रिक्की वक्रता: Difference between revisions
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इस फलन की परिणति ज्यामितिकरण अनुमान का प्रमाण थी, इसे पहली बार 1970 के दशक में [[विलियम थर्स्टन]] द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जिसे इस प्रकार माना जा सकता है, जो कि कॉम्पैक्ट 3-मैनिफोल्ड्स का वर्गीकरण हैं। | इस फलन की परिणति ज्यामितिकरण अनुमान का प्रमाण थी, इसे पहली बार 1970 के दशक में [[विलियम थर्स्टन]] द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जिसे इस प्रकार माना जा सकता है, जो कि कॉम्पैक्ट 3-मैनिफोल्ड्स का वर्गीकरण हैं। | ||
काहलर मैनिफोल्ड पर, रिक्की वक्रता प्रथम चेर्न वर्ग को | काहलर मैनिफोल्ड पर, रिक्की वक्रता प्रथम चेर्न वर्ग को मैनिफोल्ड का (मॉड टोरसन) पर निर्धारित करती है। चूंकि रिक्की वक्रता का कोई सादृश्य नहीं है | ||
जेनेरिक रीमैनियन मैनिफोल्ड पर टोपोलॉजिकल व्याख्या हैं। | जेनेरिक रीमैनियन मैनिफोल्ड पर टोपोलॉजिकल व्याख्या हैं। | ||
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#मायर्स प्रमेय|मायर्स प्रमेय (1941) में कहा गया है कि यदि रिक्की वक्रता नीचे से पूर्ण रीमैनियन एन-मैनिफोल्ड <math>(n - 1)k > 0</math> पर बंधी है, तो मैनिफोल्ड का व्यास <math>\leq \pi / \sqrt{k}</math> होता है, कवरिंग-स्थान तर्क से, यह इस प्रकार है कि धनात्मक रिक्की वक्रता के किसी भी कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड में सीमित [[मौलिक समूह]] होना चाहिए। [[शि यू-वाई यू एन चेंग]] (1975) ने दिखाया कि, इस सेटिंग में, व्यास असमानता में समानता तब होती है जब मैनिफोल्ड निरंतर वक्रता के क्षेत्र में [[आइसोमेट्री]] <math>k</math> है। | #मायर्स प्रमेय|मायर्स प्रमेय (1941) में कहा गया है कि यदि रिक्की वक्रता नीचे से पूर्ण रीमैनियन एन-मैनिफोल्ड <math>(n - 1)k > 0</math> पर बंधी है, तो मैनिफोल्ड का व्यास <math>\leq \pi / \sqrt{k}</math> होता है, कवरिंग-स्थान तर्क से, यह इस प्रकार है कि धनात्मक रिक्की वक्रता के किसी भी कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड में सीमित [[मौलिक समूह]] होना चाहिए। [[शि यू-वाई यू एन चेंग]] (1975) ने दिखाया कि, इस सेटिंग में, व्यास असमानता में समानता तब होती है जब मैनिफोल्ड निरंतर वक्रता के क्षेत्र में [[आइसोमेट्री]] <math>k</math> है। | ||
#बिशप-ग्रोमोव असमानता बताती है कि यदि पूर्ण <math>n</math>-आयामी रीमैनियन मैनिफोल्ड में गैर-ऋणात्मक रिक्की वक्रता है, तो जियोडेसिक गेंद का आयतन यूक्लिडियन में समान त्रिज्या के जियोडेसिक गेंद के आयतन से कम या <math>n</math>-स्थान के बराबर होता है। इसके अतिरिक्त, यदि <math>v_p(R)</math> केंद्र के साथ गेंद के आयतन को दर्शाता है कि <math>p</math> और त्रिज्या <math>R</math> अनेक गुना में और <math>V(R) = c_n R^n</math> त्रिज्या की गेंद के आयतन को दर्शाता है <math>R</math> यूक्लिडियन में <math>n</math>-स्थान फिर फलन <math>v_p(R) / V(R)</math> नहीं बढ़ रहा है. इसे रिक्की वक्रता (केवल गैर-ऋणात्मकता नहीं) पर किसी भी निचली सीमा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और यह ग्रोमोव की कॉम्पैक्टनेस