आयतन रूप: Difference between revisions

Revision as of 22:23, 9 July 2023

गणित में, आयतन फॉर्म या शीर्ष-आयामी फॉर्म अवकलन मैनीफोल्ड आयाम के बराबर डिग्री का एक अवकलक फॉर्म होता है। इस प्रकार मैनीफोल्ड पर $M$ आयाम का $n$ , वॉल्यूम फॉर्म एक $n$ -प्रपत्र के रूप में होता है। यह लाइन बंडल के अनुभाग (फाइबर बंडल) के स्थान का एक तत्व के रूप में होता है, इसे $\textstyle {\bigwedge }^{n}(T^{*}M)$ , के रूप में घोषित किया जाता है, $\Omega ^{n}(M)$ . मैनिफोल्ड कहीं न लुप्त होने वाले आयतन फॉर्म को स्वीकार करता है यदि और केवल यदि वह ओरियंटेबल है। एक ओरिएंटेबल मैनिफोल्ड में अनंत रूप से कई वॉल्यूम फॉर्म होते हैं, क्योंकि वॉल्यूम फॉर्म को एक फलन द्वारा गुणा करने पर दूसरा वॉल्यूम फॉर्म प्राप्त होता है। गैर-ओरियंटेबल मैनिफोल्ड्स पर इसके अतिरिक्त घनत्व की कमजोर धारणा को परिभाषित किया जा सकता है।

एक वॉल्यूम फॉर्म एक भिन्न मैनिफोल्ड पर एक फलन (गणित) के अभिन्न अंग को परिभाषित करने का एक साधन प्रदान करता है। दूसरे शब्दों में, एक वॉल्यूम फॉर्म एक माप (गणित) को जन्म देता है जिसके संबंध में फलनों को उपयुक्त लेब्सग समाकलन द्वारा एकीकृत किया जा सकता है। वॉल्यूम फॉर्म का निरपेक्ष मान एक वॉल्यूम तत्व के रूप में होता है, जिसे विभिन्न प्रकार से ट्विस्टेड वॉल्यूम फॉर्म या प्सयूडो -वॉल्यूम फॉर्म के रूप में भी जाना जाता है। यह एक माप को भी परिभाषित करता है, लेकिन किसी भी अवकलक चाहे वह ओरियंटेबल हो या नहीं हो पर इसकी विविधता पर सम्मलित होता है।

काहलर मैनिफोल्ड्स, जटिल मैनिफोल्ड्स होने के कारण स्वाभाविक रूप से ओरियंटेबल होते हैं और इसलिए उनके पास वॉल्यूम फॉर्म होता है। अधिक सामान्यतः, $n$ सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड पर सिंपलेक्टिक रूप की बाहरी शक्ति एक आयतन फॉर्म होती है। मैनिफोल्ड्स के कई वर्गों में कैनोनिकल वॉल्यूम फॉर्म होते हैं चूंकि उनके पास अतिरिक्त संरचना होती है जो पसंदीदा वॉल्यूम फॉर्म की चॉइस की अनुमति देती है। ओरिएंटेड प्सयूडो रीमैनियन मैनिफोल्ड में एक संबद्ध कैनोनिकल वॉल्यूम फॉर्म के रूप में होता है।

ओरिएंटेशन

नीचे केवल अवकलनीयता मैनिफ़ोल्ड के ओरिएंटेशन के बारे में बताया जाता है, यह किसी भी टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड पर परिभाषित एक अधिक सामान्य धारणा है।

एक मैनिफोल्ड एडजस्टेबल होता है, यदि इसमें एक निर्देशांक एटलस होता है, जिसके सभी ट्रांजीशन फलनों में धनात्मक जैकोबियन डीटरमीनेट होते हैं। ऐसे अधिकतम एटलस का चयन एक ओरिएंटेशन $M.$ के रूप में होता है, एक वॉल्यूम फॉर्म $\omega$ पर $M$ निर्देशांक चार्ट के एटलस के रूप में प्राकृतिक विधि से एक ओरिएंटेशन $M$ को जन्म देता है, जिससे कि वह $\omega$ यूक्लिडियन वॉल्यूम फॉर्म के धनात्मक गुणक के लिए $dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.$ के रूप में होते है।

वॉल्यूम फॉर्म $M.$ पर फ्रेम के पसंदीदा वर्ग के विनिर्देशन की भी अनुमति देता है और इस प्रकार स्पर्शरेखा सदिश $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ के आधार को दाएँ हाथ से कॉल करते है यदि यह इस रूप में होते है

\omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)>0.

