विघटन प्रमेय: Difference between revisions

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S के एक-आयामी उपसमुच्चय पर विचार करें जैसे कि रेखा खंड L<sub>''x''</sub> = {x} × [0, 1]. L<sub>''x''</sub> μ-माप शून्य है; L<sub>''x''</sub> का प्रत्येक उपसमुच्चय μ-[[शून्य सेट]] है; चूँकि लेबेस्ग्यू माप स्पेस पूर्ण माप है,
S के एक-आयामी उपसमुच्चय पर विचार करें जैसे कि रेखा खंड L<sub>''x''</sub> = {x} × [0, 1]. L<sub>''x''</sub> μ-माप शून्य है; L<sub>''x''</sub> का प्रत्येक उपसमुच्चय μ-[[शून्य सेट]] है; चूँकि लेबेस्ग्यू माप स्पेस पूर्ण माप है,
<math display="block">E \subseteq L_{x} \implies \mu (E) = 0.</math>
<math display="block">E \subseteq L_{x} \implies \mu (E) = 0.</math>
सही होते हुए भी, यह कुछ सीमा तक असंतोषजनक है। यह कहना अच्छा होगा कि μ L<sub>''x''</sub> तक ही सीमित है आयामी लेबेस्ग्यू माप λ<sup>1</sup> अतिरिक्त [[तुच्छ उपाय|सामान्य उपाय]] है । द्वि-आयामी घटना E की संभावना तब ऊर्ध्वाधर स्लाइस E ∩ L<sub>''x''</sub> की एक-आयामी संभावनाओं के लेबेस्ग एकीकरण के रूप में प्राप्त की जा सकती है: अधिक औपचारिक रूप से, यदि μ<sub>''x''</sub> L<sub>''x''</sub> पर एक-आयामी लेबेस्ग माप को दर्शाता है, तब
सही होते हुए भी, यह कुछ सीमा तक असंतोषजनक है। यह कहना अच्छा होगा कि μ L<sub>''x''</sub> तक ही सीमित है आयामी लेबेस्ग्यू माप λ<sup>1</sup> अतिरिक्त [[तुच्छ उपाय|सामान्य उपाय]] है । द्वि-आयामी घटना E की संभावना तब ऊर्ध्वाधर स्लाइस E ∩ L<sub>''x''</sub> की एक-आयामी संभावनाओं के लेबेस्ग एकीकरण के रूप में प्राप्त की जा सकती है: अधिक औपचारिक रूप से, यदि μ<sub>''x''</sub> L<sub>''x''</sub> पर एक-आयामी लेबेस्ग माप को दर्शाता है, तब
<math display="block">\mu (E) = \int_{[0, 1]} \mu_{x} (E \cap L_{x}) \, \mathrm{d} x</math>
<math display="block">\mu (E) = \int_{[0, 1]} \mu_{x} (E \cap L_{x}) \, \mathrm{d} x</math>
किसी भी अच्छे E ⊆ S के लिए। विघटन प्रमेय [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक स्पेस]] पर उपायों के संदर्भ में इस तर्क को कठोर बनाता है।
किसी भी अच्छे E ⊆ S के लिए। विघटन प्रमेय [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक स्पेस]] पर उपायों के संदर्भ में इस तर्क को कठोर बनाता है।
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* मान लीजिए μ ∈ ''P''(''Y'')।
* मान लीजिए μ ∈ ''P''(''Y'')।
* मान लीजिए π : ''Y'' → ''X'' बोरेल-मापने योग्य फलन है। यहां किसी को π को ''Y'' को विघटित करने के फलन के रूप में सोचना चाहिए, ''Y'' को विभाजित करने के अर्थ में <math>\{ \pi^{-1}(x)\ |\ x \in X\}</math>. उदाहरण के लिए, उपरोक्त प्रेरक उदाहरण के लिए, कोई परिभाषित कर सकता है <math>\pi((a,b)) = a</math>, <math>(a,b) \in [0,1]\times [0,1]</math>, जो वह देता है <math>\pi^{-1}(a) = a \times [0,1]</math>, टुकड़ा जिसे हम पकड़ना चाहते हैं।
* मान लीजिए π : ''Y'' → ''X'' बोरेल-मापने योग्य फलन है। यहां किसी को π को ''Y'' को विघटित करने के फलन के रूप में सोचना चाहिए, ''Y'' को विभाजित करने के अर्थ में <math>\{ \pi^{-1}(x)\ |\ x \in X\}</math>. उदाहरण के लिए, उपरोक्त प्रेरक उदाहरण के लिए, कोई परिभाषित कर सकता है <math>\pi((a,b)) = a</math>, <math>(a,b) \in [0,1]\times [0,1]</math>, जो वह देता है <math>\pi^{-1}(a) = a \times [0,1]</math>, टुकड़ा जिसे हम पकड़ना चाहते हैं।
* माना <math>\nu</math> ∈ ''P''(''X'') पुशफॉरवर्ड माप {{nowrap|1=ν = π<sub>∗</sub>(μ) = μ ∘ π<sup>−1</sup>.}} हो यह माप x का वितरण <math>\pi^{-1}(x)</math> प्रदान करता है (जो घटनाओं से मेल खाता है ).
* माना <math>\nu</math> ∈ ''P''(''X'') पुशफॉरवर्ड माप {{nowrap|1=ν = π<sub>∗</sub>(μ) = μ ∘ π<sup>−1</sup>.}} हो यह माप x का वितरण <math>\pi^{-1}(x)</math> प्रदान करता है (जो घटनाओं से मेल खाता है ).


