फ्री एबेलियन ग्रुप

Not to be confused with मुक्त समूह.

गणित में, फ्री एबेलियन समूह आधारक के रूप में एबेलियन समूह होता है। एबेलियन समूह का मतलब है, कि अतिरिक्त ऑपरेशन के साथ स्थित करना जो कि साहचर्य, क्रमविनिमेय और व्युत्क्रमणीय करना होता है। एक आधारक, जिसे एक अभिन्न आधारक भी कहा जाता है, एक उपसमुच्चय है, जैसे कि समूह के प्रत्येक तत्व को विशिष्ट रूप से कई आधारकतत्त्व के पूर्णांक रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, द्वि-आयामी पूर्णांक लैटिस फ्री एबेलियन समूह बनाती है, इसके संचालन के रूप में समन्वय के साथ, और इसके आधारक के रूप में दो बिंदु (1,0) और (0,1) के साथ बनाती है। फ्री एबेलियन समूहों में ऐसे गुण होते हैं जो उन्हें सदिश स्थानों के समान बनाते हैं, और समतुल्य मुक्त कहा जा सकता है $\mathbb {Z}$- मॉड्यूल, पूर्णांकों पर मुक्त मॉड्यूल होते है । लैटिस सिद्धांत वास्तविक संख्या वेक्टर रिक्त स्थान के मुक्त एबेलियन उपसमूहो का अध्ययन करता है। बीजगणितीय टोपोलॉजी में, फ्री एबेलियन समूहों का उपयोग श्रृंखला समूहों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, और बीजगणितीय ज्यामिति में विभाजक (बीजीय ज्यामिति) को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

आधारक के रूप में फ्री एबेलियन समूह के तत्व $B$ को कई समकक्ष विधियो द्वारा वर्णित किया जा सकता है। इनमें औपचारिक योग सम्मलित होते हैं, ऊपर $B$, जो रूप के अनुसरण हैं ${\textstyle \sum a_{i}b_{i}}$ जहां प्रत्येक $a_{i}$ अशून्य पूर्णांक है, प्रत्येक के लिए $b_{i}$ एक विशिष्ट आधारक तत्व होते है, और योग में निश्चित रूप से अनेक नियम होते हैं। वैकल्पिक रूप से, एक फ्री एबेलियन समूह तत्वों को हस्ताक्षरित बहुपदीय रूप में माना जा सकता है जिसमें बहुत से तत्व सम्मलित होते हैं $B$ का, औपचारिक योग इसके गुणांक के बराबर बहुपदीय तत्व की बहुलता के साथ होता है। फ्री एबेलियन समूह के तत्व का प्रतिनिधित्व करने का एक अन्य तरीका एक फ़ंक्शन के रूप में है, B पूर्णांकों के लिए बहुत से अशून्य मानों के साथ; इस कार्यात्मक प्रतिनिधित्व के लिए, समूह संचालन कार्यों का बिंदुवार योग होता है।

प्रत्येक सेट $B$ के साथ एक मुफ्त एबेलियन समूह $B$ के आधारक के रूप में होता है। यह समूह इस अर्थ में अद्वितीय है कि समान आधारक वाले प्रत्येक दो फ्री एबेलियन समूह तुल्याकारी हैं। इसके व्यक्तिगत तत्वों का वर्णन करके इसका निर्माण करने के अतिरिक्त, आधारक के साथ एक फ्री एबेलियन समूह $B$ को पूर्णांकों के योज्य समूह की प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के रूप में बनाया जा सकता है, जिसमें प्रति सदस्य एक प्रति के साथ $B$. का वैकल्पिक रूप से, फ्री एबेलियन समूह आधारक के रूप में $B$ तत्वों के साथ एक समूह की प्रस्तुति द्वारा वर्णित किया जा सकता है, $B$ इसके जनरेटर के रूप में और इसके संबंधकों के रूप में सदस्यों के योग े के कम्यूटेटर के साथ, फ्री एबेलियन समूह के एक एबेलियन समूह की रैंक एक आधारक की प्रमुखता है; एक ही समूह के लिए प्रत्येकदो आधारक एक ही रैंक देते हैं, और एक ही रैंक के साथ प्रत्येकदो मुक्त एबेलियन समूह आइसोमोर्फिक होते हैं। फ्री एबेलियन समूह का प्रत्येक उपसमूह स्वयं मुक्त एबेलियन समूह होता है; यह तथ्य एक सामान्य एबेलियन समूह को "संबंधों" द्वारा एक मुक्त एबेलियन समूह भागफल समूह के रूप में, या मुक्त एबेलियन समूहों के बीच एक इंजेक्टिव होमोमोर्फिज्म के कोकर्नेल के रूप में समझने की अनुमति देता है। केवल मुफ्त एबेलियन समूह वो मुक्त समूह हैं, जिसमे तुच्छ समूह और अनंत चक्रीय समूह सम्मलित होते हैं।

