वर्ण सिद्धांत

This article is about the use of the term character theory in mathematics. For related senses of the word character, see Character (mathematics).

गणित में, अधिक विशेष रूप से समूह सिद्धांत में, समूह प्रतिनिधित्व का चरित्र समूह (गणित) पर एक फ़ंक्शन (गणित) है जो प्रत्येक समूह तत्व को संबंधित मैट्रिक्स (गणित) के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) से जोड़ता है। चरित्र अधिक संक्षिप्त रूप में प्रतिनिधित्व के बारे में आवश्यक जानकारी रखता है। जॉर्ज फ्रोबेनियस ने शुरू में परिमित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत को विकसित किया, जो पूरी तरह से पात्रों पर आधारित था, और स्वयं प्रतिनिधित्व के किसी भी स्पष्ट मैट्रिक्स अहसास के बिना। यह संभव है क्योंकि एक परिमित समूह का एक सम्मिश्र संख्या निरूपण उसके चरित्र द्वारा निर्धारित (समरूपता तक) होता है। सकारात्मक विशेषता (बीजगणित), तथाकथित मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व के एक क्षेत्र (गणित) पर प्रतिनिधित्व के साथ स्थिति अधिक नाजुक है, लेकिन रिचर्ड ब्राउर ने इस मामले में भी वर्णों का एक शक्तिशाली सिद्धांत विकसित किया है। परिमित समूहों की संरचना पर कई गहरे प्रमेय मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत के पात्रों का उपयोग करते हैं।

अनुप्रयोग

अलघुकरणीय अभ्यावेदन के वर्ण एक समूह के कई महत्वपूर्ण गुणों को कूटबद्ध करते हैं और इस प्रकार इसका उपयोग इसकी संरचना का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है। परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में चरित्र सिद्धांत एक आवश्यक उपकरण है। फ़ीट-थॉम्पसन प्रमेय के गणितीय प्रमाण के आधे के करीब वर्ण मानों के साथ जटिल गणना शामिल है। आसान, लेकिन फिर भी आवश्यक, परिणाम जो चरित्र सिद्धांत का उपयोग करते हैं उनमें बर्नसाइड के प्रमेय शामिल हैं (बर्नसाइड के प्रमेय का एक विशुद्ध रूप से समूह-सैद्धांतिक प्रमाण तब से पाया गया है, लेकिन वह प्रमाण बर्नसाइड के मूल प्रमाण के आधी सदी बाद आया), और रिचर्ड ब्राउर का एक प्रमेय और मिचियो सुज़ुकी (गणितज्ञ) ने कहा कि एक परिमित सरल समूह में अपने सिलो प्रमेय के रूप में एक सामान्यीकृत चतुष्कोणीय समूह नहीं हो सकता है|साइलो 2-उपसमूह।

परिभाषाएँ

होने देना V एक आयाम (सदिश स्थल) हो | एक क्षेत्र पर परिमित-आयामी वेक्टर स्थान (गणित) F और जाने ρ : G → GL(V) किसी समूह का समूह प्रतिनिधित्व हो G पर V. का चरित्र ρ कार्य है χ_ρ : G → F द्वारा दिए गए

$\chi _{\rho }(g)=\operatorname {Tr} (\rho (g))$

कहाँ Tr ट्रेस (रैखिक बीजगणित) है।

एक चरित्र χ_ρ को इर्रिड्यूसिबल या सिंपल अगर कहा जाता है ρ एक अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व है। चरित्र की डिग्री χ के प्रतिनिधित्व का आयाम है ρ; विशेषता शून्य में यह मान के बराबर है χ(1). डिग्री 1 के एक वर्ण को रैखिक कहा जाता है। कब G परिमित है और F में विशेषता शून्य है, चरित्र का कर्नेल χ_ρ सामान्य उपसमूह है:

$\ker \chi _{\rho }:=\left\lbrace g\in G\mid \chi _{\rho }(g)=\chi _{\rho }(1)\right\rbrace ,$

जो वास्तव में प्रतिनिधित्व का मूल है ρ. हालाँकि, चरित्र सामान्य रूप से एक समूह समरूपता नहीं है।