प्रमेय (ज्यामिति) | ग्रोमोव की कॉम्पैक्टनेस प्रमेय के प्रमाण में मुख्य बिंदु है।) | #बिशप-ग्रोमोव असमानता बताती है कि यदि पूर्ण <math>n</math>-आयामी रीमैनियन मैनिफोल्ड में गैर-ऋणात्मक रिक्की वक्रता है, तो जियोडेसिक गेंद का आयतन यूक्लिडियन में समान त्रिज्या के जियोडेसिक गेंद के आयतन से कम या <math>n</math>-स्थान के बराबर होता है। इसके अतिरिक्त, यदि <math>v_p(R)</math> केंद्र के साथ गेंद के आयतन को दर्शाता है कि <math>p</math> और त्रिज्या <math>R</math> अनेक गुना में और <math>V(R) = c_n R^n</math> त्रिज्या की गेंद के आयतन को दर्शाता है <math>R</math> यूक्लिडियन में <math>n</math>-स्थान फिर फलन <math>v_p(R) / V(R)</math> नहीं बढ़ रहा है. इसे रिक्की वक्रता (केवल गैर-ऋणात्मकता नहीं) पर किसी भी निचली सीमा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और यह ग्रोमोव की कॉम्पैक्टनेस प्रमेय (ज्यामिति) | ग्रोमोव की कॉम्पैक्टनेस प्रमेय के प्रमाण में मुख्य बिंदु है।) | ||
#चीगर-ग्रोमोल [[विभाजन प्रमेय]] में कहा गया है कि यदि पूर्ण रीमानियन मैनिफोल्ड है <math>\left( M, g \right)</math> साथ <math>\operatorname{Ric} \geq 0</math> इसमें पंक्ति है, जिसका अर्थ है जियोडेसिक <math>\gamma : \mathbb{R} \to M</math> इस प्रकार है कि <math>d(\gamma(u), \gamma(v)) = \left| u - v \right|</math> सभी के लिए <math>u, v \in \mathbb{R}</math>, तो यह उत्पाद स्थान के लिए सममितीय <math>\mathbb{R} \times L</math> है। परिणामस्वरूप, धनात्मक रिक्की वक्रता की पूरी विविधता का अधिकतम टोपोलॉजिकल अंत हो सकता है। संपूर्ण [[लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड]] (मीट्रिक हस्ताक्षर के) के लिए कुछ अतिरिक्त परिकल्पनाओं के कारण भी <math>\left( + - - \ldots \right)</math>) गैर-ऋणात्मक रिक्की टेंसर के साथ ({{harvnb| | #चीगर-ग्रोमोल [[विभाजन प्रमेय]] में कहा गया है कि यदि पूर्ण रीमानियन मैनिफोल्ड है <math>\left( M, g \right)</math> साथ <math>\operatorname{Ric} \geq 0</math> इसमें पंक्ति है, जिसका अर्थ है जियोडेसिक <math>\gamma : \mathbb{R} \to M</math> इस प्रकार है कि <math>d(\gamma(u), \gamma(v)) = \left| u - v \right|</math> सभी के लिए <math>u, v \in \mathbb{R}</math>, तो यह उत्पाद स्थान के लिए सममितीय <math>\mathbb{R} \times L</math> है। परिणामस्वरूप, धनात्मक रिक्की वक्रता की पूरी विविधता का अधिकतम टोपोलॉजिकल अंत हो सकता है। संपूर्ण [[लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड]] (मीट्रिक हस्ताक्षर के) के लिए कुछ अतिरिक्त परिकल्पनाओं के कारण भी <math>\left( + - - \ldots \right)</math>) गैर-ऋणात्मक रिक्की टेंसर के साथ ({{harvnb|गैलोवे|2000}}) प्रमेय सत्य है। | ||
