अदिश वक्रता: Difference between revisions

Revision as of 18:22, 26 November 2023

रीमैनियन ज्यामिति के गणितीय क्षेत्र में, अदिश वक्रता या रिक्की अदिश रीमैनियन मैनिफोल्ड की वक्रता का एक माप है। रीमैनियन मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर यह उस बिंदु के निकट मीट्रिक की ज्यामिति द्वारा निर्धारित एक वास्तविक संख्या निर्दिष्ट करता है। इसे मीट्रिक घटकों के आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में एक सम्मिश्र स्पष्ट सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, चूंकि यह असीम रूप से छोटी जियोडेसिक गेंदों की मात्रा की विशेषता भी है। इस प्रकार सतहों की अवकल ज्यामिति के संदर्भ में अदिश वक्रता गॉसियन वक्रता से दोगुनी होती है और पूरी तरह से सतह की वक्रता को दर्शाती है। चूंकि, उच्च आयामों में अदिश वक्रता रीमैन वक्रता टेंसर के केवल एक विशेष भाग का प्रतिनिधित्व करती है।

आंशिक व्युत्पन्न के माध्यम से अदिश वक्रता की परिभाषा स्यूडो -रिमानियन मैनिफोल्ड्स की अधिक सामान्य सेटिंग में भी मान्य होता है। यह सामान्य सापेक्षता में महत्वपूर्ण होता है, जहां लोरेंट्ज़ियन मीट्रिक की अदिश वक्रता आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों में प्रमुख शब्दों में से एक है। इसके अतिरिक्त यह अदिश वक्रता आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया के लिए लैग्रेंजियन क्षेत्र सिद्धांत है, जिसके यूलर-लैग्रेंज समीकरण निर्वात में आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण हैं।

धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन मेट्रिक्स की ज्यामिति का व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है। इस प्रकार गैर-कॉम्पैक्ट स्थानों पर यह 1970 के दशक में रिचर्ड स्कोन और शिंग-तुंग याउ द्वारा सिद्ध किए गए धनात्मक द्रव्यमान प्रमेय का संदर्भ है और इसके तुरंत बाद एडवर्ड विटेन द्वारा विभिन्न तकनीकों के साथ पुन: प्रस्तुत किया गया है। इस प्रकार स्कोएन और याउ और स्वतंत्र रूप से मिखाइल ग्रोमोव गणितज्ञ और ब्लेन लॉसन ने धनात्मक अदिश वक्रता के मेट्रिक्स का समर्थन करने वाले बंद मैनिफोल्ड्स की टोपोलॉजी पर कई मौलिक परिणाम विकसित किए है। उनके परिणामों के संयोजन में, ग्रिगोरी पेरेलमैन द्वारा 2003 में सर्जरी के साथ रिक्की प्रवाह के निर्माण ने त्रि-आयामी स्थिति में इन टोपोलॉजी का संपूर्ण लक्षण का वर्णन प्रस्तुत किया गया है।

परिभाषा

एक रीमैनियन मीट्रिक दिया गया $g$ , अदिश वक्रता S सामान्यता R या Sc को मीट्रिक के संबंध में रिक्की वक्रता टेंसर के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के रूप में परिभाषित किया गया है^[1]

S=\operatorname {tr} _{g}\operatorname {Ric} .

अदिश वक्रता की गणना सीधे रिक्की वक्रता से नहीं की जा सकती है क्योंकि रिक्की वक्रता एक (0,2) टेंसर क्षेत्र है इस प्रकार ट्रेस लेने के लिए मीट्रिक का उपयोग इंडेक्स को बढ़ाने के लिए (1,1) टेंसर क्षेत्र प्राप्त करने के लिए किया जाना चाहिए। स्थानीय निर्देशांक के संदर्भ में कोई भीआइंस्टीन संकेतन कन्वेंशन का उपयोग करके लिख सकता है कि:^[2]

