विभेदक: Difference between revisions
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विभेदक के लिए यह अभिव्यक्ति प्रायः एक परिभाषा के रूप में ली जाती है। यह स्पष्ट करता है कि यदि बहुपद का एक बहुपद है, तो इसका विभेदक शून्य है, और यह कि, वास्तविक गुणांकों के विषय में, यदि सभी मूल वास्तविक और सरल मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक है। पूर्व परिभाषा के विपरीत, यह अभिव्यक्ति गुणांक में स्पष्ट रूप से एक बहुपद नहीं है, परन्तु यह या तो गैलोज सिद्धांत के मौलिक प्रमेय से या [[सममित बहुपद|सममित बहुपदों]] के मौलिक प्रमेय अनुसरण करता है और वीटा के सूत्रों से यह देखते हुए कि यह अभिव्यक्ति {{math|''A''}} के मूल में एक सममित बहुपद है। | विभेदक के लिए यह अभिव्यक्ति प्रायः एक परिभाषा के रूप में ली जाती है। यह स्पष्ट करता है कि यदि बहुपद का एक बहुपद है, तो इसका विभेदक शून्य है, और यह कि, वास्तविक गुणांकों के विषय में, यदि सभी मूल वास्तविक और सरल मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक है। पूर्व परिभाषा के विपरीत, यह अभिव्यक्ति गुणांक में स्पष्ट रूप से एक बहुपद नहीं है, परन्तु यह या तो गैलोज सिद्धांत के मौलिक प्रमेय से या [[सममित बहुपद|सममित बहुपदों]] के मौलिक प्रमेय अनुसरण करता है और वीटा के सूत्रों से यह देखते हुए कि यह अभिव्यक्ति {{math|''A''}} के मूल में एक सममित बहुपद है। | ||
== | == निम्न घात == | ||
एक रेखीय बहुपद (घात 1) का विभेदक | एक रेखीय बहुपद (घात 1) का विभेदक संभवतः माना जाता है। यदि आवश्यक हो, तो इसे सामान्यतः 1 के बराबर परिभाषित किया जाता है ([[खाली उत्पाद|रिक्त उत्पाद]] के लिए सामान्य परिपाटी का उपयोग करके और यह मानते हुए कि सिल्वेस्टर आव्यूह के दो कक्षों में से एक [[खाली मैट्रिक्स|रिक्त आव्यूह]] है)। एक अचर बहुपद (अर्थात् घात 0 का बहुपद) के विभेदक के लिए कोई सामान्य परिपाटी नहीं है। | ||
छोटी घात के लिए, विभेदक सरल है (नीचे देखें), परन्तु उच्च घात के लिए, यह | छोटी घात के लिए, विभेदक सरल है (नीचे देखें), परन्तु उच्च घात के लिए, यह स्थूल हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक [[सामान्य बहुपद]] [[चतुर्थक समारोह|चतुर्थक फलन]] के विभेदक के 16 पद हैं,<ref>{{cite book | ||
|title=Elimination practice: software tools and applications | |title=Elimination practice: software tools and applications | ||
|first1=Dongming | |first1=Dongming | ||
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|url=https://books.google.com/books?id=ucpk6oO5GN0C&pg=PA180 | |url=https://books.google.com/books?id=ucpk6oO5GN0C&pg=PA180 | ||
|at=ch. 10 p. 180}} | |at=ch. 10 p. 180}} | ||
</ref> एक [[पंचक समारोह]] के 59 पद हैं,<ref>{{cite book | </ref> एक [[पंचक समारोह|पंचक फलन]] के 59 पद हैं,<ref>{{cite book | ||
|title=Discriminants, resultants and multidimensional determinants | |title=Discriminants, resultants and multidimensional determinants | ||
|first1=Israel M. | |first1=Israel M. | ||
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|url=http://blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/28/1/96|archive-url=https://archive.today/20130113052223/http://blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/28/1/96|url-status=dead|archive-date=2013-01-13}} | |url=http://blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/28/1/96|archive-url=https://archive.today/20130113052223/http://blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/28/1/96|url-status=dead|archive-date=2013-01-13}} | ||
