आंशिक अंश अपघटन: Difference between revisions

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<math display="block">a_{ij} = \frac 1 {(k_i-j)!}\lim_{x\to x_i}\frac{d^{k_i-j}}{dx^{k_i-j}} \left((x-x_i)^{k_i} f(x)\right),</math>
<math display="block">a_{ij} = \frac 1 {(k_i-j)!}\lim_{x\to x_i}\frac{d^{k_i-j}}{dx^{k_i-j}} \left((x-x_i)^{k_i} f(x)\right),</math>
या स्थिति मामले में जब x<sub>''i''</sub> साधारण मूल है,
या स्थिति में जब x<sub>''i''</sub> साधारण मूल है,
<math display="block">a_{i1}=\frac{P(x_i)}{Q'(x_i)},</math>
<math display="block">a_{i1}=\frac{P(x_i)}{Q'(x_i)},</math>
जब
जब
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=== सामान्य परिणाम ===
=== सामान्य परिणाम ===


मान लीजिए f(x) वास्तविक संख्याओं पर कोई परिमेय फलन है। दूसरे शब्दों में, मान लीजिए कि वास्तविक बहुपद फलन p(x) और q(x) ≠ 0 मौजूद हैं, जैसे कि
मान लीजिए f(x) वास्तविक संख्याओं पर कोई परिमेय फलन है। दूसरे शब्दों में, मान लीजिए कि वास्तविक बहुपद फलन p(x) और q(x) ≠ 0 उपस्थित हैं, जैसे कि
<math display="block">f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}</math>
<math display="block">f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}</math>
क्यू(एक्स) के अग्रणी गुणांक द्वारा अंश और हर दोनों को विभाजित करके, हम [[व्यापकता के नुकसान के बिना]] मान सकते हैं कि क्यू(एक्स) एकात्मक बहुपद है। बीजगणित के मौलिक प्रमेय से हम लिख सकते हैं
''q''(''x'') के अग्रणी गुणांक द्वारा अंश और हर दोनों को विभाजित करके, हम [[व्यापकता के नुकसान के बिना|सामान्यता के हानि के बिना]] मान सकते हैं कि ''q''(''x'') एकात्मक बहुपद है। बीजगणित के मौलिक प्रमेय से हम लिख सकते हैं


<math display="block">q(x) = (x-a_1)^{j_1}\cdots(x-a_m)^{j_m}(x^2+b_1x+c_1)^{k_1}\cdots(x^2 + b_n x + c_n)^{k_n}</math>
<math display="block">q(x) = (x-a_1)^{j_1}\cdots(x-a_m)^{j_m}(x^2+b_1x+c_1)^{k_1}\cdots(x^2 + b_n x + c_n)^{k_n}</math>
जहाँ एक<sub>1</sub>,..., ए<sub>''m''</sub>, बी<sub>1</sub>,..., बी<sub>''n''</sub>, सी<sub>1</sub>,..., सी<sub>''n''</sub> b के साथ वास्तविक संख्याएँ हैं<sub>''i''</sub><sup>2</sup> − 4c<sub>''i''</sub> <0, और जे<sub>1</sub>,..., जे<sub>''m''</sub>, क<sub>1</sub>,..., क<sub>''n''</sub> सकारात्मक पूर्णांक हैं। शर्तें (एक्स - ए<sub>''i''</sub>) q(x) के रैखिक कारक हैं जो q(x) की वास्तविक जड़ों और शर्तों (x<sub>''i''</sub><sup>2</sup> + बी<sub>''i''</sub>एक्स + सी<sub>''i''</sub>) q(x) के अलघुकरणीय द्विघात कारक हैं जो q(x) की जटिल संख्या संयुग्मी जड़ों के जोड़े के अनुरूप हैं।
जहाँ ''a''<sub>1</sub>,..., ''a<sub>m</sub>'', ''b''<sub>1</sub>,..., ''b<sub>n</sub>'', ''c''<sub>1</sub>,..., ''c<sub>n</sub>'' '''के साथ''' वास्तविक संख्याएँ हैं, जिनमें ''b<sub>i</sub>''<sup>2</sup> − 4''c<sub>i</sub>'' < 0, और ''j''<sub>1</sub>,..., ''j<sub>m</sub>'', ''k''<sub>1</sub>,..., ''k<sub>n</sub>'' सकारात्मक पूर्णांक हैं। शब्द (''x'' − ''a<sub>i</sub>'') ''q(x)'' के रैखिक कारक हैं जो ''q(x)'' की वास्तविक जड़ों के अनुरूप हैं, और शब्द (''x<sub>i</sub>''<sup>2</sup> + ''b<sub>i</sub>x'' + ''c<sub>i</sub>'') ''q(x)'' के अपरिवर्तनीय द्विघात कारक हैं जो ''q(x)'' की जटिल संख्या संयुग्मी जड़ों के जोड़े के अनुरूप हैं।