प्रमेय का निष्कर्ष: वहाँ <math>\nu</math> उपस्थित है -[[लगभग हर जगह|लगभग प्रत्येक स्पेस]] संभाव्यता उपायों का विशिष्ट रूप से निर्धारित वर्ग {μ<sub>''x''</sub>}<sub>''x''∈''X''</sub> ⊆ ''P''(''Y''), जो <math>\mu</math> में {{nowrap|<math>\{\mu_x\}_{x \in X}</math>,}} का विघटन प्रदान करता है ऐसा है कि:
प्रमेय का निष्कर्ष: वहाँ <math>\nu</math> उपस्थित है -[[लगभग हर जगह|लगभग प्रत्येक स्पेस]] संभाव्यता उपायों का विशिष्ट रूप से निर्धारित वर्ग {μ<sub>''x''</sub>}<sub>''x''∈''X''</sub> ⊆ ''P''(''Y''), जो <math>\mu</math> में {{nowrap|<math>\{\mu_x\}_{x \in X}</math>,}} का विघटन प्रदान करता है ऐसा है कि:
* फलन <math>x \mapsto \mu_{x}</math> बोरेल मापने योग्य है, इस अर्थ में <math>x \mapsto \mu_{x} (B)</math> प्रत्येक बोरेल-मापने योग्य सेट B ⊆ Y के लिए बोरेल-मापने योग्य फलन है;
* फलन <math>x \mapsto \mu_{x}</math> बोरेल मापने योग्य है, इस अर्थ में <math>x \mapsto \mu_{x} (B)</math> प्रत्येक बोरेल-मापने योग्य सेट B ⊆ Y के लिए बोरेल-मापने योग्य फलन है;
* μ<sub>''x''</sub> [[फाइबर (गणित)]] π<sup>−1</sup>(x) के लिए <math>\nu</math>-[[लगभग सभी]] x ∈ x, पर रहता है: <math display="block">\mu_{x} \left( Y \setminus \pi^{-1} (x) \right) = 0,</math> और इसलिए μ<sub>''x''</sub>(E) = m<sub>''x''</sub>(E ∩ p<sup>−1</sup>(x));
* μ<sub>''x''</sub> [[फाइबर (गणित)]] π<sup>−1</sup>(x) के लिए <math>\nu</math>-[[लगभग सभी]] x ∈ x, पर रहता है: <math display="block">\mu_{x} \left( Y \setminus \pi^{-1} (x) \right) = 0,</math> और इसलिए μ<sub>''x''</sub>(E) = m<sub>''x''</sub>(E ∩ p<sup>−1</sup>(x));
* प्रत्येक बोरेल-मापने योग्य फलन के लिए f : Y → [0, ∞], <math display="block">\int_{Y} f(y) \, \mathrm{d} \mu (y) = \int_{X} \int_{\pi^{-1} (x)} f(y) \, \mathrm{d} \mu_{x} (y) \mathrm{d} \nu (x).</math> विशेष रूप से, किसी भी घटना E ⊆ Y के लिए, f को E का सूचक फलन मानते हुए,<ref name="Dellacherie_Meyer">{{cite book |author1=Dellacherie, C.  |author2=Meyer, P.-A. | title=संभावनाएँ और संभावनाएँ| series=North-Holland Mathematics Studies |publisher=North-Holland | location=Amsterdam | year=1978 |isbn=0-7204-0701-X }}</ref> <math display="block">\mu (E) = \int_{X} \mu_{x} \left( E \right) \, \mathrm{d} \nu (x).</math>
* प्रत्येक बोरेल-मापने योग्य फलन के लिए f : Y → [0, ∞], <math display="block">\int_{Y} f(y) \, \mathrm{d} \mu (y) = \int_{X} \int_{\pi^{-1} (x)} f(y) \, \mathrm{d} \mu_{x} (y) \mathrm{d} \nu (x).</math> विशेष रूप से, किसी भी घटना E ⊆ Y के लिए, f को E का सूचक फलन मानते हुए,<ref name="Dellacherie_Meyer">{{cite book |author1=Dellacherie, C.  |author2=Meyer, P.-A. | title=संभावनाएँ और संभावनाएँ| series=North-Holland Mathematics Studies |publisher=North-Holland | location=Amsterdam | year=1978 |isbn=0-7204-0701-X }}</ref> <math display="block">\mu (E) = \int_{X} \mu_{x} \left( E \right) \, \mathrm{d} \nu (x).</math>
==अनुप्रयोग                                                                                                                                                                                                    ==
==अनुप्रयोग                                                                                                                                                                                                    ==


