बानाच बीजगणित

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, स्टीफन बानाच के नाम पर बानाच बीजगणित वास्तविक संख्या या जटिल संख्याओं (या एक गैर-आर्किमिडीयन पूर्ण मानक क्षेत्र पर) पर एक सहयोगी बीजगणित $A$ है जो एक ही समय में एक बानाच स्थान भी है, अर्थात, एक मानक स्थान जो मानक से प्रेरित मीट्रिक में पूर्ण मीट्रिक स्थान है। मानक को पूरा करना आवश्यक है

$$\|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|\quad {\text{ for all }}x,y\in A.$$

यह सुनिश्चित करता है कि गुणन ऑपरेशन निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) है।

एक बानाच बीजगणित को इकाईक कहा जाता है यदि इसमें गुणन के लिए एक पहचान तत्व होता है जिसका मानदंड $1$ है, और यदि इसका गुणन क्रमविनिमेय है तो इसे क्रमविनिमेय कहा जाता है। किसी भी बानाच बीजगणित A (तथापि इसमें कोई पहचान तत्व हो या नहीं) को एकल बानाच बीजगणित $A_{e}$ में आइसोमेट्री रूप से एम्बेड किया जा सकता है जिससे $A_{e}$ का एक संवृत सेट आदर्श (बीजगणित) बनाया जा सके। अधिकांश कोई यह मान लेता है कि विचाराधीन बीजगणित एकात्मक है: क्योंकि $A_{e}$ पर विचार करके और फिर परिणाम को मूल बीजगणित में लागू करके अधिकांश सिद्धांत विकसित कर सकता है। चूँकि, प्रत्येक समय ऐसा नहीं होता है। उदाहरण के लिए, कोई भी बिना पहचान के बानाच बीजगणित में सभी त्रिकोणमितीय फलनों को परिभाषित नहीं कर सकता है।

वास्तविक बानाच बीजगणित का सिद्धांत जटिल बानाच बीजगणित के सिद्धांत से बहुत भिन्न हो सकता है। उदाहरण के लिए, असतहीय जटिल बानाच बीजगणित के एक तत्व का स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण) कभी भी खाली नहीं हो सकता है, जबकि वास्तविक बानाच बीजगणित में यह कुछ तत्वों के लिए खाली हो सकता है।

बानाच बीजगणित को $p$-एडिक संख्याओं के क्षेत्रों में भी परिभाषित किया जा सकता है। यह $p$-एडिक विश्लेषण का भाग है।

उदाहरण

बानाच बीजगणित का प्रोटोटाइप उदाहरण $C_{0}(X)$ है, जो स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट (हॉसडॉर्फ़ स्थान) स्थान पर (जटिल-मूल्यवान) निरंतर फलनों का स्थान जो अनंत पर लुप्त हो जाता है। $C_{0}(X)$ इकाई है यदि और केवल यदि $X$ सघनता है। जटिल संयुग्मन समावेशन (गणित) है, $C_{0}(X)$ वास्तव में C*-बीजगणित है। अधिक सामान्यतः, प्रत्येक C*-बीजगणित परिभाषा के अनुसार बानाच बीजगणित है।

