एलओसीसी: Difference between revisions

Revision as of 23:39, 8 December 2023

एलओसीसी प्रतिमान: पार्टियों को कणों का सुसंगत रूप से आदान-प्रदान करने की अनुमति नहीं है। मात्र स्थानीय संक्रियाएं और मौलिक संचार की अनुमति है

एलओसीसी या स्थानीय संक्रिया और शास्त्रीय संचार क्वांटम सूचना सिद्धांत की एक विधि है, जहां एक स्थानीय उत्पाद संक्रिया प्रणाली के एक भाग पर निष्पादित की जाती है और जहां उस संक्रिया का परिणाम वर्गीकृत रूप से दूसरे भाग में "संप्रेषित" किया जाता है, जहां सामान्यतः पर एक और स्थानीय संक्रिया वातानुकूलित किया जाता है, जो जानकारी से प्राप्त हुई है।

गणितीय गुण

एलओसीसी संक्रियाओं के समूह की औपचारिक परिभाषा इस तथ्य के कारण सम्मिश्र रूप में है, जो कि पश्चात के स्थानीय संक्रियाएं सामान्य रूप से पिछले सभी मौलिक संचार पर निर्भर करते हैं और संचार दौरों की असीमित संख्या के कारण। किसी भी परिमित संख्या के लिए $r\geq 1$ कोई परिभाषित कर सकता है $\operatorname {LOCC} _{r}$ , LOCC परिचालनों का समूह जिसके साथ प्राप्त किया जा सकता है $r$ मौलिक संचार के दौर समूह कभी भी बड़ा हो जाता है $r$ बढ़ा दिया गया है और अनंत कई राउंड की सीमा को परिभाषित करने का ध्यान रखना होगा। विशेष रूप से समूह एलओसीसी टोपोलॉजिकल रूप से संवृत नहीं है, अर्थात ऐसे क्वांटम संक्रिया हैं जिन्हें एलओसीसी द्वारा मनमाने ढंग से निकटता से अनुमानित किया जा सकता है, लेकिन वे स्वयं एलओसीसी नहीं हैं।^[1]

एक-राउंड एलओसीसी $\operatorname {LOCC} _{1}$ यह एक क्वांटम उपकरण के रूप में है $\left\{{\mathcal {E}}_{x}\right\}$ , जिसके लिए ट्रेस-गैर-बढ़ते पूरी प्रकार से धनात्मक मानचित्र (सीपीएम) ${\mathcal {E}}_{x}$ सभी माप परिणामों के लिए स्थानीय हैं $x$ , अर्थात। ${\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _{j}({\cal {E}}_{x}^{j})$ और एक साइट है $j=K$ जैसे कि मात्र पर $K$ वो नक्शा ${\mathcal {E}}_{x}^{K}$ ${\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _{j\not =K}({\cal {T_{j}^{x}}})\otimes {\cal {E}}_{K}$ ट्रेस-संरक्षण नहीं है.

इसका अर्थ यह है कि उपकरण को पार्टी द्वारा साइट पर ही प्राप्त किया जा सकता है $K$ (स्थानीय) उपकरण के रूप में लगाना $\left\{{\mathcal {E}}_{x}^{K}\right\}$ और मौलिक परिणाम संप्रेषित करना $x$ अन्य सभी पक्षों के लिए, जो तब प्रत्येक प्रदर्शन शर्त पर करते हैं $x$ ट्रेस-संरक्षण नियतात्मक स्थानीय क्वांटम संक्रियाएं ${\cal {T}}_{x}^{j}$ के रूप में है .

तब $\operatorname {LOCC} _{r}$ पुनरावर्ती रूप से उन संक्रियाों के रूप में परिभाषित किया गया है, जिन्हें किसी संक्रिया का अनुसरण करके अनुभव किया जा सकता है $\operatorname {LOCC} _{r-1}$ के साथ $\operatorname {LOCC} _{1}$ -संक्रियाएं। यहां यह अनुमति है, कि जो पार्टी अनुवर्ती कार्रवाई के रूप में करती है, वह पिछले दौर के परिणाम पर निर्भर करती है। इसके अतिरिक्त हम मोटे अनाज की भी अनुमति देते हैं,अर्थात माप परिणामों के सभी राउंड में एन्कोड की गई, कुछ मौलिक जानकारी को हटा देते हैं।

