चार-वेग: Difference between revisions

Revision as of 13:24, 6 March 2023

भौतिकी में, विशेष रूप से विशेष सापेक्षता और सामान्य सापेक्षता में, चार-वेग चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में एक चार-सदिश है।^{[nb 1]} यह गति के आपेक्षिकीय प्रतिरूप का प्रतिनिधित्व करता है, जो अंतरिक्ष में एक त्रि-आयामी सदिश है।

भौतिक घटना(सापेक्षता) समय और स्थान में गणितीय बिंदुओं के अनुरूप है, उन सभी का समूह एक साथ भौतिक चार-आयामी अंतरिक्ष-समय का गणितीय मॉडल बनाता है। किसी वस्तु का इतिहास अंतरिक्ष-समय में एक वक्र का पता लगाता है, जिसे उसकी विश्व रेखा कहा जाता है। यदि वस्तु का विशेष आपेक्षिकता में द्रव्यमान है, ताकि उसकी गति आवश्यक रूप से प्रकाश की गति से कम हो, तो विश्व रेखा वस्तु के उचित समय के अनुसार पैरामीट्रिज्ड(ज्यामिति) हो सकती है। चार-वेग वक्र के साथ उचित समय के संबंध में चार-स्थिति के परिवर्तन की दर है। वेग, इसके विपरीत, वस्तु के(त्रि-आयामी) स्थान में स्थिति के परिवर्तन की दर है, जैसा प्रेक्षक द्वारा देखा गया है, प्रेक्षक के समय के संबंध में।

किसी वस्तु के चार-वेग के परिमाण का मान, अर्थात मीट्रिक टेन्सर(सामान्य_सापेक्षता) $g$ को चार- वेग $U$ पर लागू करने से प्राप्त मात्रा, अर्थात $|| U || 2 = U \cdot U = g μν U ν U μ$ , सदैव $\pm c 2$ बराबर होता है, जहाँ $c$ प्रकाश की गति है। धनात्कम या ऋणात्मक चिन्ह लागू होता है या नहीं यह मीट्रिक हस्ताक्षर के चुनाव पर निर्भर करता है। किसी वस्तु की स्थिरता के लिए उसका चार-वेग उस समय की दिशा के समानांतर होता है जिसके साथ समन्वय $U 0 = c$ होता है। एक चार-वेग इस प्रकार विश्व रेखा के लिए सामान्यीकृत भविष्य-निर्देशित समय-समान स्पर्शरेखा सदिश है, और एक प्रतिपरिवर्तक सदिश है। यद्यपि यह सदिश है, दो चार-वेगों को जोड़ने से चार-वेग नहीं मिलता है: चार-वेगों का स्थान अपने आप में एक सदिश स्थान नहीं है।^{[nb 2]}

वेग

त्रि-आयामी स्थान(एक जड़त्वीय रचना में) में किसी वस्तु का मार्ग समय t के तीन स्थानिक समन्वय चरों xⁱ(t) के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ i एक अनुक्रमणिका अंकन है जो मान 1, 2, 3 लेता है।

तीन निर्देशांक 3डी स्थिति सदिश बनाते हैं, जिसे स्तंभ सदिश के रूप में लिखा जाता है

{\vec {x}}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\end{bmatrix}}\,.

वेग के घटक ${\vec {u}}$ (वक्र की स्पर्शरेखा) विश्व रेखा के किसी भी बिंदु पर हैं

{\vec {u}}={\begin{bmatrix}u^{1}\\u^{2}\\u^{3}\end{bmatrix}}={d{\vec {x}} \over dt}={\begin{bmatrix}{\tfrac {dx^{1}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{2}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{3}}{dt}}\end{bmatrix}}.

प्रत्येक घटक मात्र लिखा है

u^{i}={dx^{i} \over dt}

सापेक्षता का सिद्धांत

आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत में, संदर्भ के विशेष रचना के सापेक्ष चलने वाली वस्तु का मार्ग चार समन्वय चरों x^μ(τ) द्वारा परिभाषित किया गया है जहां μ एक अंतरिक्ष-समय अनुक्रमणिका है जो समय के जैसे घटक के लिए मान 0 लेता है, और अंतरिक्ष जैसे निर्देशांक के लिए 1, 2, 3 लेता है। शून्यांक घटक को समय निर्देशांक को c से गुणा करके परिभाषित किया जाता है,

x^{0}=ct\,,

प्रत्येक चर एक पैरामीटर τ पर निर्भर करता है जिसे इसका उचित समय कहा जाता है। स्तंभ सदिश के रूप में,

\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}\,.

समय विस्फारण

समय विस्फारण से, निर्देशांक समय t और उचित समय τ में एक फलन के अंतर से संबंधित हैं

dt=\gamma (u)d\tau

जहां लोरेंत्ज़ कारक,

\gamma (u)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\,,

3डी वेग सदिश ${\vec {u}}$ के यूक्लिडियन नियम u का एक चर है:

u=\|\ {\vec {u}}\ \|={\sqrt {\left(u^{1}\right)^{2}+\left(u^{2}\right)^{2}+\left(u^{3}\right)^{2}}}\,.