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मूल उदाहरण उत्पाद रिक्त स्पेस की समस्या का विशेष स्थिति थी, जिस पर विघटन प्रमेय प्रयुक्त होता है।
मूल उदाहरण उत्पाद रिक्त स्पेस की समस्या का विशेष स्थिति थी, जिस पर विघटन प्रमेय प्रयुक्त होता है।


जब Y को [[कार्तीय गुणन]]फल Y = X<sub>1</sub> × x<sub>2</sub> और π<sub>''i''</sub> : Y → x<sub>''i''</sub> के रूप में लिखा जाता है प्राकृतिक [[प्रक्षेपण (गणित)]] है, तो प्रत्येक फाइबर π<sub>1</sub><sup>−1</sup>(x<sub>1</sub>) X<sub>2</sub> के साथ विहित रूप में पहचाना जा सकता है और संभाव्यता मापों का बोरेल वर्ग उपस्थित है <math>\{ \mu_{x_{1}} \}_{x_{1} \in X_{1}}</math> ''p''(''x''<sub>2</sub>) जो (π<sub>1</sub>)<sub>∗</sub>(μ) है लगभग प्रत्येक स्पेस विशिष्ट रूप से निर्धारित) जैसे कि
जब Y को [[कार्तीय गुणन]]फल Y = X<sub>1</sub> × x<sub>2</sub> और π<sub>''i''</sub> : Y → x<sub>''i''</sub> के रूप में लिखा जाता है प्राकृतिक [[प्रक्षेपण (गणित)]] है, तो प्रत्येक फाइबर π<sub>1</sub><sup>−1</sup>(x<sub>1</sub>) X<sub>2</sub> के साथ विहित रूप में पहचाना जा सकता है और संभाव्यता मापों का बोरेल वर्ग उपस्थित है <math>\{ \mu_{x_{1}} \}_{x_{1} \in X_{1}}</math> ''p''(''x''<sub>2</sub>) जो (π<sub>1</sub>)<sub>∗</sub>(μ) है लगभग प्रत्येक स्पेस विशिष्ट रूप से निर्धारित) जैसे कि
<math display=block>\mu = \int_{X_{1}} \mu_{x_{1}} \, \mu \left(\pi_1^{-1}(\mathrm d x_1) \right)= \int_{X_{1}} \mu_{x_{1}} \, \mathrm{d} (\pi_{1})_{*} (\mu) (x_{1}),</math>
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जो विशेष रूप से है
जो विशेष रूप से है
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<math display=block>\mu(A \times B) = \int_A \mu\left(B|x_1\right) \, \mu\left( \pi_1^{-1}(\mathrm{d} x_{1})\right).</math>
<math display=block>\mu(A \times B) = \int_A \mu\left(B|x_1\right) \, \mu\left( \pi_1^{-1}(\mathrm{d} x_{1})\right).</math>
[[सशर्त अपेक्षा]] का संबंध पहचानों द्वारा दिया गया है
[[सशर्त अपेक्षा]] का संबंध पहचानों द्वारा दिया गया है
<math display=block>\operatorname E(f|\pi_1)(x_1)= \int_{X_2} f(x_1,x_2) \mu(\mathrm d x_2|x_1),</math>
<math display=block>\operatorname E(f|\pi_1)(x_1)= \int_{X_2} f(x_1,x_2) \mu(\mathrm d x_2|x_1),</math><math display=block>\mu(A\times B|\pi_1)(x_1)= 1_A(x_1) \cdot \mu(B| x_1).</math>
<math display=block>\mu(A\times B|\pi_1)(x_1)= 1_A(x_1) \cdot \mu(B| x_1).</math>
===[[वेक्टर कैलकुलस|सदिश गणना]]                                                                                                                                                                                              ===
 
