P-ऐडिक संख्या

File:3-adic integers with dual colorings.svg

3-एडिक पूर्णांक, उनके पोंट्रीगिन दोहरे समूह पर चयनित संबंधित वर्णों के साथ

गणित में, दp-ऐडिक संख्या प्रणाली किसी भी अभाज्य संख्या के लिएp परिमेय संख्या प्रणाली के विस्तार से लेकर वास्तविक संख्या और जटिल संख्या प्रणाली तक परिमेय संख्याओं के सामान्य अंकगणित को एक अलग तरीके से विस्तारित करता है। निकटता या पूर्ण मूल्य की अवधारणा की वैकल्पिक व्याख्या के द्वारा विस्तार प्राप्त किया जाता है। विशेष रूप से, दो p-एडिक नंबरों को करीब माना जाता है जब उनका अंतर उच्च घातांक से विभाज्य होता है p: शक्ति जितनी अधिक होती है, वे उतने ही निकट होते हैं। यह गुण सक्षम बनाता है p-ऐडिक नंबर मॉड्यूलर अंकगणितीय जानकारी को इस तरह से एनकोड करने के लिए जो संख्या सिद्धांत में शक्तिशाली अनुप्रयोगों के रूप में निकलता है - उदाहरण के लिए, एंड्रयू विल्स द्वारा फर्मेट के अंतिम प्रमेय के फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के विल्स के प्रमाण में शामिल है।

इन नंबरों को सबसे पहले 1897 में कर्ट हेन्सेल द्वारा वर्णित किया गया था, हालांकि, पूर्व दृष्टि से, अर्नस्ट कुमेर|अर्नस्ट कुमेर के पहले के कुछ कार्यों की व्याख्या अप्रत्यक्ष रूप से निम्नलिखित का उपयोग करके की जा सकती है: p-एडिक नंबर। p}-आदिक संख्याएँ मुख्य रूप से संख्या सिद्धांत में शक्ति श्रृंखला विधियों के विचारों और तकनीकों को लाने के प्रयास से प्रेरित थीं। उनका प्रभाव अब इससे कहीं आगे बढ़ गया है। उदाहरण के लिए, पी-एडिक विश्लेषण का क्षेत्र|p-ऐडिक विश्लेषण अनिवार्य रूप से कलन का एक वैकल्पिक रूप प्रदान करता है।

अधिक औपचारिक रूप से, किसी दिए गए प्राइम के लिएp, क्षेत्र (गणित) Q_p का p-adic संख्याएँ परिमेय संख्याओं का एक पूर्ण स्थान है। फील्ड Q_p को मीट्रिक स्थान से प्राप्त एक टोपोलॉजिकल स्पेस भी दिया जाता है, जो स्वयं पी-एडिक ऑर्डर से प्राप्त होता है|p-ऐडिक क्रम, परिमेय संख्याओं पर एक वैकल्पिक मूल्यांकन (बीजगणित)। यह मीट्रिक स्थान इस अर्थ में पूर्णता (टोपोलॉजी) है कि प्रत्येक कॉची अनुक्रम अभिसरण अनुक्रम को एक बिंदु में जोड़ता है Q_p. यह वह है जो कलन के विकास की अनुमति देता है Q_p, और यह इस विश्लेषणात्मक और बीजगणितीय ज्यामिति संरचना की परस्पर क्रिया है जो देता है p-ऐडिक संख्या प्रणालियाँ उनकी शक्ति और उपयोगिता। वह p मेंp-एडिक एक वेरिएबल (गणित) है और इसे एक प्राइम (उपज, उदाहरण के लिए, 2-एडिक नंबर) या एक अन्य अभिव्यक्ति (गणित) के साथ बदला जा सकता है जो प्राइम नंबर का प्रतिनिधित्व करता है। का एडिकp-ऐडिक शब्दों में पाए जाने वाले अंत से आता है जैसे कि डाइएडिक अंश या त्रिक संबंध ।

परिमेय संख्याओं का p-adic विस्तार

एक धनात्मक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार $r$ एक श्रृंखला (गणित) के रूप में इसका प्रतिनिधित्व है

$r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}10^{-i},$

कहाँ $k$ एक पूर्णांक है और प्रत्येक $a_{i}$ भी एक पूर्णांक है जैसे कि $0\leq a_{i}<10.$ इस विस्तार की गणना भाजक द्वारा अंश के दीर्घ विभाजन द्वारा की जा सकती है, जो स्वयं निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है: $r={\tfrac {n}{d}}$ एक परिमेय संख्या है जैसे कि $10^{k}\leq r<10^{k+1},$ एक पूर्णांक है $a$ ऐसा है कि $0<a<10,$ और $r=a\,10^{k}+r',$ साथ $r'<10^{k}.$ इस परिणाम को शेषफल पर बार-बार लागू करने से दशमलव प्रसार प्राप्त होता है $r'$ जो पुनरावृति में मूल परिमेय संख्या की भूमिका ग्रहण करता है $r$. p}- एक परिमेय संख्या के आदिक विस्तार को इसी तरह परिभाषित किया गया है, लेकिन एक अलग विभाजन चरण के साथ। अधिक सटीक रूप से, एक निश्चित अभाज्य संख्या दी गई है $p$, प्रत्येक अशून्य परिमेय संख्या $r$ के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है $r=p^{k}{\tfrac {n}{d}},$ कहाँ $k$ एक (संभवतः ऋणात्मक) पूर्णांक है, $n$ और $d$ सह अभाज्य पूर्णांक हैं दोनों सह अभाज्य हैं $p$, और $d$ सकारात्मक है। पूर्णांक $k$ हैp-आदिक मूल्यांकन ${\displaystyle }$