समुच्चय फलन: Difference between revisions

Revision as of 12:43, 31 May 2023

गणित में, विशेष रूप से मान सिद्धांत में, एक सेट फलन एक फलन (गणित) होता है जिसका फलन का डोमेन कुछ दिए गए सेट के उपसमुच्चय के सेट का वर्ग होता है और जो (सामान्यत:) विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा में इसके मान लेता है $\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},$ जिसमें वास्तविक संख्याएँ होती हैं $\mathbb {R}$ और $\pm \infty .$ एक सेट फलन का सामान्यत: लक्ष्य होता है, उपसमुच्चय मान (गणित) सेट फलन को मानने के विशिष्ट उदाहरण हैं। इसलिए, शब्द सेट फलन का उपयोग अधिकांशत: मान के गणितीय अर्थ और इसके सामान्य भाषा अर्थ के बीच भ्रम से बचने के लिए किया जाता है।

परिभाषाएँ

यदि ${\mathcal {F}}$ सेट ओवर का वर्ग है $\Omega$ (मतलब है कि ${\mathcal {F}}\subseteq \wp (\Omega )$ कहाँ $\wp (\Omega )$ पावरसेट को दर्शाता है) फिर एक सेट फलन ${\mathcal {F}}$ का कार्य है $\mu$ एक फलन के डोमेन के साथ ${\mathcal {F}}$ और कोडोमेन $[-\infty ,\infty ]$ या, कभी-कभी, कोडोमेन इसके अतिरिक्त कुछ सदिश समष्टि होता है, जैसा सदिश मानों, जटिल मान और प्रक्षेपण-मान मान के साथ होता है। सेट फलन के डोमेन में कोई संख्या गुण हो सकते हैं; सामान्यत: सामने आने वाली गुण और वर्गों की श्रेणियों को नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध किया गया है।

Families ${\mathcal {F}}$ of sets over $\Omega$ v t e
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	Directed by $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
[[pi-system\| $π$ -system]]
Semiring										Never
[[Semialgebra\|Semialgebra (Semifield)]]										Never
[[Monotone class\|Monotone class]]						only if $A_{i}\searrow$	only if $A_{i}\nearrow$
[[Dynkin system\|𝜆-system (Dynkin System)]]				only if $A\subseteq B$			only if $A_{i}\nearrow$ or they are disjoint			Never
[[Ring of sets\|Ring (Order theory)]]
[[Ring of sets\|Ring (Measure theory)]]										Never
[[Delta-ring\|δ-Ring]]										Never
[[Sigma-ring\|𝜎-Ring]]										Never
[[Field of sets\|Algebra (Field)]]										Never
[[σ-algebra\|𝜎-Algebra (𝜎-Field)]]										Never
[[Dual ideal\|Dual ideal]]
[[Filter (set theory)\|Filter]]				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
[[Prefilter\|Prefilter (Filter base)]]				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
[[Filter subbase\|Filter subbase]]				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
[[Topology (structure)\|Open Topology]]							(even arbitrary $\cup$ )			Never
[[Topology (structure)\|Closed Topology]]						(even arbitrary $\cap$ )				Never
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	directed downward	finite intersections	finite unions	relative complements	complements in $\Omega$	countable intersections	countable unions	contains $\Omega$	contains $\varnothing$	Finite Intersection Property
Additionally, a *semiring* is a [[pi-system\| $π$ -system]] where every complement $B\setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ A *semialgebra* is a semiring that contains $\Omega .$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ are arbitrary elements of ${\mathcal {F}}$ and it is assumed that ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$

सामान्य तौर पर, यह सामान्यत: माना जाता है $\mu (E)+\mu (F)$ हमेशा सभी के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है $E,F\in {\mathcal {F}},$ या समकक्ष, वह $\mu$ दोनों नहीं लेता $-\infty$ और $+\infty$ मानों के रूप में। यह लेख अब से यह मान लेगा; चूंकि वैकल्पिक रूप से, नीचे दी गई सभी परिभाषाएँ बयानों द्वारा योग्य हो सकती हैं जैसे कि जब भी योग/श्रृंखला परिभाषित की जाती है। यह कभी-कभी घटाव के साथ किया जाता है, जैसे निम्न परिणाम के साथ, जो जब भी होता है $\mu$ #पूरी तरह से योगात्मक है:

अंतर सूत्र सेट करें:

\mu (F)-\mu (E)=\mu (F\setminus E){\text{ whenever }}\mu (F)-\mu (E)

से परिभाषित किया गया है

E,F\in {\mathcal {F}}

संतुष्टि देने वाला

E\subseteq F

और

F\setminus E\in {\mathcal {F}}.

अशक्त सेट

एक सेट $F\in {\mathcal {F}}$ a कहा जाता है रिक्त समुच्चय (इसके संबंध में $\mu$ ) या केवल रिक्त यदि $\mu (F)=0.$ जब कभी भी $\mu$ दोनों के समान नहीं है $-\infty$ या $+\infty$ तो यह सामान्यत: यह भी माना जाता है कि: <उल> <ली>रिक्त समुच्चय सेट: $\mu (\varnothing )=0$ यदि $\varnothing \in {\mathcal {F}}.$

विविधता और द्रव्यमान

कुल भिन्नता (मान सिद्धांत) |एक सेट की कुल भिन्नता $S$ है

|\mu |(S)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup\{|\mu (F)|:F\in {\mathcal {F}}{\text{ and }}F\subseteq S\}

जहाँ

|\,\cdot \,|

निरपेक्ष मान को दर्शाता है (या अधिक सामान्यतः, यह मानदंड (गणित) या सेमिनोर्म को दर्शाता है यदि

\mu

एक (सेमिनोर्ड स्पेस) नॉर्म्ड स्पेस में सदिश-वैल्यू है)। ये मानते हुए

\cup {\mathcal {F}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F\in {\mathcal {F}},

तब

|\mu |\left(\cup {\mathcal {F}}\right)

कहा जाता है कुल भिन्नता का

\mu

और

\mu \left(\cup {\mathcal {F}}\right)

कहा जाता है द्रव्यमान का

\mu .

एक सेट फलन कहा जाता है परिमित यदि प्रत्येक के लिए

F\in {\mathcal {F}},

मान

\mu (F)

है परिमित (जो परिभाषा के अनुसार इसका मतलब है

\mu (F)\neq \infty

और

\mu (F)\neq -\infty

; एक अनंत मूल्य के बराबर है

\infty

या

-\infty

). प्रत्येक परिमित समुच्चय फलन का एक परिमित #द्रव्यमान होना चाहिए।

सेट कार्यों के सामान्य गुण

एक सेट फलन $\mu$ पर ${\mathcal {F}}$ बताया गया^[1] गैर नकारात्मक यदि इसका मान $[0,\infty ].$ है।

फिनिटली एडिटिव सेट फलन निश्चित रूप से योगात्मक यदि

\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}\right)

सभी युग्‍मानूसार असंयुक्त परिमित अनुक्रमों के लिए

F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}

ऐसा है कि

\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}\in {\mathcal {F}}.

यदि ${\mathcal {F}}$ बाइनरी संघ (सेट सिद्धांत) के अनुसार बंद है $\mu$ निश्चित रूप से योज्य है यदि और केवल यदि $\mu (E\cup F)=\mu (E)+\mu (F)$ सभी असंबद्ध जोड़ियों के लिए $E,F\in {\mathcal {F}}.$ है।
यदि $\mu$ निश्चित रूप से योज्य है और यदि $\varnothing \in {\mathcal {F}}$ फिर ले रहा है $E:=F:=\varnothing$ पता चलता है कि $\mu (\varnothing )=\mu (\varnothing )+\mu (\varnothing )$ जो केवल तभी संभव है $\mu (\varnothing )=0$ या $\mu (\varnothing )=\pm \infty ,$ जहां बाद के स्थिति में, $\mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing )=\mu (E)+(\pm \infty )=\pm \infty$ हर एक के लिए $E\in {\mathcal {F}}$ (इसलिए केवल स्थिति $\mu (\varnothing )=0$ उपयोगी है)।

सिग्मा-एडिटिव सेट फलन गणनीय रूप से योगात्मक या सिग्मा-एडिटिव सेट फलन σ-योगात्मक^[2] यदि परिमित रूप से योज्य होने के अतिरिक्त, सभी युग्‍मानूसार असंयुक्त अनुक्रमों के लिए

F_{1},F_{2},\ldots \,

में

{\mathcal {F}}

ऐसा है कि

\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}},

निम्नलिखित सभी धारण करते हैं: a

\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)

बाईं ओर की श्रृंखला को सामान्य तरीके से सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right).$
परिणामस्वरूप, यदि $\rho :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ तब कोई क्रम परिवर्तन/आपत्ति है $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{\rho (i)}\right);$ यह है क्योंकि $\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}=\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{\rho (i)}$ और इस शर्त को लागू करना (a) दो बार गारंटी देता है कि दोनों $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)$ और $\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{\rho (i)}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{\rho (i)}\right)$ पकड़ना है। परिभाषा के अनुसार, इस गुण के साथ अभिसरण श्रृंखला को बिना शर्त अभिसरण कहा जाता है। सामान्य अंग्रेजी में कहा गया है, इसका मतलब है कि सेट को पुनर्व्यवस्थित/पुन: लेबलिंग करना $F_{1},F_{2},\ldots$ नए आदेश के लिए $F_{\rho (1)},F_{\rho (2)},\ldots$ उनके मानों के योग को प्रभावित नहीं करता है। संघ के रूप में ही यह वांछनीय है $F~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{i\in \mathbb {N} }F_{i}$ इन सेटों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, वही योगफल के लिए सही होना चाहिए $\mu (F)=\mu \left(F_{1}\right)+\mu \left(F_{2}\right)+\cdots$ और $\mu (F)=\mu \left(F_{\rho (1)}\right)+\mu \left(F_{\rho (2)}\right)+\cdots \,.$

यदि

\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)

अनंत नहीं है तो यह श्रृंखला

\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)

पूर्ण अभिसरण भी होना चाहिए, जिसका परिभाषा के अनुसार अर्थ है

\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|

परिमित होना चाहिए। यह स्वचालित रूप से सत्य है यदि

\mu

#ऋणेतर संख्या है (या केवल विस्तारित वास्तविक संख्याओं में मान)।

रीमैन श्रृंखला प्रमेय, श्रृंखला द्वारा वास्तविक संख्याओं की किसी भी अभिसरण श्रृंखला के साथ $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)={\displaystyle \lim _{N\to \infty }}\mu \left(F_{1}\right)+\mu \left(F_{2}\right)+\cdots +\mu \left(F_{N}\right)$ पूरी तरह से अभिसरण करता है यदि और केवल यदि इसका योग इसकी शर्तों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है (बिना शर्त अभिसरण के रूप में जाना जाने वाला गुण)। चूंकि बिना शर्त अभिसरण की ऊपर (a) द्वारा गारंटी दी गई है, यह स्थिति स्वचालित रूप से सत्य है यदि $\mu$ में मान है $[-\infty ,\infty ].$

यदि

\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)

अनंत है तो यह भी आवश्यक है कि श्रृंखला में से कम से कम एक का मान हो

\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in \mathbb {N} }{\mu \left(F_{i}\right)>0}}\mu \left(F_{i}\right)\;{\text{ औ  र }}\;\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in \mathbb {N} }{\mu \left(F_{i}\right)<0}}\mu \left(F_{i}\right)\;

परिमित हो (जिससे कि उनके मानों का योग अच्छी तरह से परिभाषित हो)। यह स्वचालित रूप से सत्य है यदि

\mu

#गैर-नकारात्मक है।

एक पूर्व-मान|पूर्व मान यदि यह #ऋणेतर संख्या है, सिग्मा-एडिटिव सेट फलन (#परिमित एडिटिव सहित), और एक # रिक्त सेट है।

एक मान (गणित)|मान यदि यह एक #पूर्व मान है जिसका डोमेन σ-बीजगणित है। कहने का मतलब यह है कि मान एक σ-बीजगणित पर एक गैर-नकारात्मक गणन योग्य योज्य सेट फलन है जिसमें एक #शून्य रिक्त सेट होता है।

एक संभाव्यता माप यदि यह एक मान है जिसका #द्रव्यमान है

1.

एक बाहरी मान|बाहरी मान यदि यह गैर-नकारात्मक है, #गणनात्मक रूप से सबएडिटिव है, एक #शून्य रिक्त सेट है, और पावरसेट है

\wp (\Omega )

इसके डोमेन के रूप में।

कैराथियोडोरी के विस्तार प्रमेय में बाहरी मान दिखाई देते हैं और वे अधिकांशत: कैराथियोडोरी की कसौटी पर प्रतिबंध (गणित) होते हैं। कैराथियोडोरी मानने योग्य उपसमुच्चय

एक हस्ताक्षरित मान|सांकेतिक मान यदि यह गिनती योगात्मक है, तो #रिक्त सेट है, और

\mu

दोनों नहीं लेता

-\infty

और

+\infty

मानों के रूप में।

पूरा मान पुर्ण यदि प्रत्येक #रिक्त सेट का प्रत्येक उपसमुच्चय रिक्त है; स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ है: जब भी

F\in {\mathcal {F}}{\text{ satisfies }}\mu (F)=0

और

N\subseteq F

का कोई उपसमुच्चय है

F

तब

N\in {\mathcal {F}}

और

\mu (N)=0.

कई अन्य गुणों के विपरीत, पूर्णता सेट पर आवश्यकताओं को रखती है $\operatorname {domain} \mu ={\mathcal {F}}$ (और न सिर्फ चालू $\mu$ के मान).

σ-सीमित मान 𝜎-सीमित यदि कोई अनुक्रम सम्मलित है

F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,

में

{\mathcal {F}}

ऐसा है कि

\mu \left(F_{i}\right)

प्रत्येक सूचकांक के लिए परिमित है

i,

और भी

\textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }F_{n}=\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F.

विघटित करने योग्य मान वियोजनीय यदि कोई उपवर्ग सम्मलित है

{\mathcal {P}}\subseteq {\mathcal {F}}

जोड़ो में असंयुक्त सेट की इस तरह है कि

\mu (P)

प्रत्येक के लिए परिमित है

P\in {\mathcal {P}}

और भी

\textstyle \bigcup \limits _{P\in {\mathcal {P}}}\,P=\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F

(कहाँ

{\mathcal {F}}=\operatorname {domain} \mu

).