तब f(x) का आंशिक अंश अपघटन निम्न है:
तब ''f''(''x'') का आंशिक अंश अपघटन निम्न है:


<math display="block">f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} = P(x) + \sum_{i=1}^m\sum_{r=1}^{j_i} \frac{A_{ir}}{(x-a_i)^r} + \sum_{i=1}^n\sum_{r=1}^{k_i} \frac{B_{ir}x+C_{ir}}{(x^2+b_ix+c_i)^r}</math>
<math display="block">f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} = P(x) + \sum_{i=1}^m\sum_{r=1}^{j_i} \frac{A_{ir}}{(x-a_i)^r} + \sum_{i=1}^n\sum_{r=1}^{k_i} \frac{B_{ir}x+C_{ir}}{(x^2+b_ix+c_i)^r}</math>
यहाँ, P(x) एक (संभवतः शून्य) बहुपद है, और A<sub>''ir''</sub>, बी<sub>''ir''</sub>, और सी<sub>''ir''</sub> वास्तविक स्थिरांक हैं। स्थिरांकों को खोजने के कई विधियाँ हैं।
यहाँ, ''P''(''x'') (संभवतः शून्य) बहुपद है, और ''A<sub>ir</sub>'', ''B<sub>ir</sub>'', और ''C<sub>ir</sub>'' वास्तविक स्थिरांक हैं। स्थिरांकों को खोजने के कई विधियाँ हैं।


सामान्य भाजक q(x) से गुणा करना सबसे सरल तरीका है। इसके बाद हम बहुपदों का समीकरण प्राप्त करते हैं जिसका बायाँ पक्ष केवल p(x) है और जिसके दाएँ पक्ष में गुणांक हैं जो स्थिरांक A के रैखिक व्यंजक हैं।<sub>''ir''</sub>, बी<sub>''ir''</sub>, और सी<sub>''ir''</sub>. चूंकि दो बहुपद समान हैं यदि और केवल यदि उनके संगत गुणांक समान हैं, तो हम समान पदों के गुणांकों की बराबरी कर सकते हैं। इस तरह, रैखिक समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है जिसका हमेशा अनूठा समाधान होता है। यह समाधान रैखिक बीजगणित के किसी भी मानक विधियाँ का उपयोग करके पाया जा सकता है। यह [[सीमा (गणित)]] के साथ भी पाया जा सकता है (देखें #उदाहरण 5 (सीमा विधि))।
सामान्य भाजक ''q(x)'' से गुणा करना सबसे सरल विधि है। इसके बाद हम बहुपदों का समीकरण प्राप्त करते हैं जिसका बायाँ पक्ष केवल ''p(x)'' है और जिसके दाएँ पक्ष में गुणांक हैं जो स्थिरांक ''A<sub>ir</sub>'', ''B<sub>ir</sub>'', और ''C<sub>ir</sub>'' के रैखिक व्यंजक हैं।'''<sub>''ir''</sub>, बी<sub>''ir''</sub>, और सी<sub>''ir''</sub>'''. चूंकि दो बहुपद समान हैं यदि और केवल यदि उनके संगत गुणांक समान हैं, तो हम समान पदों के गुणांकों की बराबरी कर सकते हैं। इस तरह, रैखिक समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है जिसका हमेशा अनूठा समाधान होता है। यह समाधान रैखिक बीजगणित के किसी भी मानक विधियों का उपयोग करके पाया जा सकता है। इसे [[सीमा (गणित)|सीमाओं]] के साथ भी पाया जा सकता है (उदाहरण 5 देखें)। '''विधि))।'''