S=g^{ij}R_{ij}

जहाँ $R ij = Ric(\partial i, \partial j)$ समन्वय आधार में रिक्की टेंसर के घटक होते है और जहाँ $g ij$ मीट्रिक टेंसर घटक हैं, अर्थात मीट्रिक घटकों के व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स के घटक $g ij = g (\partial i, \partial j)$ . रिक्की वक्रता अनुभागीय वक्रता के योग के आधार पर अदिश वक्रता को इस प्रकार व्यक्त करना संभव होता है^[3]

S(p)=\sum _{i\neq j}\operatorname {sec} (e_{i},e_{j})

जहाँ सेक अनुभागीय वक्रता को दर्शाता है और $e 1, ..., e n$ p पर कोई ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम है। इसी तरह के तर्क के अनुसार, अदिश वक्रता रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की वक्रता के निशान से दोगुनी होती है।^[4] वैकल्पिक रूप से, क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों के संदर्भ में रिक्की वक्रता की समन्वय आधारित परिभाषा को देखते हुए अदिश वक्रता को इस प्रकार व्यक्त करना संभव होता है,

S=g^{\mu \nu }\left({\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu ,\lambda }-{\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \lambda ,\nu }+{\Gamma ^{\sigma }}_{\mu \nu }{\Gamma ^{\lambda }}_{\lambda \sigma }-{\Gamma ^{\sigma }}_{\mu \lambda }{\Gamma ^{\lambda }}_{\nu \sigma }\right)

जहाँ ${\Gamma ^{\mu }}_{\nu \lambda }$ मीट्रिक के क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक हैं और ${Γ^{μ}}_{}$