प्रत्येक 𝜎-फ़िनिट सेट फलन वियोजनीय है, चूंकि इसके विपरीत नहीं। उदाहरण के लिए, गिनती मान पर $\mathbb {R}$ (जिसका डोमेन है $\wp (\mathbb {R} )$ ) वियोजनीय है लेकिन नहीं 𝜎-परिमित है।

एक सदिश मान यदि यह एक गिने-चुने योज्य समुच्चय फलन है

\mu :{\mathcal {F}}\to X

एक सांस्थितिक सदिश समष्टि में मान

X

(जैसे एक आदर्श समष्टि) जिसका डोमेन σ-बीजगणित है।

यदि $\mu$ एक आदर्श समष्टि में मान है $(X,\|\cdot \|)$ तो यह गिनती योगात्मक है यदि और केवल यदि किसी भी युग्‍मानूसार संबंध विच्छेद अनुक्रम के लिए $F_{1},F_{2},\ldots \,$ में ${\mathcal {F}},$ $\lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right)-\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)\right\|=0.$ है यदि $\mu$ एक बनच समष्टि में सूक्ष्म रूप से योगात्मक और मान है, तो यह योगात्मक रूप से योगात्मक है यदि और केवल यदि किसी युग्‍मानूसार असंबद्ध अनुक्रम के लिए $F_{1},F_{2},\ldots \,$ में ${\mathcal {F}},$ $\lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(F_{n}\cup F_{n+1}\cup F_{n+2}\cup \cdots \right)\right\|=0.$ है।

एक जटिल मान यदि यह एक गिने-चुने योगात्मक जटिल संख्या-मान सेट फलन है

\mu :{\mathcal {F}}\to \mathbb {C}

जिसका प्रांत σ-बीजगणित है।

परिभाषा के अनुसार, एक जटिल मान कभी नहीं होता है $\pm \infty$ एक मान के रूप में और इसलिए एक #शून्य रिक्त सेट है।

एक यादृच्छिक मान यदि यह एक मान-मान यादृच्छिक तत्व है।

यादृच्छिक योग

वर्णित श्रृंखला (गणित)#किसी भी वर्ग के लिए सामान्यीकृत श्रृंखला पर इस लेख के खंड में यादृच्छिक सूचकांक सेट पर योग $\left(r_{i}\right)_{i\in I}$ एक यादृच्छिक अनुक्रमण सेट द्वारा अनुक्रमित वास्तविक संख्याओं का $I,$ उनकी राशि को परिभाषित करना संभव है $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$ परिमित आंशिक योगों के शुद्ध (गणित) की सीमा के रूप में $F\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in F}r_{i}$ जहां डोमेन $\operatorname {FiniteSubsets} (I)$ द्वारा निर्देशित किया गया है $\,\subseteq .\,$ जब कभी यह अभिसारी जाल होता है तो इसकी सीमा को प्रतीकों द्वारा निरूपित किया जाता है $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$ जबकि यदि यह नेट इसके अतिरिक्त अलग हो जाता है $\pm \infty$ तो यह लिखकर संकेत किया जा सकता है $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}=\pm \infty .$ रिक्त समुच्चय पर किसी भी योग को शून्य के रूप में परिभाषित किया गया है; वह है, यदि $I=\varnothing$ तब $\textstyle \sum \limits _{i\in \varnothing }r_{i}=0$ परिभाषा है।

उदाहरण के लिए, यदि $z_{i}=0$ हर एक के लिए $i\in I$ तब $\textstyle \sum \limits _{i\in I}z_{i}=0.$ और यह दिखाया जा सकता है $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}=\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}=0}}r_{i}+\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}=0+\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}=\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}.$ यदि $I=\mathbb {N}$ फिर सामान्यीकृत श्रृंखला $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$ में विलीन हो जाता है $\mathbb {R}$ यदि और केवल यदि $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }r_{i}$ बिना शर्त अभिसरण (या समकक्ष, पूर्ण अभिसरण) सामान्य अर्थों में। यदि एक सामान्यीकृत श्रृंखला $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$ में विलीन हो जाता है $\mathbb {R}$ फिर दोनों $\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}>0}}r_{i}$ और $\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}<0}}r_{i}$ के तत्वों में भी अभिसरण करते हैं $\mathbb {R}$ और सेट $\left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}$ आवश्यक रूप से गणनीय समुच्चय है (अर्थात, या तो परिमित या गणनीय रूप से अनंत); श्रृंखला (गणित) # एबेलियन सांस्थिति समूह यदि $\mathbb {R}$ किसी भी सामान्य समष्टि से प्रतिस्थापित किया जाता है।^{[proof 1]} यह इस प्रकार है कि एक सामान्यीकृत श्रृंखला के लिए $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$ में जुटना $\mathbb {R}$ या $\mathbb {C} ,$ यह आवश्यक है कि सभी लेकिन अधिक से अधिक संख्या में $r_{i}$ के बराबर होगा $0,$ जिसका अर्थ है कि $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~=~\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}\neq 0}}r_{i}$ अधिक से अधिक कई गैर-शून्य शब्दों का योग है। अलग ढंग से कहा, यदि $\left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}$ अगणनीय है तो सामान्यीकृत श्रृंखला $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$ एकाग्र नहीं होती है।

संक्षेप में, वास्तविक संख्याओं की प्रकृति और इसकी टोपोलॉजी के कारण, वास्तविक संख्याओं की प्रत्येक सामान्यीकृत श्रृंखला (एक यादृच्छिक सेट द्वारा अनुक्रमित) जो अभिसरण करता है, को कई वास्तविक संख्याओं की एक सामान्य पूर्ण रूप से अभिसरण श्रृंखला में घटाया जा सकता है। इसलिए मान सिद्धांत के संदर्भ में, अगणनीय सेटों और सामान्यीकृत श्रृंखलाओं पर विचार करने से बहुत कम लाभ प्राप्त होता है। विशेष रूप से, यही कारण है कि #गणनीय योगात्मक की परिभाषा को शायद ही कभी कई सेटों से बढ़ाया जाता है $F_{1},F_{2},\ldots \,$ में ${\mathcal {F}}$ (और सामान्य गणनीय श्रृंखला $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)$ ) यादृच्छिक ढंग से कई सेटों के लिए $\left(F_{i}\right)_{i\in I}$ (और सामान्यीकृत श्रृंखला $\textstyle \sum \limits _{i\in I}\mu \left(F_{i}\right)$ ).

आंतरिक मान, बाहरी मान और अन्य गुण

एक सेट फलन $\mu$ कहा जाता है / संतुष्ट करता है^[1] एकदिष्ट यदि $\mu (E)\leq \mu (F)$ जब कभी भी $E,F\in {\mathcal {F}}$ संतुष्ट करना $E\subseteq F.$

मॉड्यूलर सेट फलन यदि यह निम्नलिखित शर्त को पूरा करता है, जिसे जाना जाता है मॉड्यूलता:

\mu (E\cup F)+\mu (E\cap F)=\mu (E)+\mu (F)

सभी के लिए

E,F\in {\mathcal {F}}

ऐसा है कि

E\cup F,E\cap F\in {\mathcal {F}}.

समुच्चयों के क्षेत्र में प्रत्येक परिमित योज्य फलन मॉड्यूलर होता है।
ज्यामिति में, इस गुण वाले कुछ एबेलियन सेमीग्रुप में मान एक सेट फलन को मानांकन (ज्यामिति) के रूप में जाना जाता है। यह मानांकन (ज्यामिति) मानांकन की ज्यामितीय परिभाषा को मजबूत गैर-समतुल्य मानांकन (मान सिद्धांत) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए मानांकन की सैद्धांतिक परिभाषा को मानें जो कि #मानांकन है।

सबमॉड्यूलर सेट फलन यदि

\mu (E\cup F)+\mu (E\cap F)\leq \mu (E)+\mu (F)

सभी के लिए

E,F\in {\mathcal {F}}

ऐसा है कि

E\cup F,E\cap F\in {\mathcal {F}}.

परिमित सबएडेटिव यदि

|\mu (F)|\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|

सभी परिमित अनुक्रमों के लिए

F,F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}

जो संतुष्ट करता है

F\;\subseteq \;\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}.

गणनीय सबएडेटिव या σ-सबएडेटिव यदि

|\mu (F)|\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|

सभी क्रमों के लिए

F,F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,

में

{\mathcal {F}}

जो संतुष्ट करता है

F\;\subseteq \;\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}.

यदि ${\mathcal {F}}$ परिमित संघों के अनुसार बंद है तो यह स्थिति केवल और केवल तभी होती है $|\mu (F\cup G)|\leq |\mu (F)|+|\mu (G)|$ सभी के लिए $F,G\in {\mathcal {F}}.$ यदि $\mu$ गैर-ऋणात्मक है तो निरपेक्ष मान हटाया जा सकता है।
यदि $\mu$ एक मान है तो यह स्थिति यदि और केवल यदि रखती है $\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)$ सभी के लिए $F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,$ में ${\mathcal {F}}.$ ^[3] यदि $\mu$ एक प्रायिकता मान है तो यह असमानता बूले की असमानता है।
यदि $\mu$ गिनती उप-योगात्मक है और $\varnothing \in {\mathcal {F}}$ साथ $\mu (\varnothing )=0$ तब $\mu$ #पूरी तरह से सबएडिटिव है।

सुपरएडिटीविटी यदि

\mu (E)+\mu (F)\leq \mu (E\cup F)

जब कभी भी

E,F\in {\mathcal {F}}

से असंबद्ध हैं

E\cup F\in {\mathcal {F}}.

उपरित: संतत यदि

\lim _{n\to \infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)

सभी के लिए गैर-बढ़ते अनुक्रम सेट का

F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq F_{3}\cdots \,

में

{\mathcal {F}}

ऐसा है कि

\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}}

साथ

\mu \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)

और सभी

\mu \left(F_{i}\right)

परिमित है ।

लेबेस्गु मान $\lambda$ ऊपर से निरंतर है लेकिन यह धारणा नहीं होगी कि सभी $\mu \left(F_{i}\right)$ अंततः परिमित हैं परिभाषा से हटा दिया गया था, जैसा कि इस उदाहरण से पता चलता है: प्रत्येक पूर्णांक के लिए $i,$ होने देना $F_{i}$ खुला अंतराल हो $(i,\infty )$ जिससे कि $\lim _{n\to \infty }\lambda \left(F_{i}\right)=\lim _{n\to \infty }\infty =\infty \neq 0=\lambda (\varnothing )=\lambda \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)$ जहाँ $\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}=\varnothing .$ है।

नीचे से निरंतर यदि

\lim _{n\to \infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)

सभी के लिए गैर-क्रियाशील अनुक्रम सेट का

F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq F_{3}\cdots \,

में

{\mathcal {F}}

ऐसा है कि

\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}}.

अनंत नीचे से संपर्क किया जाता है यदि कभी भी

F\in {\mathcal {F}}

संतुष्ट

\mu (F)=\infty

तो हर असली के लिए

r>0,

कुछ सम्मलित है

F_{r}\in {\mathcal {F}}

ऐसा है कि

F_{r}\subseteq F

और

r\leq \mu \left(F_{r}\right)<\infty .

है।

एक #बाहरी मान यदि

\mu

गैर-ऋणात्मक है, #गणनीय रूप से सबएडिटिव है, एक #शून्य रिक्त सेट है, और पावर सेट है

\wp (\Omega )

इसके डोमेन के रूप में है।

एक आंतरिक मान यदि

\mu

गैर-नकारात्मक है, #सुपरएडिटिव, ऊपर से #निरंतर, एक #शून्य रिक्त सेट है, पावर सेट है

\wp (\Omega )

इसके डोमेन के रूप में, और नीचे से #अनंतता तक संपर्क किया जाता है

+\infty

नीचे से संपर्क किया गया है।

परमाणु मान यदि सकारात्मक मान के प्रत्येक मानने योग्य सेट में एक परमाणु (मान सिद्धांत) होता है।

यदि एक द्विआधारी संक्रिया $\,+\,$ परिभाषित किया गया है, फिर एक सेट फलन $\mu$ बताया गया अनुवाद अपरिवर्तनीय यदि $\mu (\omega +F)=\mu (F)$ सभी के लिए $\omega \in \Omega$ और $F\in {\mathcal {F}}$ ऐसा है कि $\omega +F\in {\mathcal {F}}.$ है।

टोपोलॉजी संबंधित परिभाषाएँ

यदि $\tau$ एक टोपोलॉजी (संरचना) पर है $\Omega$ फिर एक सेट फलन $\mu$ बताया गया:

एक बोरेल मान यदि यह सभी बोरेल सेट के σ-बीजगणित पर परिभाषित मान है, जो सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें सभी खुले उपसमुच्चय होते हैं (अर्थात, युक्त

\tau

)।

एक बेयर मान यदि यह सभी बेयर सेटों के σ-बीजगणित पर परिभाषित मान है।

समष्टिीय परिमित मान यदि हर बिंदु के लिए

\omega \in \Omega

कुछ निकटतम सम्मलित है

U\in {\mathcal {F}}\cap \tau

इस बिंदु से ऐसा है

\mu (U)

परिमित है।

यदि $\mu$ एक सूक्ष्म योगात्मक, मोनोटोन और समष्टिीय रूप से परिमित है $\mu (K)$ प्रत्येक सघन मानने योग्य उपसमुच्चय के लिए आवश्यक रूप से परिमित है $K.$

$\tau$ -संकलनीयता यदि

\mu \left({\textstyle \bigcup }\,{\mathcal {D}}\right)=\sup _{D\in {\mathcal {D}}}\mu (D)

जब कभी भी

{\mathcal {D}}\subseteq \tau \cap {\mathcal {F}}

के संबंध में निर्देशित किया गया है

\,\subseteq \,

और संतुष्ट करता है

{\textstyle \bigcup }\,{\mathcal {D}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{D\in {\mathcal {D}}}D\in {\mathcal {F}}.

${\mathcal {D}}$ के संबंध में निर्देशित किया गया है $\,\subseteq \,$ यदि और केवल यदि यह खाली नहीं है और सभी के लिए है $A,B\in {\mathcal {D}}$ कुछ सम्मलित है $C\in {\mathcal {D}}$ ऐसा है $A\subseteq C$ और $B\subseteq C.$

आंतरिक नियमित मान या यदि प्रत्येक के लिए

F\in {\mathcal {F}},

\mu (F)=\sup\{\mu (K):F\supseteq K{\text{ with }}K\in {\mathcal {F}}{\text{ a compact subset of }}(\Omega ,\tau )\}.

है।

बाह्य नियमित मान यदि प्रत्येक के लिए

F\in {\mathcal {F}},

\mu (F)=\inf\{\mu (U):F\subseteq U{\text{ and }}U\in {\mathcal {F}}\cap \tau \}.

है।

नियमित मान यदि यह इनर रेगुलर और आउटर रेगुलर दोनों है।

एक बोरेल नियमित मान यदि यह बोरेल मान है तो वह भी नियमित मान है।

एक रैडॉन मान यदि यह एक नियमित और समष्टिीय रूप से परिमित मान है।

पूर्णतः सकारात्मक मान यदि प्रत्येक गैर-रिक्त खुले उपसमुच्चय में (सख्ती से) सकारात्मक मान है।

एक मानांकन (मान सिद्धांत) यदि यह गैर-ऋणात्मक है, #एकदिष्ट, #प्रतिरुपकीय, एक #रिक्त रिक्त सेट है, और डोमेन है

\tau .

सेट कार्यों के बीच संबंध

यदि $\mu$ और $\nu$ दो सेट कार्य समान्त हो गए हैं $\Omega ,$ तब: $\mu$ पूर्ण निरंतरता (मान सिद्धांत) कहा जाता है या प्रभुत्व (मान सिद्धांत), लिखा हुआ $\mu \ll \nu ,$ यदि हर सेट के लिए $F$ जो दोनों के अधिकार क्षेत्र में आता है $\mu$ और $\nu ,$ यदि $\nu (F)=0$ तब $\mu (F)=0.$ है।

यदि $\mu$ और $\nu$ σ-सीमित मान हैं $\sigma$ -समान मानने योग्य समष्टि पर परिमित मान और यदि $\mu \ll \nu ,$ फिर रैडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न ${\frac {d\mu }{d\nu }}$ सम्मलित है और हर मानने योग्य के लिए $F,$ $\mu (F)=\int _{F}{\frac {d\mu }{d\nu }}d\nu .$ है।
$\mu$ और $\nu$ तुल्यता (मान सिद्धांत) कहलाते हैं, यदि प्रत्येक एक दूसरे के संबंध में #बिल्कुल निरंतर है। $\mu$ एक तुल्यता (मान सिद्धांत) # सहायक मान कहा जाता है मान का $\nu$ यदि $\mu$ सिग्मा-परिमित है $\sigma$ -परिमित और वे समकक्ष हैं।^[4]

$\mu$ और $\nu$ पृथक मान हैं, लिखा हुआ $\mu \perp \nu ,$ यदि वहाँ असंबद्ध सेट सम्मलित हैं $M$ और $N$ के डोमेन में $\mu$ और $\nu$ ऐसा है कि $M\cup N=\Omega ,$ $\mu (F)=0$ सभी के लिए $F\subseteq M$ के अधिकार क्षेत्र में $\mu ,$ और $\nu (F)=0$ सभी के लिए $F\subseteq N$ के अधिकार क्षेत्र में $\nu .$ है।

उदाहरण

सेट कार्यों के उदाहरणों में सम्मलित हैं:

कार्यक्रम $d(A)=\lim _{n\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,\ldots ,n\}|}{n}},$ पर्याप्त रूप से अच्छे व्यवहार वाले उपसमुच्चय को प्राकृतिक घनत्व प्रदान करना $A\subseteq \{1,2,3,\ldots \},$ एक निर्धारित कार्य है।
एक संभाव्यता मान सिग्मा-बीजगणित | σ-बीजगणित में प्रत्येक सेट के लिए एक संभावना प्रदान करता है। विशेष रूप से, रिक्त सेट की संभावना शून्य है और नमूना समष्टि की संभावना है $1,$ के बीच दी गई संभावनाओं के साथ अन्य सेटों के साथ $0$ और $1.$ है।
एक संभावित मान किसी दिए गए सेट के पावरसेट में प्रत्येक सेट को शून्य और एक के बीच एक संख्या प्रदान करता है। संभावना सिद्धांत देखें।
a यादृच्छिक सेट एक सेट-वैल्यू अनियमित परिवर्तनशील वस्तु है। लेख यादृच्छिक सघन सेट देखें।

जॉर्डन मानता है $\mathbb {R} ^{n}$ जॉर्डन के सभी औसत दर्जे के उपसमुच्चय के सेट पर परिभाषित एक सेट फलन है $\mathbb {R} ^{n};$ यह जॉर्डन मापनीय सेट को अपने जॉर्डन माप के लिए भेजता है।

लेबेस्ग मान

लेबेस्ग मान पर $\mathbb {R}$ एक सेट फलन है जो लेबेसेग से संबंधित वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक सेट के लिए एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या प्रदान करता है $\sigma$ -बीजगणित।^[5] इसकी परिभाषा समुच्चय से प्रारंभ होती है $\operatorname {Intervals} (\mathbb {R} )$ वास्तविक संख्याओं के सभी अंतरालों का, जो एक अर्धबीजगणित है $\mathbb {R} .$ वह फलन जो हर अंतराल को असाइन करता है $I$ इसका $\operatorname {length} (I)$ एक सूक्ष्म योगात्मक सेट फलन है (स्पष्ट रूप से, if $I$ समानन बिंदु हैं $a\leq b$ तब $\operatorname {length} (I)=b-a$ ). इस सेट फलन को लेबेस्ग बाहरी मान पर बढ़ाया जा सकता है $\mathbb {R} ,$ जो अनुवाद-अपरिवर्तनीय सेट फलन है $\lambda ^{\!*\!}:\wp (\mathbb {R} )\to [0,\infty ]$ जो एक उपसमुच्चय भेजता है $E\subseteq \mathbb {R}$ नीचे

\lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {length} (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of open intervals with }}E\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.

