विघटन प्रमेय: Difference between revisions
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<math display=block>\operatorname E(f|\pi_1)(x_1)= \int_{X_2} f(x_1,x_2) \mu(\mathrm d x_2|x_1),</math><math display=block>\mu(A\times B|\pi_1)(x_1)= 1_A(x_1) \cdot \mu(B| x_1).</math> | <math display=block>\operatorname E(f|\pi_1)(x_1)= \int_{X_2} f(x_1,x_2) \mu(\mathrm d x_2|x_1),</math><math display=block>\mu(A\times B|\pi_1)(x_1)= 1_A(x_1) \cdot \mu(B| x_1).</math> | ||
===[[वेक्टर कैलकुलस|सदिश गणना]] === | ===[[वेक्टर कैलकुलस|सदिश गणना]] === | ||
विघटन प्रमेय को सदिश गणना में प्रतिबंधित माप के उपयोग को उचित ठहराने के रूप में भी देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, स्टोक्स के प्रमेय में जैसा कि कॉम्पैक्ट स्पेस [[सतह (गणित)]] के माध्यम से बहने वाले सदिश क्षेत्र {{nowrap|Σ ⊂ '''R'''<sup>3</sup>}} पर प्रयुक्त होता है , यह अंतर्निहित है कि Σ पर सही माप त्रि-आयामी लेबेस्ग माप λ<sup>3</sup>Σ पर, विघटन है और यह कि ∂Σ पर इस माप का विघटन λ<sup>3</sup> पर ∂Σ के विघटन के समान है.<ref name=Ambrosio_Gigli_Savare>{{cite book | author=Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. | title=मीट्रिक रिक्त स्थान और संभाव्यता माप के स्थान में क्रमिक प्रवाह| publisher=ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel | year=2005 | isbn=978-3-7643-2428-5 }}</ref> | विघटन प्रमेय को सदिश गणना में प्रतिबंधित माप के उपयोग को उचित ठहराने के रूप में भी देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, स्टोक्स के प्रमेय में जैसा कि कॉम्पैक्ट स्पेस [[सतह (गणित)]] के माध्यम से बहने वाले सदिश क्षेत्र {{nowrap|Σ ⊂ '''R'''<sup>3</sup>}} पर प्रयुक्त होता है , यह अंतर्निहित है कि Σ पर सही माप त्रि-आयामी लेबेस्ग माप λ<sup>3</sup>Σ पर, विघटन है और यह कि ∂Σ पर इस माप का विघटन λ<sup>3</sup> पर ∂Σ के विघटन के समान है.<ref name=Ambrosio_Gigli_Savare>{{cite book | author=Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. | title=मीट्रिक रिक्त स्थान और संभाव्यता माप के स्थान में क्रमिक प्रवाह| publisher=ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel | year=2005 | isbn=978-3-7643-2428-5 }}</ref> | ||
=== | ===नियमित वितरण=== | ||
विघटन प्रमेय को आंकड़ों में | विघटन प्रमेय को आंकड़ों में नियमित संभाव्यता वितरण का कठोर उपचार देने के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है, जबकि नियमित संभाव्यता के विशुद्ध रूप से एब्स्ट्रेक्ट सूत्र से बचा जा सकता है।<ref name=Chang_Pollard>{{cite journal|last=Chang|first=J.T.|author2=Pollard, D.|title=विघटन के रूप में कंडीशनिंग|journal=Statistica Neerlandica| year=1997 | volume=51|issue=3|url=http://www.stat.yale.edu/~jtc5/papers/ConditioningAsDisintegration.pdf|doi=10.1111/1467-9574.00056|pages=287|citeseerx=10.1.1.55.7544|s2cid=16749932 }}</ref> | ||