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
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<math display="block">1=A(x-1)+B(x+3)</math>
<math display="block">1=A(x-1)+B(x+3)</math>
इस समीकरण में x = −3 को प्रतिस्थापित करने पर A = −1/4 प्राप्त होता है, और x = 1 को प्रतिस्थापित करने पर B = 1/4 प्राप्त होता है, ताकि
इस समीकरण में x = −3 को प्रतिस्थापित करने पर A = −1/4 प्राप्त होता है, और x = 1 को प्रतिस्थापित करने पर B = 1/4 प्राप्त होता है, जिससे


<math display="block">f(x) =\frac{1}{x^2+2x-3} =\frac{1}{4}\left(\frac{-1}{x+3}+\frac{1}{x-1}\right)</math>
<math display="block">f(x) =\frac{1}{x^2+2x-3} =\frac{1}{4}\left(\frac{-1}{x+3}+\frac{1}{x-1}\right)</math>
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<math display="block">f(x)=1+\frac{4x^2-8x+16}{x^3-4x^2+8x}=1+\frac{4x^2-8x+16}{x(x^2-4x+8)}</math>
<math display="block">f(x)=1+\frac{4x^2-8x+16}{x^3-4x^2+8x}=1+\frac{4x^2-8x+16}{x(x^2-4x+8)}</math>
कारक एक्स<sup>2</sup> − 4x + 8 अपने विविक्तकर के रूप में वास्तविक से कम नहीं किया जा सकता है {{math|1=(−4)<sup>2</sup> − 4×8 = −16}} नकारात्मक है। इस प्रकार वास्तविक पर आंशिक अंश अपघटन का आकार होता है
कारक ''x''<sup>2</sup> − 4''x'' + 8 अपने विविक्तकर के रूप में वास्तविक से कम नहीं किया जा सकता है {{math|1=(−4)<sup>2</sup> − 4×8 = −16}} नकारात्मक है। इस प्रकार वास्तविक पर आंशिक अंश अपघटन का आकार होता है


<math display="block">\frac{4x^2-8x+16}{x(x^2-4x+8)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-4x+8}</math>
<math display="block">\frac{4x^2-8x+16}{x(x^2-4x+8)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-4x+8}</math>
x से गुणा करना<sup>3</sup> − 4x<sup>2</sup> + 8x, हमारे पास बहुपद सर्वसमिका है
''x''<sup>3</sup> − 4''x''<sup>2</sup> + 8 से गुणा करने पर, '''<sup>3</sup> − 4x<sup>2</sup> + 8x''', हमारे पास बहुपद सर्वसमिका है


<math display="block">4x^2-8x+16 = A \left(x^2-4x+8\right) + \left(Bx+C\right)x</math>
<math display="block">4x^2-8x+16 = A \left(x^2-4x+8\right) + \left(Bx+C\right)x</math>
x = 0 लेने पर, हम देखते हैं कि 16 = 8A, इसलिए A = 2. x की तुलना करने पर<sup>2</sup> गुणांक, हम देखते हैं कि 4 = A + B = 2 + B, इसलिए B = 2। रैखिक गुणांकों की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि −8 = −4A + C = −8 + C, इसलिए C = 0। कुल मिलाकर,
x = 0 लेने पर, हम देखते हैं कि 16 = 8A, इसलिए A = 2. ''x''<sup>2</sup> गुणांकों की तुलना करने पर, '''गुणांक,''' हम देखते हैं कि 4 = A + B = 2 + B, इसलिए B = 2। रैखिक गुणांकों की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि −8 = −4A + C = −8 + C, इसलिए C = 0। कुल मिलाकर,


