वर्ण सिद्धांत: Difference between revisions

Revision as of 14:05, 1 May 2023

गणित में, विशेष रूप से समूह सिद्धांत में, समूह प्रतिनिधित्व का वर्ण समूह पर फलन है, जो प्रत्येक समूह तत्व को संबंधित आव्यूह के चिह्न से युग्मित करता है। वर्ण अधिक संक्षिप्त रूप में प्रतिनिधित्व के सम्बन्ध में आवश्यक सूचना रखता है। जॉर्ज फ्रोबेनियस ने प्रारंभ में परिमित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत को विकसित किया, जो प्रत्येक प्रकार से पात्रों पर आधारित था, और स्वयं प्रतिनिधित्व के किसी भी स्पष्ट आव्यूह प्राप्ति के बिना होता है। यह संभव है क्योंकि परिमित समूह का सम्मिश्र संख्या निरूपण उसके वर्ण द्वारा निर्धारित (समरूपता तक) होता है। तथाकथित मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सकारात्मक विशेषता के क्षेत्र पर प्रतिनिधित्व के साथ स्थिति अधिक कोमल है, किन्तु रिचर्ड ब्राउर ने इस स्थिति में भी वर्णों का शक्तिशाली सिद्धांत विकसित किया है। परिमित समूहों की संरचना पर विभिन्न गंभीर प्रमेय मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत के पात्रों का उपयोग करते हैं।

अनुप्रयोग

अलघुकरणीय अभ्यावेदन के वर्ण समूह के अनेक महत्वपूर्ण गुणों को कूटबद्ध करते हैं और इस प्रकार इसका उपयोग इसकी संरचना का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है। परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में वर्ण सिद्धांत आवश्यक उपकरण है। फ़ीट-थॉम्पसन प्रमेय के प्रमाण के अर्ध के निकट वर्ण मानों के साथ जटिल गणना सम्मिलित है। सरल, किन्तु फिर भी आवश्यक, परिणाम जो वर्ण सिद्धांत का उपयोग करते हैं उनमें बर्नसाइड के प्रमेय सम्मिलित हैं (बर्नसाइड के प्रमेय का विशुद्ध रूप से समूह-सैद्धांतिक प्रमाण तब से पाया गया है, किन्तु वह प्रमाण बर्नसाइड के मूल प्रमाण के अर्ध दशक पश्चात आया), और रिचर्ड ब्राउर का प्रमेय और मिचियो सुज़ुकी ने कहा कि परिमित सरल समूह में अपने साइलो $2$ -उपसमूह प्रमेय के रूप में सामान्यीकृत चतुष्कोणीय समूह नहीं हो सकता है।

परिभाषाएँ

मान लीजिये कि $V$ क्षेत्र $F$ पर परिमित-आयामी सदिश समष्टि है और $ρ : G \to GL(V)$ $V$ पर समूह $G$ का प्रतिनिधित्व करते हैं। $ρ$ का वर्ण फलन $χ ρ : G \to F$ द्वारा दिया गया है:

\chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))

जहां $Tr$ ट्रेस है।

वर्ण $χ ρ$ को अलघुकरणीय या सरल कहा जाता है यदि $ρ$ अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व है। वर्ण $χ$ की डिग्री $ρ$ का आयाम है; विशेषता शून्य में यह मान $χ (1)$ के समान है। डिग्री 1 के वर्ण को रैखिक कहा जाता है। जब $G$ परिमित है और $F$ में विशेषता शून्य है, तो वर्ण $χ ρ$ का कर्नेल सामान्य उपसमूह है:

\ker \chi _{\rho }:=\left\lbrace g\in G\mid \chi _{\rho }(g)=\chi _{\rho }(1)\right\rbrace ,

जो वास्तव में प्रतिनिधित्व $ρ$ का कर्नेल है। चूँकि, वर्ण सामान्य रूप से समूह समरूपता नहीं है।