सबका मिलन $\operatorname {LOCC} _{r}$ संक्रियाएं द्वारा निरूपित किया जाता है $\operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }$ और इसमें ऐसे उपकरण सम्मिलित हैं, जिनका अधिक एलओसीसी राउंड के साथ उत्तम और उत्तम अनुमान लगाया जा सकता है। इसका टोपोलॉजिकल समापन ${\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }$ इसमें ऐसे सभी संक्रिया सम्मिलित हैं।

यह दिखाया जा सकता है, कि ये सभी समूह भिन्न-भिन्न हैं:^[1]: $upper L upper O upper C upper C Subscript r Baseline subset of upper L upper O upper C upper C Subscript r plus 1 Baseline subset of upper L upper O upper C upper C Subscript double struck upper N Baseline subset of ModifyingAbove upper L upper O upper C upper C With bar Subscript double struck upper N$

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 {{Use American English|date=January 2019}}{{Short description|Method in quantum computation and communication
 }}
-{{Technical|date=January 2019}}[[Image:LOCC.png|thumb|right|एलओसीसी प्रतिमान: पार्टियों को कणों का सुसंगत रूप से आदान-प्रदान करने की अनुमति नहीं है। मात्र स्थानीय संचालन और मौलिक संचार की अनुमति है]]एलओसीसी या स्थानीय संक्रिया और शास्त्रीय संचार [[क्वांटम सूचना सिद्धांत]] की एक विधि है, जहां एक स्थानीय उत्पाद संक्रिया प्रणाली के एक भाग पर निष्पादित की जाती है और जहां उस संक्रिया का परिणाम वर्गीकृत रूप से दूसरे भाग में "संप्रेषित" किया जाता है, जहां सामान्यतः पर एक और स्थानीय संक्रिया वातानुकूलित किया जाता है, जो जानकारी से प्राप्त हुई है।
+{{Technical|date=January 2019}}[[Image:LOCC.png|thumb|right|एलओसीसी प्रतिमान: पार्टियों को कणों का सुसंगत रूप से आदान-प्रदान करने की अनुमति नहीं है। मात्र स्थानीय संक्रियाएं और मौलिक संचार की अनुमति है]]एलओसीसी या स्थानीय संक्रिया और शास्त्रीय संचार [[क्वांटम सूचना सिद्धांत]] की एक विधि है, जहां एक स्थानीय उत्पाद संक्रिया प्रणाली के एक भाग पर निष्पादित की जाती है और जहां उस संक्रिया का परिणाम वर्गीकृत रूप से दूसरे भाग में "संप्रेषित" किया जाता है, जहां सामान्यतः पर एक और स्थानीय संक्रिया वातानुकूलित किया जाता है, जो जानकारी से प्राप्त हुई है।
 ==गणितीय गुण ==
-एलओसीसी संचालन के समूह की औपचारिक परिभाषा इस तथ्य के कारण सम्मिश्र है, कि पश्चात के स्थानीय संचालन सामान्य रूप से पिछले सभी मौलिक संचार पर निर्भर करते हैं और संचार दौरों की असीमित संख्या के कारण। किसी भी परिमित संख्या के लिए <math>r\geq1</math> कोई परिभाषित कर सकता है <math>\operatorname{LOCC}_r</math>, LOCC परिचालनों का समूह जिसके साथ प्राप्त किया जा सकता है <math>r</math> मौलिक संचार के दौर समूह कभी भी बड़ा हो जाता है <math>r</math> बढ़ा दिया गया है और अनंत कई राउंड की सीमा को परिभाषित करने का ध्यान रखना होगा। विशेष रूप से समूह एलओसीसी टोपोलॉजिकल रूप से संवृत नहीं है, अर्थात ऐसे क्वांटम संक्रिया हैं जिन्हें एलओसीसी द्वारा मनमाने ढंग से निकटता से अनुमानित किया जा सकता है, लेकिन वे स्वयं एलओसीसी नहीं हैं।<ref name="CLMOW2012">{{cite journal |author1=Chitambar, E. |author2=Leung, D. |author3=Mancinska, L. |author4=Ozols, M. |author5=Winter, A. |title=एलओसीसी के बारे में वह सब कुछ जो आप हमेशा से जानना चाहते थे (लेकिन पूछने से डरते थे)|journal=Commun. Math. Phys. |volume=328 |page=303 |year=2012 |issue=1 |doi=10.1007/s00220-014-1953-9 |arxiv=1210.4583|bibcode=2014CMaPh.328..303C |s2cid=118478457 }}</ref>
