चतुष्फलकीय संख्या: Difference between revisions

Revision as of 14:15, 16 November 2022

5 भुजाओं वाले एक पिरामिड में 35 गोले हैं। प्रत्येक परत पहले पांच त्रिकोणीय संख्याओं में से एक का प्रतिनिधित्व करती है।

चतुष्फलकीय संख्या, या त्रिकोणीय पिरामिड संख्या, एक आलंकारिक संख्या है जो एक त्रिकोणीय आधार और तीन पक्षों के साथ एक पिरामिड (ज्यामिति) का प्रतिनिधित्व करती है, जिसे टेट्राहेड्रोन कहा जाता है। n वें चतुष्फलकीय संख्या, Ten _n, प्रथम n त्रिकोणीय संख्याओं का योग है, अर्थात,

Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)

चतुष्फलकीय संख्याएँ हैं:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ... (sequence A000292 in the OEIS)

सूत्र

Template:Pascal triangle simplex numbers.svg n वें चतुष्फलकीय संख्या के सूत्र को n के तीसरे बढ़ते गुणनखंड द्वारा 3 के भाज्य द्वारा विभाजित करके दर्शाया गया है :

Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\right)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\frac {n^{\overline {3}}}{3!}}

चतुष्फलकीय संख्याओं को द्विपद गुणांक के रूप में भी दर्शाया जा सकता है:

Te_{n}={\binom {n+2}{3}}.

इसलिए चतुष्फलकीय संख्याएं पास्कल के त्रिभुज में बाएं या दाएं से चौथे स्थान पर पाई जा सकती हैं ।

सूत्र के प्रमाण

यह प्रमाण इस तथ्य का उपयोग करता है कि n वें त्रिकोणीय संख्या द्वारा दिया गया है

T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}.

यह गणितीय प्रेरण द्वारा आगे बढ़ता है।

मुख्य मामला: $Te_{1}=1={\frac {1\cdot 2\cdot 3}{6}}.$

आगमनात्मक कदम

${\begin{aligned}Te_{n+1}\quad &=Te_{n}+T_{n+1}\\&={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}\\&=(n+1)(n+2)\left({\frac {n}{6}}+{\frac {1}{2}}\right)\\&={\frac {(n+1)(n+2)(n+3)}{6}}.\end{aligned}}$

सूत्र को गोस्पर के एल्गोरिथम द्वारा भी सिद्ध किया जा सकता है।

सामान्यीकरण

त्रिकोणीय संख्याओं $\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{2}+1}{2}}$ और चतुष्फलकीय संख्याओं $\sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{3}+2}{3}}$ के लिए पाया गया पैटर्न सामान्यीकृत किया जा सकता है। यह सूत्र की ओर जाता है:^[1]

\sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}\sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\ldots \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{k}+k-1}{k}}

ज्यामितीय व्याख्या

चतुष्फलकीय संख्याओं को गोले बनाकर प्रतिरूपित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पाँचवीं चतुष्फलकीय संख्या ( $Te 5 = 35$ ) को 35 बिलियर्ड गेंदों और मानक त्रिकोणीय बिलियर्ड्स बॉल फ्रेम के साथ तैयार किया जा सकता है जिसमें 15 गेंदें होती हैं। फिर उनके ऊपर 10 और गेंदें रखी जाती हैं, फिर उनके ऊपर 6 और, फिर उनके ऊपर 3 और शीर्ष पर एक गेंद टेट्राहेड्रोन को पूरा करती है।

जब क्रम- $n$ चतुष्फलक से निर्मित $Te n$ गोले को एक इकाई के रूप में उपयोग किया जाता है, तो यह दिखाया जा सकता है कि ऐसी इकाइयों के साथ एक अंतरिक्ष टाइलिंग एन ≤ 4 तक एक घने क्षेत्र पैकिंग प्राप्त कर सकता है ।^[2]^{[dubious – discuss]}

चतुष्फलकीय मूल और चतुष्फलकीय संख्याओं के लिए परीक्षण

x के घनमूल के अनुरूप, कोई भी x के (वास्तविक) चतुष्फलकीय मूल को संख्या n के रूप में परिभाषित कर सकता है जैसे कि Te_n = x:

n={\sqrt[{3}]{3x+{\sqrt {9{x^{2}}-{\frac {1}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{3x-{\sqrt {9{x^{2}}-{\frac {1}{27}}}}}}-1

