इकाई वृत्त

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एक इकाई वृत्त का चित्रण। चर t एक कोण माप है।

File:2pi-unrolled.gif

इकाई वृत्त, 1 की परिधि को अनियंत्रित करने के कार्य का एनीमेशन, 1 के त्रिज्या वाला एक वृत्त। चूंकि C = 2πr, इकाई वृत्त की परिधि 2π है।

गणित में, एक इकाई वृत्त इकाई त्रिज्या का एक वृत्त होता है - अर्थात, 1 की त्रिज्या। प्रायः, विशेष रूप से त्रिकोणमिति में, इकाई वृत्त यूक्लिडियन समतल में कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में मूल(0, 0) पर केंद्रित त्रिज्या 1 का वृत्त होता है। सांस्थिति में, इसे प्रायः S¹ के रूप में निरूपित किया जाता है क्योंकि यह एक आयामी इकाई n-वृत्त है।

यदि (x, y) इकाई वृत्त की परिधि पर एक बिंदु है, तो |x| और |y| एक समकोण त्रिभुज के पादों की लंबाई है जिसके कर्ण की लंबाई 1 है। इस प्रकार, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, x और y समीकरण

$$x^{2}+y^{2}=1$$

को संतुष्ट करते हैं।

चूँकि x² = (−x)² सभी x के लिए, और चूँकि x- या y-अक्ष के विषय में किसी भी बिंदु का प्रतिबिंब भी इकाई वृत्त पर है, उपरोक्त समीकरण इकाई वृत्त पर सभी बिंदुओं (x, y) के लिए मान्य है, न मात्र प्रथम चतुर्थांश में।

इकाई वृत्त के अंतःस्थ को विवृत इकाई डिस्क कहा जाता है, जबकि इकाई वृत्त के अंतःस्थ को इकाई वृत्त के साथ ही बंद इकाई डिस्क कहा जाता है।

अन्य इकाई वृत्तों को परिभाषित करने के लिए दूरी की अन्य धारणाओं का भी उपयोग किया जा सकता है, जैसे कि रीमानियन वृत्त; अतिरिक्त उदाहरणों के लिए मानदंड(गणित) पर लेख देखें।

सम्मिश्र समतल में

Main article: इकाई सम्मिश्र संख्या

कोणों के साथ इकाई वृत्त का एनिमेशन

सम्मिश्र समतल में, इकाई परिमाण की संख्या को इकाई सम्मिश्र संख्या कहा जाता है। यह सम्मिश्र संख्याओं का z समूह है जैसे कि $|z|=1$। वास्तविक और काल्पनिक अवयवों $z=x+iy$ में विभाजित होने पर, यह स्थिति $|z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}=1$ है।

सम्मिश्र चरघातांकी फलन $z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ का उपयोग करके धनात्मक वास्तविक अक्ष से कोण माप $\theta$ द्वारा सम्मिश्र इकाई वृत्त को प्राचलीकरण किया जा सकता है(यूलर का सूत्र देखें।)

सम्मिश्र गुणन संक्रिया के अंतर्गत, इकाई सम्मिश्र संख्याएँ समूह(गणित) होती हैं जिन्हें वृत्त समूह कहा जाता है, जिसे सामान्यतः $\mathbb {T}$निरूपित किया जाता है। क्वांटम यांत्रिकी में, इकाई सम्मिश्र संख्या को चरण कारक कहा जाता है।

इकाई वृत्त पर त्रिकोणमितीय फलन

कोण के सभी त्रिकोणमितीय फलन θ(थीटा) का निर्माण ज्यामितीय रूप से O पर केन्द्रित एक इकाई वृत्त के रूप में किया जा सकता है।

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इकाई वृत्त(शीर्ष) और उसके ग्राफ(नीचे) पर ज्या फलन

कोण θ के त्रिकोणमितीय फलन कोज्या और ज्या को इकाई वृत्त पर निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है: यदि (x, y) इकाई वृत्त पर एक बिंदु है, और यदि अर्धरेखा मूल (0, 0) को (x, y) धनात्मक x-अक्ष से कोण θ बनाता है,(जहाँ वामावर्त घूमना धनात्मक है) , फिर

$$\cos \theta =x\quad {\text{and}}\quad \sin \theta =y.$$

समीकरण x² + y² = 1 सम्बन्ध

$$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$$

देता है।

इकाई वृत्त यह भी दर्शाता है कि ज्या और कोज्या आवधिक फलन हैं, किसी भी पूर्णांक k के लिए तत्समक