रिक्की प्रवाह के लिए हैमिल्टन के पहले रिक्की प्रवाह का परिणाम यह है कि एकमात्र कॉम्पैक्ट 3-मैनिफोल्ड्स जिसमें धनात्मक रिक्की वक्रता के रीमैनियन आव्यूह हैं, वे एसओ (4) के अलग-अलग उपसमूहों द्वारा 3-गोले के भागफल हैं जो उचित रूप से असंतत रूप से फलन करते हैं। जिसे बाद में उन्होंने गैर-ऋणात्मक रिक्की वक्रता की अनुमति देने के लिए इसे बढ़ाया जाता हैं। विशेष रूप से एकमात्र सरल रूप से जुड़ी संभावना 3-गोला ही है। ये परिणाम, विशेष रूप से मायर्स और हैमिल्टन द्वारा दर्शाते हैं कि धनात्मक रिक्की वक्रता के | रिक्की प्रवाह के लिए हैमिल्टन के पहले रिक्की प्रवाह का परिणाम यह है कि एकमात्र कॉम्पैक्ट 3-मैनिफोल्ड्स जिसमें धनात्मक रिक्की वक्रता के रीमैनियन आव्यूह हैं, वे एसओ (4) के अलग-अलग उपसमूहों द्वारा 3-गोले के भागफल हैं जो उचित रूप से असंतत रूप से फलन करते हैं। जिसे बाद में उन्होंने गैर-ऋणात्मक रिक्की वक्रता की अनुमति देने के लिए इसे बढ़ाया जाता हैं। विशेष रूप से एकमात्र सरल रूप से जुड़ी संभावना 3-गोला ही है। ये परिणाम, विशेष रूप से मायर्स और हैमिल्टन द्वारा दर्शाते हैं कि धनात्मक रिक्की वक्रता के शक्तिशाली टोपोलॉजिकल परिणाम होते हैं। इसके विपरीत, सतहों की स्थिति को छोड़कर, ऋणात्मक रिक्की वक्रता का अब कोई टोपोलॉजिकल प्रभाव नहीं है, {{harvtxt|लोहकैम्प|1994}} ने दिखाया है कि दो से अधिक आयाम का कोई भी मैनिफोल्ड ऋणात्मक रिक्की वक्रता के पूर्ण रीमैनियन मीट्रिक को स्वीकार करता है। इस प्रकार द्वि-आयामी मैनिफ़ोल्ड के मामले में, रिक्की वक्रता की ऋणात्मकता गॉसियन वक्रता की ऋणात्मकता का पर्याय है, जिसमें बहुत स्पष्ट [[गॉस-बोनट प्रमेय]] है। ऐसे बहुत कम द्वि-आयामी मैनिफोल्ड हैं, जो ऋणात्मक गाऊसी वक्रता के रीमैनियन आव्यूह को स्वीकार करने में विफल रहते हैं। | ||
== अनुरूप पुनर्स्केलिंग के कारण व्यवहार == | == अनुरूप पुनर्स्केलिंग के कारण व्यवहार == | ||
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ट्रेस-फ्री रिक्की टेंसर (जिसे ट्रेसलेस रिक्की टेंसर भी कहा जाता है)। | ट्रेस-फ्री रिक्की टेंसर (जिसे ट्रेसलेस रिक्की टेंसर भी कहा जाता है)। | ||
रीमानियन या स्यूडो-रिमानियन <math>n</math>-कई गुना <math>\left( M, g \right)</math> द्वारा परिभाषित टेंसर | रीमानियन या स्यूडो-रिमानियन <math>n</math>-कई गुना <math>\left( M, g \right)</math> द्वारा परिभाषित टेंसर है। | ||
<math display="block">Z = \operatorname{Ric} - \frac{1}{n}Rg ,</math> | <math display="block">Z = \operatorname{Ric} - \frac{1}{n}Rg ,</math> | ||
Revision as of 23:09, 22 November 2023
विभेदक ज्यामिति में रिक्की वक्रता टेंसर को मुख्य रूप से जिसका नाम ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्ट्रो के नाम पर रखा गया है, एक प्रकार से यह ज्यामितीय से जुड़ा तत्व है, जो कई गुना हो जाने पर रीमैनियन मैनिफोल्ड या स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड या स्यूडो-रीमैनियन मीट्रिक की आवश्यकता से निर्धारित होती है। मुख्य रूप से, इसे उस डिग्री के माप के रूप में माना जाता है, जिस तक किसी दिए गए मीट्रिक टेंसर की ज्यामिति सामान्य [[स्यूडो-यूक्लिडियन स्थान]] या स्यूडो-यूक्लिडियन स्थान से स्थानीय रूप से भिन्न होती है।
रिक्की टेंसर को इस माप से पहचाना जा सकता है कि स्थान में जियोडेसिक के साथ चलते समय आकृति कैसे विकृत हो जाती है। सामान्य सापेक्षता में, जिसमें स्यूडो-रिमानियन सेटिंग उपस्थित है, यह रायचौधुरी समीकरण में रिक्की टेंसर की उपस्थिति से परिलक्षित होता है। इसे आंशिक रूप से इसी कारण आइंस्टीन क्षेत्र के समीकरणों के प्रस्ताव पर आधारित किया गया है, क्योंकि स्पेसटाइम को स्यूडो-रीमैनियन मीट्रिक द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिसमें रिक्की टेंसर और ब्रह्मांड की पदार्थ सामग्री के बीच आश्चर्यजनक सरल संबंध है।
