उत्तल संयुग्म

गणित और गणितीय अनुकूलन में, किसी फलन का उत्तल संयुग्म लीजेंड्रे रूपांतरण का एक सामान्यीकरण है जो गैर-उत्तल कार्यों पर लागू होता है। इसे लेजेंड्रे–फेंचेल रूपांतरण, फेनचेल रूपांतरण, या फेनचेल संयुग्मन (एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे और वर्नर फेनेल के बाद) के रूप में भी जाना जाता है। यह विशेष रूप से लैग्रेंजियन द्वैत के दूरगामी सामान्यीकरण की अनुमति देता है।

परिभाषा

मान लीजिये $X$ एक वास्तविक संख्या सांस्थितिक सदिश समष्टि है और मान लीजिये $X^{*}$ करने के लिए $X$ द्वैतसमष्‍टि हो। जिसे विहित द्वैध युग्मन रूप में दर्शाया जा सकता है

$\langle \cdot ,\cdot \rangle :X^{*}\times X\to \mathbb {R}$

जिसे $\left(x^{*},x\right)\mapsto x^{*}(x)$ द्वारा परिभाषित किया गया है

एक फलन $f:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ के लिए विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा पर मान लेते हुए, इसका मध्योन्नत संयुग्मन निम्न फलन है

$f^{*}:X^{*}\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$

जिसका मूल्य $x^{*}\in X^{*}$ पर सर्वोच्च के रूप में परिभाषित किया गया है:

$f^{*}\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)~\colon ~x\in X\right\},$

या, समकक्ष, न्यूनतम के संदर्भ में:

$f^{*}\left(x^{*}\right):=-\inf \left\{f(x)-\left\langle x^{*},x\right\rangle ~\colon ~x\in X\right\}.$

इस परिभाषा की व्याख्या इसके सहायक अधिसमतल के संदर्भ में फलन के अभिलेख (गणित) के अवमुख समावरक के संकेतन के रूप में की जा सकती है।

उदाहरण

अधिक उदाहरणों के लिए देखें § चयनित उत्तल संयुग्मों की तालिका.

• एक सजातीय फलन का उत्तल संयुग्म $f(x)=\left\langle a,x\right\rangle -b$ है
  $$f^{*}\left(x^{*}\right)={\begin{cases}b,&x^{*}=a\\+\infty ,&x^{*}\neq a.\end{cases}}$$
• किसी घातांक फलन का उत्तल संयुग्म $f(x)={\frac {1}{p}}|x|^{p},1<p<\infty$ है
  $$f^{*}\left(x^{*}\right)={\frac {1}{q}}|x^{*}|^{q},1<q<\infty ,{\text{where}}{\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.$$
• निरपेक्ष मान फलन का उत्तल संयुग्म $f(x)=\left|x\right|$ है
  $$f^{*}\left(x^{*}\right)={\begin{cases}0,&\left|x^{*}\right|\leq 1\\\infty ,&\left|x^{*}\right|>1.\end{cases}}$$
• घातीय फलन का उत्तल संयुग्म $f(x)=e^x$