द्विपद प्रकार

गणित में, [[बहुपद अनुक्रम]], अर्थात, गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों द्वारा अनुक्रमित बहुपदों का क्रम ${\textstyle \left\{0,1,2,3,\ldots \right\}}$ जिसमें प्रत्येक बहुपद का सूचकांक बहुपद की अपनी डिग्री के बराबर होता है, इसे द्विपद प्रकार कहा जाता है यदि यह पहचान के अनुक्रम को संतुष्ट करता है

$p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,p_{k}(x)\,p_{n-k}(y).$

ऐसे कई क्रम में उपस्तिथ होते हैं। इस तरह के सभी अनुक्रमों का सेट, उम्ब्रल रचना के संचालन के अनुसार एक झूठ समूह बनाता है, जिसे नीचे समझाया गया है। बेल बहुपद के संदर्भ में द्विपद प्रकार के प्रत्येक क्रम को व्यक्त किया जा सकता है। द्विपद प्रकार का प्रत्येक क्रम शेफ़र अनुक्रम होते है (किन्तु अधिकांश शेफ़र अनुक्रम द्विपद प्रकार के नहीं हैं)। बहुपद अनुक्रमों ने अम्ब्रल कैलकुलस की अस्पष्ट 19वीं शताब्दी की धारणाओं को मजबूती से स्थापित किया गया है।

उदाहरण

• इस परिभाषा के फलस्वरूप द्विपद प्रमेय को अनुक्रम कहकर किया जा सकता है $\{x^{n}:n=0,1,2,\ldots \}$ द्विपद प्रकार का है।
• कम भाज्य के अनुक्रम को किसके द्वारा परिभाषित किया गया है
  $$(x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdot \cdots \cdot (x-n+1).$$
  (विशेष कार्यों के सिद्धांत में, यही अंकन ऊपरी क्रमगुणों को दर्शाता है, किन्तु यह वर्तमान उपयोग साहचर्य के बीच सार्वभौमिक है।) उत्पाद को 1 समझा जाता है यदि n = 0, क्योंकि यह उस स्थितियोंमें खाली उत्पाद है। यह बहुपद अनुक्रम द्विपद प्रकार का है।
• इसी तरह ऊपरी भाज्य
  $$x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdot \cdots \cdot (x+n-1)$$
  द्विपद प्रकार का बहुपद अनुक्रम हैं।
• हाबिल बहुपद
  $$p_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}$$
  द्विपद प्रकार का बहुपद अनुक्रम हैं।
• टौचर्ड बहुपद
  $$p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)x^{k}$$
• कहाँ $S(n,k)$ आकार के सेट के विभाजन की संख्या है $n$ में $k$ विसंधित गैर-रिक्त उपसमुच्चय को अलग करना, द्विपद प्रकार का बहुपद अनुक्रम है। एरिक टेम्पल बेल ने इन्हें घातीय बहुपद कहा और यह शब्द कभी-कभी साहित्य में भी देखा जाता है। गुणांक $S(n,k)$ दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्याएँ हैं। इस अनुक्रम का प्वासों वितरण के साथ जिज्ञासु संबंध है: यदि $X$ अपेक्षित मान के साथ प्वासों बंटन वाला यादृच्छिक चर है $\lambda$ तब $E(X^{n})=p_{n}(\lambda )$. विशेष रूप से, कब $\lambda =1$, हम देखते हैं कि $n$अपेक्षित मान के साथ प्वासों बंटन का वां क्षण $1$ आकार के सेट के विभाजन की संख्या है $n$, इसको कॉल किया गया $n$वें बेल नंबर। इस तथ्य के बारे में $n$उस विशेष प्वासों बंटन का वां क्षण है बेल संख्या|डोबिंस्की का सूत्र।

डेल्टा ऑपरेटरों द्वारा लक्षण वर्णन

यह दिखाया जा सकता है कि बहुपद अनुक्रम {p_n(x) : n = 0, 1, 2, … } द्विपद प्रकार का है यदि और केवल यदि निम्नलिखित तीनों शर्तें लागू होती हैं:

• एक्स में बहुपदों के स्थान पर रैखिक परिवर्तन जिसकी विशेषता है
  $$p_{n}(x)\mapsto np_{n-1}(x)$$
  शिफ्ट-समतुल्य है, और
• पी₀(एक्स) = 1 सभी एक्स के लिए, और
• पी_n(0) = 0 n > 0 के लिए।

(यह कथन कि यह ऑपरेटर शिफ्ट-समतुल्य है, यह कहने के समान है कि बहुपद अनुक्रम एक शेफ़र अनुक्रम है; द्विपद प्रकार के अनुक्रमों का सेट शेफ़र अनुक्रमों के सेट के भीतर ठीक से सम्मिलित है।)

डेल्टा ऑपरेटर

वह रैखिक परिवर्तन स्पष्ट रूप से एक डेल्टा ऑपरेटर है, अर्थात, x में बहुपदों के स्थान पर एक शिफ्ट-समतुल्य रैखिक परिवर्तन जो बहुपदों की डिग्री को 1 से कम कर देता है। डेल्टा ऑपरेटरों के सबसे स्पष्ट उदाहरण अंतर ऑपरेटर और भेदभाव हैं। यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक डेल्टा ऑपरेटर को प्रपत्र की शक्ति श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है

$Q=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}$