+एलओसीसी संक्रियाओं के समूह की औपचारिक परिभाषा इस तथ्य के कारण सम्मिश्र रूप में है, जो कि पश्चात के स्थानीय संक्रियाएं सामान्य रूप से पिछले सभी मौलिक संचार पर निर्भर करते हैं और संचार दौरों की असीमित संख्या के कारण। किसी भी परिमित संख्या के लिए <math>r\geq1</math> कोई परिभाषित कर सकता है <math>\operatorname{LOCC}_r</math>, LOCC परिचालनों का समूह जिसके साथ प्राप्त किया जा सकता है <math>r</math> मौलिक संचार के दौर समूह कभी भी बड़ा हो जाता है <math>r</math> बढ़ा दिया गया है और अनंत कई राउंड की सीमा को परिभाषित करने का ध्यान रखना होगा। विशेष रूप से समूह एलओसीसी टोपोलॉजिकल रूप से संवृत नहीं है, अर्थात ऐसे क्वांटम संक्रिया हैं जिन्हें एलओसीसी द्वारा मनमाने ढंग से निकटता से अनुमानित किया जा सकता है, लेकिन वे स्वयं एलओसीसी नहीं हैं।<ref name="CLMOW2012">{{cite journal |author1=Chitambar, E. |author2=Leung, D. |author3=Mancinska, L. |author4=Ozols, M. |author5=Winter, A. |title=एलओसीसी के बारे में वह सब कुछ जो आप हमेशा से जानना चाहते थे (लेकिन पूछने से डरते थे)|journal=Commun. Math. Phys. |volume=328 |page=303 |year=2012 |issue=1 |doi=10.1007/s00220-014-1953-9 |arxiv=1210.4583|bibcode=2014CMaPh.328..303C |s2cid=118478457 }}</ref>
 एक-राउंड एलओसीसी <math>\operatorname{LOCC}_1</math> यह एक क्वांटम उपकरण के रूप में है <math>\left\{\mathcal{E}_x\right\}</math>, जिसके लिए ट्रेस-गैर-बढ़ते [[पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्र|पूरी प्रकार से धनात्मक मानचित्र]] (सीपीएम) <math> \mathcal{E}_x </math> सभी माप परिणामों के लिए स्थानीय हैं <math>x</math>, अर्थात। <math> \mathcal{E}_x = \bigotimes_{j}({\cal E}_x^j)</math> और एक साइट है <math>j=K</math> जैसे कि मात्र पर <math>K</math> वो नक्शा <math> \mathcal{E}_x^K</math> <math> \mathcal{E}_x = \bigotimes_{j\not=K}({\cal T_j^x})\otimes{\cal E}_K</math> ट्रेस-संरक्षण नहीं है.
-इसका अर्थ यह है कि उपकरण को पार्टी द्वारा साइट पर ही प्राप्त किया जा सकता है <math>K</math> (स्थानीय) उपकरण के रूप में लगाना <math>\left\{\mathcal{E}_x^K\right\}</math> और मौलिक परिणाम संप्रेषित करना <math>x</math> अन्य सभी पक्षों के लिए, जो तब प्रत्येक प्रदर्शन शर्त पर करते हैं  <math>x</math> ट्रेस-संरक्षण नियतात्मक स्थानीय क्वांटम संचालन <math>{\cal T}_x^j</math> के रूप में है .
+इसका अर्थ यह है कि उपकरण को पार्टी द्वारा साइट पर ही प्राप्त किया जा सकता है <math>K</math> (स्थानीय) उपकरण के रूप में लगाना <math>\left\{\mathcal{E}_x^K\right\}</math> और मौलिक परिणाम संप्रेषित करना <math>x</math> अन्य सभी पक्षों के लिए, जो तब प्रत्येक प्रदर्शन शर्त पर करते हैं  <math>x</math> ट्रेस-संरक्षण नियतात्मक स्थानीय क्वांटम संक्रियाएं <math>{\cal T}_x^j</math> के रूप में है .