जो कार्डानो के सूत्र से अनुसरण करता है। समान रूप से, यदि x का वास्तविक चतुष्फलकीय मूल n एक पूर्णांक है, तो x n वाँ चतुष्फलकीय संख्या है।

गुण

Te_n + Te_n₋₁ = 1² + 2² + 3² .. + n²,वर्ग पिरामिड संख्याएँ।
Te_2n+1 = 1² + 3² .. + (2n+1)², विषम वर्गों का योग।

Te_2n = 2² + 4² .. + (2n)² , सम वर्गों का योग।

ए.जे.मील ने 1878 में सिद्ध किया कि केवल तीन चतुष्फलकीय संख्याएँ भी पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं, अर्थात्:
$Te 1 = 1 2 = 1$

$Te 2 = 2 2 = 4$

$Te 48 = 140 2 = 19600$ .
सर फ्रेडरिक पोलॉक, प्रथम बैरोनेट ने अनुमान लगाया कि प्रत्येक संख्या अधिकतम 5 चतुष्फलकीय संख्याओं का योग है: पोलक चतुष्फलकीय संख्या अनुमान देखें।
एकमात्र चतुष्फलकीय संख्या जो एक वर्ग पिरामिड संख्या भी है 1 (बीयूकर्स, 1988), और एकमात्र चतुष्फलकीय संख्या जो एक पूर्ण घन भी है, 1 है।
चतुष्फलकीय संख्याओं के व्युत्क्रम का अपरिमित योग 3/2 है, जिसे दूरबीन श्रृंखला का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:
$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.$
चतुष्फलकीय संख्याओं की समता (गणित) सम-विषम-सम-सम-सम-विषम दोहराव वाले पैटर्न का अनुसरण करती है।
चतुष्फलकीय संख्याओं का अवलोकन:
$Te 5 = Te 4 + Te 3 + Te 2 + Te 1$
जो संख्याएं त्रिकोणीय और चतुष्फलकीय दोनों हैं, उन्हें द्विपद गुणांक समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए:
$T_{n}={\binom {n+1}{2}}={\binom {m+2}{3}}=Te_{m}.$

केवल वही संख्याएँ जो चतुष्फलकीय और त्रिभुजाकार दोनों संख्याएँ हैं: (sequence A027568 in the OEIS):

Te 1 = T 1 = 1

Te 3 = T 4 = 10

Te 8 = T 15 = 120

Te 20 = T 55 = 1540

Te 34 = T 119 = 7140

$Te n$ सभी उत्पादों p × q का योग है जहाँ (p, q) क्रमित जोड़े हैं और p + q = n + 1
$Te n$ , (n + 2)-बिट संख्याओं की संख्या है जिसमें उनके द्विआधारी विस्तार में 1 के दो रन होते हैं।

यह भी देखें

केंद्रित त्रिकोणीय संख्या

संदर्भ

↑ Baumann, Michael Heinrich (2018-12-12). "मरो [[:Template:गणित]]-dimensionale Champagnerpyramide" (PDF). Mathematische Semesterberichte (in Deutsch). 66: 89–100. doi:10.1007/s00591-018-00236-x. ISSN 1432-1815. S2CID 125426184. {{cite journal}}: URL–wikilink conflict (help)
↑ "टेट्राहेड्रा". 21 May 2000. Archived from the original on 2000-05-21.
↑ Brent (2006-12-21). "क्रिसमस और टेट्राहेड्रल नंबर के बारह दिन". Mathlesstraveled.com. Retrieved 2017-02-28.

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W. "Tetrahedral Number". MathWorld.
Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.

[1] Baumann, Michael Heinrich (2018-12-12). "मरो [[:Template:गणित]]-dimensionale Champagnerpyramide" (PDF). Mathematische Semesterberichte (in Deutsch). 66: 89–100. doi:10.1007/s00591-018-00236-x. ISSN 1432-1815. S2CID 125426184. {{cite journal}}: URL–wikilink conflict (help)

[2] "टेट्राहेड्रा". 21 May 2000. Archived from the original on 2000-05-21.