</ref> और एक [[यौन समीकरण]] के 246 पद हैं।<ref>{{cite book | </ref> और एक [[यौन समीकरण|सेक्सटिक समीकरण]] के 246 पद हैं।<ref>{{cite book | ||
|title=Solving polynomial equations: foundations, algorithms, and applications | |title=Solving polynomial equations: foundations, algorithms, and applications | ||
|first1=Alicia | |first1=Alicia | ||
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|url=https://books.google.com/books?id=rSs-pQNrO_YC&pg=PA26 | |url=https://books.google.com/books?id=rSs-pQNrO_YC&pg=PA26 | ||
|at=ch. 1 p. 26}} | |at=ch. 1 p. 26}} | ||
</ref> | </ref> यह [[OEIS|ओईआईएस]] अनुक्रम {{OEIS link|A007878}} है। | ||
यह [[OEIS]] | |||
=== घात 2 === | === घात 2 === | ||
{{see also| | {{see also|द्विघात समीकरण#विभेदक}} | ||
द्विघात बहुपद <math>ax^2+bx+c \,</math> विभेदक | द्विघात बहुपद <math>ax^2+bx+c \,</math> में विभेदक | ||
:<math>b^2-4ac\, | :<math>b^2-4ac\,</math> | ||
:है। | |||
विभेदक का वर्गमूल द्विघात बहुपद के मूलों के द्विघात सूत्र में प्रकट होता है: | विभेदक का वर्गमूल द्विघात बहुपद के मूलों के द्विघात सूत्र में प्रकट होता है: | ||
:<math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.</math> | :<math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.</math> | ||
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=== घात 3 === | === घात 3 === | ||
{{seealso| | {{seealso|घन समीकरण#विभेदक}} | ||
[[File:Discriminant of cubic polynomials..png|thumb|घन के विभेदक का शून्य सेट {{math|''x''<sup>3</sup> + ''bx''<sup>2</sup> + ''cx'' + ''d''}}, यानी संतोषजनक अंक {{math|1=''b''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup> – 4''c''<sup>3</sup> – 4''b''<sup>3</sup>''d'' – 27''d''<sup>2</sup> + 18''bcd'' = 0}}।]]घन बहुपद <math>ax^3+bx^2+cx+d \,</math> विभेदक | [[File:Discriminant of cubic polynomials..png|thumb|घन के विभेदक का शून्य सेट {{math|''x''<sup>3</sup> + ''bx''<sup>2</sup> + ''cx'' + ''d''}}, यानी संतोषजनक अंक {{math|1=''b''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup> – 4''c''<sup>3</sup> – 4''b''<sup>3</sup>''d'' – 27''d''<sup>2</sup> + 18''bcd'' = 0}}।]]घन बहुपद <math>ax^3+bx^2+cx+d \,</math> में विभेदक | ||
:<math>b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\, | :<math>b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,</math> | ||
एक | :है। | ||
:<math> -4p^3-27q^2\, | एक अवनत घन बहुपद <math>x^3+px+q</math> के विशेष विषय में , विभेदक | ||
:<math> -4p^3-27q^2\,</math> | |||
:को सरल करता है। | |||
विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि कम से कम दो मूल बराबर हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं, और विभेदक शून्य नहीं है, तो विभेदक धनात्मक है यदि मूल तीन अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ हैं, और ऋणात्मक है यदि एक वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्म मूल हैं।<ref>{{cite book | विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि कम से कम दो मूल बराबर हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं, और विभेदक शून्य नहीं है, तो विभेदक धनात्मक है यदि मूल तीन अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ हैं, और ऋणात्मक है यदि एक वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्म मूल हैं।<ref>{{cite book | ||
|title=Integers, polynomials, and rings | |title=Integers, polynomials, and rings | ||
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|url=https://books.google.com/books?id=B4k6ltaxm5YC&pg=PA154 | |url=https://books.google.com/books?id=B4k6ltaxm5YC&pg=PA154 | ||
