बीजगणितीय टोरस: Difference between revisions

Revision as of 13:09, 21 July 2023

गणित में, एक बीजगणितीय टोरस, जहां एक आयामी टोरस को सामान्यतः $\mathbf {G} _{\mathbf {m} }$ , $\mathbb {G} _{m}$ , या $\mathbb {T}$ , द्वारा दर्शाया जाता है, एक प्रकार का क्रमविनिमेय बीजगणितीय समूह है जो सामान्यतः प्रक्षेप्य बीजगणितीय ज्यामिति और टोरिक ज्यामिति में पाया जाता है। उच्च आयामी बीजीय टोरी को बीजगणितीय समूहों $\mathbf {G} _{\mathbf {m} }$ के उत्पाद के रूप में तैयार किया जा सकता है। इन समूहों को लाई समूह सिद्धांत में टोरी के सिद्धांत के अनुरूप नाम दिया गया था (कार्टन उपसमूह देखें)। उदाहरण के लिए, समिष्ट संख्याओं $\mathbb {C}$ पर बीजगणितीय टोरस $\mathbf {G} _{\mathbf {m} }$ समूह स्कीम $\mathbb {C} ^{*}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])$ के लिए समरूपी है, जो कि लाई समूह $U(1)\subset \mathbb {C}$ का स्कीम सैद्धांतिक एनालॉग है। वास्तव में, किसी समिष्ट सदिश समष्टि पर किसी भी $\mathbf {G} _{\mathbf {m} }$ -कार्य को वास्तविक मैनिफोल्ड्स के रूप में सम्मिलित किए जाने से $U(1)$ -क्रिया $U(1)\subset \mathbb {C} ^{*}$ में मैनिफोल्ड किया जा सकता है।

बीजगणितीय समूहों और लाई समूहों के सिद्धांत और उनसे जुड़ी ज्यामितीय वस्तुओं जैसे सममित समिष्ट और बिल्डिंग (गणित) के अध्ययन में टोरी का मौलिक महत्व है।

क्षेत्रो पर बीजगणितीय टोरी

अधिकांश स्थानों पर हम मानते हैं कि आधार क्षेत्र एकदम सही है (उदाहरण के लिए परिमित या विशेषता शून्य)। इस परिकल्पना के लिए एक समतल समूह स्कीम की आवश्यकता है ^[1] पृष्ठ 64, क्योंकि बीजगणितीय समूह $G$ के लिए मानचित्रों की विशेषता $p$ पर समतल होना आवश्यक है

(\cdot )^{p^{r}}:{\mathcal {O}}(G)\to {\mathcal {O}}(G)

पर्याप्त बड़े

r

के लिए ज्यामितीय रूप से कम किया जाना चाहिए, जिसका अर्थ है कि

G

पर संबंधित मानचित्र की छवि पर्याप्त बड़े

r

के लिए समतल है

सामान्यतः बीजगणितीय क्लोजर के समिष्ट पर पृथक्करणीय क्लोजर का उपयोग करना पड़ता है।

किसी क्षेत्र का गुणक समूह

यदि $F$ एक क्षेत्र है तो $F$ पर गुणक समूह बीजगणितीय समूह $\mathbf {G} _{\mathbf {m} }$ है, जैसे कि किसी भी क्षेत्र एक्सटेंशन $E/F$ के लिए $E$ -बिंदु समूह $E^{\times }$ के समरूपी होते हैं। इसे एक बीजगणितीय समूह के रूप में ठीक से परिभाषित करने के लिए कोई व्यक्ति निर्देशांक $x,y$ के साथ $F$ के ऊपर एफ़िन विमान में समीकरण $xy=1$ द्वारा परिभाषित एफ़िन विविधता ले सकता है। गुणन तब $F^{2}\times F^{2}\to F^{2}$ द्वारा परिभाषित नियमित तर्कसंगत मानचित्र $((x,y),(x',y'))\mapsto (xx',yy')$ को प्रतिबंधित करके दिया जाता है और व्युत्क्रम नियमित तर्कसंगत मानचित्र $(x,y)\mapsto (y,x)$ का प्रतिबंध होता है