[3] Brent (2006-12-21). "क्रिसमस और टेट्राहेड्रल नंबर के बारह दिन". Mathlesstraveled.com. Retrieved 2017-02-28.

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 [[Image:Pyramid of 35 spheres animation.gif|frame|right|5 भुजाओं वाले एक पिरामिड में 35 गोले हैं। प्रत्येक परत पहले पांच त्रिकोणीय संख्याओं में से एक का प्रतिनिधित्व करती है।]]
 {{Refimprove|date=February 2017}}
-एक टेट्राहेड्रल संख्या, या त्रिकोणीय पिरामिड संख्या, एक आलंकारिक संख्या है जो एक त्रिकोणीय आधार और तीन पक्षों के साथ एक पिरामिड (ज्यामिति) का प्रतिनिधित्व करती है, जिसे टेट्राहेड्रोन कहा जाता है। {{mvar|n}}n}}वें चतुष्फलकीय संख्या, {{mvar|Te<sub>n</sub>}}, पहले का योग है {{mvar|n}} त्रिकोणीय संख्या, अर्थात्,
+चतुष्फलकीय संख्या, या त्रिकोणीय पिरामिड संख्या, एक आलंकारिक संख्या है जो एक त्रिकोणीय आधार और तीन पक्षों के साथ एक पिरामिड (ज्यामिति) का प्रतिनिधित्व करती है, जिसे टेट्राहेड्रोन कहा जाता है। n वें चतुष्फलकीय संख्या, Ten <sub>n</sub>, प्रथम n त्रिकोणीय संख्याओं का योग है, अर्थात,
 :<math> Te_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} = \sum_{k=1}^n \left(\sum_{i=1}^k i\right)</math>
 चतुष्फलकीय संख्याएँ हैं:
-:1, 4, 10, 20 (संख्या), 35 (संख्या), 56 (संख्या), 84 (संख्या), 120 (संख्या), 165 (संख्या), 220 (संख्या), ... {{OEIS|id=A000292}}
+:1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ... {{OEIS|id=A000292}}
 == सूत्र ==
-{{Pascal_triangle_simplex_numbers.svg}}                                                                                                                                                                                              के लिए सूत्र {{mvar|n}}वें चतुष्फलकीय संख्या को . के तीसरे बढ़ते भाज्य द्वारा दर्शाया जाता है {{mvar|n}} 3 के भाज्य द्वारा विभाजित:
+{{Pascal_triangle_simplex_numbers.svg}}                                                                                                                                                                                               n वें चतुष्फलकीय संख्या के सूत्र को n के तीसरे बढ़ते गुणनखंड द्वारा 3 के भाज्य द्वारा विभाजित करके दर्शाया गया है :
 :<math>Te_n= \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} = \sum_{k=1}^n \left(\sum_{i=1}^k i\right)=\frac{n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{n^{\overline 3}}{3!}</math>
 चतुष्फलकीय संख्याओं को द्विपद गुणांक के रूप में भी दर्शाया जा सकता है:
 :<math>Te_n=\binom{n+2}{3}.</math>
-टेट्राहेड्रल नंबर इसलिए चौथे स्थान पर पास्कल के त्रिकोण में बाएं या दाएं से पाए जा सकते हैं।
+इसलिए चतुष्फलकीय संख्याएं पास्कल के त्रिभुज में बाएं या दाएं से चौथे स्थान पर पाई जा सकती हैं ।
 === सूत्र के प्रमाण ===
-यह प्रमाण इस तथ्य का उपयोग करता है कि {{mvar|n}}त्रिकोणीय संख्या द्वारा दी गई है
+यह प्रमाण इस तथ्य का उपयोग करता है कि n वें त्रिकोणीय संख्या द्वारा दिया गया है