-तब <math>\operatorname{LOCC}_r</math> पुनरावर्ती रूप से उन संक्रियाों के रूप में परिभाषित किया गया है, जिन्हें किसी संक्रिया का अनुसरण करके अनुभव किया जा सकता है <math>\operatorname{LOCC}_{r-1}</math> के साथ <math>\operatorname{LOCC}_1</math>-संचालन। यहां यह अनुमति है, कि जो पार्टी अनुवर्ती कार्रवाई के रूप में करती है, वह पिछले दौर के परिणाम पर निर्भर करती है। इसके अतिरिक्त हम मोटे अनाज की भी अनुमति देते हैं,अर्थात माप परिणामों के सभी राउंड में एन्कोड की गई, कुछ मौलिक जानकारी को हटा देते हैं।
+तब <math>\operatorname{LOCC}_r</math> पुनरावर्ती रूप से उन संक्रियाों के रूप में परिभाषित किया गया है, जिन्हें किसी संक्रिया का अनुसरण करके अनुभव किया जा सकता है <math>\operatorname{LOCC}_{r-1}</math> के साथ <math>\operatorname{LOCC}_1</math>-संक्रियाएं। यहां यह अनुमति है, कि जो पार्टी अनुवर्ती कार्रवाई के रूप में करती है, वह पिछले दौर के परिणाम पर निर्भर करती है। इसके अतिरिक्त हम मोटे अनाज की भी अनुमति देते हैं,अर्थात माप परिणामों के सभी राउंड में एन्कोड की गई, कुछ मौलिक जानकारी को हटा देते हैं।
-सबका मिलन <math>\operatorname{LOCC}_r</math> संचालन द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\operatorname{LOCC}_{\mathbb{N}}</math> और इसमें ऐसे उपकरण सम्मिलित हैं, जिनका अधिक एलओसीसी राउंड के साथ उत्तम और उत्तम अनुमान लगाया जा सकता है। इसका टोपोलॉजिकल समापन <math>\overline{\operatorname{LOCC}}_{\mathbb{N}}</math> इसमें ऐसे सभी संक्रिया सम्मिलित हैं।
+सबका मिलन <math>\operatorname{LOCC}_r</math> संक्रियाएं द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\operatorname{LOCC}_{\mathbb{N}}</math> और इसमें ऐसे उपकरण सम्मिलित हैं, जिनका अधिक एलओसीसी राउंड के साथ उत्तम और उत्तम अनुमान लगाया जा सकता है। इसका टोपोलॉजिकल समापन <math>\overline{\operatorname{LOCC}}_{\mathbb{N}}</math> इसमें ऐसे सभी संक्रिया सम्मिलित हैं।
 यह दिखाया जा सकता है, कि ये सभी समूह भिन्न-भिन्न हैं:<ref name="CLMOW2012" />:<math>\operatorname{LOCC}_r\subset \operatorname{LOCC}_{r+1}\subset \operatorname{LOCC}_{\mathbb{N}}\subset\overline{\operatorname{LOCC}}_{\mathbb{N}}</math>
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 अर्थात, ऐसे उदाहरण हैं, जिन्हें संचार के अनंत दौर के साथ भी स्थानीय स्तर पर लागू नहीं किया जा सकता है।<ref name="CLMOW2012" />
-LOCC क्वांटम उलझाव में मुफ्त संचालन हैं, एक संसाधन के रूप में उलझाव: LOCC के साथ भिन्न-भिन्न राज्यों से उलझाव का उत्पादन नहीं किया जा सकता है और यदि स्थानीय पार्टियां सभी LOCC संचालन करने में सक्षम होने के अतिरिक्त कुछ उलझे हुए राज्यों से भी सुसज्जित हैं, तो अकेले एलओसीसी की तुलना में अधिक संचालन का अनुभव कर सकते हैं।
+LOCC क्वांटम उलझाव में मुफ्त संक्रियाएं हैं, एक संसाधन के रूप में उलझाव: LOCC के साथ भिन्न-भिन्न राज्यों से उलझाव का उत्पादन नहीं किया जा सकता है और यदि स्थानीय पार्टियां सभी LOCC संक्रियाएं करने में सक्षम होने के अतिरिक्त कुछ उलझे हुए राज्यों से भी सुसज्जित हैं, तो अकेले एलओसीसी की तुलना में अधिक संक्रियाएं का अनुभव कर सकते हैं।
 == उदाहरण ==
-एलओसीसी संचालन राज्य की तैयारी, राज्य भेदभाव और उलझाव परिवर्तनों के लिए उपयोगी हैं।
+एलओसीसी संक्रियाएं राज्य की तैयारी, राज्य भेदभाव और उलझाव परिवर्तनों के लिए उपयोगी हैं।
 ===राज्य की तैयारी===
