हाइपरइंटीजर

गैर-मानक विश्लेषण में, हाइपरइंटीजर n एक अतिवास्तविक संख्या है जो अपने स्वयं के पूर्णांक भाग के बराबर है। हाइपरइंटीजर या तो परिमित या अनंत हो सकता है। परिमित हाइपरइंटीजर एक साधारण पूर्णांक है। अतिवास्तविक के अतिशक्ति निर्माण में अनुक्रम (1, 2, 3, ...) के वर्ग द्वारा अनंत हाइपरइंटीजर का एक उदाहरण दिया गया है।

चर्चा

मानक पूर्णांक भाग फलन (गणित):

$\lfloor x\rfloor$

सभी वास्तविक संख्या x के लिए परिभाषित किया गया है और x से अधिक नहीं होने वाले सबसे बड़े पूर्णांक के बराबर है। गैर-मानक विश्लेषण के हस्तांतरण सिद्धांत द्वारा, एक प्राकृतिक विस्तार उपस्थित है:

${}^{*}\!\lfloor \,\cdot \,\rfloor$

सभी अतिवास्तविक x के लिए परिभाषित किया गया है, और यदि $x={}^{*}\!\lfloor x\rfloor$ है तो हम कहते हैं कि x एक हाइपरइंटीजर है। इस प्रकार हाइपरइंटीजर अतिवास्तविक पर पूर्णांक भाग फलन की छवि (गणित) हैं।

आंतरिक समुच्चय

सभी हाइपरइंटीजर का समुच्चय $^{*}\mathbb {Z}$ अतिवास्तविक लाइन $^{*}\mathbb {R}$ का एक आंतरिक समुच्चय है। सभी परिमित हाइपरइंटीजर का समुच्चय (यानी। $\mathbb {Z}$ स्वयं) एक आंतरिक उपसमुच्चय नहीं है। पूरक के तत्व $^{*}\mathbb {Z} \setminus \mathbb {Z}$ लेखक के आधार पर, अमानक, असीमित, या अनंत हाइपरइंटीजर कहलाते हैं। एक अनंत हाइपरइंटीजर का व्युत्क्रम हमेशा अतिसूक्ष्म होता है।

गैर-नकारात्मक हाइपरिन्टेगर को कभी-कभी अतिप्राकृतिक संख्या कहा जाता है। इसी तरह की टिप्पणी समुच्चय $\mathbb {N}$ और $^{*}\mathbb {N}$ पर लागू होती है। ध्यान दें कि उत्तरार्द्ध स्कोलेम के अर्थ में अंकगणित का एक गैर-मानक मॉडल देता है।

संदर्भ

• Howard Jerome Keisler: Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach. First edition 1976; 2nd edition 1986. This book is now out of print. The publisher has reverted the copyright to the author, who has made available the 2nd edition in .pdf format available for downloading at http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html