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 आंशिक व्युत्पन्न के माध्यम से अदिश वक्रता की परिभाषा स्यूडो -रिमानियन मैनिफोल्ड्स की अधिक सामान्य सेटिंग में भी मान्य होता है। यह [[सामान्य सापेक्षता]] में महत्वपूर्ण होता है, जहां [[लोरेंट्ज़ियन मीट्रिक]] की अदिश वक्रता [[आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण|आइंस्टीन क्षेत्र]] [[समीकरणों]] में प्रमुख शब्दों में से एक है। इसके अतिरिक्त यह अदिश वक्रता आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया के लिए [[लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत)|लैग्रेंजियन क्षेत्र सिद्धांत]] है, जिसके यूलर-लैग्रेंज समीकरण निर्वात में आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण हैं।
-धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन मेट्रिक्स की ज्यामिति का व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है। इस प्रकार गैर-कॉम्पैक्ट स्थानों पर यह 1970 के दशक में [[रिचर्ड स्कोन]] और [[शिंग-तुंग याउ]] द्वारा सिद्ध किए गए [[सकारात्मक द्रव्यमान प्रमेय|धनात्मक द्रव्यमान प्रमेय]] का संदर्भ है और इसके तुरंत बाद [[एडवर्ड विटेन]] द्वारा विभिन्न तकनीकों के साथ पुन: प्रस्तुत किया गया है। इस प्रकार स्कोएन और याउ और स्वतंत्र रूप से [[मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ)|मिखाइल ग्रोमोव गणितज्ञ]] और [[ब्लेन लॉसन]] ने धनात्मक  अदिश वक्रता के मेट्रिक्स का समर्थन करने वाले बंद मैनिफोल्ड्स की टोपोलॉजी पर कई मौलिक परिणाम विकसित किए है। उनके परिणामों के संयोजन में, [[ त्वरित पेरेलमैन | ग्रिगोरी पेरेलमैन]] द्वारा 2003 में सर्जरी के साथ रिक्की प्रवाह के निर्माण ने त्रि-आयामी स्थिति में इन टोपोलॉजी का संपूर्ण लक्षण का वर्णन प्रदान किया गया है।
+धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन मेट्रिक्स की ज्यामिति का व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है। इस प्रकार गैर-कॉम्पैक्ट स्थानों पर यह 1970 के दशक में [[रिचर्ड स्कोन]] और [[शिंग-तुंग याउ]] द्वारा सिद्ध किए गए [[सकारात्मक द्रव्यमान प्रमेय|धनात्मक द्रव्यमान प्रमेय]] का संदर्भ है और इसके तुरंत बाद [[एडवर्ड विटेन]] द्वारा विभिन्न तकनीकों के साथ पुन: प्रस्तुत किया गया है। इस प्रकार स्कोएन और याउ और स्वतंत्र रूप से [[मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ)|मिखाइल ग्रोमोव गणितज्ञ]] और [[ब्लेन लॉसन]] ने धनात्मक  अदिश वक्रता के मेट्रिक्स का समर्थन करने वाले बंद मैनिफोल्ड्स की टोपोलॉजी पर कई मौलिक परिणाम विकसित किए है। उनके परिणामों के संयोजन में, [[ त्वरित पेरेलमैन | ग्रिगोरी पेरेलमैन]] द्वारा 2003 में सर्जरी के साथ रिक्की प्रवाह के निर्माण ने त्रि-आयामी स्थिति में इन टोपोलॉजी का संपूर्ण लक्षण का वर्णन प्रस्तुत किया गया है।
 ==परिभाषा==
-एक [[रीमैनियन मीट्रिक]] दिया गया {{mvar|g}},  अदिश वक्रता ''S'' सामान्यता ''R'' या ''Sc'' को मीट्रिक के संबंध में रिक्की वक्रता टेंसर के [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया जाता है{{sfnm|1a1=Gallot|1a2=Hulin|1a3=Lafontaine|1y=2004|1loc=Definition 3.19|2a1=Lawson|2a2=Michelsohn|2y=1989|2p=160|3a1=Petersen|3y=2016|3loc=Section 1.5.2}}
+एक [[रीमैनियन मीट्रिक]] दिया गया {{mvar|g}},  अदिश वक्रता ''S'' सामान्यता ''R'' या ''Sc'' को मीट्रिक के संबंध में रिक्की वक्रता टेंसर के [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया है{{sfnm|1a1=Gallot|1a2=Hulin|1a3=Lafontaine|1y=2004|1loc=Definition 3.19|2a1=Lawson|2a2=Michelsohn|2y=1989|2p=160|3a1=Petersen|3y=2016|3loc=Section 1.5.2}}
