मॉडल सिद्धांत

This article is about the mathematical discipline. For the informal notion in other parts of mathematics and science, see Mathematical model.

गणितीय तर्क में, मॉडल सिद्धांत एक औपचारिक सिद्धांतों संरचना (गणितीय तर्क) के बारे में बयानों को व्यक्त करने वाली औपचारिक भाषा में सिद्धांत (गणितीय तर्क) (वाक्य का एक संग्रह (गणितीय तर्क)और उनके मॉडल (उन संरचनाओं में जिनमें सिद्धांत के बयान होते हैं) के बीच संबंधों का अध्ययन है। जांच किए गए पहलुओं में एक सिद्धांत के मॉडलों की संख्या और आकार, एक दूसरे के साथ विभिन्न मॉडलों के संबंध और औपचारिक भाषा के साथ उनकी बातचीत शामिल है। विशेष रूप से, मॉडल सिद्धांतकार उन सेटों की भी जांच करते हैं जिन्हें एक सिद्धांत के एक मॉडल में परिभाषित किया जा सकता हैं, और ऐसे निश्चित सेटों का एक दूसरे से संबंध करते हैं। एक अलग अनुशासन के रूप में, मॉडल सिद्धांत वापस अल्फ्रेड टार्स्की के पास जाता है, जिन्होंने पहली बार 1954 में प्रकाशन में "मॉडल का सिद्धांत" शब्द का प्रयोग किया था। 1970 के दशक के बाद से, इस विषय को सहारों शेलाह के स्थिर सिद्धांत द्वारा निर्णायक रूप से आकार दिया गया है।

गणितीय तर्क के अन्य क्षेत्रों जैसे प्रमाण सिद्धांत की तुलना में, मॉडल सिद्धांत अक्सर औपचारिक कठोरता से कम चिंतित होता है और आत्मा में शास्त्रीय गणित के करीब होता है। इसने टिप्पणी को प्रेरित किया है कि "यदि सबूत सिद्धांत पवित्र के बारे में है, तो आदर्श सिद्धांत अपवित्र के बारे में है"। बीजगणितीय ज्यामिति और डायोफैंटाइन ज्यामिति के मॉडल सिद्धांत के अनुप्रयोग शास्त्रीय गणित के साथ इस निकटता को दर्शाते हैं, क्योंकि वे अक्सर बीजगणितीय और मॉडल-सैद्धांतिक परिणामों और तकनीकों का एकीकरण शामिल करते हैं।

मॉडल सिद्धांत के क्षेत्र में सबसे प्रमुख विद्वतापूर्ण संगठन प्रतीकात्मक तर्क के लिए एसोसिएशन है।

सिंहावलोकन

यह पृष्ठ अनंत संरचनाओं के अंतिम पहले क्रम के तर्क मॉडल सिद्धांत पर केंद्रित है।

विषय के इतिहास में उतार-चढ़ाव वाले मॉडल के भीतर निश्चित सेटों के वर्ग के विपरीत एक सिद्धांत के मॉडल के वर्ग पर सापेक्ष जोर दिया गया है, और दो दिशाओं को क्रमशः 1973 और 1997 से सारगर्भित विशेषताओं द्वारा संक्षेपित किया गया है:

मॉडल सिद्धांत = सार्वभौमिक बीजगणित + तर्क

जहां सार्वभौमिक बीजगणित गणितीय संरचनाओं और तार्किक सिद्धांतों के लिए तर्क के लिए खड़ा है; और

मॉडल सिद्धांत = बीजगणितीय ज्यामिति - क्षेत्र (गणित) एस।

जहां तार्किक सूत्र परिभाषित करने योग्य हैं, एक क्षेत्र में किस्मों के लिए कौन से समीकरण हैं। फिर भी, मॉडलों की कक्षाओं और उनमें परिभाषित किए जाने वाले सेटों की परस्पर क्रिया पूरे इतिहास में मॉडल सिद्धांत के विकास के लिए महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, जबकि स्थिरता को मूल रूप से किसी दिए गए प्रमुखता में उनके मॉडलों की संख्या के आधार पर सिद्धांतों को वर्गीकृत करने के लिए पेश किया गया था, स्थिरता सिद्धांत परिभाषित निश्चित सेटों की ज्यामिति को समझने के लिए महत्वपूर्ण साबित हुआ।

प्रथम-क्रम मॉडल सिद्धांत की मौलिक धारणाएँ

प्रथम-क्रम तर्क

Main article: First-order logic

तर्क प्रतीकों की तालिका के माध्यम से R(f(x,y),z) या y = x + 1 जैसे परमाणु सूत्रों से एक प्रथम-क्रम सूत्र बनाया गया है। $\neg ,\land ,\lor ,\rightarrow$ और परिमाणकों का उपसर्ग $\forall v$ या $\exists v$. एक वाक्य एक सूत्र है जिसमें एक चर की प्रत्येक घटना संबंधित परिमाणक के दायरे में होती है। सूत्रों के उदाहरण हैं φ (या φ(x) इस तथ्य को चिह्नित करने के लिए कि अधिक से अधिक x φ में एक अनबाउंड चर है) और ψ को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