लेबेस्ग बाहरी मान गिनती योग्य नहीं है (और इसलिए एक मान नहीं है) चूंकि सिग्मा-बीजगणित के लिए इसका प्रतिबंध है। 𝜎-सभी उपसमुच्चयों का बीजगणित

M\subseteq \mathbb {R}

जो कैराथियोडोरी की कसौटी पर खरे उतरते हैं | कैराथियोडोरी की कसौटी:

\lambda ^{\!*\!}(M)=\lambda ^{\!*\!}(M\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(M\cap E^{c})\quad {\text{ for every }}S\subseteq \mathbb {R}

एक मान है जिसे लेबेस्गु मान कहा जाता है। विटाली सेट करता है वास्तविक संख्याओं के गैर-मानने योग्य सेट के उदाहरण हैं।

अनंत-आयामी समष्टि

जैसा कि अनंत-आयामी लेबेस्गु मान पर लेख में विस्तृत है, केवल समष्टिीय रूप से परिमित और अनुवाद-अपरिवर्तनीय बोरेल मान एक अनंत-आयामी वियोज्य समष्टि मानक समष्टि पर मामूली मान है। चूंकि, गॉसियन मानों को अनंत-आयामी सांस्थिति सदिश रिक्त समष्टि पर परिभाषित करना संभव है। गॉसियन मानों के लिए संरचना प्रमेय से पता चलता है कि अमूर्त वीनर समष्टि निर्माण अनिवार्य रूप से एक पृथक समष्टि बनच समष्टि पर एक सख्त सकारात्मक गॉसियन मान प्राप्त करने का एकमात्र तरीका है।

परिमित योगात्मक अंतरण-निश्चर सेट फलन

केवल अनुवाद-अपरिवर्तनीय मान पर $\Omega =\mathbb {R}$ डोमेन के साथ $\wp (\mathbb {R} )$ के प्रत्येक सघन उपसमुच्चय पर परिमित है $\mathbb {R}$ तुच्छ सेट फलन है $\wp (\mathbb {R} )\to [0,\infty ]$ जो समान रूप से बराबर है $0$ (अर्थात, यह हर भेजता है $S\subseteq \mathbb {R}$ को $0$ )^[6] चूंकि, यदि गणनीय संकलनीयता को परिमित संकलनीयता के लिए कमजोर किया जाता है, तो इन गुणों के साथ एक गैर-तुच्छ सेट फलन सम्मलित होता है और इसके अतिरिक्त, कुछ का मान भी होता है $[0,1].$ वास्तव में, इस तरह के गैर-तुच्छ सेट फलन तब भी सम्मलित रहेंगे $\mathbb {R}$ किसी अन्य एबेलियन समूह समूह (गणित) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $G.$ ^[7]

Theorem^[8] — If $(G,+)$ is any abelian group then there exists a finitely additive and translation-invariant^{[note 1]} set function $\mu :\wp (G)\to [0,1]$ of mass $\mu (G)=1.$

सेट कार्यों का विस्तार

अर्द्ध बीजगणित से बीजगणित तक विस्तार

माना कि $\mu$ अर्धबीजगणित पर एक समुच्चय फलन है ${\mathcal {F}}$ ऊपर $\Omega$ और जाने

 $\operatorname {algebra} ({\mathcal {F}}):=\left\{F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}:n\in \mathbb {N} {\text{ and }}F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}{\text{ are pairwise disjoint }}\right\},$

जो सेट का फील्ड है $\Omega$ द्वारा उत्पन्न ${\mathcal {F}}.$ : विक्षनरी: अर्धबीजगणित का आदर्श उदाहरण जो समुच्चयों का क्षेत्र भी नहीं है वह वर्ग है

{\mathcal {S}}_{d}:=\{\varnothing \}\cup \left\{\left(a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left(a_{1},b_{1}\right]~:~-\infty \leq a_{i}<b_{i}\leq \infty {\text{ for all }}i=1,\ldots ,d\right\}

पर

\Omega :=\mathbb {R} ^{d}

जहाँ

(a,b]:=\{x\in \mathbb {R} :a<x\leq b\}

सभी के लिए

-\infty \leq a<b\leq \infty .

^[9] महत्वपूर्ण रूप से, दो गैर-सख्त असमानताएँ

\,\leq \,

में

-\infty \leq a_{i}<b_{i}\leq \infty

सख्त असमानताओं के साथ प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता है

\,<\,

चूंकि अर्ध-अल्जेब्रस में संपूर्ण अंतर्निहित सेट होना चाहिए

\mathbb {R} ^{d};

वह है,

\mathbb {R} ^{d}\in {\mathcal {S}}_{d}

अर्ध-अल्जेब्रस की आवश्यकता है (जैसा है

\varnothing \in {\mathcal {S}}_{d}

).।

यदि $\mu$ # निश्चित रूप से योज्य है तो इसमें एक सेट फलन का एक अनूठा विस्तार है ${\overline {\mu }}$ पर $\operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})$ भेजकर परिभाषित किया गया है $F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})$ (जहाँ $\,\sqcup \,$ इंगित करता है कि ये $F_{i}\in {\mathcal {F}}$ जोड़ो में असंयुक्त हैं) से:^[9]

{\overline {\mu }}\left(F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}\right):=\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right).

यह विस्तार

{\overline {\mu }}

भी सूक्ष्म रूप से योगात्मक होगा: किसी भी युग्‍मानूसार असंयुक्त के लिए

A_{1},\ldots ,A_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}}),

^[9]

{\overline {\mu }}\left(A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}\right)={\overline {\mu }}\left(A_{1}\right)+\cdots +{\overline {\mu }}\left(A_{n}\right).

यदि इसके अतिरिक्त

\mu

विस्तारित वास्तविक-मान और #एकदिष्ट है (जो, विशेष रूप से, यदि स्थिति होगा

\mu

#ऋणेतर संख्या) है तो

{\overline {\mu }}

मोनोटोन और #अंतिम रूप से उप-योगात्मक होगा: किसी के लिए भी

A,A_{1},\ldots ,A_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})

ऐसा है कि

A\subseteq A_{1}\cup \cdots \cup A_{n},

^[9]

{\overline {\mu }}\left(A\right)\leq {\overline {\mu }}\left(A_{1}\right)+\cdots +{\overline {\mu }}\left(A_{n}\right).

रिंग्स से σ-अलजेब्रा तक विस्तार

यदि $\mu :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]$ एक # पूर्व मान सेट के रिंग पर पूर्व-मान है (जैसे सेट का बीजगणित) ${\mathcal {F}}$ ऊपर $\Omega$ तब $\mu$ एक मान का विस्तार है ${\overline {\mu }}:\sigma ({\mathcal {F}})\to [0,\infty ]$ σ-बीजगणित पर $\sigma ({\mathcal {F}})$ द्वारा उत्पन्न ${\mathcal {F}}.$ यदि $\mu$ is #σ-परिमित मान|σ-परिमित तो यह विस्तार अद्वितीय है।

इस विस्तार को परिभाषित करने के लिए, पहले विस्तार करें $\mu$ एक बाहरी मान के लिए $\mu ^{*}$ पर $2^{\Omega }=\wp (\Omega )$ द्वारा

 $\mu ^{*}(T)=\inf \left\{\sum _{n}\mu \left(S_{n}\right):T\subseteq \cup _{n}S_{n}{\text{ with }}S_{1},S_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}\right\}$  और उसके बाद इसे सेट तक सीमित करें  ${\mathcal {F}}_{M}$  का  $\mu ^{*}$ -मानने योग्य सेट (अर्थात कैराथोडोरी-मानने योग्य सेट), जो सभी का सेट है  $M\subseteq \Omega$  ऐसा है कि
 $\mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap M)+\mu ^{*}(S\cap M^{\mathrm {c} })\quad {\text{ for every subset }}S\subseteq \Omega .$  यह है एक  $\sigma$ -बीजगणित और  $\mu ^{*}$  कैरथियोडोरी लेम्मा इस पर सिग्मा-योजक है।

बाहरी मानों को प्रतिबंधित करना

यदि $\mu ^{*}:\wp (\Omega )\to [0,\infty ]$ एक सेट पर एक #बाहरी मान है $\Omega ,$ जहां (परिभाषा के अनुसार) डोमेन आवश्यक रूप से पावर सेट है $\wp (\Omega )$ का $\Omega ,$ फिर एक उपसमुच्चय $M\subseteq \Omega$ कहा जाता है $\mu ^{*}$ –परिमेय याकैरथियोडोरी परिमेय यदि यह निम्नलिखित को संतुष्ट करता है कैरथियोडोरी मापदंड:

 $\mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap M)+\mu ^{*}(S\cap M^{\mathrm {c} })\quad {\text{ for every subset }}S\subseteq \Omega ,$

जहाँ $M^{\mathrm {c} }:=\Omega \setminus M$ का पूरक (सेट सिद्धांत) है $M.$ सबका वर्ग $\mu ^{*}$ -मानने योग्य उपसमुच्चय एक σ-बीजगणित और बाहरी मान का प्रतिबंध (गणित) है $\mu ^{*}$ इस वर्ग के लिए एक मान (गणित) है।

यह भी देखें

↑ ^1.0 ^1.1 Durrett 2019, pp. 1–37, 455–470.
↑ Durrett 2019, pp. 466–470.
↑ Royden & Fitzpatrick 2010, p. 30.
↑ Kallenberg, Olav (2017). यादृच्छिक उपाय, सिद्धांत और अनुप्रयोग. Switzerland: Springer. p. 21. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
↑ Kolmogorov and Fomin 1975
↑ Rudin 1991, p. 139.
↑ Rudin 1991, pp. 139–140.
↑ Rudin 1991, pp. 141–142.
↑ ^9.0 ^9.1 ^9.2 ^9.3 Durrett 2019, pp. 1–9.

↑ The function $\mu$ being translation-invariant means that $\mu (S)=\mu (g+S)$ for every $g\in G$ and every subset $S\subseteq G.$

Proofs

↑ Suppose the net ${\textstyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \lim \limits _{A\in \operatorname {Finite} (I)}}\ \textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}=\lim \left\{\textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite }}\right\}}$ converges to some point in a metrizable topological vector space $X$ (such as $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {C} ,$ or a normed space), where recall that this net's domain is the directed set $(\operatorname {Finite} (I),\subseteq ).$ Like every convergent net, this convergent net of partial sums $A\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}$ is a Cauchy net, which for this particular net means (by definition) that for every neighborhood $W$ of the origin in $X,$ there exists a finite subset $A_{0}$ of $I$ such that ${\textstyle \textstyle \sum \limits _{i\in B}r_{i}-\textstyle \sum \limits _{i\in C}r_{i}\in W}$ for all finite supersets $B,C\supseteq A_{0};$ this implies that $r_{i}\in W$ for every $i\in I\setminus A_{0}$ (by taking $B:=A_{0}\cup \{i\}$ and $C:=A_{0}$ ). Since $X$ is metrizable, it has a countable neighborhood basis $U_{1},U_{2},\ldots$ at the origin, whose intersection is necessarily $U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\{0\}$ (since $X$ is a Hausdorff TVS). For every positive integer $n\in \mathbb {N} ,$ pick a finite subset $A_{n}\subseteq I$ such that $r_{i}\in U_{n}$ for every $i\in I\setminus A_{n}.$ If $i$ belongs to $(I\setminus A_{1})\cap (I\setminus A_{2})\cap \cdots =I\setminus \left(A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \right)$ then $r_{i}$ belongs to $U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\{0\}.$ Thus $r_{i}=0$ for every index $i\in I$ that does not belong to the countable set $A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots .$ $\blacksquare$

संदर्भ

Durrett, Richard (2019). Probability: Theory and Examples (PDF). Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Vol. 49 (5th ed.). Cambridge New York, NY: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC 1100115281. Retrieved November 5, 2020.
Kolmogorov, Andrey; Fomin, Sergei V. (1957). Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. Dover Books on Mathematics. New York: Dover Books. ISBN 978-1-61427-304-2. OCLC 912495626.
A. N. Kolmogorov and S. V. Fomin (1975), Introductory Real Analysis, Dover. ISBN 0-486-61226-0
Royden, Halsey; Fitzpatrick, Patrick (15 January 2010). Real Analysis (4 ed.). Boston: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-143747-0. OCLC 456836719.
Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.

अग्रिम पठन

Sobolev, V.I. (2001) [1994], "Set function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Regular set function at Encyclopedia of Mathematics

[FOOTNOTEDurrett20191–37,_455–470-1] 1.0 ^1.1 Durrett 2019, pp. 1–37, 455–470.

[FOOTNOTEDurrett2019466–470-2] Durrett 2019, pp. 466–470.

[FOOTNOTERoydenFitzpatrick201030-4] Royden & Fitzpatrick 2010, p. 30.

[5] Kallenberg, Olav (2017). यादृच्छिक उपाय, सिद्धांत और अनुप्रयोग. Switzerland: Springer. p. 21. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.

[6] Kolmogorov and Fomin 1975

[FOOTNOTERudin1991139-7] Rudin 1991, p. 139.

[FOOTNOTERudin1991139–140-8] Rudin 1991, pp. 139–140.

[FOOTNOTERudin1991141–142-10] Rudin 1991, pp. 141–142.

[FOOTNOTEDurrett20191–9-11] 9.0 ^9.1 ^9.2 ^9.3 Durrett 2019, pp. 1–9.