गुण

• वर्ण वर्ग कार्य हैं, अर्थात, वे प्रत्येक दिए गए संयुग्मन वर्ग पर एक स्थिर मान लेते हैं। अधिक सटीक रूप से, किसी दिए गए समूह के अलघुकरणीय वर्णों का समुच्चय G एक क्षेत्र में K का आधार (रैखिक बीजगणित) बनाते हैं K- सभी वर्ग कार्यों का वेक्टर स्थान G → K.
• प्रतिनिधित्व_सिद्धांत#Equivariant_maps_and_isomorphisms निरूपण में समान वर्ण होते हैं। विशेषता के क्षेत्र में (बीजगणित) 0, दो अभ्यावेदन आइसोमॉर्फिक हैं यदि और केवल यदि उनके समान वर्ण हैं।
• यदि कोई निरूपण उप-निरूपणों के निरूपण का प्रत्यक्ष योग है, तो संबंधित वर्ण उन उप-निरूपणों के वर्णों का योग है।
• यदि परिमित समूह का कोई पात्र G एक उपसमूह तक सीमित है H, तो परिणाम भी का एक वर्ण है H.
• प्रत्येक वर्ण मान χ(g) का योग है n m-एकता की जड़, जहाँ n वर्ण के साथ निरूपण की डिग्री (अर्थात संबंधित सदिश स्थान का आयाम) है χ और m का क्रम (समूह सिद्धांत) है g. विशेष रूप से, कब F = C, ऐसा प्रत्येक वर्ण मान एक बीजगणितीय पूर्णांक है।
• अगर F = C और χ तब अलघुकरणीय है
  $$[G:C_{G}(x)]{\frac {\chi (x)}{\chi (1)}}$$
  सभी के लिए एक बीजगणितीय पूर्णांक है x में G.
• अगर F बीजगणितीय रूप से बंद है और char(F) के समूह के क्रम को विभाजित नहीं करता है G, फिर अलघुकरणीय वर्णों की संख्या G की संयुग्मन कक्षाओं की संख्या के बराबर है G. इसके अलावा, इस मामले में, अलघुकरणीय पात्रों की डिग्री क्रम के विभाजक हैं G (और वे विभाजित भी करते हैं [G : Z(G)] अगर F = C).

अंकगणितीय गुण

चलो ρ और σ का प्रतिनिधित्व करते हैं G. फिर निम्नलिखित पहचान धारण करते हैं:

• $\chi _{\rho \oplus \sigma }=\chi _{\rho }+\chi _{\sigma }$
• $\chi _{\rho \otimes \sigma }=\chi _{\rho }\cdot \chi _{\sigma }$
• $\chi _{\rho ^{*}}={\overline {\chi _{\rho }}}$
• $\chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Alt}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})\right]$
• $\chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Sym}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\!\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}+\chi _{\rho }(g^{2})\right]$

कहाँ ρ⊕σ अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग है, ρ⊗σ टेंसर उत्पाद है, ρ^∗ के संयुग्मी स्थानांतरण को दर्शाता है ρ, और Alt² बाहरी बीजगणित है Alt²ρ = ρ ∧ ρ और Sym² सममित वर्ग है, जिसके द्वारा निर्धारित किया जाता है

$$\rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho .$$

कैरेक्टर टेबल्स

Further information: Character table

एक परिमित समूह के अलघुकरणीय जटिल संख्या वर्ण एक वर्ण तालिका बनाते हैं जो समूह के बारे में बहुत उपयोगी जानकारी को कूटबद्ध करता है G एक कॉम्पैक्ट रूप में। प्रत्येक पंक्ति को एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व द्वारा लेबल किया जाता है और पंक्ति में प्रविष्टियाँ संबंधित संयुग्मी वर्ग पर प्रतिनिधित्व के वर्ण हैं G. स्तंभों को (के प्रतिनिधियों) के संयुग्मन वर्गों द्वारा लेबल किया जाता है G. यह पहली पंक्ति को तुच्छ प्रतिनिधित्व के चरित्र द्वारा लेबल करने के लिए प्रथागत है, जो कि तुच्छ क्रिया है G द्वारा 1-आयामी सदिश स्थान पर $\rho (g)=1$ सभी के लिए $g\in G$. पहली पंक्ति में प्रत्येक प्रविष्टि इसलिए 1 है। इसी तरह, पहले कॉलम को पहचान द्वारा लेबल करने की प्रथा है। इसलिए, पहले कॉलम में प्रत्येक अलघुकरणीय चरित्र की डिग्री होती है।

यहाँ की वर्ण तालिका है

$C_{3}=\langle u\mid u^{3}=1\rangle ,$

तीन तत्वों और जनरेटर यू के साथ चक्रीय समूह:

	(1)	(u)	(u2)
1	1	1	1
χ1	1	ω	ω2
χ2	1	ω2	ω

कहाँ ω