आयतन रूप: Difference between revisions
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काहलर मैनिफोल्ड्स, जटिल मैनिफोल्ड्स होने के कारण स्वाभाविक रूप से ओरियंटेबल होते हैं और इसलिए उनके पास वॉल्यूम फॉर्म होता है। अधिक सामान्यतः, <math>n</math> [[सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड]] पर सिंपलेक्टिक रूप की [[बाहरी शक्ति]] एक आयतन रूप होती है। मैनिफोल्ड्स के कई वर्गों में कैनोनिकल वॉल्यूम फॉर्म होते हैं चूंकि उनके पास अतिरिक्त संरचना होती है जो पसंदीदा वॉल्यूम फॉर्म की चॉइस की अनुमति देती है। ओरिएंटेड [[छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड|प्सयूडो रीमैनियन मैनिफोल्ड]] में एक संबद्ध कैनोनिकल वॉल्यूम फॉर्म के रूप में होता है। | काहलर मैनिफोल्ड्स, जटिल मैनिफोल्ड्स होने के कारण स्वाभाविक रूप से ओरियंटेबल होते हैं और इसलिए उनके पास वॉल्यूम फॉर्म होता है। अधिक सामान्यतः, <math>n</math> [[सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड]] पर सिंपलेक्टिक रूप की [[बाहरी शक्ति]] एक आयतन रूप होती है। मैनिफोल्ड्स के कई वर्गों में कैनोनिकल वॉल्यूम फॉर्म होते हैं चूंकि उनके पास अतिरिक्त संरचना होती है जो पसंदीदा वॉल्यूम फॉर्म की चॉइस की अनुमति देती है। ओरिएंटेड [[छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड|प्सयूडो रीमैनियन मैनिफोल्ड]] में एक संबद्ध कैनोनिकल वॉल्यूम फॉर्म के रूप में होता है। | ||
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नीचे केवल अवकलनीयता मैनिफ़ोल्ड के ओरिएंटेशन के बारे में बताया जाता है, यह किसी भी टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड पर परिभाषित एक अधिक सामान्य धारणा है। | |||
एक मैनिफोल्ड [[ एडजस्टेबल ]] होता है यदि इसमें एक [[समन्वय एटलस]] होता है जिसके सभी | एक मैनिफोल्ड [[ एडजस्टेबल ]] होता है, यदि इसमें एक [[समन्वय एटलस|निर्देशांक एटलस]] होता है, जिसके सभी ट्रांजीशन फलनों में धनात्मक [[जैकोबियन निर्धारक|जैकोबियन डीटरमीनेट]] होते हैं। ऐसे अधिकतम एटलस का चयन एक ओरिएंटेशन <math>M.</math> के रूप में होता है, एक वॉल्यूम फॉर्म <math>\omega</math> पर <math>M</math> निर्देशांक चार्ट के एटलस के रूप में प्राकृतिक विधि से एक ओरिएंटेशन <math>M</math> को जन्म देता है, जिससे कि वह <math>\omega</math> यूक्लिडियन वॉल्यूम फॉर्म के धनात्मक गुणक के लिए <math>dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n.</math>के रूप में होते है। | ||
वॉल्यूम फॉर्म | |||
<math display=block>\omega\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right) > 0.</math> | वॉल्यूम फॉर्म <math>M.</math>पर फ्रेम के पसंदीदा वर्ग के विनिर्देशन की भी अनुमति देता है और इस प्रकार स्पर्शरेखा सदिश <math>(X_1, \ldots, X_n)</math> के आधार को दाएँ हाथ से कॉल करते है यदि यह इस रूप में होते है <math display="block">\omega\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right) > 0.</math> | ||
सभी दाएं हाथ के फ़्रेमों | |||