विघटन प्रमेय को सदिश गणना में प्रतिबंधित माप के उपयोग को उचित ठहराने के रूप में भी देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, स्टोक्स के प्रमेय में जैसा कि कॉम्पैक्ट स्पेस [[सतह (गणित)]] के माध्यम से बहने वाले सदिश क्षेत्र {{nowrap|Σ ⊂ '''R'''<sup>3</sup>}} पर प्रयुक्त होता है , यह अंतर्निहित है कि Σ पर सही माप त्रि-आयामी लेबेस्ग माप λ<sup>3</sup>Σ पर, विघटन है और यह कि ∂Σ पर इस माप का विघटन λ<sup>3</sup> पर ∂Σ के विघटन के समान है.<ref name=Ambrosio_Gigli_Savare>{{cite book | author=Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. | title=मीट्रिक रिक्त स्थान और संभाव्यता माप के स्थान में क्रमिक प्रवाह| publisher=ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel | year=2005 | isbn=978-3-7643-2428-5 }}</ref>
 
===[[वेक्टर कैलकुलस]]                                                                                                                                                                                              ===
विघटन प्रमेय को वेक्टर कैलकुलस में प्रतिबंधित माप के उपयोग को उचित ठहराने के रूप में भी देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, स्टोक्स के प्रमेय में जैसा कि कॉम्पैक्ट स्पेस [[सतह (गणित)]] के माध्यम से बहने वाले वेक्टर क्षेत्र {{nowrap|Σ ⊂ '''R'''<sup>3</sup>}} पर प्रयुक्त होता है , यह अंतर्निहित है कि Σ पर सही माप त्रि-आयामी लेबेस्ग माप λ<sup>3</sup>Σ पर, विघटन है और यह कि ∂Σ पर इस माप का विघटन λ<sup>3</sup> पर ∂Σ के विघटन के समान है.<ref name=Ambrosio_Gigli_Savare>{{cite book | author=Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. | title=मीट्रिक रिक्त स्थान और संभाव्यता माप के स्थान में क्रमिक प्रवाह| publisher=ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel | year=2005 | isbn=978-3-7643-2428-5 }}</ref>


===सशर्त वितरण===
===सशर्त वितरण===

Revision as of 09:22, 12 July 2023

गणित में, विघटन प्रमेय माप सिद्धांत और संभाव्यता सिद्धांत का परिणाम है। यह प्रश्न में माप स्पेस के शून्य उपसमुच्चय के माप (गणित) के गैर-सामान्य प्रतिबंध के विचार को कठोरता से परिभाषित करता है। यह कंडीशनिंग (संभावना) के अस्तित्व से संबंधित है। इस प्रकार अर्थ में, विघटन किसी उत्पाद माप के निर्माण की विपरीत प्रक्रिया है।