परिभाषा और उदाहरण

यूक्लिडियन विमान में एक नियम । किन्हीं भी दो नीले लैटिसबिंदुओं को योग ने से एक और लैटिसबिंदु बनता है; इस अतिरिक्त ऑपरेशन द्वारा गठित समूह एक फ्री एबेलियन समूह है।

फ्री एबेलियन समूह एक एबेलियन समूह है, जिसका एक आधारक है। यहाँ, एक एबेलियन समूह होने का अर्थ है कि यह एक सेट द्वारा वर्णित है $S$ इसके तत्वों और द्विआधारी संक्रिया पारंपरिक रूप से एक योगात्मक समूह के रूप में निरूपित किया जाता है $+$ चिन्ह (चूँकि यह आवश्यक नहीं है कि संख्याओं का सामान्य योग हो) जो निम्नलिखित गुणों का पालन करते हैं:

• संचालन $+$ क्रमविनिमेय और सहचारिता है, जिसका अर्थ सभी तत्वों के लिए है $x$, $y$, and $z$ of $S$, $x+y=y+x$ और $(x+y)+z=x+(y+z)$. इसलिए, जब दो या दो से अधिक तत्वों का संयोजन होता है $S$ इस सिद्धांत का उपयोग करते हुए, तत्वों का क्रम और समूहन परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
• $S$ एक तत्समक तत्व सम्मलित होते है पारंपरिक रूप से चिह्नित $0$) उस गुण के साथ जो प्रत्येक तत्व के लिए,

तत्व$x$, $x+0=0+x=x$.

• प्रत्येक तत्व $x$ में $S$ का एक प्रतिलोम तत्त्व है $-x$, जैसा कि $x+(-x)=0$.

आधारक एक उपसमुच्चय $B$ के तत्वों में से $S$ उस गुण के साथ प्रत्येक तत्व $S$ बहुत से आधारक तत्त्व को चुनकर एक विशिष्ट विधि से बनाया जा सकता है $b_{i}$ का $B$, अशून्य पूर्णांक का चयन $k_{i}$ प्रत्येक चुने हुए आधार तत्वों के लिए, और एक साथ योग ना $k_{i}$आधारक तत्त्व की प्रतियां $b_{i}$ जिसके लिए $k_{i}$ सकारात्मक है, और $-k_{i}$ की प्रतियां $-b_{i}$ प्रत्येक आधारक तत्व जिसके लिए $k_{i}$ ऋणात्मक है।। एक विशेष स्थितियों के रूप में, तत्समक तत्व सदैव इस तरह से शून्य आधारक तत्त्व के संयोजन के रूप में बनाया जा सकता है, रिक्त योग के लिए सामान्य पारम्परिक के अनुसार, और तत्समक का प्रतिनिधित्व करने वाले किसी अन्य संयोजन को खोजना संभव नहीं होना चाहिए।

पूर्णांक $\mathbb {Z}$, सामान्य योग संचालन के अनुसार, एक फ्री एबेलियन समूह बनाते हैं $\{1\}$.पूर्णांक क्रमविनिमेय और सहचारिता हैं, 0 के साथ योगात्मक पहचान के रूप में और प्रत्येक पूर्णांक के साथ एक योज्य व्युत्क्रम, इसकी अस्वीकृति है। प्रत्येक गैर-नकारात्मक $x$ का योग है $x$ कि प्रतियां  $1$, और प्रत्येक नकारात्मक पूर्णांक $x$ का योग है $-x$ प्रतियां of $-1$, तो आधारक गुण भी संतुष्ट होते है।

एक उदाहरण जहां समूह संचालन संख्याओं के सामान्य योग से भिन्न होता है, सकारात्मक परिमेय संख्याओं द्वारा दिया जाता है $\mathbb {Q} ^{+}$, जो संख्याओं पर सामान्य गुणन संक्रिया और उनके आधार पर अभाज्य संख्याओं के साथ एक मुक्त एबेलियन समूह बनाते हैं। गुणन संख्या के साथ क्रमविनिमेय और साहचर्य होते है $1$ इसकी पहचान के रूप में और साथ $1/x$ प्रत्येक धनात्मक परिमेय संख्या के व्युत्क्रम तत्व के रूप में संख्या $x$. तथ्य यह है कि अभाज्य संख्याएँ इन संख्याओं के गुणा के लिए एक आधार बनाती हैं, जो अंकगणित के मौलिक प्रमेय से अनुसरण करती हैं, जिसके अनुसार प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक को विशिष्ट रूप से कई अभाज्यों या उनके व्युत्क्रमों के उत्पाद में विशिष्ट रूप से गुणनखंडित किया जा सकता है। यदि $q=a/b$ एक धनात्मक परिमेय संख्या है जिसे सरल शब्दों में व्यक्त किया जाता है $$