गुण

वर्ण वर्ग कार्य हैं, अर्थात, वे प्रत्येक दिए गए संयुग्मन वर्ग पर स्थिर मान लेते हैं। अधिक त्रुटिहीन रूप से, किसी दिए गए समूह $G$ के क्षेत्र $K$ में अलघुकरणीय वर्णों का समुच्चय सभी वर्ग फलनों $G \to K$ के $K$ -सदिश स्थान का आधार बनाते हैं।
आइसोमॉर्फिक प्रतिनिधित्व में समान वर्ण होते हैं। विशेषता $0$ के क्षेत्र में, दो अभ्यावेदन आइसोमॉर्फिक हैं यदि केवल उनके समान वर्ण हैं।^[1]
यदि निरूपण उप-निरूपणों का प्रत्यक्ष योग है, तो संबंधित वर्ण उन उप-प्रतिनिधियों के वर्णों का योग है।
यदि परिमित समूह $G$ का लक्षण उपसमूह $H$ तक सीमित है, तो परिणाम भी $H$ का वर्ण है।
प्रत्येक वर्ण मान $χ (g)$ एकता के $n$ - $m$ वें मूल का योग है, जहाँ $n$ वर्ण $χ$ के साथ निरूपण की डिग्री (अर्थात संबंधित सदिश स्थान का आयाम) है और $m$ , $g$ की कोटि है। विशेष रूप से, जब $F = C$ , ऐसा प्रत्येक वर्ण मान बीजगणितीय पूर्णांक होता है।
यदि $F = C$ और $χ$ तब अलघुकरणीय है: $[G:C_{G}(x)]{\frac {\chi (x)}{\chi (1)}}$ $G$ में सभी $x$ के लिए बीजगणितीय पूर्णांक है।
यदि $F$ बीजगणितीय रूप से बंद है और $चार (F)$ $G$ के क्रम को विभाजित नहीं करता है, तो $G$ के अलघुकरणीय वर्णों की संख्या $G$ के संयुग्मन वर्गों की संख्या के समान है। इसके अतिरिक्त, इस स्थिति में, अलघुकरणीय वर्णों की डिग्री $G$ के क्रम के विभाजक हैं (और वे $[G : Z (G)]$ को भी विभाजित करते हैं यदि $F = C$ हैं)।

अंकगणितीय गुण

मान लीजिए ρ और σ, $G$ का प्रतिनिधित्व करते हैं। तब निम्नलिखित पहचान धारण करते हैं:

$\chi _{\rho \oplus \sigma }=\chi _{\rho }+\chi _{\sigma }$
$\chi _{\rho \otimes \sigma }=\chi _{\rho }\cdot \chi _{\sigma }$
$\chi _{\rho ^{*}}={\overline {\chi _{\rho }}}$
$\chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Alt}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})\right]$
$χ_{{S y m}^{2} ρ} (g) = \frac{1}{2} [{(χ_{ρ} (g))}^{2} + χ_{}$

[1]