सभी दाएं हाथ के फ़्रेमों के संग्रह पर धनात्मक डीटरमीनेट के साथ

n

आयामों में सामान्य रैखिक मैपिंग के समूह

\mathrm {GL} ^{+}(n)

द्वारा कार्य किया जाता है और इस प्रकार सामान्य रैखिक समूह मानचित्रण में

n

धनात्मक डीटरमीनेट के साथ आयाम के रूप में सिद्धांत बनाते हैं

\mathrm {GL} ^{+}(n)

के रैखिक फ्रेम बंडल का उप-बंडल

M,

के रूप में होता है और इसलिए वॉल्यूम फॉर्म से जुड़ा ओरिएंटेशन फ्रेम बंडल की कैनोनिकल कमी देता है, जो कि

M

संरचना समूह के साथ एक उप-बंडल में होते है

\mathrm {GL} ^{+}(n).

का तात्पर्य यह है कि आयतन फॉर्म G संरचना को जन्म देता है

\mathrm {GL} ^{+}(n)

संरचना

M.

पर फ़्रेमों पर विचार करके कमी स्पष्ट रूप से संभव है,

\omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)=1.

(1)

इस प्रकार एक आयतन रूप एक $\mathrm {SL} (n)$ संरचना को भी जन्म देता है। इसके विपरीत एक दिया गया $S L$