सभी दाएं हाथ के फ़्रेमों के संग्रह पर धनात्मक डीटरमीनेट के साथ <math>n</math> आयामों में सामान्य रैखिक [[मैपिंग के समूह]] <math>\mathrm{GL}^+(n)</math> द्वारा कार्य किया जाता है और इस प्रकार [[सामान्य रैखिक समूह]] मानचित्रण में <math>n</math> धनात्मक डीटरमीनेट के साथ आयाम के रूप में सिद्धांत बनाते हैं <math>\mathrm{GL}^+(n)</math> के [[रैखिक फ्रेम बंडल]] का उप-बंडल <math>M,</math> के रूप में होता है और इसलिए वॉल्यूम फॉर्म से जुड़ा ओरिएंटेशन फ्रेम बंडल की कैनोनिकल कमी देता है, जो कि <math>M</math> संरचना समूह के साथ एक उप-बंडल में होते है <math>\mathrm{GL}^+(n).</math> का तात्पर्य यह है कि आयतन रूप G संरचना को जन्म देता है <math>\mathrm{GL}^+(n)</math> संरचना <math>M.</math> पर फ़्रेमों पर विचार करके कमी स्पष्ट रूप से संभव है, | |||
{{NumBlk|:|<math>\omega\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right) = 1.</math>|{{EquationRef|1}}}} | {{NumBlk|:|<math>\omega\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right) = 1.</math>|{{EquationRef|1}}}} | ||
इस प्रकार एक आयतन रूप एक को जन्म देता है <math>\mathrm{SL}(n)</math>-संरचना भी. इसके विपरीत, एक दिया गया <math>\mathrm{SL}(n)</math>-संरचना, कोई भी लगाकर वॉल्यूम फॉर्म को पुनर्प्राप्त कर सकता है ({{EquationNote|1}}) विशेष रैखिक फ़्रेमों के लिए और फिर आवश्यक के लिए हल करना <math>n</math>-प्रपत्र <math>\omega</math> अपने तर्कों में एकरूपता की आवश्यकता के द्वारा। | '''इस प्रकार एक आयतन रूप एक को जन्म देता है <math>\mathrm{SL}(n)</math>-संरचना भी. इसके विपरीत, एक दिया गया <math>\mathrm{SL}(n)</math>-संरचना, कोई भी लगाकर वॉल्यूम फॉर्म को पुनर्प्राप्त कर सकता है ({{EquationNote|1}}) विशेष रैखिक फ़्रेमों के लिए और फिर आवश्यक''' के लिए हल करना <math>n</math>-प्रपत्र <math>\omega</math> अपने तर्कों में एकरूपता की आवश्यकता के द्वारा। | ||
एक मैनिफोल्ड ओरिएंटेबल है यदि और केवल तभी जब इसमें कहीं भी गायब होने वाला वॉल्यूम फॉर्म न हो। वास्तव में, <math>\mathrm{SL}(n) \to \mathrm{GL}^+(n)</math> तब से एक विरूपण प्रत्यावर्तन है <math>\mathrm{GL}^+ = \mathrm{SL} \times \R^+,</math> जहां | एक मैनिफोल्ड ओरिएंटेबल है यदि और केवल तभी जब इसमें कहीं भी गायब होने वाला वॉल्यूम फॉर्म न हो। वास्तव में, <math>\mathrm{SL}(n) \to \mathrm{GL}^+(n)</math> तब से एक विरूपण प्रत्यावर्तन है <math>\mathrm{GL}^+ = \mathrm{SL} \times \R^+,</math> जहां धनात्मक वास्तविकताएं अदिश मैट्रिक्स के रूप में अंतर्निहित हैं। इस प्रकार प्रत्येक <math>\mathrm{GL}^+(n)</math>-संरचना को कम किया जा सकता है <math>\mathrm{SL}(n)</math>-संरचना, और <math>\mathrm{GL}^+(n)</math>-संरचनाएँ ओरिएंटेशन के साथ मेल खाती हैं <math>M.</math> अधिक ठोस रूप से, डीटरमीनेट बंडल की तुच्छता <math>\Omega^n(M)</math> ओरिएंटेबिलिटी के बराबर है, और एक लाइन बंडल तुच्छ है यदि और केवल तभी इसमें कहीं भी गायब होने वाला अनुभाग न हो। इस प्रकार, वॉल्यूम फॉर्म का अस्तित्व ओरिएंटेबिलिटी के बराबर है। | ||
== उपायों से संबंध == | == उपायों से संबंध == | ||