<math display="block">f(x)=1+2\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{x^2-4x+8}\right)</math>
<math display="block">f(x)=1+2\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{x^2-4x+8}\right)</math>
जटिल संख्याओं का उपयोग करके अंश को पूरी तरह से विघटित किया जा सकता है। बीजगणित के मौलिक प्रमेय के अनुसार डिग्री एन के प्रत्येक जटिल बहुपद में एन (जटिल) जड़ें होती हैं (जिनमें से कुछ को दोहराया जा सकता है)। दूसरे अंश को विघटित किया जा सकता है:
जटिल संख्याओं का उपयोग करके अंश को पूरी तरह से विघटित किया जा सकता है। बीजगणित के मौलिक प्रमेय के अनुसार डिग्री n के प्रत्येक जटिल बहुपद में n (जटिल) मूल होते हैं (जिनमें से कुछ को दोहराया जा सकता है)। दूसरे अंश को विघटित किया जा सकता है:


<math display="block">\frac{x}{x^2-4x+8}=\frac{D}{x-(2+2i)}+\frac{E}{x-(2-2i)}</math>
<math display="block">\frac{x}{x^2-4x+8}=\frac{D}{x-(2+2i)}+\frac{E}{x-(2-2i)}</math>
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<math display="block">x=D(x-(2-2i))+E(x-(2+2i)) </math>
<math display="block">x=D(x-(2-2i))+E(x-(2+2i)) </math>
के गुणांकों की बराबरी करना {{math|''x''}} और स्थिर (के संबंध में {{math|''x''}}) इस समीकरण के दोनों पक्षों के गुणांक, हमें दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली मिलती है {{math|''D''}} और {{math|''E''}}, जिसका समाधान है
'''के गुणांकों की बराबरी करना {{math|''x''}} और स्थिर ({{math|''x''}} के संबंध में)''' इस समीकरण के दोनों पक्षों के {{math|''x''}} और स्थिरांक ({{math|''x''}} के संबंध में) के गुणांकों की बराबरी करने पर, हमें {{math|''D''}} और {{math|''E''}} दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली मिलती है '''औ{{math|''D''}}र {{math|''E''}}''', जिसका समाधान है


<math display="block">D=\frac{1+i}{2i}=\frac{1-i}{2}, \qquad E=\frac{1-i}{-2i}=\frac{1+i}{2}.</math>
<math display="block">D=\frac{1+i}{2i}=\frac{1-i}{2}, \qquad E=\frac{1-i}{-2i}=\frac{1+i}{2}.</math>
Line 241: Line 241:


<math display="block">f(x)=\frac{x^3+16}{x^3-4x^2+8x}=1+\frac{2}{x}+\frac{1-i}{x-(2+2i)}+\frac{1+i}{x-(2-2i)}</math>
<math display="block">f(x)=\frac{x^3+16}{x^3-4x^2+8x}=1+\frac{2}{x}+\frac{1-i}{x-(2+2i)}+\frac{1+i}{x-(2-2i)}</math>
कोई सीधे गणना भी कर सकता है {{math|''A'', ''D''}} और {{math|''E''}} अवशेष विधि के साथ (नीचे उदाहरण 4 भी देखें)।
कोई अवशेष विधि के साथ सीधे {{math|''A'', ''D''}} और {{math|''E''}}  की गणना भी कर सकता है '''{{math|''A'', ''D''}} और {{math|''E''}} अवशेष विधि के साथ''' (नीचे उदाहरण 4 भी देखें)।


=== उदाहरण 3 ===
=== उदाहरण 3 ===


यह उदाहरण लगभग सभी तरकीबें दिखाता है जिनका हमें उपयोग करने की आवश्यकता हो सकती है, [[कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली]] से परामर्श करने से कम।
यह उदाहरण लगभग सभी विधियाँ दिखाता है जिनका हमें उपयोग करने की आवश्यकता हो सकती है, [[कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली]] से परामर्श करने से कम।