परिभाषा

मान लीजिए कि $F$ बीजगणितीय समापन के साथ एक क्षेत्र है ${\overline {F}}$ फिर $F$

[1]

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-गणित में, एक बीजगणितीय टोरस, जहां एक आयामी टोरस को सामान्यतः  <math>\mathbf G_{\mathbf m}</math>, <math>\mathbb{G}_m</math>, या <math>\mathbb{T}</math>, द्वारा दर्शाया जाता है, एक प्रकार का क्रमविनिमेय [[बीजगणितीय समूह]] है जो सामान्यतः प्रक्षेप्य [[प्रक्षेप्य योजना|बीजगणितीय ज्यामिति]] और [[टोरिक ज्यामिति]] में पाया जाता है। उच्च आयामी बीजीय टोरी को बीजगणितीय समूहों <math>\mathbf G_{\mathbf m}</math> के उत्पाद के रूप में तैयार किया जा सकता है। इन समूहों को लाई समूह सिद्धांत में टोरी के सिद्धांत के अनुरूप नाम दिया गया था ([[कार्टन उपसमूह]] देखें)। उदाहरण के लिए, समिष्ट संख्याओं <math>\mathbb{C}</math> पर बीजगणितीय टोरस <math>\mathbf G_{\mathbf m}</math> [[समूह योजना|समूह स्कीम]] <math>\mathbb{C}^* = \text{Spec}(\mathbb{C}[t,t^{-1}])</math> के लिए समरूपी है, जो कि लाई समूह <math>U(1) \subset \mathbb{C}</math> का स्कीम सैद्धांतिक एनालॉग है। वास्तव में, किसी समिष्ट सदिश समष्टि पर किसी भी <math>\mathbf G_{\mathbf m}</math>-कार्य को वास्तविक मैनिफोल्ड्स के रूप में सम्मिलित किए जाने से <math>U(1)</math>-क्रिया <math>U(1) \subset \mathbb{C}^*</math> में मैनिफोल्ड किया जा सकता है।
+गणित में, एक बीजगणितीय टोरस, जहां एक आयामी टोरस को सामान्यतः <math>\mathbf G_{\mathbf m}</math>, <math>\mathbb{G}_m</math>, या <math>\mathbb{T}</math>, द्वारा दर्शाया जाता है, एक प्रकार का क्रमविनिमेय [[बीजगणितीय समूह]] है जो सामान्यतः प्रक्षेप्य [[प्रक्षेप्य योजना|बीजगणितीय ज्यामिति]] और [[टोरिक ज्यामिति]] में पाया जाता है। उच्च आयामी बीजीय टोरी को बीजगणितीय समूहों <math>\mathbf G_{\mathbf m}</math> के उत्पाद के रूप में तैयार किया जा सकता है। इन समूहों को लाई समूह सिद्धांत में टोरी के सिद्धांत के अनुरूप नाम दिया गया था ([[कार्टन उपसमूह]] देखें)। उदाहरण के लिए, समिष्ट संख्याओं <math>\mathbb{C}</math> पर बीजगणितीय टोरस <math>\mathbf G_{\mathbf m}</math> [[समूह योजना|समूह स्कीम]] <math>\mathbb{C}^* = \text{Spec}(\mathbb{C}[t,t^{-1}])</math> के लिए समरूपी है, जो कि लाई समूह <math>U(1) \subset \mathbb{C}</math> का स्कीम सैद्धांतिक एनालॉग है। वास्तव में, किसी समिष्ट सदिश समष्टि पर किसी भी <math>\mathbf G_{\mathbf m}</math>-कार्य को वास्तविक मैनिफोल्ड्स के रूप में सम्मिलित किए जाने से <math>U(1)</math>-क्रिया <math>U(1) \subset \mathbb{C}^*</math> में मैनिफोल्ड किया जा सकता है।