 :<math>T_n=\frac{n(n+1)}{2}.</math>
 यह गणितीय प्रेरण द्वारा आगे बढ़ता है।
@@ Line 21: / Line 21: @@
 ;मुख्य मामला
 :<math>Te_1 = 1 = \frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}.</math>
-आगमनात्मक कदम
-:<math>\begin{align}
+==== आगमनात्मक कदम ====
+=== <math>\begin{align}
 Te_{n+1} \quad
 &= Te_n + T_{n+1} \\
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 &= (n+1)(n+2)\left(\frac{n}{6}+\frac{1}{2}\right) \\
 &= \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}.
-\end{align}</math>
+\end{align}</math> ===
 सूत्र को गोस्पर के एल्गोरिथम द्वारा भी सिद्ध किया जा सकता है।
 == सामान्यीकरण ==
-त्रिकोणीय संख्याओं के लिए पाया गया पैटर्न <math> \sum_{n_1=1}^{n_2}n_1=\binom{n_2+1}{2}</math> और चतुष्फलकीय संख्याओं के लिए <math> \sum_{n_2=1}^{n_3}\sum_{n_1=1}^{n_2}n_1=\binom{n_3+2}{3}</math> सामान्यीकृत किया जा सकता है। यह सूत्र की ओर जाता है:<ref>{{Cite journal|last=Baumann|first=Michael Heinrich|date=2018-12-12|title=मरो {{गणित|''k''}}-dimensionale Champagnerpyramide|journal=Mathematische Semesterberichte|language=de|volume=66|pages=89–100|doi=10.1007/s00591-018-00236-x|s2cid=125426184 |issn=1432-1815|url=https://epub.uni-bayreuth.de/3850/1/Baumann_Champagnerpyramide.pdf }}</ref>
+त्रिकोणीय संख्याओं  <math> \sum_{n_1=1}^{n_2}n_1=\binom{n_2+1}{2}</math> और चतुष्फलकीय संख्याओं  <math> \sum_{n_2=1}^{n_3}\sum_{n_1=1}^{n_2}n_1=\binom{n_3+2}{3}</math> के लिए पाया गया पैटर्न सामान्यीकृत किया जा सकता है। यह सूत्र की ओर जाता है:<ref>{{Cite journal|last=Baumann|first=Michael Heinrich|date=2018-12-12|title=मरो {{गणित|''k''}}-dimensionale Champagnerpyramide|journal=Mathematische Semesterberichte|language=de|volume=66|pages=89–100|doi=10.1007/s00591-018-00236-x|s2cid=125426184 |issn=1432-1815|url=https://epub.uni-bayreuth.de/3850/1/Baumann_Champagnerpyramide.pdf }}</ref>
 <math display=block> \sum_{n_{k-1}=1}^{n_k}\sum_{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\ldots\sum_{n_2=1}^{n_3}\sum_{n_1=1}^{n_2}n_1=\binom{n_k+k-1}{k}</math>
 == ज्यामितीय व्याख्या ==
-चतुष्फलकीय संख्याओं को गोले बनाकर प्रतिरूपित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पाँचवीं चतुष्फलकीय संख्या ({{math|''Te''<sub>5</sub> {{=}} 35}}) को 35 बिलियर्ड गेंदों और मानक त्रिकोणीय बिलियर्ड्स बॉल फ्रेम के साथ तैयार किया जा सकता है जिसमें 15 गेंदें होती हैं। फिर उनके ऊपर 10 और गेंदें रखी जाती हैं, फिर एक और 6, फिर एक और तीन और शीर्ष पर एक गेंद टेट्राहेड्रोन को पूरा करती है।
+चतुष्फलकीय संख्याओं को गोले बनाकर प्रतिरूपित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पाँचवीं चतुष्फलकीय संख्या ({{math|''Te''<sub>5</sub> {{=}} 35}}) को 35 बिलियर्ड गेंदों और मानक त्रिकोणीय बिलियर्ड्स बॉल फ्रेम के साथ तैयार किया जा सकता है जिसमें 15 गेंदें होती हैं। फिर उनके ऊपर 10 और गेंदें रखी जाती हैं, फिर उनके ऊपर 6 और, फिर उनके ऊपर 3 और शीर्ष पर एक गेंद टेट्राहेड्रोन को पूरा करती है।