मीट्रिक टेंसर के समान, रिक्की टेंसर मैनिफ़ोल्ड के प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान को सममित द्विरेखीय रूप (Besse 1987, p. 43) प्रदान करता है।[1] मुख्य रूप से कोई रीमैनियन ज्यामिति में रिक्की वक्रता की भूमिका को कार्यों के विश्लेषण में लाप्लास ऑपरेटर की भूमिका के अनुरूप बना सकता है, इस सादृश्य में, रीमैन वक्रता टेंसर, जिसमें से रिक्की वक्रता प्राकृतिक उप-उत्पाद है, फलन के दूसरे डेरिवेटिव के पूर्ण आव्यूह के अनुरूप होगा। चूंकि, समान सादृश्य निकालने के लिए लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर हैं।
निम्न-आयामी टोपोलॉजी या थ्री-डायमेंशनल टोपोलॉजी में, रिक्की टेंसर में वह सारी जानकारी होती है जो उच्च आयामों में अधिक जटिल रीमैन वक्रता टेंसर द्वारा एन्कोड की जाती है। कुछ सीमा तक, यह स्थिति कई ज्यामितीय और विश्लेषणात्मक उपकरणों के अनुप्रयोग की अनुमति देती है, जिसके कारण रिचर्ड एस हैमिल्टन और ग्रिगोरी पेरेलमैन के काम के माध्यम से पोंकारे अनुमान का समाधान प्राप्त हुआ हैं।
विभेदक ज्यामिति में, रीमैनियन मैनिफोल्ड पर रिक्की टेंसर पर निचली सीमाएं स्थिर वक्रता वाले स्थान रूप की ज्यामिति के साथ तुलना करके वैश्विक ज्यामितीय और टोपोलॉजिकल जानकारी निकालने की अनुमति देती हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि रिक्की टेंसर पर निचली सीमाओं का उपयोग रीमानियन ज्यामिति में लंबाई कार्यात्मकता का अध्ययन करने में सफलतापूर्वक किया जा सकता है, जैसा कि पहली बार 1941 में मायर्स प्रमेय के माध्यम से दिखाया गया था।
रिक्की टेंसर का सामान्य स्रोत यह है कि यह तब उत्पन्न होता है जब कोई टेंसर लाप्लासियन के साथ सहसंयोजक व्युत्पन्न को स्थानांतरित करता है। उदाहरण के लिए, यह बोचनर के सूत्र में इसकी उपस्थिति की व्याख्या करता है, जिसका उपयोग रीमैनियन ज्यामिति में सर्वव्यापी रूप से किया जाता है। उदाहरण के लिए, यह सूत्र बताता है कि क्यों शिंग-तुंग याउ (और चेंग-याउ और ली-याउ असमानताओं जैसे उनके विकास) के कारण ग्रेडिएंट अनुमान लगभग सदैव रिक्की वक्रता के लिए निचली सीमा पर निर्भर करते हैं।
2007 में, जॉन लोट (गणितज्ञ), कार्ल-थियोडोर स्टर्म और सेड्रिक विलानी ने निर्णायक रूप से प्रदर्शित किया कि रिक्की वक्रता पर निचली सीमा को पूर्ण रूप से रीमैनियन मैनिफोल्ड की मीट्रिक स्थान संरचना के साथ-साथ इसके वॉल्यूम फॉर्म के संदर्भ में समझा जा सकता है।[2] इसने रिक्की वक्रता और वासेरस्टीन मीट्रिक और परिवहन सिद्धांत (गणित) के बीच गहरा संबंध स्थापित किया, जो वर्तमान में बहुत शोध का विषय है।
परिभाषा
इसके कारण लगता है कि आयामी रीमैनियन मैनिफोल्ड या स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड से सुसज्जित होने के कारण लेवी-सिविटा कनेक्शन के साथ रीमैनियन वक्रता टेंसर का नक्शा है, जो सहज वेक्टर क्षेत्र , , और को उपयोग करता है और वेक्टर क्षेत्र लौटाता है।
सदिश स्थान का के लिए इस प्रकार होगा।