बीजगणितीय टोरस: Difference between revisions

Revision as of 13:58, 21 July 2023

गणित में, एक बीजगणितीय टोरस, जहां एक आयामी टोरस को सामान्यतः $\mathbf {G} _{\mathbf {m} }$ , $\mathbb {G} _{m}$ , या $\mathbb {T}$ , द्वारा दर्शाया जाता है, एक प्रकार का क्रमविनिमेय बीजगणितीय समूह है जो सामान्यतः प्रक्षेप्य बीजगणितीय ज्यामिति और टोरिक ज्यामिति में पाया जाता है। उच्च आयामी बीजीय टोरी को बीजगणितीय समूहों $\mathbf {G} _{\mathbf {m} }$ के उत्पाद के रूप में तैयार किया जा सकता है। इन समूहों को लाई समूह सिद्धांत में टोरी के सिद्धांत के अनुरूप नाम दिया गया था (कार्टन उपसमूह देखें)। उदाहरण के लिए, समिष्ट संख्याओं $\mathbb {C}$ पर बीजगणितीय टोरस $\mathbf {G} _{\mathbf {m} }$ समूह स्कीम $\mathbb {C} ^{*}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])$ के लिए समरूपी है, जो कि लाई समूह $U(1)\subset \mathbb {C}$ का स्कीम सैद्धांतिक एनालॉग है। वास्तव में, किसी समिष्ट सदिश समष्टि पर किसी भी $\mathbf {G} _{\mathbf {m} }$ -कार्य को वास्तविक मैनिफोल्ड्स के रूप में सम्मिलित किए जाने से $U(1)$ -क्रिया $U(1)\subset \mathbb {C} ^{*}$ में मैनिफोल्ड किया जा सकता है।

बीजगणितीय समूहों और लाई समूहों के सिद्धांत और उनसे जुड़ी ज्यामितीय वस्तुओं जैसे सममित समिष्ट और बिल्डिंग (गणित) के अध्ययन में टोरी का मौलिक महत्व है।

क्षेत्रो पर बीजगणितीय टोरी

अधिकांश स्थानों पर हम मानते हैं कि आधार क्षेत्र एकदम सही है (उदाहरण के लिए परिमित या विशेषता शून्य)। इस परिकल्पना के लिए एक समतल समूह स्कीम की आवश्यकता है ^[1] पृष्ठ 64, क्योंकि बीजगणितीय समूह $G$ के लिए मानचित्रों की विशेषता $p$ पर समतल होना आवश्यक है

(\cdot )^{p^{r}}:{\mathcal {O}}(G)\to {\mathcal {O}}(G)

पर्याप्त बड़े

r

के लिए ज्यामितीय रूप से कम किया जाना चाहिए, जिसका अर्थ है कि

G

पर संबंधित मानचित्र की छवि पर्याप्त बड़े

r

के लिए समतल है

सामान्यतः बीजगणितीय क्लोजर के समिष्ट पर पृथक्करणीय क्लोजर का उपयोग करना पड़ता है।

किसी क्षेत्र का गुणक समूह

यदि $F$ एक क्षेत्र है तो $F$ पर गुणक समूह बीजगणितीय समूह $\mathbf {G} _{\mathbf {m} }$ है, जैसे कि किसी भी क्षेत्र एक्सटेंशन $E/F$ के लिए $E$ -बिंदु समूह $E^{\times }$ के समरूपी होते हैं। इसे एक बीजगणितीय समूह के रूप में ठीक से परिभाषित करने के लिए कोई व्यक्ति निर्देशांक $x,y$ के साथ $F$ के ऊपर एफ़िन विमान में समीकरण $xy=1$ द्वारा परिभाषित एफ़िन विविधता ले सकता है। गुणन तब $F^{2}\times F^{2}\to F^{2}$ द्वारा परिभाषित नियमित तर्कसंगत मानचित्र $((x,y),(x',y'))\mapsto (xx',yy')$ को प्रतिबंधित करके दिया जाता है और व्युत्क्रम नियमित तर्कसंगत मानचित्र $(x,y)\mapsto (y,x)$ का प्रतिबंध होता है

परिभाषा

मान लीजिए कि $F$ बीजगणितीय समापन के साथ एक क्षेत्र है ${\overline {F}}$ फिर $F$ -टोरस पर परिभाषित एक बीजगणितीय समूह है जो गुणक समूह की प्रतियों के $F$ एक सीमित उत्पाद के लिए ${\overline {F}}$ पर समरूपी है।

दूसरे शब्दों में, यदि $\mathbf {T}$ $F$ -ग्रुप यह टोरस है यदि और केवल यदि $\mathbf {T} ({\overline {F}})\cong ({\overline {F}}^{\times })^{r}$ कुछ के लिए

[1]