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किसी भी ओरिएंटेशन (गणित) स्यूडो-[[रीमैनियन [[ कई गुना ]]]]|स्यूडो-रीमैनियन (रीमैनियन मैनिफोल्ड सहित) मैनिफोल्ड का एक प्राकृतिक आयतन रूप होता है। [[स्थानीय निर्देशांक]] में, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है | किसी भी ओरिएंटेशन (गणित) स्यूडो-[[रीमैनियन [[ कई गुना ]]]]|स्यूडो-रीमैनियन (रीमैनियन मैनिफोल्ड सहित) मैनिफोल्ड का एक प्राकृतिक आयतन रूप होता है। [[स्थानीय निर्देशांक]] में, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है | ||
<math display=block>\omega = \sqrt{|g|} dx^1\wedge \dots \wedge dx^n</math> | <math display=block>\omega = \sqrt{|g|} dx^1\wedge \dots \wedge dx^n</math> | ||
जहां <math>dx^i</math> [[1-रूप]] हैं जो मैनिफोल्ड के [[कोटैंजेंट बंडल]] के लिए | जहां <math>dx^i</math> [[1-रूप]] हैं जो मैनिफोल्ड के [[कोटैंजेंट बंडल]] के लिए धनात्मक रूप से ओरियंटेबल आधार बनाते हैं। यहाँ, <math>|g|</math> मैनिफोल्ड पर [[मीट्रिक टेंसर]] के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व के डीटरमीनेट का पूर्ण मूल्य है। | ||
आयतन रूप को विभिन्न प्रकार से निरूपित किया जाता है | आयतन रूप को विभिन्न प्रकार से निरूपित किया जाता है | ||
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==आयतन रूप के अपरिवर्तनीय== | ==आयतन रूप के अपरिवर्तनीय== | ||
वॉल्यूम फॉर्म अद्वितीय नहीं हैं; वे निम्नानुसार मैनिफोल्ड पर गैर-लुप्त होने वाले फलनों पर एक [[ मरोड़ ]] बनाते हैं। एक गैर-लुप्त होने वाला कार्य दिया गया <math>f</math> पर <math>M,</math> और एक वॉल्यूम फॉर्म <math>\omega,</math> <math>f\omega</math> पर एक वॉल्यूम फॉर्म है <math>M.</math> इसके विपरीत, दो खंड रूप दिए गए हैं <math>\omega, \omega',</math> उनका अनुपात एक गैर-लुप्त होने वाला कार्य है (यदि वे समान | वॉल्यूम फॉर्म अद्वितीय नहीं हैं; वे निम्नानुसार मैनिफोल्ड पर गैर-लुप्त होने वाले फलनों पर एक [[ मरोड़ ]] बनाते हैं। एक गैर-लुप्त होने वाला कार्य दिया गया <math>f</math> पर <math>M,</math> और एक वॉल्यूम फॉर्म <math>\omega,</math> <math>f\omega</math> पर एक वॉल्यूम फॉर्म है <math>M.</math> इसके विपरीत, दो खंड रूप दिए गए हैं <math>\omega, \omega',</math> उनका अनुपात एक गैर-लुप्त होने वाला कार्य है (यदि वे समान ओरिएंटेशन को परिभाषित करते हैं तो सकारात्मक, यदि वे विपरीत ओरिएंटेशन को परिभाषित करते हैं तो ऋणात्मक )। | ||
निर्देशांक में, वे दोनों केवल एक गैर-शून्य फलन समय [[लेब्सेग माप]] हैं, और उनका अनुपात फलन का अनुपात है, जो निर्देशांक की पसंद से स्वतंत्र है। आंतरिक रूप से, यह रेडॉन-निकोडिम प्रमेय#रेडॉन.E2.80.93निकोडिम व्युत्पन्न है|रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न <math>\omega'</math> इसके संबंध में <math>\omega.</math> एक ओरिएंटेड मैनिफोल्ड पर, किन्हीं दो वॉल्यूम रूपों की आनुपातिकता को रेडॉन-निकोडिम प्रमेय के ज्यामितीय रूप के रूप में माना जा सकता है। | निर्देशांक में, वे दोनों केवल एक गैर-शून्य फलन समय [[लेब्सेग माप]] हैं, और उनका अनुपात फलन का अनुपात है, जो निर्देशांक की पसंद से स्वतंत्र है। आंतरिक रूप से, यह रेडॉन-निकोडिम प्रमेय#रेडॉन.E2.80.93निकोडिम व्युत्पन्न है|रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न <math>\omega'</math> इसके संबंध में <math>\omega.</math> एक ओरिएंटेड मैनिफोल्ड पर, किन्हीं दो वॉल्यूम रूपों की आनुपातिकता को रेडॉन-निकोडिम प्रमेय के ज्यामितीय रूप के रूप में माना जा सकता है। | ||