-जब आदेश-{{mvar|n}} चतुष्फलक से निर्मित {{math|''Te''<sub>''n''</sub>}} गोले को एक इकाई के रूप में उपयोग किया जाता है, यह दिखाया जा सकता है कि ऐसी इकाइयों के साथ एक अंतरिक्ष टाइलिंग एक सघन क्षेत्र पैकिंग प्राप्त कर सकती है जब तक कि {{math|''n'' ≤ 4}}.<ref>{{cite web|url=http://www.pisquaredoversix.force9.co.uk/टेट्राहेड्रा.htm|title=टेट्राहेड्रा|date=21 May 2000|archive-url=https://web.archive.org/web/20000521231622/http://www.pisquaredoversix.force9.co.uk/टेट्राहेड्रा.htm|archive-date=2000-05-21}}</ref>{{dubious|reason=diagram does not prove the statement|date=September 2018}}
+जब क्रम-{{mvar|n}} चतुष्फलक से निर्मित {{math|''Te''<sub>''n''</sub>}} गोले को एक इकाई के रूप में उपयोग किया जाता है, तो यह दिखाया जा सकता है कि ऐसी इकाइयों के साथ एक अंतरिक्ष टाइलिंग ''एन'' ≤ 4 तक एक घने क्षेत्र पैकिंग प्राप्त कर सकता है ।<ref>{{cite web|url=http://www.pisquaredoversix.force9.co.uk/टेट्राहेड्रा.htm|title=टेट्राहेड्रा|date=21 May 2000|archive-url=https://web.archive.org/web/20000521231622/http://www.pisquaredoversix.force9.co.uk/टेट्राहेड्रा.htm|archive-date=2000-05-21}}</ref>{{dubious|reason=diagram does not prove the statement|date=September 2018}}
-==चतुष्फलकीय जड़ें और चतुष्फलकीय संख्याओं के लिए परीक्षण{{Anchor|tetrahedral root}}==
+==चतुष्फलकीय मूल और चतुष्फलकीय संख्याओं के लिए परीक्षण{{Anchor|tetrahedral root}}==
-के घनमूल की सादृश्यता से {{mvar|x}}, कोई (वास्तविक) चतुष्फलकीय जड़ को परिभाषित कर सकता है {{mvar|x}} संख्या के रूप में {{math|''n''}} ऐसा है कि {{math|1=''Te''<sub>''n''</sub> = ''x''}}:
+x के घनमूल के अनुरूप, कोई भी x के (वास्तविक) चतुष्फलकीय मूल को संख्या ''n'' के रूप में परिभाषित कर सकता है जैसे कि ''Te<sub>n</sub>'' = ''x'':
 <math display=block>n = \sqrt[3]{3x+\sqrt{9{x^2}-\frac{1}{27}}} +\sqrt[3]{3x-\sqrt{9{x^2}-\frac{1}{27}}} -1</math>
-जो कार्डानो के सूत्र से अनुसरण करता है। समान रूप से, यदि वास्तविक चतुष्फलकीय जड़ {{mvar|n}} का {{mvar|x}} एक पूर्णांक है, {{mvar|x}} है {{mvar|n}}वें टेट्राहेड्रल संख्या।
+जो कार्डानो के सूत्र से अनुसरण करता है। समान रूप से, यदि x का वास्तविक चतुष्फलकीय मूल n एक पूर्णांक है, तो x n वाँ चतुष्फलकीय संख्या है।
 == गुण ==
-*
+* ''Te<sub>n</sub>'' + ''Te<sub>n</sub>''<sub>−1</sub> = 1<sup>2</sup> + 2<sup>2</sup> + 3<sup>2</sup> .. + ''n''<sup>2</sup>,वर्ग पिरामिड संख्याएँ।
-:{{math|''Te''<sub>''n''</sub> + ''Te''<sub>''n''−1</sub> {{=}} 1<sup>2</sup> + 2<sup>2</sup> + 3<sup>2</sup> ... + ''n''<sup>2</sup>}}, वर्ग पिरामिड संख्याएँ।
+*: ''Te<sub>2n+1</sub>'' = 1<sup>2</sup> + 3<sup>2</sup> .. + ''(2n+1)''<sup>2</sup>, विषम वर्गों का योग।