प्रेरणा

यूक्लिडियन विमान R2, S = [0, 1] × [0, 1]. में इकाई वर्ग पर विचार करें। S पर द्वि-आयामी लेब्सेग माप λ2 के प्रतिबंध द्वारा एस पर परिभाषित संभाव्यता माप μ पर विचार करें . अर्थात, किसी घटना E ⊆ S की संभावना बस E का क्षेत्रफल है। हम मानते हैं कि E, S का मापने योग्य उपसमुच्चय है।


S के एक-आयामी उपसमुच्चय पर विचार करें जैसे कि रेखा खंड Lx = {x} × [0, 1]. Lx μ-माप शून्य है; Lx का प्रत्येक उपसमुच्चय μ-शून्य सेट है; चूँकि लेबेस्ग्यू माप स्पेस पूर्ण माप है,

सही होते हुए भी, यह कुछ सीमा तक असंतोषजनक है। यह कहना अच्छा होगा कि μ Lx तक ही सीमित है आयामी लेबेस्ग्यू माप λ1 अतिरिक्त सामान्य उपाय है । द्वि-आयामी घटना E की संभावना तब ऊर्ध्वाधर स्लाइस E ∩ Lx की एक-आयामी संभावनाओं के लेबेस्ग एकीकरण के रूप में प्राप्त की जा सकती है: अधिक औपचारिक रूप से, यदि μx Lx पर एक-आयामी लेबेस्ग माप को दर्शाता है, तब
किसी भी अच्छे E ⊆ S के लिए। विघटन प्रमेय मीट्रिक स्पेस पर उपायों के संदर्भ में इस तर्क को कठोर बनाता है।

प्रमेय का कथन

(इसके बाद, p(x) टोपोलॉजिकल स्पेस (x, T) पर बोरेल माप संभाव्यता उपायों के संग्रह को निरूपित करेगा।)

प्रमेय की मान्यताएँ इस प्रकार हैं:

  • मान लें कि Y और X दो पोलिश स्पेस रेडॉन स्पेस हैं (अर्थात टोपोलॉजिकल स्पेस जैसे कि M पर प्रत्येक बोरेल माप संभाव्यता माप आंतरिक नियमित माप है उदाहरण के लिए अलग-अलग स्पेस मीट्रिक रिक्त स्पेस जिस पर प्रत्येक संभाव्यता माप रेडॉन माप है)।
  • मान लीजिए μ ∈ P(Y)।
  • मान लीजिए π : Y → X बोरेल-मापने योग्य फलन है। यहां किसी को π को Y को विघटित करने के फलन के रूप में सोचना चाहिए, Y को विभाजित करने के अर्थ में . उदाहरण के लिए, उपरोक्त प्रेरक उदाहरण के लिए, कोई परिभाषित कर सकता है , , जो वह देता है , टुकड़ा जिसे हम पकड़ना चाहते हैं।
  • माना ∈ P(X) पुशफॉरवर्ड माप ν = π∗(μ) = μ ∘ π−1. हो यह माप x का वितरण प्रदान करता है (जो घटनाओं से मेल खाता है ).

प्रमेय का निष्कर्ष: वहाँ उपस्थित है -लगभग प्रत्येक स्पेस संभाव्यता उपायों का विशिष्ट रूप से निर्धारित वर्ग {μx}x∈X ⊆ P(Y), जो में , का विघटन प्रदान करता है ऐसा है कि:

  • फलन बोरेल मापने योग्य है, इस अर्थ में प्रत्येक बोरेल-मापने योग्य सेट B ⊆ Y के लिए बोरेल-मापने योग्य फलन है;
  • μx फाइबर (गणित) π−1(x) के लिए -लगभग सभी x ∈ x, पर रहता है:
    और इसलिए μx(E) = mx(E ∩ p−1(x));
  • प्रत्येक बोरेल-मापने योग्य फलन के लिए f : Y → [0, ∞],