 बीजगणितीय समूहों और लाई समूहों के सिद्धांत और उनसे जुड़ी ज्यामितीय वस्तुओं जैसे [[सममित स्थान|सममित समिष्ट]] और बिल्डिंग (गणित) के अध्ययन में टोरी का मौलिक महत्व है।
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 === वजन ===
-एक सामान्य आधार स्कीम एस के लिए, वजन और सहभार को एस पर मुक्त एबेलियन समूहों के एफपीक्यूसी शीव्स के रूप में परिभाषित किया गया है। ये एफपीक्यूसी टोपोलॉजी के संबंध में आधार के मौलिक ग्रुपॉयड का प्रतिनिधित्व प्रदान करते हैं। यदि ईटेल टोपोलॉजी जैसे कमजोर टोपोलॉजी के संबंध में टोरस स्थानीय रूप से सामान्य है, तो समूहों  टोपोलॉजी में उतरते हैं और ये प्रतिनिधित्व संबंधित भागफल समूह के माध्यम से कारक होते हैं। विशेष रूप से, ईटेल शीफ़ अर्ध-आइसोट्रिविअल टोरस को उत्पन्न करता है, और यदि एस स्थानीय रूप से नोथेरियन और सामान्य है (अधिक सामान्यतः, [[यूनीब्रांच स्थानीय रिंग]]), तो टोरस आइसोट्रिविअल है। आंशिक उलटफेर के रूप में, [[ग्रोथेंडिक]] का प्रमेय प्रमाणित करता है कि परिमित प्रकार का कोई भी टोरस अर्ध-आइसोट्रिवियल है, अर्थात, ईटेल प्रक्षेपण द्वारा विभाजित है।
+एक सामान्य आधार स्कीम एस के लिए, वजन और सहभार को एस पर मुक्त एबेलियन समूहों के एफपीक्यूसी शीव्स के रूप में परिभाषित किया गया है। ये एफपीक्यूसी टोपोलॉजी के संबंध में आधार के मौलिक ग्रुपॉयड का प्रतिनिधित्व प्रदान करते हैं। यदि ईटेल टोपोलॉजी जैसे कमजोर टोपोलॉजी के संबंध में टोरस स्थानीय रूप से सामान्य है, तो समूहों टोपोलॉजी में उतरते हैं और ये प्रतिनिधित्व संबंधित भागफल समूह के माध्यम से कारक होते हैं। विशेष रूप से, ईटेल शीफ़ अर्ध-आइसोट्रिविअल टोरस को उत्पन्न करता है, और यदि एस स्थानीय रूप से नोथेरियन और सामान्य है (अधिक सामान्यतः, [[यूनीब्रांच स्थानीय रिंग]]), तो टोरस आइसोट्रिविअल है। आंशिक उलटफेर के रूप में, [[ग्रोथेंडिक]] का प्रमेय प्रमाणित करता है कि परिमित प्रकार का कोई भी टोरस अर्ध-आइसोट्रिवियल है, अर्थात, ईटेल प्रक्षेपण द्वारा विभाजित है।
 एस के ऊपर रैंक एन टोरस टी दिया गया है, मैनिफोल्ड रूप एस के ऊपर टोरस है जिसके लिए एस का एफपीक्यूसी कवरिंग उपस्थित है जिसके लिए उनका आधार विस्तार आइसोमोर्फिक है, अर्थात, यह उसी रैंक का टोरस है। विभाजित टोरस के मुड़े हुए रूपों की समरूपता कक्षाएं नॉनबेलियन फ्लैट कोहोमोलॉजी द्वारा पैरामीट्रिज्ड हैं <math>H^1(S, GL_n(\mathbb{Z}))</math>, जहां गुणांक समूह स्थिर शीफ बनाता है। विशेष रूप से, क्षेत्र K के ऊपर विभाजित टोरस T के मुड़े हुए रूप गैलोज़ कोहोमोलॉजी नुकीले समुच्चय के तत्वों द्वारा पैरामीट्रिज़ किए गए हैं <math>H^1(G_K, GL_n(\mathbb{Z}))</math> गुणांकों पर सामान्य गैलोज़ क्रिया के साथ। एक-आयामी स्थिति में, गुणांक क्रम दो का समूह बनाते हैं, और जी के मुड़ रूपों के समरूपता वर्ग बनाते हैं<sub>m</sub> K के वियोज्य द्विघात विस्तार के साथ स्वाभाविक आपत्ति में हैं।