|at=ch. 10 ex. 10.14.4 & 10.17.4, pp. 154–156}}</ref> | |at=ch. 10 ex. 10.14.4 & 10.17.4, pp. 154–156}}</ref> | ||
विभेदक से दृढ़ता से संबंधित मात्रा का वर्गमूल घन | |||
विभेदक से दृढ़ता से संबंधित मात्रा का वर्गमूल एक घन बहुपद के मूल के सूत्रों में प्रकट होता है। विशेष रूप से, यह मात्रा{{math|−3}} गुणा विभेदक, या परिमेय संख्या के वर्ग के साथ इसका गुणनफल हो सकती है; उदाहरण के लिए, कार्डानो सूत्र के विषय में {{math|1/18}} का वर्ग। | |||
यदि बहुपद अप्रासंगिक है और इसके गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं (या किसी [[संख्या क्षेत्र]] से संबंधित हैं), तो विभेदक एक परिमेय संख्या का वर्ग है (या संख्या क्षेत्र से एक संख्या) यदि और मात्र यदि घन समीकरण का गैलोज़ समूह क्रम का [[चक्रीय समूह]] (समूह सिद्धांत) तीन है। | यदि बहुपद अप्रासंगिक है और इसके गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं (या किसी [[संख्या क्षेत्र]] से संबंधित हैं), तो विभेदक एक परिमेय संख्या का वर्ग है (या संख्या क्षेत्र से एक संख्या) यदि और मात्र यदि घन समीकरण का गैलोज़ समूह क्रम का [[चक्रीय समूह]] (समूह सिद्धांत) तीन है। | ||
=== घात 4 === | === घात 4 === | ||
[[File:Quartic Discriminant.png|thumb|चतुर्थक बहुपद का विभेदक {{math|''x''<sup>4</sup> + ''cx''<sup>2</sup> + ''dx'' + ''e''}}। सतह बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करती है ({{math|''c'', ''d'', ''e''}}) जहां बहुपद की मूल दोहराई जाती है। कस्पिडल एज ट्रिपल रूट के साथ बहुपदों से मेल खाती है, और स्व-चौराहा दो अलग-अलग दोहराई गई मूलों वाले बहुपदों से मेल खाती है।]][[चतुर्थक बहुपद]] | [[File:Quartic Discriminant.png|thumb|चतुर्थक बहुपद का विभेदक {{math|''x''<sup>4</sup> + ''cx''<sup>2</sup> + ''dx'' + ''e''}}। सतह बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करती है ({{math|''c'', ''d'', ''e''}}) जहां बहुपद की मूल दोहराई जाती है। कस्पिडल एज ट्रिपल रूट के साथ बहुपदों से मेल खाती है, और स्व-चौराहा दो अलग-अलग दोहराई गई मूलों वाले बहुपदों से मेल खाती है।]][[चतुर्थक बहुपद]] <math> ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\,</math>में विभेदक | ||
<math> ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\,</math> | |||
विभेदक | |||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
{} & 256a^3e^3-192a^2bde^2-128a^2c^2e^2+144a^2cd^2e \\[4pt] | {} & 256a^3e^3-192a^2bde^2-128a^2c^2e^2+144a^2cd^2e \\[4pt] | ||
& {} -27a^2d^4+144ab^2ce^2-6ab^2d^2e-80abc^2de \\[4pt] | & {} -27a^2d^4+144ab^2ce^2-6ab^2d^2e-80abc^2de \\[4pt] | ||
& {} +18abcd^3+16ac^4e-4ac^3d^2-27b^4e^2+18b^3cde \\[4pt] | & {} +18abcd^3+16ac^4e-4ac^3d^2-27b^4e^2+18b^3cde \\[4pt] | ||
& {} -4b^3d^3-4b^2c^3e+b^2c^2d^2\, | & {} -4b^3d^3-4b^2c^3e+b^2c^2d^2\, | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
:है। | |||
विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि कम से कम दो मूल समान हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं और विभेदक ऋणात्मक है, तो दो वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्मी मूल होते हैं। इसके विपरीत, यदि विभेदक धनात्मक है, तो मूल या तो सभी वास्तविक हैं या सभी गैर-वास्तविक हैं। | विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि कम से कम दो मूल समान हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं और विभेदक ऋणात्मक है, तो दो वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्मी मूल होते हैं। इसके विपरीत, यदि विभेदक धनात्मक है, तो मूल या तो सभी वास्तविक हैं या सभी गैर-वास्तविक हैं। | ||