$$\cos \theta =\cos(2\pi k+\theta )$$

$$\sin \theta =\sin(2\pi k+\theta )$$

के साथ।

त्रिकोणमितीय फलनों की आवधिकता को दर्शाने के लिए इकाई वृत्त पर निर्मित त्रिभुजों का भी उपयोग किया जा सकता है। सबसे पूर्व, इकाई वृत्त पर O से एक बिंदु P(x₁,y₁) तक एक त्रिज्या OP का निर्माण करें जैसे कि 0 < t < π/2 के साथ एक कोण t x-अक्ष की धनात्मक भुजा के साथ बनता है। अब बिंदु Q(x₁,0) और रेखा खंड PQ ⊥ OQ पर विचार करें। परिणाम एक समकोण त्रिभुज △OPQ है जिसमें ∠QOP = t है। चूंकि PQ की लंबाई y₁ है, OQ की लंबाई x₁ है, और OP की लंबाई 1 इकाई वृत्त पर त्रिज्या के रूप में, sin(t) = y₁ और cos(t) = x₁है। इन तुल्यताओं को स्थापित करने के बाद, एक अन्य त्रिज्या OR को मूल से वृत्त पर एक बिंदु R(−x₁,y₁) पर इस प्रकार ले जाएं कि x-अक्ष की ऋणात्मक भुजा के साथ वही कोण t बन जाए। अब एक बिंदु S(−x₁,0) और रेखा खंड RS ⊥ OS पर विचार करें। परिणाम एक समकोण त्रिभुज △ORS साथ ∠SOR = t है। इसलिए यह देखा जा सकता है कि, क्योंकि ∠ROQ = π − t, R पर है (cos(π − t), sin(π − t)) उसी प्रकार जैसे P पर (cos(t), sin(t)) है। निष्कर्ष यह है कि, चूंकि (−x₁, y₁) (cos(π − t), sin(π − t)) के समान है और (x₁,y₁) (cos(t),sin(t)) के समान है, यह सच है कि sin(t) = sin(π − t) और −cos(t) = cos(π − t)। इस प्रकार से यह अनुमान लगाया जा सकता है कि tan(π − t) = −tan(t), चूँकि tan(t) = y₁/x₁ और tan(π − t) = y₁/−x₁। उपरोक्त का सरल प्रदर्शन समानता sin(π/4) = sin(3π/4) = 1/√2 में देखा जा सकता है।

समकोण त्रिभुजों के साथ कार्य करते समय, ज्या, कोज्या, और अन्य त्रिकोणमितीय फलन मात्र शून्य से अधिक और π/2 से कम के कोण मापों के लिए अर्थपूर्ण होते हैं। यद्यपि, जब इकाई वृत्त के साथ परिभाषित किया जाता है, तो ये फलन किसी भी वास्तविक संख्या-मानित कोण माप के लिए अर्थपूर्ण मान उत्पन्न करते हैं - यहां तक ​​कि 2π से भी अधिक । वस्तुत:, सभी छह मानक त्रिकोणमितीय फलन - ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श, छेदक, और व्युत्क्रमज्या, साथ ही दक्ष दक्ष और पूर्व व्युत्क्रमज्या जैसे पुरातन फलन - एक इकाई वृत्त के संदर्भ में ज्यामितीय रूप से परिभाषित किए जा सकते हैं, जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है।

इकाई वृत्त का उपयोग करके, लेबल किए गए कोणों के अतिरिक्त कई कोणों के लिए किसी भी त्रिकोणमितीय फलन के मानों को त्रिकोणमितीय तत्समक और अंतर तत्समक का उपयोग करके हाथ से सरलता से गणना की जा सकती है।

File:Unit circle angles color.svg

इकाई वृत्त, निश्चित त्रिकोणमितीय स्थिरांक दिखा रहा है

सम्मिश्र गतिशीलता

Main article: सम्मिश्र गतिशीलता

File:Erays.png

सम्मिश्र गतिकी में इकाई वृत्त

क्रमिक विकास फलन के साथ गतिशील प्रणाली(परिभाषा) का जूलिया समूह:

$$f_{0}(x)=x^{2}$$

एक इकाई वृत्त है। यह सबसे सरल स्थिति है इसलिए इसे गतिशील प्रणालियों के अध्ययन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

यह भी देखें

• कोण माप
• पाइथागोरस त्रिकोणमितीय तत्समक
• रिमानियन वृत्त
• इकाई कोण
• इकाई डिस्क
• इकाई वृत्त
• इकाई अतिपरवलय
• इकाई वर्ग
• फेर(इकाई)
• जेड-रूपांतरण

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