[GroupTranslation-9] The function $\mu$ being translation-invariant means that $\mu (S)=\mu (g+S)$ for every $g\in G$ and every subset $S\subseteq G.$

[ProofCountablyManyNon0Terms-3] Suppose the net ${\textstyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \lim \limits _{A\in \operatorname {Finite} (I)}}\ \textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}=\lim \left\{\textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite }}\right\}}$ converges to some point in a metrizable topological vector space $X$ (such as $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {C} ,$ or a normed space), where recall that this net's domain is the directed set $(\operatorname {Finite} (I),\subseteq ).$ Like every convergent net, this convergent net of partial sums $A\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}$ is a Cauchy net, which for this particular net means (by definition) that for every neighborhood $W$ of the origin in $X,$ there exists a finite subset $A_{0}$ of $I$ such that ${\textstyle \textstyle \sum \limits _{i\in B}r_{i}-\textstyle \sum \limits _{i\in C}r_{i}\in W}$ for all finite supersets $B,C\supseteq A_{0};$ this implies that $r_{i}\in W$ for every $i\in I\setminus A_{0}$ (by taking $B:=A_{0}\cup \{i\}$ and $C:=A_{0}$ ). Since $X$ is metrizable, it has a countable neighborhood basis $U_{1},U_{2},\ldots$ at the origin, whose intersection is necessarily $U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\{0\}$ (since $X$ is a Hausdorff TVS). For every positive integer $n\in \mathbb {N} ,$ pick a finite subset $A_{n}\subseteq I$ such that $r_{i}\in U_{n}$ for every $i\in I\setminus A_{n}.$ If $i$ belongs to $(I\setminus A_{1})\cap (I\setminus A_{2})\cap \cdots =I\setminus \left(A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \right)$ then $r_{i}$ belongs to $U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\{0\}.$ Thus $r_{i}=0$ for every index $i\in I$ that does not belong to the countable set $A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots .$ $\blacksquare$