${\begin{array}{lcl}\varphi &=&\forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1,:\\\psi &=&\forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor (v=x))\land x\neq 0\land x\neq 1.\end{array}}$

(ध्यान दें कि समानता के प्रतीक का यहाँ दोहरा अर्थ है।) यह सहज रूप से स्पष्ट है कि ऐसे सूत्रों को गणितीय अर्थ में कैसे अनुवादित किया जाए। σ में_smr-संरचना में ${\mathcal {N}}$ प्राकृतिक संख्याओं के उदाहरण के लिए, एक तत्व n सूत्र φ को संतुष्ट करता है और केवल यदि n एक अभाज्य संख्या है तो सूत्र ψ समान रूप से इर्रेड्यूसिबल तत्व को परिभाषित करता है।संतुष्टि संबंध के लिए तर्स्की ने एक कठोर परिभाषा दी, जिसे कभी-कभी "तर्स्की की सत्य की परिभाषा (टी-स्कीमा)" भी कहा जाता है $\models$, ताकि कोई आसानी से साबित कर सके:

${\mathcal {N}}\models \varphi (n)\iff n$ एक अभाज्य संख्या है।

${\mathcal {N}}\models \psi (n)\iff n$ अलघुकरणीय है।

एक समुच्चय $T$ वाक्यों की संख्या को एक (प्रथम-क्रम) सिद्धांत (गणितीय तर्क) कहा जाता है, जो समुच्चय में वाक्यों को अपने सिद्धांतों के रूप में लेता है। यदि कोई मॉडल है तो एक सिद्धांत संतोषजनक है ${\mathcal {M}}\models T$, यानी एक संरचना (उपयुक्त हस्ताक्षर की) जो सेट में सभी वाक्यों को पूरा करती है $T$. एक पूर्ण सिद्धांत एक ऐसा सिद्धांत है जिसमें प्रत्येक वाक्य (गणितीय तर्क) या उसका निषेध शामिल है। किसी संरचना द्वारा संतुष्ट सभी वाक्यों के पूर्ण सिद्धांत को उस संरचना का सिद्धांत भी कहा जाता है।

यह गोडेल की पूर्णता प्रमेय (उनके अपूर्णता प्रमेय के साथ भ्रमित नहीं होना) का एक परिणाम है कि एक सिद्धांत का एक मॉडल है और केवल अगर यह सुसंगत है, अर्थात सिद्धांत द्वारा कोई विरोधाभास साबित नहीं होता है। इसलिए, मॉडल सिद्धांतकार अक्सर "संतोषजनक" के पर्याय के रूप में "संगत" का उपयोग करते हैं।

बुनियादी मॉडल-सैद्धांतिक अवधारणाएं

एक हस्ताक्षर (तर्क) या भाषा गैर-तार्किक प्रतीकों का एक सेट है , जैसे कि प्रत्येक प्रतीक या तो एक स्थिर प्रतीक है, या निर्दिष्ट arity योग के साथ एक फ़ंक्शन या संबंध प्रतीक है। ध्यान दें कि कुछ साहित्य में, निरंतर प्रतीकों को शून्य एरिटी के साथ फ़ंक्शन प्रतीकों के रूप में माना जाता है, और इसलिए उन्हें छोड़ दिया जाता है। संरचना (गणितीय तर्क) एक समुच्चय है $M$ संबंधों और कार्यों के रूप में हस्ताक्षर के प्रत्येक प्रतीक की व्याख्या के साथ $M$ (एक संरचना की दूसरी संरचना की व्याख्या (मॉडल सिद्धांत) की औपचारिक धारणा के साथ भ्रमित नहीं होना)।

उदाहरण: आदेशित छल्लों के लिए एक सामान्य हस्ताक्षर है $\sigma _{or}=\{0,1,+,\times ,-,<\}$, कहाँ $0$ और $1$ 0-एरी फ़ंक्शन प्रतीक हैं (जिन्हें निरंतर प्रतीकों के रूप में भी जाना जाता है), $+$ और $\times$ बाइनरी (= 2-एरी) फ़ंक्शन प्रतीक हैं, $-$ एक यूनरी (= 1-एरी) फ़ंक्शन प्रतीक है, और $<$ एक द्विआधारी संबंध प्रतीक है। फिर, जब इन प्रतीकों की व्याख्या उनके सामान्य अर्थ के अनुरूप की जाती है $\mathbb {Q}$ (ताकि उदा. $+$