| Line 139: | Line 138: | ||
किसी क्षेत्र (गणित) पर एक बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का कुछ क्षेत्र विस्तार में बहुपद हो। | किसी क्षेत्र (गणित) पर एक बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का कुछ क्षेत्र विस्तार में बहुपद हो। | ||
एक [[अभिन्न डोमेन]] पर एक बहुपद का विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद और इसके | एक [[अभिन्न डोमेन|अभिन्न प्रांत]] पर एक बहुपद का विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद और इसके व्युत्पन्न में एक गैर-नियतांक सामान्य भाजक है। | ||
[[विशेषता (बीजगणित)]] 0 में, यह कहने के बराबर है कि बहुपद वर्ग-मुक्त बहुपद नहीं है | [[विशेषता (बीजगणित)]] 0 में, यह कहने के बराबर है कि बहुपद वर्ग-मुक्त बहुपद नहीं है(अर्थात, एक गैर-नियतांक बहुपद के वर्ग से विभाज्य)। | ||
गैर-शून्य विशेषता {{math|''p''}} में, विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद वर्ग-मुक्त नहीं है या इसमें एक [[अलघुकरणीय बहुपद]] है जो वियोज्य नहीं है (अर्थात्, अलघुकरणीय कारक <math>x^p</math> में एक बहुपद है)। | |||
=== चर के परिवर्तन के | === चर के परिवर्तन के अंतर्गत व्युत्क्रम === | ||
एक बहुपद का विभेदक, | एक बहुपद का विभेदक, सोपानी तक, चर के किसी प्रक्षेपी परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। एक प्रक्षेपी परिवर्तन के रूप में अनुवाद, समरूपता और व्युत्क्रम के उत्पाद में विघटित हो सकता है, इसका परिणाम सरल परिवर्तनों के लिए निम्नलिखित सूत्र में होता है, जहाँ {{math|''P''(''x'')}} घात {{math|''n''}} के एक बहुपद को दर्शाता है, <math>a_n</math> के साथ प्रमुख गुणांक के रूप में। | ||
* अनुवाद द्वारा व्युत्क्रम: | * अनुवाद द्वारा व्युत्क्रम: | ||
::<math>\operatorname{Disc}_x(P(x+\alpha)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ::<math>\operatorname{Disc}_x(P(x+\alpha)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ||
: यह मूलों के संदर्भ में विभेदक की अभिव्यक्ति का परिणाम है | : यह मूलों के संदर्भ में विभेदक की अभिव्यक्ति का परिणाम है | ||
* समरूपता द्वारा | * समरूपता द्वारा व्युत्क्रम: | ||
::<math>\operatorname{Disc}_x(P(\alpha x)) = \alpha^{n(n-1)}\operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ::<math>\operatorname{Disc}_x(P(\alpha x)) = \alpha^{n(n-1)}\operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ||
: यह मूलों, या विभेदक की अर्ध-समरूपता के संदर्भ में अभिव्यक्ति का परिणाम है। | : यह मूलों, या विभेदक की अर्ध-समरूपता के संदर्भ में अभिव्यक्ति का परिणाम है। | ||
* | * व्युत्क्रमण द्वारा व्युत्क्रम: | ||
::<math>\operatorname{Disc}_x(P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ::<math>\operatorname{Disc}_x(P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ||
: | :जब <math>P(0)\ne 0</math> । यहाँ, <math>P^{\mathrm{r}}\!\!\;</math> के [[पारस्परिक बहुपद]] {{math|''P''}} को दर्शाता है; अर्थात , यदि <math>P(x) = a_nx^n + \cdots + a_0,</math> और <math>a_0 \neq 0,</math> तब | ||
::<math>P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x) = x^nP(1/x) = a_0x^n +\cdots +a_n | ::<math>P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x) = x^nP(1/x) = a_0x^n +\cdots +a_n</math>। | ||
=== रिंग होमोमोर्फिज्म के | === रिंग होमोमोर्फिज्म के अंतर्गत इनवेरियन === | ||
होने देना <math>\varphi\colon R \to S</math> क्रमविनिमेय वलयों का एक वलय समरूपता हो। एक बहुपद दिया | होने देना <math>\varphi\colon R \to S</math> क्रमविनिमेय वलयों का एक वलय समरूपता हो। एक बहुपद दिया | ||
