मॉडल सिद्धांत

गणितीय तर्क में, मॉडल सिद्धांत एक औपचारिक सिद्धांतों संरचना (गणितीय तर्क) के बारे में प्रमाणों को व्यक्त करने वाली औपचारिक भाषा में सिद्धांत (गणितीय तर्क) (वाक्य का एक संग्रह (गणितीय तर्क) और उनके मॉडल (उन संरचनाओं में जिनमें सिद्धांत के प्रमाण होते हैं) के बीच संबंधों का अध्ययन है। जांच किए गए पहलुओं में एक सिद्धांत के मॉडलों की संख्या और आकार, एक दूसरे के साथ विभिन्न मॉडलों के संबंध और औपचारिक भाषा के साथ उनकी बातचीत सम्मिलित है। विशेष रूप से, मॉडल सिद्धांतकार उन समुच्चयों की भी जांच करते हैं जिन्हें एक सिद्धांत के एक मॉडल में परिभाषित किया जा सकता हैं, और ऐसे निश्चित समुच्चय का एक दूसरे से संबंध करते हैं।

एक अलग अनुशासन के रूप में, मॉडल सिद्धांत वापस अल्फ्रेड टार्स्की के पास जाता है, जिन्होंने पहली बार 1954 में प्रकाशन में "मॉडल का सिद्धांत" शब्द का प्रयोग किया था। 1970 के दशक के बाद से, इस विषय को सहारों शेलाह के स्थिर सिद्धांत द्वारा निर्णायक रूप से आकार दिया गया है।

गणितीय तर्क के अन्य क्षेत्रों जैसे प्रमाण सिद्धांत की तुलना में, मॉडल सिद्धांत प्रायः औपचारिक कठोरता से कम चिंतित होता है और आत्मा में चिरसम्मत गणित के करीब होता है।

इसने टिप्पणी को प्रेरित किया है कि "यदि प्रमाण सिद्धांत पवित्र के बारे में है, तो आदर्श सिद्धांत अपवित्र के बारे में है"। बीजगणितीय ज्यामिति और डायोफैंटाइन ज्यामिति के मॉडल सिद्धांत के अनुप्रयोग चिरसम्मत गणित के साथ इस निकटता को दर्शाते हैं, क्योंकि वे प्रायः बीजगणितीय और मॉडल-सैद्धांतिक परिणामों और तकनीकों का एकीकरण सम्मिलित करते हैं।

मॉडल सिद्धांत के क्षेत्र में सबसे प्रमुख विद्वतापूर्ण संगठन प्रतीकात्मक तर्क के लिए एसोसिएशन है।

अवलोकन

यह पृष्ठ अनंत संरचनाओं के अंतिम पहले क्रम के तर्क मॉडल सिद्धांत पर केंद्रित है।

विषय के इतिहास में उतार-चढ़ाव वाले मॉडल के भीतर निश्चित समुच्चयों के वर्ग के विपरीत एक सिद्धांत के मॉडल के वर्ग पर सापेक्ष जोर दिया गया है, और दो दिशाओं को क्रमशः 1973 और 1997 से सारगर्भित विशेषताओं द्वारा संक्षेपित किया गया है:

मॉडल सिद्धांत = सार्वभौमिक बीजगणित + तर्क

जहां सार्वभौमिक बीजगणित गणितीय संरचनाओं और तार्किक सिद्धांतों के लिए तर्क के लिए स्थिर है; और

मॉडल सिद्धांत = बीजगणितीय ज्यामिति - क्षेत्र (गणित) एस।

जहां तार्किक सूत्र परिभाषित करने योग्य हैं, एक क्षेत्र में किस्मों के लिए कौन से समीकरण हैं। फिर भी, मॉडलों की कक्षाओं और उनमें परिभाषित किए जाने वाले समुच्चयों की परस्पर क्रिया पूरे इतिहास में मॉडल सिद्धांत के विकास के लिए महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, जबकि स्थिरता को मूल रूप से किसी दिए गए प्रमुखता में उनके मॉडलों की संख्या के आधार पर सिद्धांतों को वर्गीकृत करने के लिए पेश किया गया था, स्थिरता सिद्धांत परिभाषित निश्चित समुच्चयों की ज्यामिति को समझने के लिए महत्वपूर्ण प्रमाणित हुआ।

प्रथम-क्रम मॉडल सिद्धांत की मौलिक धारणाएँ

प्रथम-क्रम तर्क

Main article: पहले क्रम का तर्क

तर्क प्रतीकों की तालिका के माध्यम से R(f(x,y),z) या y = x + 1 जैसे परमाणु सूत्र से एक प्रथम-क्रम सूत्र बनाया गया है। $\neg ,\land ,\lor ,\rightarrow$ और परिमाणकों का उपसर्ग $\forall v$ या $\exists v$. एक वाक्य एक सूत्र है जिसमें एक चर की प्रत्येक घटना संबंधित परिमाणक के दायरे में होती है। सूत्रों के उदाहरण हैं φ (या φ(x) इस तथ्य को चिह्नित करने के लिए कि अधिक से अधिक x φ में एक अनबाउंड चर है) और ψ को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

${\begin{array}{lcl}\varphi &=&\forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1,:\\\psi &=&\forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor (v=x))\land x\neq 0\land x\neq 1.\end{array}}$