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Use American English|date = January 2019}}
 {{Short description|Function from sets to numbers}}
-गणित में, विशेष रूप से [[माप सिद्धांत|मान सिद्धांत]] में, एक सेट फलन एक फलन (गणित) होता है जिसका फलन का डोमेन कुछ दिए गए सेट के [[सबसेट|उपसमुच्चय]]  के [[Index.php?title=सेट का वर्ग|सेट का वर्ग]] होता है और जो (आमतौर पर) [[विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा]] में इसके मान लेता है <math>\R \cup \{ \pm \infty \},</math> जिसमें [[वास्तविक संख्या]]एँ होती हैं <math>\R</math> और <math>\pm \infty.</math>
+गणित में, विशेष रूप से [[माप सिद्धांत|मान सिद्धांत]] में, एक सेट फलन एक फलन (गणित) होता है जिसका फलन का डोमेन कुछ दिए गए सेट के [[सबसेट|उपसमुच्चय]]  के [[Index.php?title=सेट का वर्ग|सेट का वर्ग]] होता है और जो (सामान्यत:) [[विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा]] में इसके मान लेता है <math>\R \cup \{ \pm \infty \},</math> जिसमें [[वास्तविक संख्या]]एँ होती हैं <math>\R</math> और <math>\pm \infty.</math>
-एक सेट फलन का आम तौर पर लक्ष्य होता है, उपसमुच्चय मान (गणित) सेट फलन को मानने के विशिष्ट उदाहरण हैं। इसलिए, शब्द सेट फलन का उपयोग अक्सर मान के गणितीय अर्थ और इसके सामान्य भाषा अर्थ के बीच भ्रम से बचने के लिए किया जाता है।
+एक सेट फलन का सामान्यत: लक्ष्य होता है, उपसमुच्चय मान (गणित) सेट फलन को मानने के विशिष्ट उदाहरण हैं। इसलिए, शब्द सेट फलन का उपयोग अधिकांशत: मान के गणितीय अर्थ और इसके सामान्य भाषा अर्थ के बीच भ्रम से बचने के लिए किया जाता है।
 == परिभाषाएँ ==
-अगर <math>\mathcal{F}</math> सेट ओवर का वर्ग है <math>\Omega</math> (मतलब है कि <math>\mathcal{F} \subseteq \wp(\Omega)</math> कहाँ <math>\wp(\Omega)</math> [[Index.php?title=पावरसेट|पावरसेट]] को दर्शाता है) फिर {{em|एक सेट फलन <math>\mathcal{F}</math>}} का कार्य है <math>\mu</math> एक फलन के डोमेन के साथ <math>\mathcal{F}</math> और [[कोडोमेन]] <math>[-\infty, \infty]</math> या, कभी-कभी, कोडोमेन इसके बजाय कुछ सदिश समष्टि होता है, जैसा सदिश मानों, [[जटिल उपाय|जटिल मान]] और [[प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय|प्रक्षेपण-मान मान]] के साथ होता है।
+यदि <math>\mathcal{F}</math> सेट ओवर का वर्ग है <math>\Omega</math> (मतलब है कि <math>\mathcal{F} \subseteq \wp(\Omega)</math> कहाँ <math>\wp(\Omega)</math> [[Index.php?title=पावरसेट|पावरसेट]] को दर्शाता है) फिर {{em|एक सेट फलन <math>\mathcal{F}</math>}} का कार्य है <math>\mu</math> एक फलन के डोमेन के साथ <math>\mathcal{F}</math> और [[कोडोमेन]] <math>[-\infty, \infty]</math> या, कभी-कभी, कोडोमेन इसके अतिरिक्त कुछ सदिश समष्टि होता है, जैसा सदिश मानों, [[जटिल उपाय|जटिल मान]] और [[प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय|प्रक्षेपण-मान मान]] के साथ होता है।
-सेट फलन के डोमेन में कोई संख्या गुण हो सकते हैं; आमतौर पर सामने आने वाली गुण और वर्गों की श्रेणियों को नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध किया गया है।
+सेट फलन के डोमेन में कोई संख्या गुण हो सकते हैं; सामान्यत: सामने आने वाली गुण और वर्गों की श्रेणियों को नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध किया गया है।
 {{Families of sets}}
-सामान्य तौर पर, यह आमतौर पर माना जाता है <math>\mu(E) + \mu(F)</math> हमेशा सभी के लिए [[अच्छी तरह से परिभाषित]] है <math>E, F \in \mathcal{F},</math> या समकक्ष, वह <math>\mu</math> दोनों नहीं लेता <math>- \infty</math> और <math>+ \infty</math> मानों के रूप में। यह लेख अब से यह मान लेगा; हालांकि वैकल्पिक रूप से, नीचे दी गई सभी परिभाषाएँ बयानों द्वारा योग्य हो सकती हैं जैसे कि जब भी योग/श्रृंखला परिभाषित की जाती है। यह कभी-कभी घटाव के साथ किया जाता है, जैसे निम्न परिणाम के साथ, जो जब भी होता है <math>\mu</math> #पूरी तरह से योगात्मक है:
+सामान्य तौर पर, यह सामान्यत: माना जाता है <math>\mu(E) + \mu(F)</math> हमेशा सभी के लिए [[अच्छी तरह से परिभाषित]] है <math>E, F \in \mathcal{F},</math> या समकक्ष, वह <math>\mu</math> दोनों नहीं लेता <math>- \infty</math> और <math>+ \infty</math> मानों के रूप में। यह लेख अब से यह मान लेगा; चूंकि वैकल्पिक रूप से, नीचे दी गई सभी परिभाषाएँ बयानों द्वारा योग्य हो सकती हैं जैसे कि जब भी योग/श्रृंखला परिभाषित की जाती है। यह कभी-कभी घटाव के साथ किया जाता है, जैसे निम्न परिणाम के साथ, जो जब भी होता है <math>\mu</math> #पूरी तरह से योगात्मक है:
 :{{em|{{visible anchor|अंतर सूत्र सेट करें}}}}: <math>\mu(F) - \mu(E) = \mu(F \setminus E) \text{ whenever } \mu(F) - \mu(E)</math> से परिभाषित किया गया है <math>E, F \in \mathcal{F}</math> संतुष्टि देने वाला <math>E \subseteq F</math> और <math>F \setminus E \in \mathcal{F}.</math> अशक्त सेट
-एक सेट <math>F \in \mathcal{F}</math> a कहा जाता है {{em|{{visible anchor|रिक्त समुच्चय}}}} (इसके संबंध में <math>\mu</math>) या केवल {{em|{{visible anchor|रिक्त}}}} अगर <math>\mu(F) = 0.</math> जब कभी भी <math>\mu</math> दोनों के समान नहीं है <math>-\infty</math> या <math>+\infty</math> तो यह आमतौर पर यह भी माना जाता है कि:
+एक सेट <math>F \in \mathcal{F}</math> a कहा जाता है {{em|{{visible anchor|रिक्त समुच्चय}}}} (इसके संबंध में <math>\mu</math>) या केवल {{em|{{visible anchor|रिक्त}}}} यदि <math>\mu(F) = 0.</math> जब कभी भी <math>\mu</math> दोनों के समान नहीं है <math>-\infty</math> या <math>+\infty</math> तो यह सामान्यत: यह भी माना जाता है कि:
 <उल>
-<ली>{{em|{{visible anchor|रिक्त समुच्चय सेट}}}}: <math>\mu(\varnothing) = 0</math> अगर <math>\varnothing \in \mathcal{F}.</math>
+<ली>{{em|{{visible anchor|रिक्त समुच्चय सेट}}}}: <math>\mu(\varnothing) = 0</math> यदि <math>\varnothing \in \mathcal{F}.</math>
 विविधता और द्रव्यमान
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 एक सेट फलन <math>\mu</math> पर <math>\mathcal{F}</math> बताया गया{{sfn|Durrett|2019|pp=1-37, 455-470}} {{em|{{visible anchor|गैर नकारात्मक}}}}  यदि इसका मान  <math>[0, \infty].</math> है।
-<li>फिनिटली एडिटिव सेट फलन {{em|{{visible anchor|निश्चित रूप से योगात्मक}}}} अगर <math>\textstyle\sum\limits_{i=1}^n \mu\left(F_i\right) = \mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^n F_i\right)</math> सभी युग्‍मानूसार असंयुक्त परिमित अनुक्रमों के लिए <math>F_1, \ldots, F_n \in \mathcal{F}</math> ऐसा है कि <math>\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^n F_i \in \mathcal{F}.</math>
+<li>फिनिटली एडिटिव सेट फलन {{em|{{visible anchor|निश्चित रूप से योगात्मक}}}} यदि <math>\textstyle\sum\limits_{i=1}^n \mu\left(F_i\right) = \mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^n F_i\right)</math> सभी युग्‍मानूसार असंयुक्त परिमित अनुक्रमों के लिए <math>F_1, \ldots, F_n \in \mathcal{F}</math> ऐसा है कि <math>\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^n F_i \in \mathcal{F}.</math>
-* अगर <math>\mathcal{F}</math> बाइनरी [[ संघ (सेट सिद्धांत) ]] के तहत बंद है <math>\mu</math> निश्चित रूप से योज्य है अगर और केवल अगर <math>\mu(E \cup F) = \mu(E) + \mu(F)</math> सभी असंबद्ध जोड़ियों के लिए <math>E, F \in \mathcal{F}.</math> है।
+* यदि <math>\mathcal{F}</math> बाइनरी [[ संघ (सेट सिद्धांत) ]] के अनुसार बंद है <math>\mu</math> निश्चित रूप से योज्य है यदि और केवल यदि <math>\mu(E \cup F) = \mu(E) + \mu(F)</math> सभी असंबद्ध जोड़ियों के लिए <math>E, F \in \mathcal{F}.</math> है।
-* अगर <math>\mu</math> निश्चित रूप से योज्य है और यदि <math>\varnothing \in \mathcal{F}</math> फिर ले रहा है <math>E := F := \varnothing</math> पता चलता है कि <math>\mu(\varnothing) = \mu(\varnothing) + \mu(\varnothing)</math> जो केवल तभी संभव है <math>\mu(\varnothing) = 0</math> या <math>\mu(\varnothing) = \pm \infty,</math> जहां बाद के मामले में, <math>\mu(E) = \mu(E \cup \varnothing) = \mu(E) + \mu(\varnothing) = \mu(E) + (\pm \infty) = \pm \infty</math> हर एक के लिए <math>E \in \mathcal{F}</math> (इसलिए केवल मामला <math>\mu(\varnothing) = 0</math> उपयोगी है)।
+* यदि <math>\mu</math> निश्चित रूप से योज्य है और यदि <math>\varnothing \in \mathcal{F}</math> फिर ले रहा है <math>E := F := \varnothing</math> पता चलता है कि <math>\mu(\varnothing) = \mu(\varnothing) + \mu(\varnothing)</math> जो केवल तभी संभव है <math>\mu(\varnothing) = 0</math> या <math>\mu(\varnothing) = \pm \infty,</math> जहां बाद के स्थिति में, <math>\mu(E) = \mu(E \cup \varnothing) = \mu(E) + \mu(\varnothing) = \mu(E) + (\pm \infty) = \pm \infty</math> हर एक के लिए <math>E \in \mathcal{F}</math> (इसलिए केवल स्थिति <math>\mu(\varnothing) = 0</math> उपयोगी है)।
-<li>सिग्मा-एडिटिव सेट फलन {{em|{{visible anchor|गणनीय रूप से योगात्मक}}}} या सिग्मा-एडिटिव सेट फलन {{em|{{visible anchor|σ-योगात्मक}}}}{{sfn|Durrett|2019|pp=466-470}} यदि परिमित रूप से योज्य होने के अलावा, सभी युग्‍मानूसार असंयुक्त अनुक्रमों के लिए <math>F_1, F_2, \ldots\,</math> में <math>\mathcal{F}</math> ऐसा है कि <math>\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i \in \mathcal{F},</math> निम्नलिखित सभी धारण करते हैं: a<math>\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right) = \mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\right)</math>
+<li>सिग्मा-एडिटिव सेट फलन {{em|{{visible anchor|गणनीय रूप से योगात्मक}}}} या सिग्मा-एडिटिव सेट फलन {{em|{{visible anchor|σ-योगात्मक}}}}{{sfn|Durrett|2019|pp=466-470}} यदि परिमित रूप से योज्य होने के अतिरिक्त, सभी युग्‍मानूसार असंयुक्त अनुक्रमों के लिए <math>F_1, F_2, \ldots\,</math> में <math>\mathcal{F}</math> ऐसा है कि <math>\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i \in \mathcal{F},</math> निम्नलिखित सभी धारण करते हैं: a<math>\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right) = \mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\right)</math>
 * बाईं ओर की श्रृंखला को सामान्य तरीके से सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है <math>\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}  \mu\left(F_1\right) + \cdots + \mu\left(F_n\right).</math>
 *परिणामस्वरूप, यदि <math>\rho : \N \to \N</math> तब कोई क्रम [[परिवर्तन]]/आपत्ति है <math>\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right) = \textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_{\rho(i)}\right);</math> यह है क्योंकि <math>\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i = \textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_{\rho(i)}</math> और इस शर्त को लागू करना (a) दो बार गारंटी देता है कि दोनों <math>\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right) = \mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\right)</math> और <math>\mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_{\rho(i)}\right) = \textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_{\rho(i)}\right)</math> पकड़ना है। परिभाषा के अनुसार, इस गुण के साथ अभिसरण श्रृंखला को [[बिना शर्त अभिसरण]] कहा जाता है। सामान्य अंग्रेजी में कहा गया है, इसका मतलब है कि सेट को पुनर्व्यवस्थित/पुन: लेबलिंग करना <math>F_1, F_2, \ldots</math> नए आदेश के लिए <math>F_{\rho(1)}, F_{\rho(2)}, \ldots</math> उनके मानों के योग को प्रभावित नहीं करता है। संघ के रूप में ही यह वांछनीय है <math>F ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \textstyle\bigcup\limits_{i \in \N} F_i</math> इन सेटों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, वही योगफल के लिए सही होना चाहिए <math>\mu(F) = \mu\left(F_1\right) + \mu\left(F_2\right) + \cdots</math> और <math>\mu(F) = \mu\left(F_{\rho(1)}\right) + \mu\left(F_{\rho(2)}\right) + \cdots\,.</math>
-अगर <math>\mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\right)</math> अनंत नहीं है तो यह श्रृंखला <math>\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right)</math> [[पूर्ण अभिसरण]] भी होना चाहिए, जिसका परिभाषा के अनुसार अर्थ है <math>\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \left|\mu\left(F_i\right)\right|</math> परिमित होना चाहिए। यह स्वचालित रूप से सत्य है यदि <math>\mu</math> #ऋणेतर संख्या है (या केवल विस्तारित वास्तविक संख्याओं में मान)।
+यदि <math>\mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\right)</math> अनंत नहीं है तो यह श्रृंखला <math>\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right)</math> [[पूर्ण अभिसरण]] भी होना चाहिए, जिसका परिभाषा के अनुसार अर्थ है <math>\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \left|\mu\left(F_i\right)\right|</math> परिमित होना चाहिए। यह स्वचालित रूप से सत्य है यदि <math>\mu</math> #ऋणेतर संख्या है (या केवल विस्तारित वास्तविक संख्याओं में मान)।
-* [[रीमैन श्रृंखला प्रमेय]], श्रृंखला द्वारा वास्तविक संख्याओं की किसी भी अभिसरण श्रृंखला के साथ <math>\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right) = {\displaystyle\lim_{N \to \infty}} \mu\left(F_1\right) + \mu\left(F_2\right) + \cdots + \mu\left(F_N\right)</math> पूरी तरह से अभिसरण करता है अगर और केवल अगर इसका योग इसकी शर्तों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है (बिना शर्त अभिसरण के रूप में जाना जाने वाला गुण)। चूंकि बिना शर्त अभिसरण की ऊपर (a) द्वारा गारंटी दी गई है, यह स्थिति स्वचालित रूप से सत्य है यदि <math>\mu</math> में मान है <math>[-\infty, \infty].</math>
+* [[रीमैन श्रृंखला प्रमेय]], श्रृंखला द्वारा वास्तविक संख्याओं की किसी भी अभिसरण श्रृंखला के साथ <math>\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right) = {\displaystyle\lim_{N \to \infty}} \mu\left(F_1\right) + \mu\left(F_2\right) + \cdots + \mu\left(F_N\right)</math> पूरी तरह से अभिसरण करता है यदि और केवल यदि इसका योग इसकी शर्तों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है (बिना शर्त अभिसरण के रूप में जाना जाने वाला गुण)। चूंकि बिना शर्त अभिसरण की ऊपर (a) द्वारा गारंटी दी गई है, यह स्थिति स्वचालित रूप से सत्य है यदि <math>\mu</math> में मान है <math>[-\infty, \infty].</math>
-अगर <math>\mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\right) = \textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right)</math> अनंत है तो यह भी आवश्यक है कि श्रृंखला में से कम से कम एक का मान हो <math>\textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in \N}{\mu\left(F_i\right) > 0}} \mu\left(F_i\right) \; \text{ औ  र } \; \textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in \N}{\mu\left(F_i\right) < 0}} \mu\left(F_i\right) \;</math> परिमित हो (ताकि उनके मानों का योग अच्छी तरह से परिभाषित हो)। यह स्वचालित रूप से सत्य है यदि <math>\mu</math> #गैर-नकारात्मक है।</li><li>एक पूर्व-मान|{{em|{{visible anchor|पूर्व मान}}}} अगर यह #ऋणेतर संख्या है, [[सिग्मा-एडिटिव सेट फंक्शन|सिग्मा-एडिटिव सेट फलन]] (#परिमित एडिटिव सहित), और एक # रिक्त सेट है।</li>
+यदि <math>\mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\right) = \textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right)</math> अनंत है तो यह भी आवश्यक है कि श्रृंखला में से कम से कम एक का मान हो <math>\textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in \N}{\mu\left(F_i\right) > 0}} \mu\left(F_i\right) \; \text{ औ  र } \; \textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in \N}{\mu\left(F_i\right) < 0}} \mu\left(F_i\right) \;</math> परिमित हो (जिससे कि उनके मानों का योग अच्छी तरह से परिभाषित हो)। यह स्वचालित रूप से सत्य है यदि <math>\mu</math> #गैर-नकारात्मक है।</li><li>एक पूर्व-मान|{{em|{{visible anchor|पूर्व मान}}}} यदि यह #ऋणेतर संख्या है, [[सिग्मा-एडिटिव सेट फंक्शन|सिग्मा-एडिटिव सेट फलन]] (#परिमित एडिटिव सहित), और एक # रिक्त सेट है।</li>
-<li>एक मान (गणित)|{{em|{{visible anchor|मान}}}} अगर यह एक #पूर्व मान है जिसका डोमेन σ-बीजगणित है। कहने का मतलब यह है कि मान एक σ-बीजगणित पर एक गैर-नकारात्मक गणन योग्य योज्य सेट फलन है जिसमें एक #शून्य रिक्त सेट होता है।</li>
+<li>एक मान (गणित)|{{em|{{visible anchor|मान}}}} यदि यह एक #पूर्व मान है जिसका डोमेन σ-बीजगणित है। कहने का मतलब यह है कि मान एक σ-बीजगणित पर एक गैर-नकारात्मक गणन योग्य योज्य सेट फलन है जिसमें एक #शून्य रिक्त सेट होता है।</li>
 <li>एक {{em|{{visible anchor|संभाव्यता माप}}}} यदि यह एक मान है जिसका #द्रव्यमान है <math>1.</math>
-<li>एक बाहरी मान|{{em|{{visible anchor|बाहरी मान}}}} अगर यह गैर-नकारात्मक है, #गणनात्मक रूप से सबएडिटिव है, एक #शून्य रिक्त सेट है, और [[ सत्ता स्थापित | पावरसेट]] है <math>\wp(\Omega)</math> इसके डोमेन के रूप में।
+<li>एक बाहरी मान|{{em|{{visible anchor|बाहरी मान}}}} यदि यह गैर-नकारात्मक है, #गणनात्मक रूप से सबएडिटिव है, एक #शून्य रिक्त सेट है, और [[ सत्ता स्थापित | पावरसेट]] है <math>\wp(\Omega)</math> इसके डोमेन के रूप में।
-* कैराथियोडोरी के विस्तार प्रमेय में बाहरी मान दिखाई देते हैं और वे अक्सर कैराथियोडोरी की कसौटी पर [[प्रतिबंध (गणित)]] होते हैं। कैराथियोडोरी मानने योग्य उपसमुच्चय</li>
+* कैराथियोडोरी के विस्तार प्रमेय में बाहरी मान दिखाई देते हैं और वे अधिकांशत: कैराथियोडोरी की कसौटी पर [[प्रतिबंध (गणित)]] होते हैं। कैराथियोडोरी मानने योग्य उपसमुच्चय</li>
 <li>एक हस्ताक्षरित मान|{{em|{{visible anchor|सांकेतिक मान}}}} यदि यह गिनती योगात्मक है, तो #रिक्त सेट है, और <math>\mu</math> दोनों नहीं लेता <math>- \infty</math> और <math>+ \infty</math> मानों के रूप में।</li>
 <li>पूरा मान {{em|{{visible anchor|पुर्ण}}}}  यदि प्रत्येक #रिक्त सेट का प्रत्येक उपसमुच्चय रिक्त है; स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ है: जब भी <math>F \in \mathcal{F} \text{ satisfies } \mu(F) = 0</math> और <math>N \subseteq F</math> का कोई उपसमुच्चय है <math>F</math> तब <math>N \in \mathcal{F}</math> और <math>\mu(N) = 0.</math>
 * कई अन्य गुणों के विपरीत, पूर्णता सेट पर आवश्यकताओं को रखती है <math>\operatorname{domain} \mu = \mathcal{F}</math> (और न सिर्फ चालू <math>\mu</math>के मान).</li>
-<li>σ-सीमित मान {{em|{{visible anchor|{{sigma}}-सीमित}}}}  यदि कोई अनुक्रम मौजूद है <math>F_1, F_2, F_3, \ldots\,</math> में <math>\mathcal{F}</math> ऐसा है कि <math>\mu\left(F_i\right)</math> प्रत्येक सूचकांक के लिए परिमित है <math>i,</math> और भी <math>\textstyle\bigcup\limits_{n=1}^\infty F_n = \textstyle\bigcup\limits_{F \in \mathcal{F}} F.</math>
+<li>σ-सीमित मान {{em|{{visible anchor|{{sigma}}-सीमित}}}}  यदि कोई अनुक्रम सम्मलित है <math>F_1, F_2, F_3, \ldots\,</math> में <math>\mathcal{F}</math> ऐसा है कि <math>\mu\left(F_i\right)</math> प्रत्येक सूचकांक के लिए परिमित है <math>i,</math> और भी <math>\textstyle\bigcup\limits_{n=1}^\infty F_n = \textstyle\bigcup\limits_{F \in \mathcal{F}} F.</math>
-<li>विघटित करने योग्य मान {{em|{{visible anchor|वियोजनीय}}}}  यदि कोई उपवर्ग मौजूद है <math>\mathcal{P} \subseteq \mathcal{F}</math> जोड़ो में असंयुक्त सेट की इस तरह है कि <math>\mu(P)</math> प्रत्येक के लिए परिमित है <math>P \in \mathcal{P}</math> और भी <math>\textstyle\bigcup\limits_{P \in \mathcal{P}} \, P = \textstyle\bigcup\limits_{F \in \mathcal{F}} F</math> (कहाँ <math>\mathcal{F} = \operatorname{domain} \mu</math>).
+<li>विघटित करने योग्य मान {{em|{{visible anchor|वियोजनीय}}}}  यदि कोई उपवर्ग सम्मलित है <math>\mathcal{P} \subseteq \mathcal{F}</math> जोड़ो में असंयुक्त सेट की इस तरह है कि <math>\mu(P)</math> प्रत्येक के लिए परिमित है <math>P \in \mathcal{P}</math> और भी <math>\textstyle\bigcup\limits_{P \in \mathcal{P}} \, P = \textstyle\bigcup\limits_{F \in \mathcal{F}} F</math> (कहाँ <math>\mathcal{F} = \operatorname{domain} \mu</math>).
-* प्रत्येक {{sigma}}-फ़िनिट सेट फलन वियोजनीय है, हालांकि इसके विपरीत नहीं। उदाहरण के लिए, गिनती मान पर <math>\R</math> (जिसका डोमेन है <math>\wp(\R)</math>) वियोजनीय है लेकिन नहीं {{sigma}}-परिमित है।</li>
+* प्रत्येक {{sigma}}-फ़िनिट सेट फलन वियोजनीय है, चूंकि इसके विपरीत नहीं। उदाहरण के लिए, गिनती मान पर <math>\R</math> (जिसका डोमेन है <math>\wp(\R)</math>) वियोजनीय है लेकिन नहीं {{sigma}}-परिमित है।</li>
 <li>एक सदिश मान यदि यह एक गिने-चुने योज्य समुच्चय फलन है <math>\mu : \mathcal{F} \to X</math> एक [[Index.php?title=सांस्थितिक सदिश समष्टि|सांस्थितिक सदिश समष्टि]] में मान <math>X</math> (जैसे एक आदर्श समष्टि) जिसका डोमेन σ-बीजगणित है।
-* अगर <math>\mu</math> एक आदर्श समष्टि में मान है <math>(X, \|\cdot\|)</math> तो यह गिनती योगात्मक है अगर और केवल अगर किसी भी युग्‍मानूसार संबंध विच्छेद अनुक्रम के लिए <math>F_1, F_2, \ldots\,</math> में <math>\mathcal{F},</math> <math>\lim_{n \to \infty} \left\|\mu\left(F_1\right) + \cdots + \mu\left(F_n\right) - \mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\right)\right\| = 0.</math> है अगर <math>\mu</math> एक [[बनच स्थान|बनच समष्टि]] में सूक्ष्म रूप से योगात्मक और मान है, तो यह योगात्मक रूप से योगात्मक है यदि और केवल यदि किसी युग्‍मानूसार असंबद्ध अनुक्रम के लिए <math>F_1, F_2, \ldots\,</math> में <math>\mathcal{F},</math> <math>\lim_{n \to \infty} \left\|\mu\left(F_n \cup F_{n+1} \cup F_{n+2} \cup \cdots\right)\right\| = 0.</math> है।
+* यदि <math>\mu</math> एक आदर्श समष्टि में मान है <math>(X, \|\cdot\|)</math> तो यह गिनती योगात्मक है यदि और केवल यदि किसी भी युग्‍मानूसार संबंध विच्छेद अनुक्रम के लिए <math>F_1, F_2, \ldots\,</math> में <math>\mathcal{F},</math> <math>\lim_{n \to \infty} \left\|\mu\left(F_1\right) + \cdots + \mu\left(F_n\right) - \mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\right)\right\| = 0.</math> है यदि <math>\mu</math> एक [[बनच स्थान|बनच समष्टि]] में सूक्ष्म रूप से योगात्मक और मान है, तो यह योगात्मक रूप से योगात्मक है यदि और केवल यदि किसी युग्‍मानूसार असंबद्ध अनुक्रम के लिए <math>F_1, F_2, \ldots\,</math> में <math>\mathcal{F},</math> <math>\lim_{n \to \infty} \left\|\mu\left(F_n \cup F_{n+1} \cup F_{n+2} \cup \cdots\right)\right\| = 0.</math> है।
 <li>एक जटिल मान यदि यह एक गिने-चुने योगात्मक [[जटिल संख्या]]-मान सेट फलन है <math>\mu : \mathcal{F} \to \Complex</math> जिसका प्रांत σ-बीजगणित है।
 * परिभाषा के अनुसार, एक जटिल मान कभी नहीं होता है <math>\pm \infty</math> एक मान के रूप में और इसलिए एक #शून्य रिक्त सेट है।</li>
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 === यादृच्छिक योग ===
-वर्णित श्रृंखला (गणित)#किसी भी वर्ग के लिए सामान्यीकृत श्रृंखला पर इस लेख के खंड में यादृच्छिक सूचकांक सेट पर योग <math>\left(r_i\right)_{i \in I}</math> एक यादृच्छिक [[अनुक्रमण सेट]] द्वारा अनुक्रमित वास्तविक संख्याओं का <math>I,</math> उनकी राशि को परिभाषित करना संभव है <math>\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i</math> परिमित आंशिक योगों के शुद्ध (गणित) की सीमा के रूप में <math>F \in \operatorname{FiniteSubsets}(I) \mapsto \textstyle\sum\limits_{i \in F} r_i</math> जहां डोमेन <math>\operatorname{FiniteSubsets}(I)</math> द्वारा निर्देशित किया गया है <math>\,\subseteq.\,</math> जब कभी यह [[अभिसारी जाल]] होता है तो इसकी सीमा को प्रतीकों द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i</math> जबकि अगर यह नेट इसके बजाय अलग हो जाता है <math>\pm \infty</math> तो यह लिखकर संकेत किया जा सकता है <math>\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i = \pm \infty.</math> रिक्त समुच्चय पर किसी भी योग को शून्य के रूप में परिभाषित किया गया है; वह है, अगर <math>I = \varnothing</math> तब <math>\textstyle\sum\limits_{i \in \varnothing} r_i = 0</math> परिभाषा है।
+वर्णित श्रृंखला (गणित)#किसी भी वर्ग के लिए सामान्यीकृत श्रृंखला पर इस लेख के खंड में यादृच्छिक सूचकांक सेट पर योग <math>\left(r_i\right)_{i \in I}</math> एक यादृच्छिक [[अनुक्रमण सेट]] द्वारा अनुक्रमित वास्तविक संख्याओं का <math>I,</math> उनकी राशि को परिभाषित करना संभव है <math>\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i</math> परिमित आंशिक योगों के शुद्ध (गणित) की सीमा के रूप में <math>F \in \operatorname{FiniteSubsets}(I) \mapsto \textstyle\sum\limits_{i \in F} r_i</math> जहां डोमेन <math>\operatorname{FiniteSubsets}(I)</math> द्वारा निर्देशित किया गया है <math>\,\subseteq.\,</math> जब कभी यह [[अभिसारी जाल]] होता है तो इसकी सीमा को प्रतीकों द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i</math> जबकि यदि यह नेट इसके अतिरिक्त अलग हो जाता है <math>\pm \infty</math> तो यह लिखकर संकेत किया जा सकता है <math>\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i = \pm \infty.</math> रिक्त समुच्चय पर किसी भी योग को शून्य के रूप में परिभाषित किया गया है; वह है, यदि <math>I = \varnothing</math> तब <math>\textstyle\sum\limits_{i \in \varnothing} r_i = 0</math> परिभाषा है।
-उदाहरण के लिए, यदि <math>z_i = 0</math> हर एक के लिए <math>i \in I</math> तब <math>\textstyle\sum\limits_{i \in I} z_i = 0.</math> और यह दिखाया जा सकता है <math>\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i = \textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in I,}{r_i = 0}} r_i + \textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in I,}{r_i \neq 0}} r_i = 0 + \textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in I,}{r_i \neq 0}} r_i = \textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in I,}{r_i \neq 0}} r_i.</math> अगर <math>I = \N</math> फिर सामान्यीकृत श्रृंखला <math>\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i</math> में विलीन हो जाता है <math>\R</math> अगर और केवल अगर <math>\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty r_i</math> बिना शर्त अभिसरण (या समकक्ष, पूर्ण अभिसरण) सामान्य अर्थों में।
+उदाहरण के लिए, यदि <math>z_i = 0</math> हर एक के लिए <math>i \in I</math> तब <math>\textstyle\sum\limits_{i \in I} z_i = 0.</math> और यह दिखाया जा सकता है <math>\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i = \textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in I,}{r_i = 0}} r_i + \textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in I,}{r_i \neq 0}} r_i = 0 + \textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in I,}{r_i \neq 0}} r_i = \textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in I,}{r_i \neq 0}} r_i.</math> यदि <math>I = \N</math> फिर सामान्यीकृत श्रृंखला <math>\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i</math> में विलीन हो जाता है <math>\R</math> यदि और केवल यदि <math>\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty r_i</math> बिना शर्त अभिसरण (या समकक्ष, पूर्ण अभिसरण) सामान्य अर्थों में।
 यदि एक सामान्यीकृत श्रृंखला <math>\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i</math> में विलीन हो जाता है <math>\R</math> फिर दोनों <math>\textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in I}{r_i > 0}} r_i</math> और <math>\textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in I}{r_i < 0}} r_i</math> के तत्वों में भी अभिसरण करते हैं <math>\R</math> और सेट <math>\left\{i \in I : r_i \neq 0\right\}</math> आवश्यक रूप से गणनीय समुच्चय है (अर्थात, या तो परिमित या [[गणनीय रूप से अनंत]]); श्रृंखला (गणित) # एबेलियन सांस्थिति समूह यदि <math>\R</math> किसी भी सामान्य समष्टि से प्रतिस्थापित किया जाता है।<ref group="proof" name="ProofCountablyManyNon0Terms" />
 यह इस प्रकार है कि एक सामान्यीकृत श्रृंखला के लिए <math>\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i</math> में जुटना <math>\R</math> या <math>\Complex,</math> यह आवश्यक है कि सभी लेकिन अधिक से अधिक संख्या में <math>r_i</math> के बराबर होगा <math>0,</math> जिसका अर्थ है कि <math>\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i ~=~ \textstyle\sum\limits_{\stackrel{i \in I}{r_i \neq 0}} r_i</math> अधिक से अधिक कई गैर-शून्य शब्दों का योग है।
-अलग ढंग से कहा, अगर <math>\left\{i \in I : r_i \neq 0\right\}</math> अगणनीय है तो सामान्यीकृत श्रृंखला <math>\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i</math> एकाग्र नहीं होती है।
+अलग ढंग से कहा, यदि <math>\left\{i \in I : r_i \neq 0\right\}</math> अगणनीय है तो सामान्यीकृत श्रृंखला <math>\textstyle\sum\limits_{i \in I} r_i</math> एकाग्र नहीं होती है।
 संक्षेप में, वास्तविक संख्याओं की प्रकृति और इसकी टोपोलॉजी के कारण, वास्तविक संख्याओं की प्रत्येक सामान्यीकृत श्रृंखला (एक यादृच्छिक सेट द्वारा अनुक्रमित) जो अभिसरण करता है, को कई वास्तविक संख्याओं की एक सामान्य पूर्ण रूप से अभिसरण श्रृंखला में घटाया जा सकता है। इसलिए मान सिद्धांत के संदर्भ में, अगणनीय सेटों और सामान्यीकृत श्रृंखलाओं पर विचार करने से बहुत कम लाभ प्राप्त होता है। विशेष रूप से, यही कारण है कि #गणनीय योगात्मक की परिभाषा को शायद ही कभी कई सेटों से बढ़ाया जाता है <math>F_1, F_2, \ldots\,</math> में <math>\mathcal{F}</math> (और सामान्य गणनीय श्रृंखला <math>\textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right)</math>) यादृच्छिक ढंग से कई सेटों के लिए <math>\left(F_i\right)_{i \in I}</math> (और सामान्यीकृत श्रृंखला <math>\textstyle\sum\limits_{i \in I} \mu\left(F_i\right)</math>).
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 एक सेट फलन <math>\mu</math> कहा जाता है / संतुष्ट करता है{{sfn|Durrett|2019|pp=1-37, 455-470}}
-{{em|{{visible anchor|एकदिष्ट}}}} अगर <math>\mu(E) \leq \mu(F)</math> जब कभी भी <math>E, F \in \mathcal{F}</math> संतुष्ट करना <math>E \subseteq F.</math>
+{{em|{{visible anchor|एकदिष्ट}}}} यदि <math>\mu(E) \leq \mu(F)</math> जब कभी भी <math>E, F \in \mathcal{F}</math> संतुष्ट करना <math>E \subseteq F.</math>
 <li>मॉड्यूलर सेट फलन यदि यह निम्नलिखित शर्त को पूरा करता है, जिसे जाना जाता है {{em|मॉड्यूलता}}: <math>\mu(E \cup F) + \mu(E \cap F) = \mu(E) + \mu(F)</math> सभी के लिए <math>E, F \in \mathcal{F}</math> ऐसा है कि <math>E \cup F, E \cap F \in \mathcal{F}.</math>
 * समुच्चयों के क्षेत्र में प्रत्येक परिमित योज्य फलन मॉड्यूलर होता है।
 * ज्यामिति में, इस गुण वाले कुछ एबेलियन सेमीग्रुप में मान एक सेट फलन को मानांकन (ज्यामिति) के रूप में जाना जाता है। यह मानांकन (ज्यामिति) मानांकन की ज्यामितीय परिभाषा को मजबूत गैर-समतुल्य मानांकन (मान सिद्धांत) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए मानांकन की सैद्धांतिक परिभाषा को मानें जो कि #मानांकन है।</li>