-:{{math|''Te''<sub>''2n+1''</sub> {{=}} 1<sup>2</sup> + 3<sup>2</sup> ... + ''(2n+1)''<sup>2</sup>}}, विषम वर्गों का योग।
+*: ''Te<sub>2n</sub>''<sub>  </sub> = 2<sup>2</sup> + 4<sup>2</sup> .. + ''(2n)''<sup>2</sup>  , सम वर्गों का योग।
-:{{math|''Te''<sub>''2n''&numsp;&numsp;</sub> {{=}} 2<sup>2</sup> + 4<sup>2</sup> ... + ''(2n)''<sup>2</sup>&numsp;&numsp;}}, सम वर्गों का योग।
-*ए। जे. मेयल ने 1878 में सिद्ध किया कि केवल तीन चतुष्फलकीय संख्याएँ भी वर्ग संख्याएँ हैं, अर्थात्:
+*ए.जे.मील ने 1878 में सिद्ध किया कि केवल तीन चतुष्फलकीय संख्याएँ भी पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं, अर्थात्:
 *:{{math|1=''Te''<sub>1&numsp;</sub> = &numsp;&numsp;1<sup>2</sup> = &numsp;&numsp;&numsp;&numsp;1}}
 *:{{math|1=''Te''<sub>2&numsp;</sub> = &numsp;&numsp;2<sup>2</sup> = &numsp;&numsp;&numsp;&numsp;4}}
 *:{{math|1=''Te''<sub>48</sub> = 140<sup>2</sup> = 19600}}.
-*सर फ्रेडरिक पोलॉक, प्रथम बैरोनेट ने अनुमान लगाया कि प्रत्येक संख्या अधिकतम 5 टेट्राहेड्रल संख्याओं का योग है: पोलक टेट्राहेड्रल संख्या अनुमान देखें।
+*सर फ्रेडरिक पोलॉक, प्रथम बैरोनेट ने अनुमान लगाया कि प्रत्येक संख्या अधिकतम 5 चतुष्फलकीय संख्याओं का योग है: पोलक चतुष्फलकीय संख्या अनुमान देखें।
-* एकमात्र चतुष्फलकीय संख्या जो एक वर्ग पिरामिड संख्या भी है 1 (बीकर्स, 1988) है, और एकमात्र चतुष्फलकीय संख्या जो एक पूर्ण घन भी है, 1 है।
+* एकमात्र चतुष्फलकीय संख्या जो एक वर्ग पिरामिड संख्या भी है 1 (बीयूकर्स, 1988), और एकमात्र चतुष्फलकीय संख्या जो एक पूर्ण घन भी है, 1 है।
-* चतुष्फलकीय संख्याओं के व्युत्क्रम का अनंत योग है {{sfrac|3|2}}, जिसे दूरबीन श्रृंखला का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:
+* चतुष्फलकीय संख्याओं के व्युत्क्रम का अपरिमित योग {{sfrac|3|2}} है, जिसे दूरबीन श्रृंखला का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:
 *:<math> \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{n(n+1)(n+2)} = \frac{3}{2}.</math>
 * चतुष्फलकीय संख्याओं की समता (गणित) सम-विषम-सम-सम-सम-विषम दोहराव वाले पैटर्न का अनुसरण करती है।
 *चतुष्फलकीय संख्याओं का अवलोकन:
 *:{{math|''Te''<sub>5</sub> {{=}} ''Te''<sub>4</sub> + ''Te''<sub>3</sub> + ''Te''<sub>2</sub> + ''Te''<sub>1</sub>}}
-*संख्याएं जो त्रिकोणीय और चतुष्फलकीय दोनों हैं, द्विपद गुणांक समीकरण को संतुष्ट करती हैं:
+*जो संख्याएं त्रिकोणीय और चतुष्फलकीय दोनों हैं, उन्हें द्विपद गुणांक समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए:
 *:<math>T_n=\binom{n+1}{2}=\binom{m+2}{3}=Te_m.</math>
 : केवल वही संख्याएँ जो चतुष्फलकीय और त्रिभुजाकार दोनों संख्याएँ हैं: {{OEIS|id=A027568}}:
@@ Line 70: / Line 72: @@
 :: {{math|1=''Te''<sub>20</sub> = ''T''<sub>55&numsp;</sub> = 1540}}
 :: {{math|1=''Te''<sub>34</sub> = ''T''<sub>119</sub> = 7140}}
-*{{math|1=''Te''<sub>''n''</sub>}} सभी उत्पादों का योग है p × q जहाँ (p, q) क्रमित जोड़े हैं और p + q = n + 1