• वास्तविक (या सम्मिश्र) संख्याओं का समुच्चय बानाच बीजगणित है जिसका मान निरपेक्ष मान द्वारा दिया जाता है।
• सभी वास्तविक या जटिल का सेट $n$-द्वारा-$n$ मैट्रिक्स (गणित) इकाई बीजगणित बानाच बीजगणित बन जाता है यदि हम इसे उप-गुणक मैट्रिक्स मानदंड से लैस करते हैं।
• मानक $\|x\|=\max _{}|x_{i}|$ के साथ बानाच स्पेस $\mathbb {R} ^{n}$ (या $\mathbb {C} ^{n}$) बनाएं और गुणन को घटकवार परिभाषित करें: $\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)=\left(x_{1}y_{1},\ldots ,x_{n}y_{n}\right).$
• चतुर्भुज 4-आयामी वास्तविक बानाच बीजगणित बनाते हैं, जिसमें मानदंड चतुर्भुजों के निरपेक्ष मान द्वारा दिए जाते हैं।
• किसी सेट पर परिभाषित सभी सीमित वास्तविक या जटिल-मूल्यवान फलनों का बीजगणित (बिंदुवार गुणन और सर्वोच्च मानदंड के साथ) यूनिटल बानाच बीजगणित है।
• कुछ स्थानीय रूप स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान पर सभी बंधे हुए निरंतर फलन (टोपोलॉजी) के वास्तविक या जटिल-मूल्य वाले फलन का बीजगणित (फिर से बिंदुवार संचालन और सर्वोच्च मानदंड के साथ) बानाच बीजगणित है।
• बानाच स्पेस $E$ पर सभी निरंतर रैखिक परिवर्तन का बीजगणित (गुणन के रूप में कार्यात्मक संरचना और मानक के रूप में ऑपरेटर मानदंड के साथ) एक यूनिटल बानाच बीजगणित है। $E$ पर सभी कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों का सेट एक बानाच बीजगणित और संवृत आदर्श है। यदि $\dim E=\infty$ है तो यह बिना पहचान के है।
• यदि $G$ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष टोपोलॉजिकल समूह है और $\mu$ इसका Haar माप है, तो $G$ पर सभी $\mu$-अभिन्न फलनों का बानाच स्पेस $L^{1}(G)$ $x,y\in L^{1}(G)$ के लिए कनवल्शन $xy(g)=\int x(h)y\left(h^{-1}g\right)d\mu (h)$ के अनुसार बानाच बीजगणित बन जाता है
• समान बीजगणित: एक बानाच बीजगणित जो सर्वोच्च मानदंड के साथ जटिल बीजगणित $C(X)$ का एक उप-बीजगणित है और इसमें स्थिरांक सम्मिलित हैं और $X$ (जो कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान होना चाहिए) के बिंदुओं को अलग करता है।
• प्राकृतिक बैनाच फलन बीजगणित: एक समान बीजगणित जिसके सभी वर्ण $X$ के बिंदुओं पर मूल्यांकन हैं।
• C*-बीजगणित: बानाच बीजगणित जो कुछ हिल्बर्ट स्थान पर परिबद्ध संचालकों के बीजगणित का संवृत *-उपबीजगणित है।
• बीजगणित को मापें: बैनाच बीजगणित जिसमें कुछ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह पर सभी रेडॉन माप सम्मिलित होते हैं, जहां दो उपायों का उत्पाद कन्वोल्यूशन माप द्वारा दिया जाता है।
• चतुर्भुज का बीजगणित $\mathbb {H}$ वास्तविक बानाच बीजगणित है, किन्तु यह जटिल बीजगणित नहीं है (और इसलिए जटिल बानाच बीजगणित नहीं है) इसका सरल कारण यह है कि चतुर्भुज का केंद्र वास्तविक संख्याएँ हैं, जिनमें जटिल संख्याओं की प्रतिलिपि नहीं हो सकती है।
• एफ़िनॉइड बीजगणित गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्र पर निश्चित प्रकार का बानाच बीजगणित है। एफ़िनॉइड बीजगणित कठोर विश्लेषणात्मक स्थान में मूल निर्माण खंड हैं।

गुण

कई प्राथमिक कार्य जो शक्ति श्रृंखला के माध्यम से परिभाषित किए गए हैं, उन्हें किसी भी यूनिटल बानाच बीजगणित में परिभाषित किया जा सकता है; उदाहरणों में घातांकीय फलन और त्रिकोणमितीय फलन, और सामान्यतः कोई भी संपूर्ण फलन सम्मिलित हैं। (विशेष रूप से, घातीय मानचित्र का उपयोग अमूर्त सूचकांक समूहों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।) ज्यामितीय श्रृंखला का सूत्र सामान्य इकाई बानाच बीजगणित में मान्य रहता है। द्विपद प्रमेय बानाच बीजगणित के दो आने वाले तत्वों के लिए भी मान्य है।

किसी भी यूनिटल बानाच बीजगणित में व्युत्क्रमणीय तत्वों का सेट विवृत सेट है, और इस सेट पर व्युत्क्रम संचालन निरंतर (और इसलिए होमोमोर्फिज्म है) होता है, जिससे यह गुणन के अनुसार टोपोलॉजिकल समूह बना सके।

यदि बानाच बीजगणित में इकाई $\mathbf {1}$ है, तो $\mathbf {1}$ कम्यूटेटर (रिंग सिद्धांत) नहीं हो सकता; अर्थात्, किसी भी $x,y\in A$ के लिए ${\displaystyle }$