-<li>सबमॉड्यूलर सेट फलन अगर <math>\mu(E \cup F) + \mu(E \cap F) \leq \mu(E) + \mu(F)</math> सभी के लिए <math>E, F \in \mathcal{F}</math> ऐसा है कि <math>E \cup F, E \cap F \in \mathcal{F}.</math>{{em|{{visible anchor|परिमित सबएडेटिव}}}} अगर <math>|\mu(F)| \leq \textstyle\sum\limits_{i=1}^n \left|\mu\left(F_i\right)\right|</math> सभी परिमित अनुक्रमों के लिए <math>F, F_1, \ldots, F_n \in \mathcal{F}</math> जो संतुष्ट करता है <math>F \;\subseteq\; \textstyle\bigcup\limits_{i=1}^n F_i.</math>{{em|{{visible anchor|गणनीय सबएडेटिव}}}} या {{em|{{visible anchor|σ-सबएडेटिव}}}} अगर <math>|\mu(F)| \leq \textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \left|\mu\left(F_i\right)\right|</math> सभी क्रमों के लिए <math>F, F_1, F_2, F_3, \ldots\,</math> में <math>\mathcal{F}</math> जो संतुष्ट करता है <math>F \;\subseteq\; \textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i.</math>
+<li>सबमॉड्यूलर सेट फलन यदि <math>\mu(E \cup F) + \mu(E \cap F) \leq \mu(E) + \mu(F)</math> सभी के लिए <math>E, F \in \mathcal{F}</math> ऐसा है कि <math>E \cup F, E \cap F \in \mathcal{F}.</math>{{em|{{visible anchor|परिमित सबएडेटिव}}}} यदि <math>|\mu(F)| \leq \textstyle\sum\limits_{i=1}^n \left|\mu\left(F_i\right)\right|</math> सभी परिमित अनुक्रमों के लिए <math>F, F_1, \ldots, F_n \in \mathcal{F}</math> जो संतुष्ट करता है <math>F \;\subseteq\; \textstyle\bigcup\limits_{i=1}^n F_i.</math>{{em|{{visible anchor|गणनीय सबएडेटिव}}}} या {{em|{{visible anchor|σ-सबएडेटिव}}}} यदि <math>|\mu(F)| \leq \textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \left|\mu\left(F_i\right)\right|</math> सभी क्रमों के लिए <math>F, F_1, F_2, F_3, \ldots\,</math> में <math>\mathcal{F}</math> जो संतुष्ट करता है <math>F \;\subseteq\; \textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i.</math>
-* अगर <math>\mathcal{F}</math> परिमित संघों के तहत बंद है तो यह स्थिति केवल और केवल तभी होती है <math>|\mu(F \cup G)| \leq| \mu(F)| + |\mu(G)|</math> सभी के लिए <math>F, G \in \mathcal{F}.</math> अगर <math>\mu</math> गैर-ऋणात्मक है तो निरपेक्ष मान हटाया जा सकता है।
+* यदि <math>\mathcal{F}</math> परिमित संघों के अनुसार बंद है तो यह स्थिति केवल और केवल तभी होती है <math>|\mu(F \cup G)| \leq| \mu(F)| + |\mu(G)|</math> सभी के लिए <math>F, G \in \mathcal{F}.</math> यदि <math>\mu</math> गैर-ऋणात्मक है तो निरपेक्ष मान हटाया जा सकता है।
-* अगर <math>\mu</math> एक मान है तो यह स्थिति अगर और केवल अगर रखती है <math>\mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\right) \leq \textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right)</math> सभी के लिए <math>F_1, F_2, F_3, \ldots\,</math> में <math>\mathcal{F}.</math>{{sfn|Royden|Fitzpatrick|2010|p=30}} अगर <math>\mu</math> एक प्रायिकता मान है तो यह असमानता बूले की असमानता है।
+* यदि <math>\mu</math> एक मान है तो यह स्थिति यदि और केवल यदि रखती है <math>\mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\right) \leq \textstyle\sum\limits_{i=1}^\infty \mu\left(F_i\right)</math> सभी के लिए <math>F_1, F_2, F_3, \ldots\,</math> में <math>\mathcal{F}.</math>{{sfn|Royden|Fitzpatrick|2010|p=30}} यदि <math>\mu</math> एक प्रायिकता मान है तो यह असमानता बूले की असमानता है।
-* अगर <math>\mu</math> गिनती उप-योगात्मक है और <math>\varnothing \in \mathcal{F}</math> साथ <math>\mu(\varnothing) = 0</math> तब <math>\mu</math> #पूरी तरह से सबएडिटिव है।</li>
+* यदि <math>\mu</math> गिनती उप-योगात्मक है और <math>\varnothing \in \mathcal{F}</math> साथ <math>\mu(\varnothing) = 0</math> तब <math>\mu</math> #पूरी तरह से सबएडिटिव है।</li>
-<li>सुपरएडिटीविटी अगर <math>\mu(E) + \mu(F) \leq \mu(E \cup F)</math> जब कभी भी <math>E, F \in \mathcal{F}</math> से असंबद्ध हैं <math>E \cup F \in \mathcal{F}.</math> {{em|{{visible anchor|उपरित: संतत}}}} अगर <math>\lim_{n \to \infty} \mu\left(F_i\right) = \mu\left(\textstyle\bigcap\limits_{i=1}^\infty F_i\right)</math> सभी के लिए {{em|गैर-बढ़ते अनुक्रम}}  सेट का <math>F_1 \supseteq F_2 \supseteq F_3 \cdots\,</math> में <math>\mathcal{F}</math> ऐसा है कि <math>\textstyle\bigcap\limits_{i=1}^\infty F_i \in \mathcal{F}</math> साथ <math>\mu\left(\textstyle\bigcap\limits_{i=1}^\infty F_i\right)</math> और सभी <math>\mu\left(F_i\right)</math> परिमित है ।
+<li>सुपरएडिटीविटी यदि <math>\mu(E) + \mu(F) \leq \mu(E \cup F)</math> जब कभी भी <math>E, F \in \mathcal{F}</math> से असंबद्ध हैं <math>E \cup F \in \mathcal{F}.</math> {{em|{{visible anchor|उपरित: संतत}}}} यदि <math>\lim_{n \to \infty} \mu\left(F_i\right) = \mu\left(\textstyle\bigcap\limits_{i=1}^\infty F_i\right)</math> सभी के लिए {{em|गैर-बढ़ते अनुक्रम}}  सेट का <math>F_1 \supseteq F_2 \supseteq F_3 \cdots\,</math> में <math>\mathcal{F}</math> ऐसा है कि <math>\textstyle\bigcap\limits_{i=1}^\infty F_i \in \mathcal{F}</math> साथ <math>\mu\left(\textstyle\bigcap\limits_{i=1}^\infty F_i\right)</math> और सभी <math>\mu\left(F_i\right)</math> परिमित है ।
-* लेबेस्गु मान <math>\lambda</math> ऊपर से निरंतर है लेकिन यह धारणा नहीं होगी कि सभी <math>\mu\left(F_i\right)</math> अंततः परिमित हैं परिभाषा से हटा दिया गया था, जैसा कि इस उदाहरण से पता चलता है: प्रत्येक पूर्णांक के लिए <math>i,</math> होने देना <math>F_i</math> खुला अंतराल हो <math>(i, \infty)</math> ताकि <math>\lim_{n \to \infty} \lambda\left(F_i\right) = \lim_{n \to \infty}  \infty = \infty \neq 0 = \lambda(\varnothing) = \lambda\left(\textstyle\bigcap\limits_{i=1}^\infty F_i\right)</math> जहाँ <math>\textstyle\bigcap\limits_{i=1}^\infty F_i = \varnothing.</math> है।
+* लेबेस्गु मान <math>\lambda</math> ऊपर से निरंतर है लेकिन यह धारणा नहीं होगी कि सभी <math>\mu\left(F_i\right)</math> अंततः परिमित हैं परिभाषा से हटा दिया गया था, जैसा कि इस उदाहरण से पता चलता है: प्रत्येक पूर्णांक के लिए <math>i,</math> होने देना <math>F_i</math> खुला अंतराल हो <math>(i, \infty)</math> जिससे कि <math>\lim_{n \to \infty} \lambda\left(F_i\right) = \lim_{n \to \infty}  \infty = \infty \neq 0 = \lambda(\varnothing) = \lambda\left(\textstyle\bigcap\limits_{i=1}^\infty F_i\right)</math> जहाँ <math>\textstyle\bigcap\limits_{i=1}^\infty F_i = \varnothing.</math> है।
-{{em|{{visible anchor|नीचे से निरंतर}}}} अगर <math>\lim_{n \to \infty} \mu\left(F_i\right) = \mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\right)</math> सभी के लिए {{em|गैर-क्रियाशील अनुक्रम}}  सेट का <math>F_1 \subseteq F_2 \subseteq F_3 \cdots\,</math> में <math>\mathcal{F}</math> ऐसा है कि <math>\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i \in \mathcal{F}.</math> {{em|{{visible anchor|अनंत नीचे से संपर्क किया जाता है}}}} अगर कभी भी <math>F \in \mathcal{F}</math> संतुष्ट <math>\mu(F) = \infty</math> तो हर असली के लिए <math>r > 0,</math> कुछ मौजूद है <math>F_r \in \mathcal{F}</math> ऐसा है कि <math>F_r \subseteq F</math> और <math>r \leq \mu\left(F_r\right) < \infty.</math> है।
+{{em|{{visible anchor|नीचे से निरंतर}}}} यदि <math>\lim_{n \to \infty} \mu\left(F_i\right) = \mu\left(\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\right)</math> सभी के लिए {{em|गैर-क्रियाशील अनुक्रम}}  सेट का <math>F_1 \subseteq F_2 \subseteq F_3 \cdots\,</math> में <math>\mathcal{F}</math> ऐसा है कि <math>\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i \in \mathcal{F}.</math> {{em|{{visible anchor|अनंत नीचे से संपर्क किया जाता है}}}} यदि कभी भी <math>F \in \mathcal{F}</math> संतुष्ट <math>\mu(F) = \infty</math> तो हर असली के लिए <math>r > 0,</math> कुछ सम्मलित है <math>F_r \in \mathcal{F}</math> ऐसा है कि <math>F_r \subseteq F</math> और <math>r \leq \mu\left(F_r\right) < \infty.</math> है।
-<li>एक #बाहरी मान अगर <math>\mu</math> गैर-ऋणात्मक है, #गणनीय रूप से सबएडिटिव है, एक #शून्य रिक्त सेट है, और पावर सेट है <math>\wp(\Omega)</math> इसके डोमेन के रूप में है।</li>
-<li>एक आंतरिक मान अगर <math>\mu</math> गैर-नकारात्मक है, #सुपरएडिटिव, ऊपर से #निरंतर, एक #शून्य रिक्त सेट है, पावर सेट है <math>\wp(\Omega)</math> इसके डोमेन के रूप में, और नीचे से #अनंतता तक संपर्क किया जाता है<math>+\infty</math> नीचे से संपर्क किया गया है।</li>
+<li>एक #बाहरी मान यदि <math>\mu</math> गैर-ऋणात्मक है, #गणनीय रूप से सबएडिटिव है, एक #शून्य रिक्त सेट है, और पावर सेट है <math>\wp(\Omega)</math> इसके डोमेन के रूप में है।</li>
+<li>एक आंतरिक मान यदि <math>\mu</math> गैर-नकारात्मक है, #सुपरएडिटिव, ऊपर से #निरंतर, एक #शून्य रिक्त सेट है, पावर सेट है <math>\wp(\Omega)</math> इसके डोमेन के रूप में, और नीचे से #अनंतता तक संपर्क किया जाता है<math>+\infty</math> नीचे से संपर्क किया गया है।</li>
 <li>परमाणु मान यदि सकारात्मक मान के प्रत्येक मानने योग्य सेट में एक [[परमाणु (माप सिद्धांत)|परमाणु (मान सिद्धांत)]] होता है।</li>
 यदि एक [[Index.php?title=द्विआधारी संक्रिया|द्विआधारी संक्रिया]] <math>\,+\,</math> परिभाषित किया गया है, फिर एक सेट फलन <math>\mu</math> बताया गया
-  {{em|[[Translation invariant|{{visible anchor|अनुवाद अपरिवर्तनीय}}]]}} अगर <math>\mu(\omega + F) = \mu(F)</math> सभी के लिए <math>\omega \in \Omega</math> और <math>F \in \mathcal{F}</math> ऐसा है कि <math>\omega + F \in \mathcal{F}.</math> है।
+  {{em|[[Translation invariant|{{visible anchor|अनुवाद अपरिवर्तनीय}}]]}} यदि <math>\mu(\omega + F) = \mu(F)</math> सभी के लिए <math>\omega \in \Omega</math> और <math>F \in \mathcal{F}</math> ऐसा है कि <math>\omega + F \in \mathcal{F}.</math> है।
 === टोपोलॉजी संबंधित परिभाषाएँ ===
-अगर <math>\tau</math> एक [[टोपोलॉजी (संरचना)]] पर है <math>\Omega</math> फिर एक सेट फलन <math>\mu</math> बताया गया:
+यदि <math>\tau</math> एक [[टोपोलॉजी (संरचना)]] पर है <math>\Omega</math> फिर एक सेट फलन <math>\mu</math> बताया गया:
 <li>एक बोरेल मान यदि यह सभी [[बोरेल सेट]] के σ-बीजगणित पर परिभाषित मान है, जो सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें सभी खुले उपसमुच्चय होते हैं (अर्थात, युक्त <math>\tau</math>)।
 <li>एक बेयर मान यदि यह सभी बेयर सेटों के σ-बीजगणित पर परिभाषित मान है।</li>
-<li>समष्टिीय परिमित मान अगर हर बिंदु के लिए <math>\omega \in \Omega</math> कुछ पड़ोस मौजूद है <math>U \in \mathcal{F} \cap \tau</math> इस बिंदु से ऐसा है <math>\mu(U)</math> परिमित है।
+<li>समष्टिीय परिमित मान यदि हर बिंदु के लिए <math>\omega \in \Omega</math> कुछ निकटतम सम्मलित है <math>U \in \mathcal{F} \cap \tau</math> इस बिंदु से ऐसा है <math>\mu(U)</math> परिमित है।
-* अगर <math>\mu</math> एक सूक्ष्म योगात्मक, मोनोटोन और समष्टिीय रूप से परिमित है <math>\mu(K)</math> प्रत्येक सघन मानने योग्य उपसमुच्चय  के लिए आवश्यक रूप से परिमित है <math>K.</math>
+* यदि <math>\mu</math> एक सूक्ष्म योगात्मक, मोनोटोन और समष्टिीय रूप से परिमित है <math>\mu(K)</math> प्रत्येक सघन मानने योग्य उपसमुच्चय  के लिए आवश्यक रूप से परिमित है <math>K.</math>
-<li>{{em|{{visible anchor|<math>\tau</math>-संकलनीयता}}}} अगर <math>\mu\left({\textstyle\bigcup} \, \mathcal{D}\right) = \sup_{D \in \mathcal{D}} \mu(D)</math> जब कभी भी <math>\mathcal{D} \subseteq \tau \cap \mathcal{F}</math> के संबंध में निर्देशित किया गया है <math>\,\subseteq\,</math> और संतुष्ट करता है <math>{\textstyle\bigcup} \, \mathcal{D} ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \textstyle\bigcup\limits_{D \in \mathcal{D}} D \in \mathcal{F}.</math>
+<li>{{em|{{visible anchor|<math>\tau</math>-संकलनीयता}}}} यदि <math>\mu\left({\textstyle\bigcup} \, \mathcal{D}\right) = \sup_{D \in \mathcal{D}} \mu(D)</math> जब कभी भी <math>\mathcal{D} \subseteq \tau \cap \mathcal{F}</math> के संबंध में निर्देशित किया गया है <math>\,\subseteq\,</math> और संतुष्ट करता है <math>{\textstyle\bigcup} \, \mathcal{D} ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \textstyle\bigcup\limits_{D \in \mathcal{D}} D \in \mathcal{F}.</math>
-* <math>\mathcal{D}</math> के संबंध में निर्देशित किया गया है <math>\,\subseteq\,</math> अगर और केवल अगर यह खाली नहीं है और सभी के लिए है <math>A, B \in \mathcal{D}</math> कुछ मौजूद है <math>C \in \mathcal{D}</math> ऐसा है  <math>A \subseteq C</math> और <math>B \subseteq C.</math>
+* <math>\mathcal{D}</math> के संबंध में निर्देशित किया गया है <math>\,\subseteq\,</math> यदि और केवल यदि यह खाली नहीं है और सभी के लिए है <math>A, B \in \mathcal{D}</math> कुछ सम्मलित है <math>C \in \mathcal{D}</math> ऐसा है  <math>A \subseteq C</math> और <math>B \subseteq C.</math>
 <li>आंतरिक नियमित मान या यदि प्रत्येक के लिए <math>F \in \mathcal{F},</math> <math>\mu(F) = \sup \{\mu(K) : F \supseteq K \text{ with } K \in \mathcal{F} \text{ a compact subset of } (\Omega, \tau)\}.</math> है।
 <li>बाह्य नियमित मान यदि प्रत्येक के लिए <math>F \in \mathcal{F},</math> <math>\mu(F) = \inf \{\mu(U) : F \subseteq U \text{ and } U \in \mathcal{F} \cap \tau\}.</math> है।
-<li>नियमित मान अगर यह इनर रेगुलर और आउटर रेगुलर दोनों है।</li>
+<li>नियमित मान यदि यह इनर रेगुलर और आउटर रेगुलर दोनों है।</li>
 <li>एक बोरेल नियमित मान यदि यह बोरेल मान है तो वह भी नियमित मान है।
 <li>एक रैडॉन मान यदि यह एक नियमित और समष्टिीय रूप से परिमित मान है।</li>
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 {{See also|रैडॉन-निकोडीम प्रमेय|लेबेज के अपघटन प्रमेय}}
-अगर <math>\mu</math> और <math>\nu</math> दो सेट कार्य समान्त हो गए हैं <math>\Omega,</math> तब: <math>\mu</math> पूर्ण निरंतरता (मान सिद्धांत) कहा जाता है या प्रभुत्व (मान सिद्धांत), लिखा हुआ <math>\mu \ll \nu,</math> अगर हर सेट के लिए <math>F</math> जो दोनों के अधिकार क्षेत्र में आता है <math>\mu</math> और <math>\nu,</math> अगर <math>\nu(F) = 0</math> तब <math>\mu(F) = 0.</math> है।
+यदि <math>\mu</math> और <math>\nu</math> दो सेट कार्य समान्त हो गए हैं <math>\Omega,</math> तब: <math>\mu</math> पूर्ण निरंतरता (मान सिद्धांत) कहा जाता है या प्रभुत्व (मान सिद्धांत), लिखा हुआ <math>\mu \ll \nu,</math> यदि हर सेट के लिए <math>F</math> जो दोनों के अधिकार क्षेत्र में आता है <math>\mu</math> और <math>\nu,</math> यदि <math>\nu(F) = 0</math> तब <math>\mu(F) = 0.</math> है।
-* अगर <math>\mu</math> और <math>\nu</math> σ-सीमित मान हैं <math>\sigma</math>-समान मानने योग्य समष्टि पर परिमित मान और यदि <math>\mu \ll \nu,</math> फिर रैडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न <math>\frac{d \mu}{d \nu}</math> मौजूद है और हर मानने योग्य के लिए <math>F,</math> <math display=block>\mu(F) = \int_F \frac{d \mu}{d \nu} d \nu.</math>है।
+* यदि <math>\mu</math> और <math>\nu</math> σ-सीमित मान हैं <math>\sigma</math>-समान मानने योग्य समष्टि पर परिमित मान और यदि <math>\mu \ll \nu,</math> फिर रैडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न <math>\frac{d \mu}{d \nu}</math> सम्मलित है और हर मानने योग्य के लिए <math>F,</math> <math display=block>\mu(F) = \int_F \frac{d \mu}{d \nu} d \nu.</math>है।
-* <math>\mu</math> और <math>\nu</math> तुल्यता (मान सिद्धांत) कहलाते हैं, यदि प्रत्येक एक दूसरे के संबंध में #बिल्कुल निरंतर है।  <math>\mu</math> एक तुल्यता (मान सिद्धांत) # सहायक मान कहा जाता है मान का <math>\nu</math> अगर <math>\mu</math> सिग्मा-परिमित है <math>\sigma</math>-परिमित और वे समकक्ष हैं।<ref>{{cite book |last1=Kallenberg |first1=Olav |author-link1=Olav Kallenberg |year=2017  |title=यादृच्छिक उपाय, सिद्धांत और अनुप्रयोग|location= Switzerland |publisher=Springer |doi= 10.1007/978-3-319-41598-7|isbn=978-3-319-41596-3|page=21}}</ref>
+* <math>\mu</math> और <math>\nu</math> तुल्यता (मान सिद्धांत) कहलाते हैं, यदि प्रत्येक एक दूसरे के संबंध में #बिल्कुल निरंतर है।  <math>\mu</math> एक तुल्यता (मान सिद्धांत) # सहायक मान कहा जाता है मान का <math>\nu</math> यदि <math>\mu</math> सिग्मा-परिमित है <math>\sigma</math>-परिमित और वे समकक्ष हैं।<ref>{{cite book |last1=Kallenberg |first1=Olav |author-link1=Olav Kallenberg |year=2017  |title=यादृच्छिक उपाय, सिद्धांत और अनुप्रयोग|location= Switzerland |publisher=Springer |doi= 10.1007/978-3-319-41598-7|isbn=978-3-319-41596-3|page=21}}</ref>
-<math>\mu</math> और <math>\nu</math> पृथक मान हैं,  लिखा हुआ <math>\mu \perp \nu,</math> अगर वहाँ असंबद्ध सेट मौजूद हैं <math>M</math> और <math>N</math> के डोमेन में <math>\mu</math> और <math>\nu</math> ऐसा है कि <math>M \cup N = \Omega,</math> <math>\mu(F) = 0</math> सभी के लिए <math>F \subseteq M</math> के अधिकार क्षेत्र में <math>\mu,</math> और <math>\nu(F) = 0</math> सभी के लिए <math>F \subseteq N</math> के अधिकार क्षेत्र में <math>\nu.</math> है।
+<math>\mu</math> और <math>\nu</math> पृथक मान हैं,  लिखा हुआ <math>\mu \perp \nu,</math> यदि वहाँ असंबद्ध सेट सम्मलित हैं <math>M</math> और <math>N</math> के डोमेन में <math>\mu</math> और <math>\nu</math> ऐसा है कि <math>M \cup N = \Omega,</math> <math>\mu(F) = 0</math> सभी के लिए <math>F \subseteq M</math> के अधिकार क्षेत्र में <math>\mu,</math> और <math>\nu(F) = 0</math> सभी के लिए <math>F \subseteq N</math> के अधिकार क्षेत्र में <math>\nu.</math> है।
 </ul>
 == उदाहरण ==
-सेट कार्यों के उदाहरणों में शामिल हैं:
+सेट कार्यों के उदाहरणों में सम्मलित हैं:
 * कार्यक्रम <math display=block>d(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{|A \cap \{1, \ldots, n\}|}{n},</math> पर्याप्त रूप से अच्छे व्यवहार वाले उपसमुच्चय को [[प्राकृतिक घनत्व]] प्रदान करना <math>A \subseteq \{1, 2, 3, \ldots\},</math> एक निर्धारित कार्य है।
 * एक संभाव्यता मान सिग्मा-बीजगणित | σ-बीजगणित में प्रत्येक सेट के लिए एक संभावना प्रदान करता है। विशेष रूप से, [[खाली सेट|रिक्त सेट]] की संभावना शून्य है और नमूना समष्टि की संभावना है <math>1,</math> के बीच दी गई संभावनाओं के साथ अन्य सेटों के साथ <math>0</math> और <math>1.</math> है।
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 === [[लेबेस्ग उपाय|लेबेस्ग मान]] ===
-लेबेस्ग मान पर <math>\Reals</math> एक सेट फलन है जो लेबेसेग से संबंधित वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक सेट के लिए एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या प्रदान करता है <math>\sigma</math>-बीजगणित।<ref>Kolmogorov and Fomin 1975</ref> इसकी परिभाषा समुच्चय से शुरू होती है <math>\operatorname{Intervals}(\Reals)</math> वास्तविक संख्याओं के सभी अंतरालों का, जो एक [[अर्धबीजगणित]] है <math>\Reals.</math> वह फलन जो हर अंतराल को असाइन करता है <math>I</math> इसका <math>\operatorname{length}(I)</math> एक सूक्ष्म योगात्मक सेट फलन है (स्पष्ट रूप से, if <math>I</math> समानन बिंदु हैं <math>a \leq b</math> तब <math>\operatorname{length}(I) = b - a</math>).
+लेबेस्ग मान पर <math>\Reals</math> एक सेट फलन है जो लेबेसेग से संबंधित वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक सेट के लिए एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या प्रदान करता है <math>\sigma</math>-बीजगणित।<ref>Kolmogorov and Fomin 1975</ref> इसकी परिभाषा समुच्चय से प्रारंभ होती है <math>\operatorname{Intervals}(\Reals)</math> वास्तविक संख्याओं के सभी अंतरालों का, जो एक [[अर्धबीजगणित]] है <math>\Reals.</math> वह फलन जो हर अंतराल को असाइन करता है <math>I</math> इसका <math>\operatorname{length}(I)</math> एक सूक्ष्म योगात्मक सेट फलन है (स्पष्ट रूप से, if <math>I</math> समानन बिंदु हैं <math>a \leq b</math> तब <math>\operatorname{length}(I) = b - a</math>).
 इस सेट फलन को लेबेस्ग बाहरी मान पर बढ़ाया जा सकता है <math>\Reals,</math> जो अनुवाद-अपरिवर्तनीय सेट फलन है <math>\lambda^{\!*\!} : \wp(\Reals) \to [0, \infty]</math> जो एक उपसमुच्चय  भेजता है <math>E \subseteq \Reals</math> नीचे
-<math display=block>\lambda^{\!*\!}(E) = \inf \left\{\sum_{k=1}^\infty \operatorname{length}(I_k) : {(I_k)_{k \in \N}} \text{ is a sequence of open intervals with } E \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty I_k\right\}.</math> लेबेस्ग बाहरी मान गिनती योग्य नहीं है (और इसलिए एक मान नहीं है) हालांकि सिग्मा-बीजगणित के लिए इसका प्रतिबंध है।  {{sigma}}-सभी उपसमुच्चयों का बीजगणित <math>M \subseteq \Reals</math> जो कैराथियोडोरी की कसौटी पर खरे उतरते हैं | कैराथियोडोरी की कसौटी:
+<math display=block>\lambda^{\!*\!}(E) = \inf \left\{\sum_{k=1}^\infty \operatorname{length}(I_k) : {(I_k)_{k \in \N}} \text{ is a sequence of open intervals with } E \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty I_k\right\}.</math> लेबेस्ग बाहरी मान गिनती योग्य नहीं है (और इसलिए एक मान नहीं है) चूंकि सिग्मा-बीजगणित के लिए इसका प्रतिबंध है।  {{sigma}}-सभी उपसमुच्चयों का बीजगणित <math>M \subseteq \Reals</math> जो कैराथियोडोरी की कसौटी पर खरे उतरते हैं | कैराथियोडोरी की कसौटी:
 <math display=block>\lambda^{\!*\!}(M) = \lambda^{\!*\!}(M \cap E) + \lambda^{\!*\!}(M \cap E^c) \quad \text{ for every } S \subseteq \Reals</math>
 एक मान है जिसे लेबेस्गु मान कहा जाता है।
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 {{See also|गाऊसी मान # अनंत-आयामी स्थान|अमूर्त वीनर समष्टि|फेल्डमैन-हाजेक प्रमेय|रैडोनिफाइंग फलन}}
-जैसा कि अनंत-आयामी लेबेस्गु मान पर लेख में विस्तृत है, केवल समष्टिीय रूप से परिमित और अनुवाद-अपरिवर्तनीय बोरेल मान एक अनंत-आयामी वियोज्य समष्टि मानक समष्टि पर मामूली मान है। हालांकि, गॉसियन मानों को अनंत-आयामी सांस्थिति सदिश रिक्त समष्टि पर परिभाषित करना संभव है। गॉसियन मानों के लिए संरचना प्रमेय से पता चलता है कि अमूर्त वीनर समष्टि निर्माण अनिवार्य रूप से एक पृथक समष्टि बनच समष्टि पर एक सख्त सकारात्मक गॉसियन मान प्राप्त करने का एकमात्र तरीका है।
+जैसा कि अनंत-आयामी लेबेस्गु मान पर लेख में विस्तृत है, केवल समष्टिीय रूप से परिमित और अनुवाद-अपरिवर्तनीय बोरेल मान एक अनंत-आयामी वियोज्य समष्टि मानक समष्टि पर मामूली मान है। चूंकि, गॉसियन मानों को अनंत-आयामी सांस्थिति सदिश रिक्त समष्टि पर परिभाषित करना संभव है। गॉसियन मानों के लिए संरचना प्रमेय से पता चलता है कि अमूर्त वीनर समष्टि निर्माण अनिवार्य रूप से एक पृथक समष्टि बनच समष्टि पर एक सख्त सकारात्मक गॉसियन मान प्राप्त करने का एकमात्र तरीका है।
 === परिमित योगात्मक अंतरण-निश्चर सेट फलन ===
-केवल अनुवाद-अपरिवर्तनीय मान पर <math>\Omega = \Reals</math> डोमेन के साथ <math>\wp(\Reals)</math> के प्रत्येक सघन उपसमुच्चय पर परिमित है <math>\Reals</math> तुच्छ सेट फलन है <math>\wp(\Reals) \to [0, \infty]</math> जो समान रूप से बराबर है <math>0</math> (यानी, यह हर भेजता है <math>S \subseteq \Reals</math> को <math>0</math>){{sfn|Rudin|1991|p=139}}
+केवल अनुवाद-अपरिवर्तनीय मान पर <math>\Omega = \Reals</math> डोमेन के साथ <math>\wp(\Reals)</math> के प्रत्येक सघन उपसमुच्चय पर परिमित है <math>\Reals</math> तुच्छ सेट फलन है <math>\wp(\Reals) \to [0, \infty]</math> जो समान रूप से बराबर है <math>0</math> (अर्थात, यह हर भेजता है <math>S \subseteq \Reals</math> को <math>0</math>){{sfn|Rudin|1991|p=139}}
-हालाँकि, यदि गणनीय संकलनीयता को परिमित संकलनीयता के लिए कमजोर किया जाता है, तो इन गुणों के साथ एक गैर-तुच्छ सेट फलन मौजूद होता है और इसके अलावा, कुछ का मान भी होता है <math>[0, 1].</math> वास्तव में, इस तरह के गैर-तुच्छ सेट फलन तब भी मौजूद रहेंगे <math>\Reals</math> किसी अन्य [[एबेलियन समूह]] [[समूह (गणित)]] द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है <math>G.</math>{{sfn|Rudin|1991|pp=139-140}}
+चूंकि, यदि गणनीय संकलनीयता को परिमित संकलनीयता के लिए कमजोर किया जाता है, तो इन गुणों के साथ एक गैर-तुच्छ सेट फलन सम्मलित होता है और इसके अतिरिक्त, कुछ का मान भी होता है <math>[0, 1].</math> वास्तव में, इस तरह के गैर-तुच्छ सेट फलन तब भी सम्मलित रहेंगे <math>\Reals</math> किसी अन्य [[एबेलियन समूह]] [[समूह (गणित)]] द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है <math>G.</math>{{sfn|Rudin|1991|pp=139-140}}
 {{Math theorem
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 पर <math>\Omega := \R^d</math> जहाँ <math>(a, b] := \{ x \in \R : a < x \leq b \}</math> सभी के लिए <math>-\infty \leq a < b \leq \infty.</math>{{sfn|Durrett|2019|pp=1-9}} महत्वपूर्ण रूप से, दो गैर-सख्त असमानताएँ <math>\,\leq\,</math> में <math>-\infty \leq a_i < b_i \leq \infty</math> सख्त असमानताओं के साथ प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता है <math>\,<\,</math> चूंकि अर्ध-अल्जेब्रस में संपूर्ण अंतर्निहित सेट होना चाहिए <math>\R^d;</math> वह है, <math>\R^d \in \mathcal{S}_d</math> अर्ध-अल्जेब्रस की आवश्यकता है (जैसा है <math>\varnothing \in \mathcal{S}_d</math>).।
-अगर <math>\mu</math> # निश्चित रूप से योज्य है तो इसमें एक सेट फलन का एक अनूठा विस्तार है <math>\overline{\mu}</math> पर <math>\operatorname{algebra}(\mathcal{F})</math> भेजकर परिभाषित किया गया है <math>F_1 \sqcup \cdots \sqcup F_n \in \operatorname{algebra}(\mathcal{F})</math> (जहाँ <math>\,\sqcup\,</math> इंगित करता है कि ये <math>F_i \in \mathcal{F}</math> जोड़ो में असंयुक्त हैं) से:{{sfn|Durrett|2019|pp=1-9}}
+यदि <math>\mu</math> # निश्चित रूप से योज्य है तो इसमें एक सेट फलन का एक अनूठा विस्तार है <math>\overline{\mu}</math> पर <math>\operatorname{algebra}(\mathcal{F})</math> भेजकर परिभाषित किया गया है <math>F_1 \sqcup \cdots \sqcup F_n \in \operatorname{algebra}(\mathcal{F})</math> (जहाँ <math>\,\sqcup\,</math> इंगित करता है कि ये <math>F_i \in \mathcal{F}</math> जोड़ो में असंयुक्त हैं) से:{{sfn|Durrett|2019|pp=1-9}}
 <math display=block>\overline{\mu}\left(F_1 \sqcup \cdots \sqcup F_n\right) := \mu\left(F_1\right) + \cdots + \mu\left(F_n\right).</math> यह विस्तार <math>\overline{\mu}</math> भी सूक्ष्म रूप से योगात्मक होगा: किसी भी युग्‍मानूसार असंयुक्त के लिए <math>A_1, \ldots, A_n \in \operatorname{algebra}(\mathcal{F}),</math> {{sfn|Durrett|2019|pp=1-9}}
-<math display=block>\overline{\mu}\left(A_1 \cup \cdots \cup A_n\right) = \overline{\mu}\left(A_1\right) + \cdots + \overline{\mu}\left(A_n\right).</math> अगर इसके अलावा <math>\mu</math> विस्तारित वास्तविक-मान और #एकदिष्ट है (जो, विशेष रूप से, यदि मामला होगा <math>\mu</math> #ऋणेतर संख्या) है तो <math>\overline{\mu}</math> मोनोटोन और #अंतिम रूप से उप-योगात्मक होगा: किसी के लिए भी <math>A, A_1, \ldots, A_n \in \operatorname{algebra}(\mathcal{F})</math> ऐसा है कि <math>A \subseteq A_1 \cup \cdots \cup A_n,</math>{{sfn|Durrett|2019|pp=1-9}}
+<math display=block>\overline{\mu}\left(A_1 \cup \cdots \cup A_n\right) = \overline{\mu}\left(A_1\right) + \cdots + \overline{\mu}\left(A_n\right).</math> यदि इसके अतिरिक्त <math>\mu</math> विस्तारित वास्तविक-मान और #एकदिष्ट है (जो, विशेष रूप से, यदि स्थिति होगा <math>\mu</math> #ऋणेतर संख्या) है तो <math>\overline{\mu}</math> मोनोटोन और #अंतिम रूप से उप-योगात्मक होगा: किसी के लिए भी <math>A, A_1, \ldots, A_n \in \operatorname{algebra}(\mathcal{F})</math> ऐसा है कि <math>A \subseteq A_1 \cup \cdots \cup A_n,</math>{{sfn|Durrett|2019|pp=1-9}}
 <math display=block>\overline{\mu}\left(A\right) \leq \overline{\mu}\left(A_1\right) + \cdots + \overline{\mu}\left(A_n\right).</math>
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 {{See also|पूर्व मान|हैन-कोल्मोगोरोव प्रमेय}}
-अगर <math>\mu : \mathcal{F} \to [0, \infty]</math> एक # पूर्व मान सेट के रिंग पर पूर्व-मान है (जैसे [[सेट का बीजगणित]]) <math>\mathcal{F}</math> ऊपर <math>\Omega</math> तब <math>\mu</math> एक मान का विस्तार है <math>\overline{\mu} : \sigma(\mathcal{F}) \to [0, \infty]</math> σ-बीजगणित पर <math>\sigma(\mathcal{F})</math> द्वारा उत्पन्न <math>\mathcal{F}.</math> अगर <math>\mu</math> is #σ-परिमित मान|σ-परिमित तो यह विस्तार अद्वितीय है।
+यदि <math>\mu : \mathcal{F} \to [0, \infty]</math> एक # पूर्व मान सेट के रिंग पर पूर्व-मान है (जैसे [[सेट का बीजगणित]]) <math>\mathcal{F}</math> ऊपर <math>\Omega</math> तब <math>\mu</math> एक मान का विस्तार है <math>\overline{\mu} : \sigma(\mathcal{F}) \to [0, \infty]</math> σ-बीजगणित पर <math>\sigma(\mathcal{F})</math> द्वारा उत्पन्न <math>\mathcal{F}.</math> यदि <math>\mu</math> is #σ-परिमित मान|σ-परिमित तो यह विस्तार अद्वितीय है।
 इस विस्तार को परिभाषित करने के लिए, पहले विस्तार करें <math>\mu</math> एक [[बाहरी माप|बाहरी मान]] के लिए <math>\mu^*</math> पर <math>2^\Omega = \wp(\Omega)</math> द्वारा
@@ Line 176: / Line 177: @@
 {{See also|बाहरी माप बाहरी माप के सापेक्ष सेट की मापनीयता}}
-अगर <math>\mu^* : \wp(\Omega) \to [0, \infty]</math> एक सेट पर एक #बाहरी मान है <math>\Omega,</math> जहां (परिभाषा के अनुसार) डोमेन आवश्यक रूप से पावर सेट है  <math>\wp(\Omega)</math> का <math>\Omega,</math> फिर एक उपसमुच्चय <math>M \subseteq \Omega</math> कहा जाता है{{em|<math>\mu^*</math>–परिमेय}} या{{em|[[Carathéodory-measurable set|कैरथियोडोरी परिमेय]]}} यदि यह निम्नलिखित को संतुष्ट करता है {{em|[[कैरथियोडोरी मापदंड]]}}:
+यदि <math>\mu^* : \wp(\Omega) \to [0, \infty]</math> एक सेट पर एक #बाहरी मान है <math>\Omega,</math> जहां (परिभाषा के अनुसार) डोमेन आवश्यक रूप से पावर सेट है  <math>\wp(\Omega)</math> का <math>\Omega,</math> फिर एक उपसमुच्चय <math>M \subseteq \Omega</math> कहा जाता है{{em|<math>\mu^*</math>–परिमेय}} या{{em|[[Carathéodory-measurable set|कैरथियोडोरी परिमेय]]}} यदि यह निम्नलिखित को संतुष्ट करता है {{em|[[कैरथियोडोरी मापदंड]]}}:
   <math display=block>\mu^*(S) = \mu^*(S \cap M) + \mu^*(S \cap M^\mathrm{c}) \quad \text{ for every subset } S \subseteq \Omega,</math>
 जहाँ <math>M^\mathrm{c} := \Omega \setminus M</math> का [[पूरक (सेट सिद्धांत)]] है <math>M.</math> सबका वर्ग <math>\mu^*</math>-मानने योग्य उपसमुच्चय एक σ-बीजगणित और बाहरी मान का प्रतिबंध (गणित) है <math>\mu^*</math> इस वर्ग के लिए एक मान (गणित) है।