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 === किसी क्षेत्र का गुणक समूह ===
 {{Main article |गुणनात्मक समूह}}
 यदि <math>F</math> एक क्षेत्र है तो <math>F</math> पर गुणक समूह बीजगणितीय समूह <math>\mathbf G_{\mathbf m}</math> है, जैसे कि किसी भी क्षेत्र एक्सटेंशन <math>E/F</math> के लिए <math>E</math>-बिंदु समूह <math>E^\times</math> के समरूपी होते हैं। इसे एक बीजगणितीय समूह के रूप में ठीक से परिभाषित करने के लिए कोई व्यक्ति निर्देशांक <math>x, y</math> के साथ <math>F</math> के ऊपर एफ़िन विमान में समीकरण <math>xy = 1</math> द्वारा परिभाषित एफ़िन विविधता ले सकता है। गुणन तब <math>F^2 \times F^2 \to F^2</math> द्वारा परिभाषित नियमित तर्कसंगत मानचित्र <math>((x, y), (x',y')) \mapsto (xx', yy') </math> को प्रतिबंधित करके दिया जाता है और व्युत्क्रम नियमित तर्कसंगत मानचित्र <math>(x, y) \mapsto (y, x)</math> का प्रतिबंध होता है
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 === परिभाषा ===
-एक आधार [[योजना (गणित)|स्कीम (गणित)]] S को देखते हुए, S पर बीजीय टोरस को S पर समूह स्कीम के रूप में परिभाषित किया गया है जो कि गुणक समूह स्कीम 'g<sub>''m''</sub>s के u / s' की प्रतियों के सीमित उत्पाद के लिए [[फ्लैट टोपोलॉजी]] आइसोमोर्फिक है।। दूसरे शब्दों में, विश्वसनीय रूप से सपाट प्रारूप x → S उपस्थित है जैसे कि x में किसी भी बिंदु पर अर्ध-कॉम्पैक्ट विवृत पड़ोस u है जिसकी छवि S की विवृत एफ़िन उपयोजना है, जैसे कि u में आधार परिवर्तन उत्पन्न करता है जीएल की प्रतियों का परिमित उत्पाद<sub>1,''U''</sub> = g<sub>''m''</sub>/में। विशेष रूप से महत्वपूर्ण स्थिति तब होता है जब S क्षेत्र K का स्पेक्ट्रम होता है, जो S पर बीजगणितीय समूह बनाता है जिसका विस्तार कुछ परिमित वियोज्य विस्तार L तक होता है जो 'G<sub>''m''</sub>/L' की प्रतियों का सीमित उत्पाद है। सामान्यतः, इस उत्पाद की बहुलता (अर्थात, स्कीम का आयाम) को टोरस की [[ रैंक (विभेदक टोपोलॉजी) |रैंक (विभेदक टोपोलॉजी)]] कहा जाता है, और यह S पर स्थानीय रूप से स्थिर कार्य है।
+एक आधार [[योजना (गणित)|स्कीम (गणित)]] S को देखते हुए, S पर बीजीय टोरस को S पर समूह स्कीम के रूप में परिभाषित किया गया है जो कि गुणक समूह स्कीम 'g<sub>''m''</sub>s के u / s' की प्रतियों के सीमित उत्पाद के लिए [[फ्लैट टोपोलॉजी]] आइसोमोर्फिक है।। दूसरे शब्दों में, विश्वसनीय रूप से सपाट प्रारूप x → S उपस्थित है जैसे कि x में किसी भी बिंदु पर अर्ध-कॉम्पैक्ट विवृत पड़ोस u है जिसकी छवि S की विवृत एफ़िन उपयोजना है, जैसे कि u में आधार परिवर्तन उत्पन्न करता है gL<sub>1,''U''</sub> = g<sub>''m''</sub>/I की प्रतियों का परिमित उत्पाद। विशेष रूप से महत्वपूर्ण स्थिति तब होता है जब S क्षेत्र K का स्पेक्ट्रम होता है, जो S पर बीजगणितीय समूह बनाता है जिसका विस्तार कुछ परिमित वियोज्य विस्तार L तक होता है जो 'G<sub>''m''</sub>/L' की प्रतियों का सीमित उत्पाद है। सामान्यतः, इस उत्पाद की बहुलता (अर्थात, स्कीम का आयाम) को टोरस की [[ रैंक (विभेदक टोपोलॉजी) |रैंक (विभेदक टोपोलॉजी)]] कहा जाता है, और यह S पर स्थानीय रूप से स्थिर कार्य है।
 टोरी ओवर फ़ील्ड्स के लिए परिभाषित अधिकांश धारणाएँ इस अधिक सामान्य सेटिंग पर आधारित हैं।
 ==== उदाहरण ====
 बीजगणितीय टोरस का एक सामान्य उदाहरण प्रक्षेप्य योजना <math>\text{Aff}(X) \subset \mathbb{A}^{n+1}</math> के एफ़िन शंकु <math>X \subset \mathbb{P}^n</math> पर विचार करना है। फिर मूल के साथ प्रेरित प्रक्षेपण मानचित्र को हटा दिया है<math display="block">\pi: (\text{Aff}(X) - \{0\}) \to X</math>
 एक बीजगणितीय टोरस <math>X</math> की संरचना देता है .
 === वजन ===

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क्षेत्रो पर बीजगणितीय टोरी

किसी क्षेत्र का गुणक समूह

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