 : <math>S = \operatorname{tr}_g \operatorname{Ric}.</math>
-अदिश वक्रता की गणना सीधे रिक्की वक्रता से नहीं की जा सकती है क्योंकि रिक्की वक्रता एक (0,2) टेंसर क्षेत्र है इस प्रकार ट्रेस लेने के लिए मीट्रिक का उपयोग इंडेक्स को बढ़ाने के लिए (1,1) टेंसर फ़ील्ड प्राप्त करने के लिए किया जाना चाहिए।  स्थानीय निर्देशांक के संदर्भ में कोई भी[[ आइंस्टीन संकेतन ]]कन्वेंशन का उपयोग करके लिख सकता है कि:{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1loc=Section 1.2.3|2a1=Petersen|2y=2016|2loc=Section 1.5.2}}
+अदिश वक्रता की गणना सीधे रिक्की वक्रता से नहीं की जा सकती है क्योंकि रिक्की वक्रता एक (0,2) टेंसर क्षेत्र है इस प्रकार ट्रेस लेने के लिए मीट्रिक का उपयोग इंडेक्स को बढ़ाने के लिए (1,1) टेंसर क्षेत्र प्राप्त करने के लिए किया जाना चाहिए।  स्थानीय निर्देशांक के संदर्भ में कोई भी[[ आइंस्टीन संकेतन ]]कन्वेंशन का उपयोग करके लिख सकता है कि:{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1loc=Section 1.2.3|2a1=Petersen|2y=2016|2loc=Section 1.5.2}}
 :<math>S  = g^{ij}R_{ij}</math>
 जहाँ {{math|''R''<sub>''ij''</sub> {{=}} Ric(∂<sub>''i''</sub>, ∂<sub>''j''</sub>)}} समन्वय आधार में रिक्की टेंसर के घटक होते है और जहाँ {{math|''g''<sup>''ij''</sup>}} [[मीट्रिक टेंसर]] घटक हैं, अर्थात मीट्रिक घटकों के व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स के घटक {{math|''g''<sub>''ij''</sub> {{=}} ''g''(∂<sub>''i''</sub>, ∂<sub>''j''</sub>)}}. रिक्की वक्रता [[अनुभागीय वक्रता]] के योग के आधार पर अदिश वक्रता को इस प्रकार व्यक्त करना संभव होता है{{sfnm|1a1=Gallot|1a2=Hulin|1a3=Lafontaine|1y=2004|1loc=Definition 3.19|2a1=Petersen|2y=2016|2loc=Section 3.1.5}}
 :<math>S(p)=\sum_{i\neq j}\operatorname{sec}(e_i,e_j)</math>
-जहाँ {{math|सेक}} अनुभागीय वक्रता को दर्शाता है और {{math|''e''<sub>1</sub>, ..., ''e''<sub>''n''</sub>}}  p पर कोई ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम है। इसी तरह के तर्क के अनुसार, अदिश वक्रता रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की वक्रता के निशान से दोगुनी होती है।{{sfnm|1a1=Petersen|1y=2016|1loc=Section 3.1.5}} वैकल्पिक रूप से, क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों के संदर्भ में रिक्की वक्रता की समन्वय आधारित परिभाषा को देखते हुए अदिश वक्रता को इस प्रकार व्यक्त करना संभव होता है,
+जहाँ सेक अनुभागीय वक्रता को दर्शाता है और {{math|''e''<sub>1</sub>, ..., ''e''<sub>''n''</sub>}}  p पर कोई ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम है। इसी तरह के तर्क के अनुसार, अदिश वक्रता रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की वक्रता के निशान से दोगुनी होती है।{{sfnm|1a1=Petersen|1y=2016|1loc=Section 3.1.5}} वैकल्पिक रूप से, क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों के संदर्भ में रिक्की वक्रता की समन्वय आधारित परिभाषा को देखते हुए अदिश वक्रता को इस प्रकार व्यक्त करना संभव होता है,
 :<math>
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 उपरोक्त परिभाषाएँ स्यूडो -रिमानियन मीट्रिक के लिए समान रूप से मान्य होती है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1F|2a1=O'Neill|2y=1983|2p=88}} लोरेंत्ज़ियन मेट्रिक्स की विशेष स्थिति सामान्य सापेक्षता के गणितीय सिद्धांत में महत्वपूर्ण होती है, जहां अदिश वक्रता और रिक्की वक्रता [[आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण]] में मौलिक शब्द के रूप में है।
