समूह विस्तार

गणित में, समूह विस्तार एक विशेष सामान्य उपसमूह और भागफल समूह के संदर्भ में समूह (गणित) का वर्णन करने का सामान्य साधन है। यदि $Q$ और $N$ दो समूह हैं तो $G$, $Q$ द्वारा $N$ का समूह विस्तार है यदि एक संक्षिप्त $1\to N\;{\overset {\iota }{\to }}\;G\;{\overset {\pi }{\to }}\;Q\to 1$ अनुक्रम है।

यदि $G$, $N$ द्वारा $Q$ का विस्तार है, तो $G$ एक समूह है $\iota (N)$, $G$ का एक सामान्य उपसमूह है और भागफल समूह $G/\iota (N)$ समूह $Q$ के लिए समरूप है। विस्तार समस्या के संदर्भ में समूह विस्तार उत्पन्न होते हैं जहां समूह $Q$ और $N$ ज्ञात हैं और $G$ के गुण निर्धारित किए जाने हैं। ध्यान दें कि सूत्र के रूप में "$G$ द्वारा $N$ का विस्तार है कुछ समूह के द्वारा $Q$" का भी प्रयोग किया जाता है। चूँकि किसी भी परिमित समूह $G$ में साधारण फलन समूह $G/N$ के साथ एक अधिकतम सामान्य उपसमूह $N$ होता है, सभी परिमित समूहों को परिमित सरल समूहों के साथ विस्तार की एक श्रृंखला के रूप में बनाया जा सकता है। एक समूह विस्तार को केंद्रीय विस्तार कहा जाता है यदि उपसमूह $N$, $G$ के केंद्र में स्थित है।

सामान्य रूप में विस्तार

यदि किसी को विनिमेय समूह होने के लिए $G$ और $Q$ की आवश्यकता होती है, तो दिए गए विनिमेय समूह $N$ द्वारा $Q$ के विस्तार के समरूपी वर्गों का समुच्चय वास्तव में एक समूह है जो $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)$ के समरूप है।

विस्तार प्रकार्यक समूह विस्तार के कई अन्य सामान्य वर्ग ज्ञात हैं लेकिन कोई सिद्धांत सम्मिलित नहीं है जो एक समय में सभी संभावित विस्तार को हल करता हो। समूह विस्तार को सामान्यतः एक कठिन समस्या के रूप में वर्णित किया जाता है इसे विस्तार समस्या कहा जाता है। कुछ उदाहरणों पर विचार करने के लिए, यदि $G=K\times H$, तब $G$ दोनों का विस्तार है $H$ और $K$ अधिक सामान्यतः यदि $G$, $K$ और $H$ का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है जिसे $G=K\rtimes H$ के रूप में लिखा जाता है, तो $G$, $H$ का विस्तार है इसलिए समूह विस्तार, उत्पाद विस्तार के अन्य उदाहरण प्रदान करते हैं।

विस्तार समस्या

समूह $G$ किस समूह का विस्तार है इसका प्रश्न $H$ द्वारा $N$ को विस्तार समस्या कहा जाता है और उन्नीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध से इसका गहन अध्ययन किया गया है।

इसकी प्रेरणा के रूप में, विचार करें कि परिमित समूह की संरचना श्रृंखला उपसमूह $\{A_{i}\}$ का एक परिमित अनुक्रम है जहां प्रत्येक $\{A_{i+1}\}$ का विस्तार $\{A_{i}\}$है कुछ साधारण समूह द्वारा परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण हमें परिमित सरल समूहों की श्रृंखला प्रदान करता है इसलिए विस्तार की समस्या का हल हमें सामान्य रूप से सभी परिमित समूहों के निर्माण और वर्गीकरण के लिए पर्याप्त जानकारी प्रदान कर सकता है।

विस्तार का वर्गीकरण

गणितीय वस्तुओं के संदर्भ में ऐसे सभी विस्तारों को व्यक्त करके K या H के सभी विस्तारों को वर्गीकृत करने के लिए विस्तार समस्या को हल करने, समझने और गणना करने में आसान है। सामान्यतः यह समस्या बहुत कठिन है और सबसे उपयोगी परिणाम विस्तार को वर्गीकृत करते हैं जो कुछ अतिरिक्त शर्तों को पूरा करते हैं। यह जानना महत्वपूर्ण है कि दो विस्तार कब समतुल्य या समनुरूप होते हैं।

माना कि विस्तार

आकृति 1

$1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1$

और

$1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1$

समतुल्य या समनुरूप हैं यदि एक समरूप समूह $T:G\to G'$ उपस्थित है जो चित्र 1 के आरेख को क्रमविनिमेय बनाता है। वास्तव में आरेख की कल्पित क्रमविनिमेयता के कारण एक समूह समरूपी होना पर्याप्त है, मानचित्र $T$ को लघु पाँच लेम्मा सिद्धांत द्वारा एक समरूपता होने के लिए प्रणोदित (गणित) किया जाता है।

चेतावनी

ऐसा हो सकता है कि विस्तार $1\to K\to G\to H\to 1$ और $1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1$ असमान हैं लेकिन G और G' समूहों के रूप में समरूप हैं। उदाहरण के लिए, $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ द्वारा क्लेन चार-समूह के $8$ असमान विस्तार हैं लेकिन समूह समरूप हैं, और अनुक्रम $8$ के केवल चार समूहों में क्रम $2$ के एक सामान्य उपसमूह होते हैं जिसमें क्लेन चार-समूह के भागफल समूह समरूप होते हैं।

तुच्छ विस्तार

तुच्छ विस्तार एक समूह विस्तार है:

$1\to K\to G\to H\to 1$

जो निम्न विस्तार के बराबर होता है:

$1\to K\to K\times H\to H\to 1$

जहां बाएँ और दाएँ तीर क्रमशः $$