v t e Measure theory
Basic concepts	Absolute continuity Lebesgue integration L^p spaces Measure Measure space Probability space Measurable space/function
Sets	Almost everywhere Baire set Borel set Carathéodory's criterion Convergence in measure 𝜆-system Essential range infimum/supremum Locally measurable [[Pi-system\| $π$ -system]] σ-algebra Non-measurable set Vitali set Null set Support Transverse measure
Types of Measures	Baire Banach Besov Borel Complex Complete Content (Logarithmically) Convex Discrete Finite Inner (Quasi-) Invariant Locally finite Maximising Metric outer Outer Perfect Pre-measure (Sub-) Probability Projection-valued Radon Random Regular Borel regular Inner regular Outer regular Saturated Set function σ-finite s-finite Signed Singular Spectral Strictly positive Tight Vector
Particular measures	Counting Dirac Euler Gaussian Haar Harmonic Hausdorff Intensity Lebesgue Logarithmic Product Pushforward Spherical measure Tangent Trivial Young
Main results	Carathéodory's extension theorem Convergence theorems Dominated Monotone Vitali Decomposition theorems Hahn Jordan Maharam's Egorov's Fatou's lemma Fubini's Fubini–Tonelli Hölder's inequality Minkowski inequality Radon–Nikodym Riesz–Markov–Kakutani representation theorem
Other results	Disintegration theorem Lifting theory Lebesgue's density theorem Lebesgue differentiation theorem Sard's theorem
Applications & related	Probability theory Real analysis Spectral theory

