें जहाँ किसी के पास ऐसी वस्तुएँ हों जो विरोधी हों, और कोई अन्य पूर्व-परिभाषित या पूर्व-अनुमानित गुण नहीं हैं। ऐसी वस्तुएं एक बीजगणित और विशेष रूप से ग्रासमैन बीजगणित या बाहरी बीजगणित बनाती हैं।

ग्रासमान संख्याएं उस बीजगणित के तत्व हैं। "संख्या" की अपील इस तथ्य से उचित है कि वे "साधारण" संख्याओं के विपरीत व्यवहार नहीं करते हैं: उन्हें जोड़ा जा सकता है, गुणा किया जा सकता है और विभाजित किया जा सकता है: वे लगभग एक क्षेत्र (गणित) की तरह व्यवहार करते हैं। अधिक किया जा सकता है: ग्रासमान संख्याओं के बहुपदों पर विचार किया जा सकता है, जिससे होलोमॉर्फिक फलन के विचार की ओर अग्रसर होता है। कोई ऐसे कार्यों के डेरिवेटिव ले सकता है, और फिर एंटी-डेरिवेटिव्स पर भी विचार कर सकता है। इन विचारों में से प्रत्येक को ध्यान से परिभाषित किया जा सकता है, और सामान्य गणित से समान अवधारणाओं के लिए यथोचित रूप से मेल खाता है। सादृश्य वहाँ नहीं रुकता: किसी के पास सुपरमैथमैटिक्स की एक पूरी शाखा होती है, जहाँ यूक्लिडियन स्पेस का एनालॉग सुपरस्पेस है, मैनिफोल्ड का एनालॉग सुपरमैनिफ़ोल्ड है, लाइ बीजगणित का एनालॉग लाइ सुपरएलजेब्रा है और इसी तरह। ग्रासमैन संख्याएं अंतर्निहित निर्माण हैं जो यह सब संभव बनाती हैं।

बेशक, कोई भी किसी अन्य क्षेत्र, या यहां तक ​​कि रिंग (गणित) के लिए इसी तरह के कार्यक्रम का अनुसरण कर सकता है, और यह वास्तव में व्यापक रूप से और सामान्यतः गणित में किया जाता है। चूंकि, सुपरमैथमैटिक्स भौतिकी में विशेष महत्व रखता है, क्योंकि एंटी-कम्यूटिंग व्यवहार को फर्मों के क्वांटम-मैकेनिकल व्यवहार के साथ दृढ़ता से पहचाना जा सकता है: पाउली अपवर्जन सिद्धांत का एंटी-कम्यूटेशन है। इस प्रकार, ग्रासमान संख्याओं और सुपरमैथमैटिक्स का अध्ययन, सामान्य रूप से, भौतिकी में उनकी उपयोगिता द्वारा दृढ़ता से संचालित होता है।

विशेष रूप से, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, या अधिक संकीर्ण रूप से, दूसरा परिमाणीकरण, सीढ़ी ऑपरेटरों के साथ काम करता है जो बहु-कण क्वांटम राज्य बनाते हैं। फ़र्मियन्स के लिए सीढ़ी संचालक क्षेत्र क्वांटा बनाते हैं जिसमें आवश्यक रूप से एंटी-सिमेट्रिक तरंग क्रिया होने चाहिए, क्योंकि यह पाउली अपवर्जन सिद्धांत द्वारा विवश है। इस स्थिति में, ग्रासमान संख्या तत्काल और सीधे तरंग समारोह से मेल खाती है जिसमें कुछ (सामान्यतः अनिश्चित) संख्याएं होती हैं।

जब फ़र्मियों की संख्या निश्चित और परिमित होती है, तो स्पिन समूह के माध्यम से एंटीकोमुटेशन संबंधों और स्पिनरों के बीच स्पष्ट संबंध दिया जाता है। इस समूह को क्लिफोर्ड बीजगणित में इकाई-लंबाई वाले वैक्टर के सबसेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, और स्वाभाविक रूप से एंटी-कम्यूटिंग वेइल स्पिनर्स में कारक होता है। विरोधी रूपांतरण और स्पिनर्स के रूप में अभिव्यक्ति स्पिन समूह के लिए स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है। संक्षेप में, ग्रासमैन संख्याों को स्पिन से उत्पन्न होने वाले रिश्तों को छोड़ने और केवल एंटी-कम्यूटेशन के कारण रिश्तों को रखने के बारे में सोचा जा सकता है।