-ऐलिस और बॉब को उत्पाद अवस्था में एक क्वांटम प्रणाली के रूप में दी गई है <math>|00\rangle = |0\rangle_A\otimes |0\rangle_B</math>. उनका कार्य पृथक्करणीय राज्य का निर्माण करना है <math>\rho=\frac{1}{2}|00\rangle\langle00|+\frac{1}{2}|11\rangle\langle11|</math>. अकेले स्थानीय संचालन के साथ इसे प्राप्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि वे उपस्थित मौलिक सहसंबंध उत्पन्न नहीं कर सकते हैं <math>\rho</math>. चूंकि LOCC के साथ संचार के एक दौर के साथ <math>\rho</math> तैयार किया जा सकता है: ऐलिस एक निष्पक्ष सिक्का फेंकता है (जो 50% संभावना के साथ प्रत्येक को हेड या टेल दिखाता है) और अपनी कक्षा को पलट देता है (से) <math>|1\rangle_A</math>) यदि सिक्का पूंछ दिखाता है, अन्यथा इसे अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है। फिर वह बॉब को कॉइन-फ़्लिप (मौलिक जानकारी) का परिणाम भेजती है, जो संदेश टेल्स प्राप्त होने पर अपनी क्वबिट भी फ़्लिप करता है। परिणामी अवस्था है <math>\rho</math>. सामान्य तौर पर, सभी भिन्न-भिन्न राज्यों (और मात्र इन्हें) को अकेले एलओसीसी संचालन वाले उत्पाद राज्यों से तैयार किया जा सकता है।<ref name="CLMOW2012" />
+ऐलिस और बॉब को उत्पाद अवस्था में एक क्वांटम प्रणाली के रूप में दी गई है <math>|00\rangle = |0\rangle_A\otimes |0\rangle_B</math>. उनका कार्य पृथक्करणीय राज्य का निर्माण करना है <math>\rho=\frac{1}{2}|00\rangle\langle00|+\frac{1}{2}|11\rangle\langle11|</math>. अकेले स्थानीय संक्रियाएं के साथ इसे प्राप्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि वे उपस्थित मौलिक सहसंबंध उत्पन्न नहीं कर सकते हैं <math>\rho</math>. चूंकि LOCC के साथ संचार के एक दौर के साथ <math>\rho</math> तैयार किया जा सकता है: ऐलिस एक निष्पक्ष सिक्का फेंकता है (जो 50% संभावना के साथ प्रत्येक को हेड या टेल दिखाता है) और अपनी कक्षा को पलट देता है (से) <math>|1\rangle_A</math>) यदि सिक्का पूंछ दिखाता है, अन्यथा इसे अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है। फिर वह बॉब को कॉइन-फ़्लिप (मौलिक जानकारी) का परिणाम भेजती है, जो संदेश टेल्स प्राप्त होने पर अपनी क्वबिट भी फ़्लिप करता है। परिणामी अवस्था है <math>\rho</math>. सामान्य तौर पर, सभी भिन्न-भिन्न राज्यों (और मात्र इन्हें) को अकेले एलओसीसी संक्रियाएं वाले उत्पाद राज्यों से तैयार किया जा सकता है।<ref name="CLMOW2012" />
 ===राज्य भेदभाव===
 दो क्वांटम अवस्थाएँ दी गई हैं <math>\psi</math> द्वि- या बहुपक्षीय [[हिल्बर्ट स्थान]] पर <math>{\cal H}={\cal H}_A\otimes{\cal H}_B\otimes\dots{\cal H}_Z</math>, कार्य यह निर्धारित  करता हैं।  कि दो या अधिक संभावित स्थितियों में से कौन सी स्थिति है <math>\psi_1, \psi_2</math> यह है। एक सरल उदाहरण के रूप में, दो [[बेल अवस्था]]ओं पर विचार करें.