Revision as of 17:28, 9 July 2023
गणित में, आयतन रूप या शीर्ष-आयामी रूप अवकलन मैनीफोल्ड आयाम के बराबर डिग्री का एक अवकलक रूप है। इस प्रकार मैनीफोल्ड पर आयाम का , वॉल्यूम फॉर्म एक -प्रपत्र के रूप में होता है। यह लाइन बंडल के अनुभाग (फाइबर बंडल) के स्थान का एक तत्व के रूप में होता है , इस रूप में घोषित किया गया . मैनिफोल्ड कहीं न लुप्त होने वाले आयतन रूप को स्वीकार करता है यदि और केवल यदि वह ओरियंटेबल है। एक ओरिएंटेबल मैनिफोल्ड में अनंत रूप से कई वॉल्यूम फॉर्म होते हैं, क्योंकि वॉल्यूम फॉर्म को एक फलन द्वारा गुणा करने पर दूसरा वॉल्यूम फॉर्म प्राप्त होता है। गैर-ओरियंटेबल मैनिफोल्ड्स पर इसके अतिरिक्त घनत्व की कमजोर धारणा को परिभाषित किया जा सकता है।
एक वॉल्यूम फॉर्म एक भिन्न मैनिफोल्ड पर एक फलन (गणित) के अभिन्न अंग को परिभाषित करने का एक साधन प्रदान करता है। दूसरे शब्दों में, एक वॉल्यूम फॉर्म एक माप (गणित) को जन्म देता है जिसके संबंध में फलनों को उपयुक्त लेब्सग समाकलन द्वारा एकीकृत किया जा सकता है। वॉल्यूम फॉर्म का निरपेक्ष मान एक वॉल्यूम तत्व के रूप में होता है, जिसे विभिन्न प्रकार से ट्विस्टेड वॉल्यूम फॉर्म या प्सयूडो -वॉल्यूम फॉर्म के रूप में भी जाना जाता है। यह एक माप को भी परिभाषित करता है, लेकिन किसी भी अवकलक चाहे वह ओरियंटेबल हो या नहीं हो पर इसकी विविधता पर सम्मलित होता है।
काहलर मैनिफोल्ड्स, जटिल मैनिफोल्ड्स होने के कारण स्वाभाविक रूप से ओरियंटेबल होते हैं और इसलिए उनके पास वॉल्यूम फॉर्म होता है। अधिक सामान्यतः, सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड पर सिंपलेक्टिक रूप की बाहरी शक्ति एक आयतन रूप होती है। मैनिफोल्ड्स के कई वर्गों में कैनोनिकल वॉल्यूम फॉर्म होते हैं चूंकि उनके पास अतिरिक्त संरचना होती है जो पसंदीदा वॉल्यूम फॉर्म की चॉइस की अनुमति देती है। ओरिएंटेड प्सयूडो रीमैनियन मैनिफोल्ड में एक संबद्ध कैनोनिकल वॉल्यूम फॉर्म के रूप में होता है।
ओरिएंटेशन
नीचे केवल अवकलनीयता मैनिफ़ोल्ड के ओरिएंटेशन के बारे में बताया जाता है, यह किसी भी टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड पर परिभाषित एक अधिक सामान्य धारणा है।
एक मैनिफोल्ड एडजस्टेबल होता है, यदि इसमें एक निर्देशांक एटलस होता है, जिसके सभी ट्रांजीशन फलनों में धनात्मक जैकोबियन डीटरमीनेट होते हैं। ऐसे अधिकतम एटलस का चयन एक ओरिएंटेशन के रूप में होता है, एक वॉल्यूम फॉर्म पर निर्देशांक चार्ट के एटलस के रूप में प्राकृतिक विधि से एक ओरिएंटेशन को जन्म देता है, जिससे कि वह यूक्लिडियन वॉल्यूम फॉर्म के धनात्मक गुणक के लिए के रूप में होते है।
वॉल्यूम फॉर्म पर फ्रेम के पसंदीदा वर्ग के विनिर्देशन की भी अनुमति देता है और इस प्रकार स्पर्शरेखा सदिश