सामान्य विवरण और गुण

ग्रासमैन संख्याएँ व्यक्तिगत तत्व या बाहरी बीजगणित जनरेटर (गणित) के बिंदु हैं जो n ग्रासमैन चर या ग्रासमैन दिशाओं या अत्यधिक प्रभावकारी $\{\theta _{i}\}$, के एक सेट द्वारा उत्पन्न होते हैं, जिसमें n संभवतः अनंत है। ग्रासमान चर शब्द का उपयोग ऐतिहासिक है; वे चर नहीं हैं, किन्तु; उन्हें इकाई बीजगणित के आधार तत्वों के रूप में उत्तम समझा जाता है। शब्दावली इस तथ्य से आती है कि प्राथमिक उपयोग अभिन्न को परिभाषित करना है, और यह कि एकीकरण का चर ग्रासमैन-मूल्यवान है, और इस प्रकार, भाषा के दुरुपयोग से, ग्रासमैन चर कहा जाता है। इसी तरह, दिशा की धारणा सुपरस्पेस की धारणा से आती है, जहां सामान्य यूक्लिडियन स्थान को अतिरिक्त ग्रासमैन-मूल्यवान दिशाओं के साथ विस्तारित किया जाता है। आवेश का पदनाम आवेश (भौतिकी) की धारणा से आता है, जो भौतिक समरूपता के जनक (नोएदर के प्रमेय के माध्यम से) के अनुरूप है। कथित समरूपता यह है कि एकल ग्रासमैन चर द्वारा गुणन $\mathbb {Z} _{2}$ फर्मीऑन और बोसोन के बीच ग्रेडिंग को स्वैप करता है; इस पर नीचे और अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

ग्रासमैन चर सदिश स्थान (आयाम n के) के आधार वैक्टर है। वे क्षेत्र पर बीजगणित बनाते हैं, सामान्यतः क्षेत्र को जटिल संख्या के रूप में लिया जाता है, चूंकि कोई अन्य क्षेत्रों पर विचार कर सकता है, जैसे कि वास्तविक। बीजगणित इकाई बीजगणित है, और जेनरेटर विरोधी यात्रा कर रहे हैं:

$\theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}$

के बाद से $\theta _{i}$ जटिल संख्याओं पर सदिश स्थान के तत्व हैं, परिभाषा के अनुसार, वे जटिल संख्याओं के साथ आवागमन करते हैं। यानी कॉम्प्लेक्स के लिए x, किसी के पास

$\theta _{i}x=x\theta _{i}.$

जेनरेटर के वर्ग लुप्त हो जाते हैं:

$(\theta _{i})^{2}=0,$ तब से $\theta _{i}\theta _{i}=-\theta _{i}\theta _{i}.$

दूसरे शब्दों में, ग्रासमैन वैरिएबल शून्य का गैर-शून्य वर्गमूल है।

औपचारिक परिभाषा

औपचारिक रूप से, V को $\theta _{i},i=1,\ldots ,n$ के आधार पर एक n-आयामी जटिल सदिश स्थान होने दें। ग्रासमैन बीजगणित जिसका ग्रासमैन चर $\theta _{i},i=1,\ldots ,n$ हैं, को V के बाहरी बीजगणित के रूप में परिभाषित किया गया है

$\Lambda (V)=\mathbb {C} \oplus V\oplus \left(V\wedge V\right)\oplus \left(V\wedge V\wedge V\right)\oplus \cdots \oplus \underbrace {\left(V\wedge V\wedge \cdots \wedge V\right)} _{n}\equiv \mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}V,$

जहाँ $\wedge$ बाहरी उत्पाद है और $\oplus$ प्रत्यक्ष योग है। इस बीजगणित के अलग-अलग तत्वों को ग्रासमान संख्या कहा जाता है। परिभाषा स्थापित होने के बाद ग्रासमैन संख्या लिखते समय वेज प्रतीक $\wedge$ वेज को छोड़ना मानक है। एक सामान्य ग्रासमान संख्या के रूप में लिखा जा सकता है

$z=c_{0}+\sum _{k=1}^{n}\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},$

जहाँ $(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k})$ सख्ती से बढ़ रहे हैं k-टुपल्स $1\leq i_{j}\leq n,1\leq j\leq k$, और यह $c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}$ रैंक के जटिल, पूरी तरह से एंटीसिमेट्रिक टेंसर k हैं. फिर से, $\theta _{i}$, और यह $$