@@ Line 72: / Line 72: @@
 ===ऑर्थोगोनैलिटी संबंध===
 {{main|शूर ऑर्थोगोनलिटी संबंध}}
-परिमित समूह के जटिल-मूल्यवान वर्ग कार्यों का स्थान {{mvar|G}} का प्राकृतिक आंतरिक उत्पाद है:
+परिमित समूह {{mvar|G}} के जटिल-मूल्यवान वर्ग फलनों के स्थान में प्राकृतिक आंतरिक उत्पाद है:
 :<math>\left \langle \alpha, \beta\right \rangle := \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} \alpha(g) \overline{\beta(g)}</math>
-कहाँ {{math|{{overline|''β''(''g'')}}}} का जटिल संयुग्म है {{math|''β''(''g'')}}. इस आंतरिक उत्पाद के संबंध में, अप्रासंगिक वर्ण वर्ग-कार्यों के स्थान के लिए अलौकिक आधार बनाते हैं, और यह वर्ण तालिका की पंक्तियों के लिए ऑर्थोगोनलिटी संबंध उत्पन्न करता है:
+जहां {{math|{{overline|''β''(''g'')}}}}  {{math|''β''(''g'')}} का जटिल संयुग्म है। इस आंतरिक उत्पाद के संबंध में, अप्रासंगिक वर्ण वर्ग-फलनों के स्थान के लिए अलौकिक आधार बनाते हैं, और यह वर्ण तालिका की पंक्तियों के लिए ऑर्थोगोनलिटी संबंध उत्पन्न करता है:
 :<math>\left \langle \chi_i, \chi_j \right \rangle  = \begin{cases} 0 & \mbox{ if } i \ne j, \\ 1 & \mbox{ if } i = j. \end{cases}</math>
-के लिए {{math|''g'', ''h''}} में {{mvar|G}}, उसी आंतरिक उत्पाद को वर्ण तालिका के स्तंभों पर लागू करने से प्राप्त होता है:
+{{math|''g'', के लिए ''h''}} में {{mvar|G}}, उसी आंतरिक उत्पाद को वर्ण तालिका के स्तंभों पर प्रारंभ करने से प्राप्त होता है:
 :<math>\sum_{\chi_i} \chi_i(g) \overline{\chi_i(h)} = \begin{cases} \left | C_G(g) \right |, & \mbox{ if } g, h \mbox{ are conjugate } \\ 0 & \mbox{ otherwise.}\end{cases}</math>
@@ Line 104: / Line 104: @@
 == प्रेरित पात्र और फ्रोबेनियस पारस्परिकता ==
 {{main|प्रेरित वर्ण|फ्रोबेनियस पारस्परिकता}}
-इस खंड में चर्चा किए गए पात्रों को जटिल-मूल्यवान माना जाता है। होने देना {{mvar|H}} परिमित समूह का उपसमूह हो {{mvar|G}}. पात्र दिया {{mvar|χ}} का {{mvar|G}}, होने देना {{math|''χ<sub>H</sub>''}} इसके प्रतिबंध को निरूपित करें {{mvar|H}}. होने देना {{mvar|θ}} का पात्र हो {{mvar|H}}. [[फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस]] ने दिखाया कि वर्ण का निर्माण कैसे किया जाता है {{mvar|G}} से {{mvar|θ}}, जिसे अब [[फ्रोबेनियस पारस्परिकता]] के रूप में जाना जाता है। के अलघुकरणीय पात्रों के बाद से {{mvar|G}} के जटिल-मूल्यवान वर्ग कार्यों के स्थान के लिए अलौकिक आधार बनाते हैं {{mvar|G}}, अद्वितीय वर्ग कार्य है {{math|''θ<sup>G</sup>''}} का {{mvar|G}} उस संपत्ति के साथ
+इस खंड में चर्चा किए गए पात्रों को जटिल-मूल्यवान माना जाता है। होने देना {{mvar|H}} परिमित समूह का उपसमूह हो {{mvar|G}}. पात्र दिया {{mvar|χ}} का {{mvar|G}}, होने देना {{math|''χ<sub>H</sub>''}} इसके प्रतिबंध को निरूपित करें {{mvar|H}}. होने देना {{mvar|θ}} का पात्र हो {{mvar|H}}. [[फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस]] ने दिखाया कि वर्ण का निर्माण कैसे किया जाता है {{mvar|G}} से {{mvar|θ}}, जिसे अब [[फ्रोबेनियस पारस्परिकता]] के रूप में जाना जाता है। के अलघुकरणीय पात्रों के बाद से {{mvar|G}} के जटिल-मूल्यवान वर्ग फलनों के स्थान के लिए अलौकिक आधार बनाते हैं {{mvar|G}}, अद्वितीय वर्ग कार्य है {{math|''θ<sup>G</sup>''}} का {{mvar|G}} उस संपत्ति के साथ
 :<math> \langle \theta^{G}, \chi \rangle_G = \langle \theta,\chi_H \rangle_H </math>