चार-वेग की परिभाषा

चार-वेग एक समयबद्ध वक्र विश्व रेखा का स्पर्शरेखा चार-सदिश है। चार-वेग $\mathbf {U}$ विश्व रेखा के किसी भी बिंदु पर $\mathbf {X} (\tau )$ परिभाषित किया जाता है:

U = d

[nb 1]

[nb 2]

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 {{Short description|Analogue of velocity in four-dimensional spacetime}}
-भौतिकी में, विशेष रूप से [[विशेष सापेक्षता]] और [[सामान्य सापेक्षता]] में, चार-वेग चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में एक [[चार-वेक्टर|चार-सदिश]] है।<ref group=nb>Technically, the four-vector should be thought of as residing in the [[tangent space]] of a point in spacetime, spacetime itself being modeled as a [[smooth manifold]]. This distinction is significant in general relativity.</ref> यह गति के सापेक्षवादी समकक्ष का प्रतिनिधित्व करता है, जो अंतरिक्ष में एक त्रि-आयामी सदिश है।
+भौतिकी में, विशेष रूप से [[विशेष सापेक्षता]] और [[सामान्य सापेक्षता]] में, चार-वेग चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में एक [[चार-वेक्टर|चार-सदिश]] है।<ref group=nb>Technically, the four-vector should be thought of as residing in the [[tangent space]] of a point in spacetime, spacetime itself being modeled as a [[smooth manifold]]. This distinction is significant in general relativity.</ref> यह गति के आपेक्षिकीय प्रतिरूप का प्रतिनिधित्व करता है, जो अंतरिक्ष में एक त्रि-आयामी सदिश है।
 भौतिक [[घटना (सापेक्षता)|घटना(सापेक्षता)]] समय और स्थान में गणितीय बिंदुओं के अनुरूप है, उन सभी का समूह एक साथ भौतिक चार-आयामी अंतरिक्ष-समय का गणितीय मॉडल बनाता है। किसी वस्तु का इतिहास अंतरिक्ष-समय में एक वक्र का पता लगाता है, जिसे उसकी [[विश्व रेखा]] कहा जाता है। यदि वस्तु का विशेष आपेक्षिकता में द्रव्यमान है, ताकि उसकी गति आवश्यक रूप से [[प्रकाश की गति]] से कम हो, तो विश्व रेखा वस्तु के [[उचित समय]] के अनुसार [[पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति)|पैरामीट्रिज्ड(ज्यामिति)]] हो सकती है। चार-[[वेग]] वक्र के साथ उचित समय के संबंध में चार-स्थिति के परिवर्तन की दर है। वेग, इसके विपरीत, वस्तु के(त्रि-आयामी) स्थान में स्थिति के परिवर्तन की दर है, जैसा प्रेक्षक द्वारा देखा गया है, प्रेक्षक के समय के संबंध में।
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-=== चतुर्भुज की परिभाषा ===
+=== चार-वेग की परिभाषा ===
-चार-वेग एक [[समयबद्ध वक्र]] विश्व रेखा का स्पर्शरेखा चार-सदिश है।चतुर्भुज <math>\mathbf{U}</math> विश्व रेखा के किसी भी बिंदु पर <math>\mathbf{X}(\tau)</math> परिभाषित किया जाता है:
+चार-वेग एक [[समयबद्ध वक्र]] विश्व रेखा का स्पर्शरेखा चार-सदिश है। चार-वेग <math>\mathbf{U}</math> विश्व रेखा के किसी भी बिंदु पर <math>\mathbf{X}(\tau)</math> परिभाषित किया जाता है:
 :<math>\mathbf{U} = \frac{d\mathbf{X}}{d \tau}</math>
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 :<math>x^0 = ct </math>
 :द्वारा परिभाषित किया गया है।
-उचित समय τ के संबंध में इसका व्युत्पन्न लेते हुए, हम μ = 0 के लिए U<sup>μ</sup> वेग घटक पाते हैं:
+उचित समय τ के संबंध में इसका व्युत्पन्न लेते हुए, हम μ = 0:
 :<math>U^0 = \frac{dx^0}{d\tau} = \frac{d(ct)}{d\tau} = c\frac{dt}{d\tau} = c \gamma(u)</math>
-और अन्य 3 घटकों के लिए उचित समय के लिए हमें यू μ = 1, 2, 3 के लिए u<sup>μ</sup> वेग घटक मिलता है:
+:के लिए U<sup>μ</sup> वेग घटक पाते हैं:
+और अन्य 3 घटकों के लिए उचित समय के लिए हमें μ = 1, 2, 3:
-:<math>U^i = \frac{dx^i}{d\tau} =
+<math>U^i = \frac{dx^i}{d\tau} =
    \frac{dx^i}{dt} \frac{dt}{d\tau} =
    \frac{dx^i}{dt} \gamma(u) =
    \gamma(u) u^i
 </math>
+के लिए u<sup>μ</sup> वेग घटक मिलता है।
 जहाँ हमने [[श्रृंखला नियम]] और संबंधों का उपयोग किया है

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वेग

सापेक्षता का सिद्धांत

समय विस्फारण

चार-वेग की परिभाषा