:<math>A = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0</math> | :<math>A = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0</math> | ||
| Line 225: | Line 224: | ||
घात का एक सजातीय बहुपद हो {{math|''n''}} दो अनिश्चित में। | घात का एक सजातीय बहुपद हो {{math|''n''}} दो अनिश्चित में। | ||
मान लीजिए, फिलहाल, कि <math>a_0</math> और <math>a_n</math> दोनों | मान लीजिए, फिलहाल, कि <math>a_0</math> और <math>a_n</math> दोनों गैर-शून्य हैं, एक के पास है | ||
:<math>\operatorname{Disc}_x(A(x,1))=\operatorname{Disc}_y(A(1,y)).</math> | :<math>\operatorname{Disc}_x(A(x,1))=\operatorname{Disc}_y(A(1,y)).</math> | ||
द्वारा इस मात्रा को नकारना <math>\operatorname{Disc}^h (A),</math> | द्वारा इस मात्रा को नकारना <math>\operatorname{Disc}^h (A),</math> | ||
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का [[हेसियन निर्धारक]] {{math|''Q''}} है <math>2^n</math> इसके भेदभाव का समय। के आंशिक डेरिवेटिव का बहुभिन्नरूपी परिणामी {{math|''Q''}} इसके हेस्सियन निर्धारक के बराबर है। तो, एक द्विघात रूप का विभेदक एक विभेदक की उपरोक्त सामान्य परिभाषा का एक विशेष मामला है। | का [[हेसियन निर्धारक]] {{math|''Q''}} है <math>2^n</math> इसके भेदभाव का समय। के आंशिक डेरिवेटिव का बहुभिन्नरूपी परिणामी {{math|''Q''}} इसके हेस्सियन निर्धारक के बराबर है। तो, एक द्विघात रूप का विभेदक एक विभेदक की उपरोक्त सामान्य परिभाषा का एक विशेष मामला है। | ||
एक द्विघात रूप का विभेदक चर के रैखिक परिवर्तन के | एक द्विघात रूप का विभेदक चर के रैखिक परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है (जो कि सदिश स्थान के आधार पर एक परिवर्तन है, जिस पर द्विघात रूप परिभाषित किया गया है) निम्नलिखित अर्थों में: चर का एक रैखिक परिवर्तन एक गैर-एकवचन आव्यूह द्वारा परिभाषित किया गया है {{math|''S''}}, आव्यूह को बदलता है {{math|''A''}} में <math>S^\mathrm T A\,S,</math> और इस प्रकार विभेदक को के सारणिक के वर्ग से गुणा करता है {{math|''S''}}। इस प्रकार विभेदक मात्र एक वर्ग द्वारा गुणा करने तक ही ठीक रूप से परिभाषित होता है। दूसरे शब्दों में, एक क्षेत्र पर द्विघात रूप का विभेदक {{math|''K''}} का एक तत्व है {{math|''K''/(''K''<sup>×</sup>)<sup>2</sup>}}, के गुणक [[मोनोइड]] का [[भागफल मोनोइड]] {{math|''K''}} गैर-शून्य वर्गों के [[उपसमूह]] द्वारा (अर्थात, के दो तत्व {{math|''K''}} समान [[तुल्यता वर्ग]] में हैं यदि एक दूसरे का गैर-शून्य वर्ग द्वारा उत्पाद है)। यह इस प्रकार है कि जटिल संख्याओं पर, एक विभेदक 0 या 1 के बराबर होता है। वास्तविक संख्याओं पर, एक विभेदक -1, 0, या 1 के बराबर होता है। परिमेय संख्याओं पर, एक विभेदक एक अद्वितीय वर्ग-मुक्त के बराबर होता है पूर्णांक। | ||
[[कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी]] के एक प्रमेय द्वारा, 2 से भिन्न विशेषता के एक क्षेत्र पर एक द्विघात रूप, चर के एक रैखिक परिवर्तन के बाद, विकर्ण रूप में व्यक्त किया जा सकता है | [[कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी]] के एक प्रमेय द्वारा, 2 से भिन्न विशेषता के एक क्षेत्र पर एक द्विघात रूप, चर के एक रैखिक परिवर्तन के बाद, विकर्ण रूप में व्यक्त किया जा सकता है | ||
| Line 303: | Line 302: | ||