@@ Line 26: / Line 26: @@
 अंतर यह है कि जहां एक माप को (बोरेल) उपसमुच्चय पर एकीकृत किया जा सकता है, वहीं एक वॉल्यूम फॉर्म को केवल एक ओरियंटेबल  सेल पर एकीकृत किया जा सकता है। एकल चर कलन में लेखन <math display=inline>\int_b^a f\,dx = -\int_a^b f\,dx</math> पर विचार <math>dx</math> एक आयतन फॉर्म  के रूप में और न कि केवल एक माप के रूप में होता है और <math display=inline>\int_b^a</math> सेल पर एकीकृत होने का संकेत देता है <math>[a,b]</math> विपरीत दिशा के साथ कभी-कभी निरूपित किया जाता है <math>\overline{[a, b]}</math>.
-इसके अतिरिक्त, सामान्य उपायों को निरंतर या सुचारू होने की आवश्यकता नहीं होती है, उन्हें वॉल्यूम फॉर्म द्वारा परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं होती है और इस प्रकार अधिक औपचारिक रूप से किसी दिए गए वॉल्यूम फॉर्म के संबंध में उनके रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न को [[बिल्कुल निरंतर]] होने की आवश्यकता नहीं होती है।
+इसके अतिरिक्त, सामान्य उपायों को निरंतर या सुचारू होने की आवश्यकता नहीं होती है, उन्हें वॉल्यूम फॉर्म द्वारा परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं होती है और इस प्रकार अधिक औपचारिक रूप से किसी दिए गए वॉल्यूम फॉर्म के संबंध में उनके रेडॉन-निकोडिम अवकलज को [[बिल्कुल निरंतर]] होने की आवश्यकता नहीं होती है।
 ==डिवर्जेंनेस==
-वॉल्यूम फॉर्म दिया गया है <math>\omega</math> पर <math>M,</math> कोई सदिश क्षेत्र के [[विचलन|डिवर्जेंनेस]]  को परिभाषित करता है <math>X</math> अद्वितीय अदिश-मान फलन के रूप में, द्वारा दर्शाया गया <math>\operatorname{div} X,</math> संतुष्टि देने वाला
+वॉल्यूम फॉर्म दिया गया है <math>\omega</math> पर <math>M,</math> कोई सदिश क्षेत्र के [[विचलन|डिवर्जेंनेस]]  को परिभाषित करता है <math>X</math> अद्वितीय अदिश-मान फलन के रूप में, द्वारा दर्शाया गया <math>\operatorname{div} X,</math> संतोषजनक देने वाले होते है
 <math display=block>(\operatorname{div} X)\omega = L_X\omega = d(X \mathbin{\!\rfloor} \omega) ,</math>
-कहाँ <math>L_X</math> साथ में [[झूठ व्युत्पन्न]] को दर्शाता है <math>X</math> और <math>X \mathbin{\!\rfloor} \omega</math> [[आंतरिक उत्पाद]] या बाएँ [[टेंसर संकुचन]] को दर्शाता है <math>\omega</math> साथ में <math>X.</math> अगर <math>X</math> एक [[ संक्षिप्त समर्थन ]] वेक्टर फ़ील्ड है और <math>M</math> [[सीमा के साथ कई गुना]] है, तो स्टोक्स प्रमेय का तात्पर्य है
+जहाँ <math>L_X</math> [[झूठ व्युत्पन्न|लाई]] अवकलज को दर्शाता है <math>X</math> और <math>X \mathbin{\!\rfloor} \omega</math> [[आंतरिक उत्पाद]] या बाएँ [[टेंसर संकुचन]] को दर्शाता है <math>\omega</math>  के  साथ में <math>X.</math> यदि <math>X</math> एक [[ संक्षिप्त समर्थन ]] सदिश क्षेत्र के रूप में होता है और <math>M</math> [[मैनीफोल्ड]] [[सीमा के साथ कई गुना|सीमा के साथ]] होता है, तो स्टोक्स प्रमेय का तात्पर्य इस प्रकार दर्शाया जाता है
 <math display=block>\int_M (\operatorname{div} X)\omega = \int_{\partial M} X \mathbin{\!\rfloor} \omega,</math>
-जो [[विचलन प्रमेय]] का सामान्यीकरण है।
+जो [[विचलन प्रमेय|डिवर्जेंनेस प्रमेय]] का सामान्यीकरण है।
-[[सोलेनॉइडल]] वेक्टर फ़ील्ड वे हैं जिनके साथ <math>\operatorname{div} X = 0.</math> ली व्युत्पन्न की परिभाषा से यह पता चलता है कि वॉल्यूम फॉर्म को सोलेनोइडल वेक्टर क्षेत्र के [[वेक्टर प्रवाह]] के तहत संरक्षित किया जाता है। इस प्रकार सोलनॉइडल वेक्टर फ़ील्ड सटीक रूप से वे होते हैं जिनमें वॉल्यूम-संरक्षण प्रवाह होता है। यह तथ्य सर्वविदित है, उदाहरण के लिए, [[द्रव यांत्रिकी]] में जहां एक वेग क्षेत्र का विचलन एक तरल पदार्थ की संपीड़न क्षमता को मापता है, जो बदले में तरल पदार्थ के प्रवाह के साथ मात्रा को संरक्षित करने की सीमा को दर्शाता है।
+[[सोलेनॉइडल]] सदिश क्षेत्र वे हैं जिनके साथ <math>\operatorname{div} X = 0.</math> लाई अवकलज की परिभाषा से यह पता चलता है कि वॉल्यूम फॉर्म को सोलेनोइडल सदिश क्षेत्र  के [[वेक्टर प्रवाह|सदिश  प्रवाह]] के तहत संरक्षित किया जाता है। इस प्रकार सोलनॉइडल सदिश  फ़ील्ड सटीक रूप से वे होते हैं जिनमें वॉल्यूम-संरक्षण प्रवाह होता है। यह तथ्य सर्वविदित है, उदाहरण के लिए, [[द्रव यांत्रिकी]] में जहां एक वेग क्षेत्र का विचलन एक तरल पदार्थ की संपीड़न क्षमता को मापता है, जो बदले में तरल पदार्थ के प्रवाह के साथ मात्रा को संरक्षित करने की सीमा को दर्शाता है।
 ==विशेष मामले==