-चूंकि, रीमैन वक्रता टेंसर या रिक्की टेंसर के विपरीत अदिश वक्रता को एक यादृच्छिक [[एफ़िन कनेक्शन]] के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इस कारण से (0,2) टेंसर फ़ील्ड का ट्रेस खराब परिभाषित है। चूंकि,  अदिश वक्रता के अन्य सामान्यीकरण भी होते हैं, जिनमें [[फिन्सलर ज्यामिति]] भी सम्मिलित है।{{sfnm|1a1=Bao|1a2=Chern|1a3=Shen|1y=2000}}
+चूंकि, रीमैन वक्रता टेंसर या रिक्की टेंसर के विपरीत अदिश वक्रता को एक यादृच्छिक [[एफ़िन कनेक्शन]] के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इस कारण से (0,2) टेंसर क्षेत्र का ट्रेस खराब परिभाषित है। चूंकि,  अदिश वक्रता के अन्य सामान्यीकरण भी होते हैं, जिनमें [[फिन्सलर ज्यामिति]] भी सम्मिलित है।{{sfnm|1a1=Bao|1a2=Chern|1a3=Shen|1y=2000}}
 ===पारंपरिक संकेतन===
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 एक (स्यूडो -)रिमानियन मीट्रिक दिया गया {{mvar|g}} आयाम के एक स्थान पर {{mvar|n}}, रीमैन वक्रता टेंसर का अदिश वक्रता भाग (0,4)-टेंसर क्षेत्र है
 :<math>\frac{1}{n(n-1)}R(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl}).</math>
-(यह उस परिपाटी का अनुसरण करता है {{math|''R''<sub>''ijkl''</sub> {{=}} ''g''<sub>''lp''</sub>∂<sub>''i''</sub>&Gamma;<sub>''jk''</sub><sup>''p''</sup> − ...}}.) यह टेंसर [[रिक्की अपघटन]] के भाग के रूप में महत्वपूर्ण है; यह रीमैन टेंसर और स्वयं के बीच अंतर के लिए ऑर्थोगोनल है। रिक्की अपघटन के अन्य दो भाग रिक्की वक्रता के घटकों से मेल खाते हैं जो  अदिश वक्रता में योगदान नहीं करते हैं, और [[वेइल टेंसर]] से मेल खाते हैं, जो रीमैन टेंसर का हिस्सा है जो रिक्की वक्रता में योगदान नहीं करता है। अलग ढंग से कहें तो, उपरोक्त टेंसर फ़ील्ड रीमैन वक्रता टेंसर का एकमात्र हिस्सा है जो  अदिश वक्रता में योगदान देता है; अन्य हिस्से इसके ओर्थोगोनल हैं और ऐसा कोई योगदान नहीं देते हैं।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Sections 1G and 1H}} काहलर मीट्रिक की वक्रता के लिए एक रिक्की अपघटन भी है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 2D}}
+(यह उस परिपाटी का अनुसरण करता है {{math|''R''<sub>''ijkl''</sub> {{=}} ''g''<sub>''lp''</sub>∂<sub>''i''</sub>&Gamma;<sub>''jk''</sub><sup>''p''</sup> − ...}}.) यह टेंसर [[रिक्की अपघटन]] के भाग के रूप में महत्वपूर्ण है; यह रीमैन टेंसर और स्वयं के बीच अंतर के लिए ऑर्थोगोनल है। रिक्की अपघटन के अन्य दो भाग रिक्की वक्रता के घटकों से मेल खाते हैं जो  अदिश वक्रता में योगदान नहीं करते हैं, और [[वेइल टेंसर]] से मेल खाते हैं, जो रीमैन टेंसर का हिस्सा है जो रिक्की वक्रता में योगदान नहीं करता है। अलग ढंग से कहें तो, उपरोक्त टेंसर क्षेत्र रीमैन वक्रता टेंसर का एकमात्र हिस्सा है जो  अदिश वक्रता में योगदान देता है; अन्य हिस्से इसके ओर्थोगोनल हैं और ऐसा कोई योगदान नहीं देते हैं।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Sections 1G and 1H}} काहलर मीट्रिक की वक्रता के लिए एक रिक्की अपघटन भी है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 2D}}
 ===मूल सूत्र===
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 ===अस्तित्वहीनता परिणाम===