v t e Analysis in topological vector spaces
Basic concepts	Abstract Wiener space Classical Wiener space Bochner space Convex series Cylinder set measure Infinite-dimensional vector function Matrix calculus Vector calculus
Derivatives	Differentiable vector–valued functions from Euclidean space Differentiation in Fréchet spaces Fréchet derivative Total Functional derivative Gateaux derivative Directional Generalizations of the derivative Hadamard derivative Holomorphic Quasi-derivative
Measurability	Besov measure Cylinder set measure Canonical Gaussian Classical Wiener measure Measure like set functions infinite-dimensional Gaussian measure Projection-valued Vector Bochner / Weakly / Strongly measurable function Radonifying function
Integrals	Bochner Direct integral Dunford Gelfand–Pettis/Weak Regulated Paley–Wiener
Results	Cameron–Martin theorem Inverse function theorem Nash–Moser theorem Feldman–Hájek theorem No infinite-dimensional Lebesgue measure Sazonov's theorem Structure theorem for Gaussian measures
Related	Covariance operator
Functional calculus	Borel functional calculus Continuous functional calculus Holomorphic functional calculus
Applications	Banach manifold (bundle) Convenient vector space Choquet theory Fréchet manifold Hilbert manifold

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Revision as of 12:43, 31 May 2023

Contents

परिभाषाएँ

सेट कार्यों के सामान्य गुण

यादृच्छिक योग

आंतरिक मान, बाहरी मान और अन्य गुण

टोपोलॉजी संबंधित परिभाषाएँ

सेट कार्यों के बीच संबंध

उदाहरण

लेबेस्ग मान

अनंत-आयामी समष्टि

परिमित योगात्मक अंतरण-निश्चर सेट फलन

सेट कार्यों का विस्तार

अर्द्ध बीजगणित से बीजगणित तक विस्तार

रिंग्स से σ-अलजेब्रा तक विस्तार

बाहरी मानों को प्रतिबंधित करना

यह भी देखें

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परिभाषाएँ

सेट कार्यों के सामान्य गुण

यादृच्छिक योग

आंतरिक मान, बाहरी मान और अन्य गुण

टोपोलॉजी संबंधित परिभाषाएँ

सेट कार्यों के बीच संबंध

उदाहरण

लेबेस्ग मान

अनंत-आयामी समष्टि

परिमित योगात्मक अंतरण-निश्चर सेट फलन

सेट कार्यों का विस्तार

अर्द्ध बीजगणित से बीजगणित तक विस्तार

रिंग्स से σ-अलजेब्रा तक विस्तार

बाहरी मानों को प्रतिबंधित करना

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