चाउ समूह

बीजगणितीय ज्यामिति में, चाउ समूह (वी-एल इयान जीसी कैसे द्वारा नामित) Claude Chevalley (1958)) किसी भी क्षेत्र (गणित) पर एक बीजगणितीय किस्म के बीजगणित-ज्यामितीय समरूपता (गणित) के एक सांस्थितिक स्थान के अनुरूप हैं। चाउ समूह के तत्व उप-किस्मों (तथाकथित बीजगणितीय चक्र ों) से उसी तरह से बनते हैं जैसे सरल या सेलुलर होमोलॉजी समूह उप-परिसरों से बनते हैं। जब विविधता सहज योजना होती है, चाउ समूहों को कोहोलॉजी समूहों के रूप में व्याख्या किया जा सकता है (पॉइनकेयर द्वैत की तुलना करें) और एक गुणन होता है जिसे प्रतिच्छेदन उत्पाद कहा जाता है। चाउ समूह एक बीजगणितीय विविधता के बारे में समृद्ध जानकारी रखते हैं, और वे सामान्य रूप से गणना करने के लिए समान रूप से कठिन हैं।

तर्कसंगत तुल्यता और चाउ समूह

निम्नलिखित के लिए, एक क्षेत्र में विविधता को परिभाषित करें $k$ बीजगणितीय ज्यामिति की शब्दावली होना # बीजगणितीय ज्यामिति की शब्दावली की अभिन्न योजना (गणित) # परिमित प्रकार (स्थानीय रूप से) $k$. किसी भी योजना के लिए $X$ परिमित प्रकार का $k$, एक बीजीय चक्र पर $X$ का अर्थ है की उप-प्रजातियों का एक परिमित रैखिक संयोजन $X$ पूर्णांक गुणांक के साथ। (यहां और नीचे, उप-प्रजातियों को बंद समझा जाता है $X$, जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो।) एक प्राकृतिक संख्या के लिए $i$, समूह $Z_{i}(X)$ का $i$-आयामी चक्र (या $i$-चक्र, संक्षेप में) चालू $X$ के सेट पर मुक्त एबेलियन समूह है $i$की आयामी उप-किस्में $X$.

एक किस्म के लिए $W$ आयाम का $i+1$ और बीजीय किस्म का कोई भी कार्य क्षेत्र $f$ पर $W$ जो समान रूप से शून्य नहीं है, का विभाजक (बीजगणितीय ज्यामिति)। $f$ है $i$-चक्र

$(f)=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)Z,$

जहां योग सभी पर चलता है $i$-आयामी उप-किस्में $Z$ का $W$ और पूर्णांक $\operatorname {ord} _{Z}(f)$ के लुप्त होने के क्रम को दर्शाता है $f$ साथ-साथ $Z$. (इस प्रकार $\operatorname {ord} _{Z}(f)$ नकारात्मक है अगर $f$ साथ में एक पोल है $Z$।) लुप्त होने के क्रम की परिभाषा के लिए कुछ देखभाल की आवश्यकता है $W$ एकवचन। एक योजना के लिए $X$ परिमित प्रकार का $k$, का समूह $i$-चक्र तर्कसंगत रूप से शून्य के बराबर है का उपसमूह है $Z_{i}(X)$ चक्रों द्वारा उत्पन्न $(f)$ सभी के लिए $(i+1)$-आयामी उप-किस्में $W$ का $X$ और सभी गैर-शून्य तर्कसंगत कार्य $f$ पर $W$. चाउ समूह $CH_{i}(X)$ का $i$-आयामी चक्र चालू $X$ का भागफल समूह है $Z_{i}(X)$ चक्रों के उपसमूह द्वारा तर्कसंगत रूप से शून्य के बराबर। कभी कोई लिखता है $[Z]$ एक उपप्रकार के वर्ग के लिए $Z$ चाउ समूह में, और यदि दो उप-प्रजातियां $Z$ तथा $W$ पास होना $[Z]=[W]$, फिर $Z$ तथा $W$ तर्कसंगत रूप से समकक्ष कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, कब $X$ आयाम की एक किस्म है $n$चाउ समूह $CH_{n-1}(X)$ का भाजक वर्ग समूह है $X$. कब $X$ चिकना है $k$, यह उलटा शीफ ​​के पिकार्ड समूह के लिए आइसोमोर्फिक है $X$.

परिमेय तुल्यता के उदाहरण

प्रोजेक्टिव स्पेस पर तर्कसंगत तुल्यता

हाइपरसर्फेस द्वारा परिभाषित तर्कसंगत रूप से समतुल्य चक्र प्रोजेक्टिव स्पेस पर निर्माण करना आसान है क्योंकि वे सभी एक ही वेक्टर बंडल के लुप्त होने वाले लोकी के रूप में निर्मित किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, डिग्री के दो सजातीय बहुपद दिए गए हैं $d$, इसलिए $f,g\in H^{0}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d))$, हम के लुप्त होने वाले ठिकाने के रूप में परिभाषित हाइपरसर्फ्स के एक परिवार का निर्माण कर सकते हैं $sf+tg$. योजनाबद्ध रूप से, इसका निर्माण इस प्रकार किया जा सकता है