+*{{math|1=''Te''<sub>''n''</sub>}} सभी उत्पादों p × q का योग है जहाँ (p, q) क्रमित जोड़े हैं और p + q = n + 1
-*{{math|1=''Te''<sub>''n''</sub>}} (n + 2)-बिट संख्याओं की संख्या है जिसमें उनके द्विआधारी विस्तार में 1 के दो रन होते हैं।
+*{{math|1=''Te''<sub>''n''</sub>}}, (n + 2)-बिट संख्याओं की संख्या है जिसमें उनके द्विआधारी विस्तार में 1 के दो रन होते हैं।
 ==लोकप्रिय संस्कृति==
 [[File:The_Twelve_Days_of_Christmas_visualisation.svg|thumb|प्रत्येक प्रकार के उपहारों की संख्या और प्रत्येक दिन प्राप्त संख्या और संख्याओं को चित्रित करने के लिए उनका संबंध]]
-कैरल के सभी 12 छंदों, क्रिसमस के बारह दिन (गीत) के दौरान मेरे सच्चे प्यार ने मुझे उपहारों की कुल''Te''<sub>12</sub> = 364 संख्या भेजी है।<ref>{{cite web|url=https://mathlesstraveled.com/2006/12/20/the-twelve-days-of-christmas-and-tetrahedral-numbers/|title=क्रिसमस और टेट्राहेड्रल नंबर के बारह दिन|last=Brent|date=2006-12-21|website=Mathlesstraveled.com|access-date=2017-02-28}}</ref> प्रत्येक पद के बाद उपहारों की संचयी कुल संख्या भी है {{math|''Te''<sub>''n''</sub>}} पद के लिए एन.
+कैरल के सभी 12 छंदों, क्रिसमस के बारह दिन (गीत) के दौरान मेरे सच्चे प्यार ने मुझे उपहारों की कुल''Te''<sub>12</sub> = 364 संख्या भेजी है।<ref>{{cite web|url=https://mathlesstraveled.com/2006/12/20/the-twelve-days-of-christmas-and-tetrahedral-numbers/|title=क्रिसमस और टेट्राहेड्रल नंबर के बारह दिन|last=Brent|date=2006-12-21|website=Mathlesstraveled.com|access-date=2017-02-28}}</ref> प्रत्येक पद के बाद उपहारों की संचयी कुल संख्या {{math|''Te''<sub>''n''</sub>}} है|
-संभावित KeyForge तीन-घर संयोजनों की संख्या भी एक चतुष्फलकीय संख्या है, {{math|''Te''<sub>''n''−2</sub>}} कहाँ पे {{mvar|n}} घरों की संख्या है।
+संभावित KeyForge तीन-घर संयोजनों की संख्या भी एक चतुष्फलकीय संख्या है, {{math|''Te''<sub>''n''−2</sub>}} जहां पे {{mvar|n}} घरों की संख्या है।
 ==यह भी देखें==

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चतुष्फलकीय संख्या: Difference between revisions

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Revision as of 14:15, 16 November 2022

Contents

सूत्र

सूत्र के प्रमाण

आगमनात्मक कदम

${\begin{aligned}Te_{n+1}\quad &=Te_{n}+T_{n+1}\\&={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}\\&=(n+1)(n+2)\left({\frac {n}{6}}+{\frac {1}{2}}\right)\\&={\frac {(n+1)(n+2)(n+3)}{6}}.\end{aligned}}$

सामान्यीकरण

ज्यामितीय व्याख्या

चतुष्फलकीय मूल और चतुष्फलकीय संख्याओं के लिए परीक्षण

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चतुष्फलकीय संख्या: Difference between revisions

Revision as of 14:15, 16 November 2022

सूत्र

सूत्र के प्रमाण

आगमनात्मक कदम

सामान्यीकरण

ज्यामितीय व्याख्या

चतुष्फलकीय मूल और चतुष्फलकीय संख्याओं के लिए परीक्षण

गुण

लोकप्रिय संस्कृति

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