-प्रत्येक अपूरणीय वर्ण के लिए {{mvar|χ}} का {{mvar|G}} (बाएं सबसे आंतरिक उत्पाद के वर्ग कार्यों के लिए है {{mvar|G}} और सबसे दाहिने आंतरिक उत्पाद के वर्ग कार्यों के लिए है {{mvar|H}}). के वर्ण के प्रतिबंध के बाद से {{mvar|G}} उपसमूह के लिए {{mvar|H}} फिर से वर्ण है {{mvar|H}}, यह परिभाषा यह स्पष्ट करती है कि {{math|''θ<sup>G</sup>''}} के अलघुकरणीय वर्णों का गैर-ऋणात्मक [[पूर्णांक]] संयोजन है {{mvar|G}}, तो वास्तव में का वर्ण है {{mvar|G}}. के वर्ण के रूप में जाना जाता है {{mvar|G}} से प्रेरित {{mvar|θ}}. फ्रोबेनियस पारस्परिकता के परिभाषित सूत्र को सामान्य जटिल-मूल्यवान वर्ग कार्यों तक बढ़ाया जा सकता है।
+प्रत्येक अपूरणीय वर्ण के लिए {{mvar|χ}} का {{mvar|G}} (बाएं सबसे आंतरिक उत्पाद के वर्ग फलनों के लिए है {{mvar|G}} और सबसे दाहिने आंतरिक उत्पाद के वर्ग फलनों के लिए है {{mvar|H}}). के वर्ण के प्रतिबंध के बाद से {{mvar|G}} उपसमूह के लिए {{mvar|H}} फिर से वर्ण है {{mvar|H}}, यह परिभाषा यह स्पष्ट करती है कि {{math|''θ<sup>G</sup>''}} के अलघुकरणीय वर्णों का गैर-ऋणात्मक [[पूर्णांक]] संयोजन है {{mvar|G}}, तो वास्तव में का वर्ण है {{mvar|G}}. के वर्ण के रूप में जाना जाता है {{mvar|G}} से प्रेरित {{mvar|θ}}. फ्रोबेनियस पारस्परिकता के परिभाषित सूत्र को सामान्य जटिल-मूल्यवान वर्ग फलनों तक बढ़ाया जा सकता है।
 आव्यूह  प्रतिनिधित्व दिया {{mvar|ρ}} का {{mvar|H}}, फ्रोबेनियस ने बाद में आव्यूह  प्रतिनिधित्व के निर्माण के लिए स्पष्ट तरीका दिया {{mvar|G}}, प्रतिनिधित्व [[प्रेरित प्रतिनिधित्व]] के रूप में जाना जाता है {{mvar|ρ}}, और समान रूप से लिखा गया है {{math|''ρ<sup>G</sup>''}}. इससे प्रेरित वर्ण का वैकल्पिक वर्णन हुआ {{math|''θ<sup>G</sup>''}}. यह प्रेरित वर्ण के सभी तत्वों पर गायब हो जाता है {{mvar|G}} जो किसी भी तत्व के संयुग्मी नहीं हैं {{mvar|H}}. चूंकि प्रेरित वर्ण का वर्ग कार्य है {{mvar|G}}, के तत्वों पर इसके मूल्यों का वर्णन करना अब केवल आवश्यक है {{mvar|H}}. अगर कोई लिखता है {{mvar|G}} के सही सहसमूहों के असंयुक्त संघ के रूप में {{mvar|H}}, कहना
@@ Line 129: / Line 129: @@
 कहाँ {{math|''θ<sup>t</sup>''}} का वर्ग कार्य है {{math|''t''<sup>−1</sup>''Ht''}} द्वारा परिभाषित {{math|''θ<sup>t</sup>''(''t''<sup>−1</sup>''ht'') {{=}} ''θ''(''h'')}} सभी के लिए {{mvar|h}} में {{mvar|H}}. उपसमूह के लिए प्रेरित मॉड्यूल के प्रतिबंध के लिए समान सूत्र है, जो किसी भी रिंग (गणित) पर प्रतिनिधित्व के लिए है, और बीजगणितीय और [[टोपोलॉजी]] संदर्भों की विस्तृत विविधता में अनुप्रयोग हैं।
-मैके अपघटन, फ्रोबेनियस पारस्परिकता के संयोजन के साथ, दो वर्ग कार्यों के आंतरिक उत्पाद के लिए प्रसिद्ध और उपयोगी सूत्र उत्पन्न करता है {{mvar|θ}} और {{mvar|ψ}} संबंधित उपसमूहों से प्रेरित {{mvar|H}} और {{mvar|K}}, जिसकी उपयोगिता इस तथ्य में निहित है कि यह केवल इस बात पर निर्भर करता है कि यह किस प्रकार संयुग्मित होता है {{mvar|H}} और {{mvar|K}} दूसरे को काटते हैं। सूत्र (इसकी व्युत्पत्ति के साथ) है:
+मैके अपघटन, फ्रोबेनियस पारस्परिकता के संयोजन के साथ, दो वर्ग फलनों के आंतरिक उत्पाद के लिए प्रसिद्ध और उपयोगी सूत्र उत्पन्न करता है {{mvar|θ}} और {{mvar|ψ}} संबंधित उपसमूहों से प्रेरित {{mvar|H}} और {{mvar|K}}, जिसकी उपयोगिता इस तथ्य में निहित है कि यह केवल इस बात पर निर्भर करता है कि यह किस प्रकार संयुग्मित होता है {{mvar|H}} और {{mvar|K}} दूसरे को काटते हैं। सूत्र (इसकी व्युत्पत्ति के साथ) है:
 :<math>\begin{align}

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