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 मान लीजिए कि दो-क्विबिट प्रणाली भिन्न हो गई है, जहां पहली क्विबिट ऐलिस को दी गई है और दूसरी बॉब को दी गई है। संचार के बिना, ऐलिस और बॉब दो राज्यों में अंतर नहीं कर सकते, क्योंकि सभी स्थानीय मापों के लिए सभी माप आँकड़े पूर्णतया समान हैं, दोनों राज्यों में समान कम घनत्व आव्यूह है। उदाहरण के लिए, मान लें कि ऐलिस पहली कक्षा को मापती है और परिणाम 0 प्राप्त करती है। चूंकि यह परिणाम दोनों स्थितियों में से प्रत्येक में 50% संभावना के साथ समान रूप से होने की संभावना है, इसलिए उसे कोई जानकारी नहीं मिलती है, कि उसे कौन सी बेल जोड़ी दी गई थी और यही बात बॉब पर भी लागू होती है, यदि वह कोई माप करता है। लेकिन अब ऐलिस को क्लासिकल चैनल पर अपना परिणाम बॉब को भेजने दें। अब बॉब अपने परिणाम की तुलना उसके परिणाम से कर सकता है और यदि वे समान हैं, तो वह यह निष्कर्ष निकाल सकता है, कि दिया गया जोड़ा था <math>|\psi_1\rangle</math>, क्योंकि मात्र यही संयुक्त माप परिणाम की अनुमति देता है <math>|0\rangle_A\otimes|0\rangle_B</math>. इस प्रकार एलओसीसी और दो मापों से इन दोनों स्थितियों को पूरी प्रकार से भिन्न किया जा सकता है। ध्यान दें कि वैश्विक ([[क्वांटम गैरस्थानीयता]] या क्वांटम उलझाव) माप के साथ एक एकल माप संयुक्त हिल्बर्ट स्थान पर इन दोनों क्वांटम यांत्रिकी में पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल स्थिति को भिन्न करने के लिए पर्याप्त है।
-ऐसी क्वांटम स्थितियाँ हैं, जिन्हें LOCC संचालन से भिन्न नहीं किया जा सकता है।<ref>{{cite journal |author=Charles H. Bennett |author2=David P. DiVincenzo |author3=Christopher A. Fuchs |author4=Tal Mor |author5=Eric Rains |author6=Peter W. Shor |author7=John A. Smolin |author8=William K. Wootters |title=उलझाव के बिना क्वांटम गैर-स्थानीयता|journal=Phys. Rev. A |volume=59 |pages=1070–1091 |year=1999 |issue=2 |doi=10.1103/PhysRevA.59.1070 |arxiv= quant-ph/9804053|bibcode=1999PhRvA..59.1070B |s2cid=15282650 }}</ref>
+ऐसी क्वांटम स्थितियाँ हैं, जिन्हें LOCC संक्रियाएं से भिन्न नहीं किया जा सकता है।<ref>{{cite journal |author=Charles H. Bennett |author2=David P. DiVincenzo |author3=Christopher A. Fuchs |author4=Tal Mor |author5=Eric Rains |author6=Peter W. Shor |author7=John A. Smolin |author8=William K. Wootters |title=उलझाव के बिना क्वांटम गैर-स्थानीयता|journal=Phys. Rev. A |volume=59 |pages=1070–1091 |year=1999 |issue=2 |doi=10.1103/PhysRevA.59.1070 |arxiv= quant-ph/9804053|bibcode=1999PhRvA..59.1070B |s2cid=15282650 }}</ref>
 ===उलझाव परिवर्तन===
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 </math>
-  <math>\sqrt{\omega_i}</math>इन्हें श्मिट अपघटन के रूप में जाना जाता है। यदि उन्हें सबसे बड़े से लेकर सबसे छोटे अर्थात् के साथ ऑर्डर किया गया है <math>\omega_1>\omega_d</math>) तब <math>|\psi\rangle</math> में ही रूपांतरित किया जा सकता है <math>|\phi\rangle</math> मात्र स्थानीय संचालन का उपयोग करना यदि और मात्र यदि सभी के लिए <math>k</math> सीमा में <math>1\leq k \leq d</math>
+  <math>\sqrt{\omega_i}</math>इन्हें श्मिट अपघटन के रूप में जाना जाता है। यदि उन्हें सबसे बड़े से लेकर सबसे छोटे अर्थात् के साथ ऑर्डर किया गया है <math>\omega_1>\omega_d</math>) तब <math>|\psi\rangle</math> में ही रूपांतरित किया जा सकता है <math>|\phi\rangle</math> मात्र स्थानीय संक्रियाएं का उपयोग करना यदि और मात्र यदि सभी के लिए <math>k</math> सीमा में <math>1\leq k \leq d</math>
 :<math>
 \sum_{i=1}^k\omega_i\leq\sum_{i=1}^k\omega_i'

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