-=== [[झूठ समूह]] ===
+=== [[झूठ समूह|लाई  समूह]] ===
-किसी भी झूठ समूह के लिए, एक प्राकृतिक वॉल्यूम फॉर्म को अनुवाद द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। अर्थात यदि <math>\omega_e</math> का एक तत्व है <math>{\textstyle\bigwedge}^n T_e^*G,</math> तब एक वाम-अपरिवर्तनीय रूप को परिभाषित किया जा सकता है <math>\omega_g = L_{g^{-1}}^*\omega_e,</math> कहाँ <math>L_g</math> वाम-अनुवाद है. परिणामस्वरूप, प्रत्येक झूठ समूह ओरियंटेबल  होता है। यह आयतन फॉर्म  एक अदिश राशि तक अद्वितीय होता है, और संबंधित माप को हार माप के रूप में जाना जाता है।
+किसी भी लाई  समूह के लिए, एक प्राकृतिक वॉल्यूम फॉर्म को अनुवाद द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। अर्थात यदि <math>\omega_e</math> का एक तत्व है <math>{\textstyle\bigwedge}^n T_e^*G,</math> तब एक वाम-अपरिवर्तनीय रूप को परिभाषित किया जा सकता है <math>\omega_g = L_{g^{-1}}^*\omega_e,</math> कहाँ <math>L_g</math> वाम-अनुवाद है. परिणामस्वरूप, प्रत्येक लाई  समूह ओरियंटेबल  होता है। यह आयतन फॉर्म  एक अदिश राशि तक अद्वितीय होता है, और संबंधित माप को हार माप के रूप में जाना जाता है।
 === सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड्स ===
-किसी भी सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड (या वास्तव में किसी भी [[लगभग सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड]]) का एक प्राकृतिक आयतन फॉर्म  होता है। अगर <math>M</math> एक है <math>2 n</math>[[सरलीकृत रूप]] के साथ आयामी कई गुना <math>\omega,</math> तब <math>\omega^n</math> सहानुभूतिपूर्ण रूप की गैर-अपघटन के परिणामस्वरूप कहीं भी शून्य नहीं है। परिणाम के रूप में, कोई भी सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड ओरियंटेबल  (वास्तव में, उन्मुख) होता है। यदि मैनिफोल्ड सिम्प्लेक्टिक और रीमैनियन दोनों है, तो यदि मैनिफोल्ड काहलर मैनिफोल्ड|काहलर है, तो दो वॉल्यूम रूप सहमत हैं।
+किसी भी सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड (या वास्तव में किसी भी [[लगभग सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड]]) का एक प्राकृतिक आयतन फॉर्म  होता है। यदि <math>M</math> एक है <math>2 n</math>[[सरलीकृत रूप]] के साथ आयामी कई गुना <math>\omega,</math> तब <math>\omega^n</math> सहानुभूतिपूर्ण रूप की गैर-अपघटन के परिणामस्वरूप कहीं भी शून्य नहीं है। परिणाम के रूप में, कोई भी सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड ओरियंटेबल  (वास्तव में, उन्मुख) होता है। यदि मैनिफोल्ड सिम्प्लेक्टिक और रीमैनियन दोनों है, तो यदि मैनिफोल्ड काहलर मैनिफोल्ड|काहलर है, तो दो वॉल्यूम रूप सहमत हैं।
 === रीमैनियन वॉल्यूम फॉर्म ===
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 वॉल्यूम फॉर्म अद्वितीय नहीं हैं; वे निम्नानुसार मैनिफोल्ड पर गैर-लुप्त होने वाले फलनों पर एक [[ मरोड़ ]] बनाते हैं। एक गैर-लुप्त होने वाला कार्य दिया गया <math>f</math> पर <math>M,</math> और एक वॉल्यूम फॉर्म <math>\omega,</math> <math>f\omega</math> पर एक वॉल्यूम फॉर्म है <math>M.</math> इसके विपरीत, दो खंड रूप दिए गए हैं <math>\omega, \omega',</math> उनका अनुपात एक गैर-लुप्त होने वाला कार्य है (यदि वे समान ओरिएंटेशन  को परिभाषित करते हैं तो सकारात्मक, यदि वे विपरीत ओरिएंटेशन  को परिभाषित करते हैं तो ऋणात्मक )।
-निर्देशांक में, वे दोनों केवल एक गैर-शून्य फलन समय [[लेब्सेग माप]] हैं, और उनका अनुपात फलन का अनुपात है, जो निर्देशांक की पसंद से स्वतंत्र है। आंतरिक रूप से, यह रेडॉन-निकोडिम प्रमेय#रेडॉन.E2.80.93निकोडिम व्युत्पन्न है|रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न <math>\omega'</math> इसके संबंध में <math>\omega.</math> एक ओरिएंटेड मैनिफोल्ड पर, किन्हीं दो वॉल्यूम रूपों की आनुपातिकता को रेडॉन-निकोडिम प्रमेय के ज्यामितीय रूप के रूप में माना जा सकता है।
+निर्देशांक में, वे दोनों केवल एक गैर-शून्य फलन समय [[लेब्सेग माप]] हैं, और उनका अनुपात फलन का अनुपात है, जो निर्देशांक की पसंद से स्वतंत्र है। आंतरिक रूप से, यह रेडॉन-निकोडिम प्रमेय#रेडॉन.E2.80.93निकोडिम अवकलज है|रेडॉन-निकोडिम अवकलज <math>\omega'</math> इसके संबंध में <math>\omega.</math> एक ओरिएंटेड मैनिफोल्ड पर, किन्हीं दो वॉल्यूम रूपों की आनुपातिकता को रेडॉन-निकोडिम प्रमेय के ज्यामितीय रूप के रूप में माना जा सकता है।
 ===कोई स्थानीय संरचना नहीं===

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