आयाम तीन के [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में एक वास्तविक चतुष्कोणीय सतह एक ऐसी सतह है जिसे तीन चर में घात दो के बहुपद के शून्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। शंक्वाकार वर्गों के लिए दो विभेदक हैं जिन्हें स्वाभाविक रूप से परिभाषित किया जा सकता है। दोनों एक चतुष्कोणीय सतह की प्रकृति के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए उपयोगी हैं। | आयाम तीन के [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में एक वास्तविक चतुष्कोणीय सतह एक ऐसी सतह है जिसे तीन चर में घात दो के बहुपद के शून्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। शंक्वाकार वर्गों के लिए दो विभेदक हैं जिन्हें स्वाभाविक रूप से परिभाषित किया जा सकता है। दोनों एक चतुष्कोणीय सतह की प्रकृति के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए उपयोगी हैं। | ||
होने देना <math>P(x,y,z)</math> तीन चरों में घात दो का एक बहुपद हो जो एक वास्तविक चतुष्कोणीय सतह को परिभाषित करता है। पहला संबद्ध द्विघात रूप, <math>Q_4,</math> चार चरों पर निर्भर करता है, और एक बहुपद के समरूपीकरण द्वारा प्राप्त किया जाता है {{math|''P''}}; | होने देना <math>P(x,y,z)</math> तीन चरों में घात दो का एक बहुपद हो जो एक वास्तविक चतुष्कोणीय सतह को परिभाषित करता है। पहला संबद्ध द्विघात रूप, <math>Q_4,</math> चार चरों पर निर्भर करता है, और एक बहुपद के समरूपीकरण द्वारा प्राप्त किया जाता है {{math|''P''}}; अर्थात | ||
:<math>Q_4(x,y,z,t)=t^2P(x/t,y/t, z/t).</math> | :<math>Q_4(x,y,z,t)=t^2P(x/t,y/t, z/t).</math> | ||
आइए इसके विभेदक को निरूपित करें <math>\Delta_4.</math> | आइए इसके विभेदक को निरूपित करें <math>\Delta_4.</math> | ||
दूसरा द्विघात रूप, <math>Q_3,</math> तीन चर पर निर्भर करता है, और घात दो की शर्तें शामिल हैं {{math|''P''}}; | दूसरा द्विघात रूप, <math>Q_3,</math> तीन चर पर निर्भर करता है, और घात दो की शर्तें शामिल हैं {{math|''P''}}; अर्थात | ||
:<math>Q_3(x,y,z)=Q_4(x, y,z,0).</math> | :<math>Q_3(x,y,z)=Q_4(x, y,z,0).</math> | ||
आइए इसके विभेदक को निरूपित करें <math>\Delta_3.</math> | आइए इसके विभेदक को निरूपित करें <math>\Delta_3.</math> | ||
Revision as of 12:59, 16 March 2023
गणित में, बहुपद का विभेदक एक मात्रा है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक यथार्थ रूप से, यह मूल बहुपद के गुणांकों का बहुपद फलन है। विभेदक बहुपद गुणनखंडन, संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
द्विघात बहुपद का विभेदक
है, वह मात्रा जो द्विघात सूत्र में वर्गमूल के अंतर्गत प्रकट होती है। यदि यह विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद का दोहरा मूल है। वास्तविक संख्या गुणांक के विषय में, यदि बहुपद की दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो यह धनात्मक है और यदि दो अलग-अलग जटिल संयुग्मी मूल हैं तो यह ऋणात्मक है।[1] इसी प्रकार, एक त्रिघात बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक वाले घन के विषय में, यदि बहुपद के तीन अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक होता है, और यदि इसके एक वास्तविक मूल और दो अलग-अलग जटिल संयुग्म मूल होते हैं, तो ऋणात्मक होता है।
अधिक सामान्यतः, एक बहुपद की धनात्मक घात के एक अविभाजित बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक और कोई बहुमूल नहीं होने के लिए, विभेदक धनात्मक होता है यदि गैर-वास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज (गणित) है (कोई भी नहीं सहित), और अन्यथा ऋणात्मक है।
कई सामान्यीकरणों को विभेदक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक; द्विघात रूप का विभेदक; और अधिक सामान्यतः, एक सजातीय बहुपद , या एक प्रक्षेपी ऊनविम सतह के एक रूप (गणित) का विभेदक (ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)।
उत्पत्ति
विभेदक शब्द 1851 में ब्रिटिश गणितज्ञ जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर द्वारा निर्मित किया गया था।[2]
परिभाषा
मान लीजिए