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 # प्रक्षेप्य तुच्छता: यदि T, K के ऊपर टोरस है जिसका वजन जाली प्रक्षेप्य गैलोज़ मॉड्यूल है, तो f<sub>K</sub>(t) = 1.
-टी. ओनो ने दिखाया कि संख्या क्षेत्र पर टोरस की  संख्या ऐसी अपरिवर्तनीय है। इसके अलावा, उन्होंने दिखाया कि यह दो कोहोमोलॉजिकल इनवेरिएंट्स का भागफल है, अर्थात् समूह का क्रम <math>H^1(G_k, X^\bullet(T)) \cong Ext^1(T, \mathbb{G}_m)</math> (कभी-कभी गलती से इसे टी का [[पिकार्ड समूह]] कहा जाता है, हालांकि यह 'g<sub>m</sub> t पर टॉर्सर्स),' को वर्गीकृत नहीं करता है और टेट-शफारेविच समूह का क्रम।
+टी. ओनो ने दिखाया कि संख्या क्षेत्र पर टोरस की संख्या ऐसी अपरिवर्तनीय है। इसके अलावा, उन्होंने दिखाया कि यह दो कोहोमोलॉजिकल इनवेरिएंट्स का भागफल है, अर्थात् समूह का क्रम <math>H^1(G_k, X^\bullet(T)) \cong Ext^1(T, \mathbb{G}_m)</math> (कभी-कभी गलती से इसे टी का [[पिकार्ड समूह]] कहा जाता है, हालांकि यह 'g<sub>m</sub> t पर टॉर्सर्स),' को वर्गीकृत नहीं करता है और टेट-शफारेविच समूह का क्रम।
-ऊपर दी गई अपरिवर्तनीय की धारणा स्वाभाविक रूप से इच्छानुसार आधार योजनाओं पर टोरी को सामान्यीकृत करती है, जिसमें फ़ंक्शन अधिक सामान्य रिंगों में मान लेते हैं। जबकि विस्तार समूह का क्रम सामान्य अपरिवर्तनीय है, ऊपर दिए गए अन्य दो अपरिवर्तनीयों में एक-आयामी डोमेन के अंश क्षेत्रों और उनकी पूर्णता के दायरे के बाहर दिलचस्प एनालॉग नहीं लगते हैं।
+ऊपर दी गई अपरिवर्तनीय की धारणा स्वाभाविक रूप से इच्छानुसार आधार योजनाओं पर टोरी को सामान्यीकृत करती है, जिसमें फ़ंक्शन अधिक सामान्य रिंगों में मान लेते हैं। जबकि विस्तार समूह का क्रम सामान्य अपरिवर्तनीय है, ऊपर दिए गए अन्य दो अपरिवर्तनीयों में एक-आयामी डोमेन के अंश क्षेत्रों और उनकी पूर्णता के दायरे के बाहर रोचक एनालॉग नहीं लगते हैं।
 ==यह भी देखें                                                                                                                                                                 ==
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 == संदर्भ ==

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क्षेत्रो पर बीजगणितीय टोरी

किसी क्षेत्र का गुणक समूह

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