-के दशक में, आंद्रे लिचनेरोविक्ज़ ने पाया कि एक [[ कई गुना घूमना ]] पर, [[डिराक ऑपरेटर]] और [[टेंसर लाप्लासियन]] के वर्ग के बीच का अंतर (जैसा कि स्पिनर फ़ील्ड पर परिभाषित किया गया है)  अदिश वक्रता के एक-चौथाई द्वारा दिया जाता है। यह वीट्ज़ेनबॉक सूत्र का एक मौलिक उदाहरण है। परिणामस्वरूप, यदि एक बंद मैनिफोल्ड पर रीमैनियन मीट्रिक में धनात्मक  अदिश वक्रता है, तो कोई [[हार्मोनिक स्पिनर]] मौजूद नहीं हो सकता है। यह अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय का परिणाम है कि, चार से विभाज्य और धनात्मक  अदिश वक्रता वाले आयाम वाले किसी भी बंद स्पिन के लिए, जीनस गायब हो जाना चाहिए। यह धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन मेट्रिक्स के अस्तित्व में एक विशुद्ध रूप से टोपोलॉजिकल बाधा है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1I|2a1=Gilkey|2y=1995|2loc=Section 4.1|3a1=Jost|3y=2017|3loc=Sections 4.4 and 4.5|4a1=Lawson|4a2=Michelsohn|4y=1989|4loc=Section II.8}}
+के दशक में, आंद्रे लिचनेरोविक्ज़ ने पाया कि एक [[ कई गुना घूमना ]] पर, [[डिराक ऑपरेटर]] और [[टेंसर लाप्लासियन]] के वर्ग के बीच का अंतर (जैसा कि स्पिनर क्षेत्र पर परिभाषित किया गया है)  अदिश वक्रता के एक-चौथाई द्वारा दिया जाता है। यह वीट्ज़ेनबॉक सूत्र का एक मौलिक उदाहरण है। परिणामस्वरूप, यदि एक बंद मैनिफोल्ड पर रीमैनियन मीट्रिक में धनात्मक  अदिश वक्रता है, तो कोई [[हार्मोनिक स्पिनर]] मौजूद नहीं हो सकता है। यह अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय का परिणाम है कि, चार से विभाज्य और धनात्मक  अदिश वक्रता वाले आयाम वाले किसी भी बंद स्पिन के लिए, जीनस गायब हो जाना चाहिए। यह धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन मेट्रिक्स के अस्तित्व में एक विशुद्ध रूप से टोपोलॉजिकल बाधा है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1I|2a1=Gilkey|2y=1995|2loc=Section 4.1|3a1=Jost|3y=2017|3loc=Sections 4.4 and 4.5|4a1=Lawson|4a2=Michelsohn|4y=1989|4loc=Section II.8}}
 डिराक ऑपरेटर का उपयोग करते हुए लिचनेरोविक्ज़ के तर्क को एक सहायक [[वेक्टर बंडल]] द्वारा घुमाया जा सकता है, जिसका प्रभाव लिचनेरोविक्ज़ सूत्र में केवल एक अतिरिक्त शब्द को सम्मिलित करना है।{{sfnm|1a1=Lawson|1a2=Michelsohn|1y=1989|1loc=Sections II.8 and IV.3}} फिर, सूचकांक प्रमेय के पारिवारिक संस्करण और α-जीनस के रूप में जाने जाने वाले जीनस के एक परिष्कृत संस्करण का उपयोग करने के अलावा ऊपर दिए गए समान विश्लेषण के बाद, [[निगेल हिचिन]] ने साबित किया कि कुछ आयामों में [[विदेशी क्षेत्र]] हैं जिनमें कोई रीमैनियन नहीं है धनात्मक अदिश वक्रता के मैट्रिक्स. ग्रोमोव और लॉसन ने बाद में लिचनेरोविक्ज़ के काम के इन रूपों को बड़े पैमाने पर नियोजित किया। उनके परिणामी प्रमेय में से एक प्रमेय विस्तार की होमोटॉपी-सैद्धांतिक धारणा का परिचय देता है और कहता है कि एक बड़े स्पिन मैनिफोल्ड में धनात्मक  अदिश वक्रता का रीमैनियन मीट्रिक नहीं हो सकता है। परिणाम के रूप में, गैर-धनात्मक वक्रता के रीमैनियन मीट्रिक के साथ एक बंद मैनिफोल्ड, जैसे [[ टोरस्र्स ]], में धनात्मक  अदिश वक्रता वाला कोई मीट्रिक नहीं होता है। धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन मेट्रिक्स के गैर-अस्तित्व पर ग्रोमोव और लॉसन के विभिन्न परिणाम धनात्मक अदिश वक्रता के साथ किसी भी बंद स्पिन मैनिफोल्ड के टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट की एक विस्तृत विविधता के लुप्त होने पर एक अनुमान का समर्थन करते हैं। यह (सटीक सूत्रीकरण में) बदले में [[मौलिक समूह]] के लिए [[नोविकोव अनुमान]] का एक विशेष स्थिति होगा, जो सी*-बीजगणित के [[ऑपरेटर के-सिद्धांत]]|के-सिद्धांत से संबंधित है।{{sfnm|1a1=Blackadar|1y=1998|1loc=Section 24.3|2a1=Lawson|2a2=Michelsohn|2y=1989|2loc=Section IV.5}} यह बदले में मौलिक समूह के लिए बॉम-कॉन्स अनुमान का एक विशेष स्थिति है।{{sfnm|1a1=Blackadar|1y=1998|1loc=Section 24.4}}

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