<math display="block">f(x)=\frac{x^9-2x^6+2x^5-7x^4+13x^3-11x^2+12x-4}{x^7-3x^6+5x^5-7x^4+7x^3-5x^2+3x-1}</math>
<math display="block">f(x)=\frac{x^9-2x^6+2x^5-7x^4+13x^3-11x^2+12x-4}{x^7-3x^6+5x^5-7x^4+7x^3-5x^2+3x-1}</math>
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={}& \left(A + D\right) x^6 + \left(-A - 3D\right) x^5 + \left(2B + 4D + 1\right) x^4 + \left(-2B - 4D + 1\right) x^3 + \left(-A + 2B + 3D - 1\right) x^2 + \left(A - 2B - D + 3\right) x
={}& \left(A + D\right) x^6 + \left(-A - 3D\right) x^5 + \left(2B + 4D + 1\right) x^4 + \left(-2B - 4D + 1\right) x^3 + \left(-A + 2B + 3D - 1\right) x^2 + \left(A - 2B - D + 3\right) x
\end{align}</math>
\end{align}</math>
हम x के गुणांकों की तुलना करते हैं<sup>6</sup> और x<sup>5</sup> दोनों तरफ और हमारे पास:
'''हम x के गुणांकों की तुलना करते हैं<sup>6</sup> और x<sup>5</sup>''' हम दोनों तरफ ''x''<sup>6</sup> और ''x''<sup>5</sup> के गुणांकों की तुलना करते हैं, और हमारे पास है:


<math display="block">\begin{cases} A+D=2 \\ -A-3D = -4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad A= D = 1.</math>
<math display="block">\begin{cases} A+D=2 \\ -A-3D = -4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad A= D = 1.</math>
Line 282: Line 282:


<math display="block">f(x)=x^2+3x+4+\frac{1}{(x-1)} + \frac{1}{(x - 1)^3} + \frac{x + 1}{x^2+1}+\frac{1}{(x^2+1)^2}.</math>
<math display="block">f(x)=x^2+3x+4+\frac{1}{(x-1)} + \frac{1}{(x - 1)^3} + \frac{x + 1}{x^2+1}+\frac{1}{(x^2+1)^2}.</math>
वैकल्पिक रूप से, विस्तार करने के बजाय, कुछ डेरिवेटिव्स की गणना करने वाले गुणांक पर अन्य रैखिक निर्भरता प्राप्त कर सकते हैं <math>x = 1, \imath</math> उपरोक्त बहुपद पहचान में। (इसके लिए, याद रखें कि x = a का अवकलज (x - a)<sup>m</sup>p(x) गायब हो जाता है यदि m > 1 और m = 1 के लिए सिर्फ p(a) है।) उदाहरण के लिए x = 1 पर पहला व्युत्पन्न देता है
वैकल्पिक रूप से, विस्तार करने के अतिरिक्त, कुछ डेरिवेटिव्स की गणना करने वाले गुणांक पर अन्य रैखिक निर्भरता प्राप्त कर सकते हैं <math>x = 1, \imath</math> उपरोक्त बहुपद पहचान में। (इसके लिए, याद रखें कि ''x = a'' का अवकलज (''x'' − ''a'')<sup>''m''</sup>''p''(''x'') विलुप्त हो जाता है यदि ''m'' > 1 और ''m = 1'' के लिए केवल ''p(a)'' है।) उदाहरण के लिए ''x = 1'' पर पहला व्युत्पन्न देता है


<math display="block"> 2\cdot6-4\cdot5+5\cdot4-3\cdot3+2+3  = A\cdot(0+0) + B\cdot( 4+ 0) + 8 + D\cdot0 </math>
<math display="block"> 2\cdot6-4\cdot5+5\cdot4-3\cdot3+2+3  = A\cdot(0+0) + B\cdot( 4+ 0) + 8 + D\cdot0 </math>
यानी 8 = 4B + 8 तो B = 0।
अर्थात 8 = 4B + 8 तो B = 0।


=== उदाहरण 4 (अवशेष विधि) ===
=== उदाहरण 4 (अवशेष विधि) ===
Line 345: Line 345:
इसलिए:
इसलिए:
<math display="block">A(x-1)+B(x+2)=-3x+7</math>.
<math display="block">A(x-1)+B(x+2)=-3x+7</math>.
हमारे मानों को प्रतिस्थापित करने पर, इस मामले में, जहाँ x=1 को B के लिए हल करना है और x=-2 को A के लिए हल करना है, हम इसका परिणाम प्राप्त करेंगे:
हमारे मानों को प्रतिस्थापित करने पर, इस स्थिति में, जहाँ x=1 को B के लिए हल करना है और x=-2 को A के लिए हल करना है, हम इसका परिणाम प्राप्त करेंगे:


<math display="block">A=\frac{-13}{3} \ , B=\frac{4}{3} </math>
<math display="block">A=\frac{-13}{3} \ , B=\frac{4}{3} </math>
Line 373: Line 373:


<math display="block">A_i(x):=\sum_{k=0}^{\nu_i-1} \frac{1}{k!}\left(\frac{P}{Q_i}\right)^{(k)}(\lambda_i)\ (x-\lambda_i)^k. </math>
<math display="block">A_i(x):=\sum_{k=0}^{\nu_i-1} \frac{1}{k!}\left(\frac{P}{Q_i}\right)^{(k)}(\lambda_i)\ (x-\lambda_i)^k. </math>
टेलर का प्रमेय (वास्तविक या जटिल मामले में) तब आंशिक अंश अपघटन के अस्तित्व और विशिष्टता का प्रमाण प्रदान करता है, और गुणांकों का लक्षण वर्णन करता है।
टेलर का प्रमेय (वास्तविक या जटिल स्थिति में) तब आंशिक अंश अपघटन के अस्तित्व और विशिष्टता का प्रमाण प्रदान करता है, और गुणांकों का लक्षण वर्णन करता है।


=== प्रमाण का रेखाचित्र ===
=== प्रमाण का रेखाचित्र ===

Revision as of 22:47, 9 February 2023

बीजगणित में, आंशिक अंश अपघटन या तर्कसंगत अंश का आंशिक अंश विस्तार (अर्थात, अंश (गणित) जैसे कि अंश और भाजक दोनों बहुपद हैं) संचालन है जिसमें अंश को बहुपद के योग और सरल भाजक के साथ एक या अधिक भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है (संभवतः शून्य)।[1]

आंशिक अंश अपघटन का महत्व इस तथ्य में निहित है कि यह तर्कसंगत कार्य के साथ विभिन्न संगणनाओं के लिए एल्गोरिदम प्रदान करता है, जिसमें एंटीडेरिवेटिव्स की स्पष्ट गणना टेलर श्रृंखला विस्तार, व्युत्क्रम Z-रूपांतरण, और व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण सम्मिलित है।[2] इस अवधारणा की खोज स्वतंत्र रूप से 1702 में जोहान बर्नौली और गॉटफ्रीड लीबनिज दोनों ने की थी।[3]

प्रतीकों में, फार्म के तर्कसंगत अंश का आंशिक अंश अपघटन जहाँ पर f और g बहुपद हैं, इसकी अभिव्यक्ति है

जहाँ

p(x) बहुपद है, और, प्रत्येक के लिए j, भाजक gj (x) अलघुकरणीय बहुपद का घातांक है (जो धनात्मक अंशों के बहुपदों में गुणनखंडनीय नहीं है), और अंश fj (x) इस अलघुकरणीय बहुपद की घात से छोटी कोटि का बहुपद है।

जब स्पष्ट संगणना सम्मिलित होती है, तो मोटे अपघटन को अधिकांशतः पसंद किया जाता है, जिसमें परिणाम के विवरण में अलघुकरणीय बहुपद को वर्ग-मुक्त बहुपद द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह बहुत सरल-से-गणना वर्ग-मुक्त गुणनखंडन द्वारा बहुपद गुणनखंडन को परिवर्तित करने की अनुमति देता है। यह अधिकांश अनुप्रयोगों के लिए पर्याप्त है, और इनपुट बहुपद के गुणांक पूर्णांक या परिमेय संख्या होने पर अपरिमेय संख्या को प्रस्तुत करने से बचता है।

मूल सिद्धांत

माना

एक परिमेय भिन्न हो, जहाँ F और G एक क्षेत्र में अनिश्चित (चर) x में अविभाज्य बहुपद हैं। निम्नलिखित कमी चरणों को आगमनात्मक रूप से प्रयुक्त करके आंशिक अंश का अस्तित्व सिद्ध किया जा सकता है।

बहुपद भाग

ऐसे दो बहुपद E और F1 का अस्तित्व है कि

और
जहाँ बहुपद P के बहुपद की डिग्री को दर्शाता है

यह F द्वारा G बहुपदों के यूक्लिडियन विभाजन से तुरंत परिणामित होता है, जो E और F1 के अस्तित्व की पुष्टि करता है, जैसे कि और