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* [[नियमित सशर्त संभाव्यता]] | * [[नियमित सशर्त संभाव्यता|नियमित संभाव्यता]] | ||
==संदर्भ == | ==संदर्भ == | ||
Revision as of 11:23, 12 July 2023
गणित में, विघटन प्रमेय माप सिद्धांत और संभाव्यता सिद्धांत का परिणाम है। यह प्रश्न में माप स्पेस के शून्य उपसमुच्चय के माप (गणित) के गैर-सामान्य प्रतिबंध के विचार को कठोरता से परिभाषित करता है। यह कंडीशनिंग (संभावना) के अस्तित्व से संबंधित है। इस प्रकार अर्थ में, विघटन किसी उत्पाद माप के निर्माण की विपरीत प्रक्रिया है।
प्रेरणा
यूक्लिडियन विमान R2, S = [0, 1] × [0, 1]. में इकाई वर्ग पर विचार करें। S पर द्वि-आयामी लेब्सेग माप λ2 के प्रतिबंध द्वारा एस पर परिभाषित संभाव्यता माप μ पर विचार करें . अर्थात, किसी घटना E ⊆ S की संभावना बस E का क्षेत्रफल है। हम मानते हैं कि E, S का मापने योग्य उपसमुच्चय है।
S के एक-आयामी उपसमुच्चय पर विचार करें जैसे कि रेखा खंड Lx = {x} × [0, 1]. Lx μ-माप शून्य है; Lx का प्रत्येक उपसमुच्चय μ-शून्य सेट है; चूँकि लेबेस्ग्यू माप स्पेस पूर्ण माप है,
सही होते हुए भी, यह कुछ सीमा तक असंतोषजनक है। यह कहना अच्छा होगा कि μ Lx तक ही सीमित है आयामी लेबेस्ग्यू माप λ1 अतिरिक्त सामान्य उपाय है । द्वि-आयामी घटना E की संभावना तब ऊर्ध्वाधर स्लाइस E ∩ Lx की एक-आयामी संभावनाओं के लेबेस्ग एकीकरण के रूप में प्राप्त की जा सकती है: अधिक औपचारिक रूप से, यदि μx Lx पर एक-आयामी लेबेस्ग माप को दर्शाता है, तब
किसी भी अच्छे E ⊆ S के लिए। विघटन प्रमेय मीट्रिक स्पेस पर उपायों के संदर्भ में इस तर्क को कठोर बनाता है।
प्रमेय का कथन
(इसके बाद, p(x) टोपोलॉजिकल स्पेस (x, T) पर बोरेल माप संभाव्यता उपायों के संग्रह को निरूपित करेगा।)
प्रमेय की मान्यताएँ इस प्रकार हैं:
- मान लें कि Y और X दो पोलिश स्पेस रेडॉन स्पेस हैं (अर्थात टोपोलॉजिकल स्पेस जैसे कि M पर प्रत्येक बोरेल माप संभाव्यता माप आंतरिक नियमित माप है उदाहरण के लिए अलग-अलग स्पेस मीट्रिक रिक्त स्पेस जिस पर प्रत्येक संभाव्यता माप रेडॉन माप है)।
- मान लीजिए μ ∈ P(Y)।
- मान लीजिए π : Y → X बोरेल-मापने योग्य फलन है। यहां किसी को π को Y को विघटित करने के फलन के रूप में सोचना चाहिए, Y को विभाजित करने के अर्थ में . उदाहरण के लिए, उपरोक्त प्रेरक उदाहरण के लिए, कोई परिभाषित कर सकता है , , जो वह देता है , टुकड़ा जिसे हम पकड़ना चाहते हैं।
- माना ∈ P(X) पुशफॉरवर्ड माप ν = π∗(μ) = μ ∘ π−1. हो यह माप x का वितरण प्रदान करता है (जो घटनाओं से मेल खाता है ).
प्रमेय का निष्कर्ष: वहाँ उपस्थित है -लगभग प्रत्येक स्पेस संभाव्यता उपायों का विशिष्ट रूप से निर्धारित वर्ग {μx}x∈X ⊆ P(Y), जो में , का विघटन प्रदान करता है ऐसा है कि:
- फलन बोरेल मापने योग्य है, इस अर्थ में प्रत्येक बोरेल-मापने योग्य सेट B ⊆ Y के लिए बोरेल-मापने योग्य फलन है;
- μx फाइबर (गणित) π−1(x) के लिए -लगभग सभी x ∈ x, पर रहता है: और इसलिए μx(E) = mx(E ∩ p−1(x));
- प्रत्येक बोरेल-मापने योग्य फलन के लिए f : Y → [0, ∞], विशेष रूप से, किसी भी घटना E ⊆ Y के लिए, f को E का सूचक फलन मानते हुए,[1]