अधिष्ठापन

अधिष्ठापन
सामान्य प्रतीक	L
Si   इकाई	हेनरी (एच)
SI आधार इकाइयाँ में	kg⋅m2⋅s−2⋅A−2
अन्य मात्राओं से व्युत्पत्तियां	L = V / ( I / t ) L = Φ / I
आयाम	M1·L2·T−2·I−2

अधिष्ठापन विद्युत संवाहक की यह प्रवृत्ति है जो इसके माध्यम से बहने वाले विद्युत प्रवाह में बदलाव का विरोध करता है। विद्युत प्रवाह का प्रवाह संवाहक के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र बनाता है। क्षेत्र की ताकत प्रवाह के परिमाण पर निर्भर करती है, और प्रवाह में किसी भी परिवर्तन का अनुसरण करती है। फैराडे के इंद्रुक्ति के नियम से, सर्किट के माध्यम से चुंबकीय क्षेत्र में किसी भी परिवर्तन के कारण विद्युत प्रभावन बल (ईएमएफ) (वोल्टेज ) का उत्पन्न होना होता है, जिसे विद्युत उत्प्रेरण (वीएमएफ) कहा जाता है, यह प्रक्रिया वैद्युतिक उत्प्रेरण के रूप में जानी जाती है। बदलते प्रवाह द्वारा बनाए गए इस प्रेरित वोल्टेज में प्रवाह में परिवर्तन का विरोध करने होता है। इसे लेनज़ के नियम द्वारा बताया जाता है, और इस वोल्टेज को 'वापस ईएमएफ ' (बैक इएमएफ) कहा जाता है।

अधिष्ठापन को प्रेरित वोल्टेज के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, जो प्रवाह के कारण परिवर्तन की दर के लिए है। यह आनुपातिकता कारक होता है जो सर्किट के चालकों की ज्यामिति और पास की सामग्रियों की चुंबकीय पारगम्यता पर निर्भर करता है। सर्किट में अधिष्ठापन को जोड़ने के लिए डिज़ाइन किया गया इलेक्ट्रॉनिक घटक प्रारंभ करनेवाला कहा जाता है। इसमें सामान्यतः विद्युत चुम्बकीय कॉइल या वायर के हेलिक्स से बना होते हैं।

शब्द "अधिष्ठापन" का प्रयोग ओलिवर हेविसाइड मई 1884 में किया गया था। भौतिक विज्ञानी हेनरिक लेनज़ के सम्मान में अधिष्ठापन के लिए सामान्यत: प्रतीक के रूप में "$L$" का प्रयोग किया जाता है। अंतर्राष्ट्रीय इकाइयाँ प्रणाली में, अधिष्ठापन की मात्रक हेनरी (इकाई) (H) है, जो वाल्ट के वोल्टेज का कारण बनती है, जब प्रवाह प्रति सेकंड एम्पीयर (इकाई) की दर से परिवर्तित हो रही होती है। इसे जोसेफ हेनरी के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने फैराडे के अपने आपसे इंडक्टेंस की खोज की थी।

इतिहास

Main article: विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत का इतिहास

विद्युत चुंबकता का इतिहास, विद्युतचुंबकता की पहलु, विद्युतमैग्नेटिज्म की प्रारंभ हमारे पूर्वजों की दृष्टि से प्रारंभ हुई: विद्युत चार्ज या स्थिर विद्युत (सिल्क को ऐम्बर पर रगड़ना), विद्युत प्रवाह (आकाशीय बिजली ), और चुंबक आकर्षण (लॉडस्टोन)।इन प्राकृतिक शक्तियों के एकत्व की समझ, और विज्ञानिक विद्युतमैग्नेटिज्म का सिद्धांत उच्च आठवीं शताब्दी में प्रारंभ किया गया था।

विद्युतचुंबकीय अधिष्ठापन का वर्णन पहली बार माइकल फैराडे ने 1831 में किया था। फैराडे के प्रयोग में, उन्होंने लोहे की रिंग के विपरीत पक्षों में दो तार बांधे। उन्हें यह उम्मीद थी कि, जब प्रवाह तार में प्रवाह करना प्रारंभ कर दिया, तो प्रकार की लहर रिंग के माध्यम से यात्रा करेगी और विपरीत दिशा में कुछ विद्युत प्रभाव पैदा करेगी। बिजली की शक्ति नापने का यंत्र का उपयोग करते हुए, उन्होंने हर बार तार के दूसरे कॉइल में क्षणिक प्रवाह प्रवाह का अवलोकन किया कि बैटरी पहले कॉइल से जुड़ी या डिस्कनेक्ट हो गई थी। यह प्रवाह चुंबकीय प्रवाह में परिवर्तन से प्रेरित था जो तब हुआ जब बैटरी जुड़ी और डिस्कनेक्ट हो गई थी। फैराडे ने विद्युत चुम्बकीय प्रेरण की कई अन्य अभिव्यक्तियाँ पाईं।उदाहरण के लिए, उन्होंने क्षणिक धाराओं को देखा जब उन्होंने जल्दी से तारों के कॉइल के अंदर और बाहर बार चुंबक को स्लाइड किया, और उन्होंने स्लाइडिंग इलेक्ट्रिकल लीड (होमोपोलर जनरेटर (होमोपोलर जनरेटर (होमोपोलर जनरेटर (होमोपोलर जनरेटर (होमोपोलर) के साथ तांबे की डिस्क को घुमाकर स्थिर (प्रत्यक्ष वर्तमान) प्रवाह उत्पन्न किया।| फैराडे की डिस्क)।

अधिष्ठापन का स्रोत

लहर $i$ संवाहक के माध्यम से बहने से संवाहक के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न होता है, जिसे एम्पीयर के सर्कुलेटेड कानून द्वारा वर्णित किया गया है। सर्किट के माध्यम से कुल चुंबकीय प्रवाह $\Phi$ चुंबकीय प्रवाह घनत्व के लंबवत घटक और प्रवाह पथ के फैले हुए सतह के क्षेत्र के उत्पाद के बराबर है।यदि प्रवाह भिन्न होता है, तो चुंबकीय प्रवाह $\Phi$ सर्किट परिवर्तन के माध्यम से।फैराडे के नियम के अनुसार, सर्किट के माध्यम से प्रवाह में कोई भी परिवर्तन इलेक्ट्रोमोटिव बल (ईएमएफ) या वोल्टेज को प्रेरित करता है ${\mathcal {E}}$ सर्किट में, प्रवाह के परिवर्तन की दर के लिए आनुपातिक

$${\mathcal {E}}(t)=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\,\Phi (t)$$

समीकरण में ऋणात्मक संकेत इंगित करता है कि प्रेरित वोल्टेज दिशा में है जो इसे बनाया गया प्रवाह में परिवर्तन का विरोध करता है;इसे लेनज़ का नियम कहा जाता है।इसलिए क्षमता को बैक ईएमएफ कहा जाता है।यदि प्रवाह बढ़ रहा है, तो वोल्टेज संवाहक के अंत में सकारात्मक है, जिसके माध्यम से प्रवाह में प्रवेश होता है और अंत में ऋणात्मक होता है, जिसके माध्यम से वह छोड़ देता है, प्रवाह को कम करने के लिए प्रवृत्त होता है।यदि प्रवाह घट रहा है, तो वोल्टेज अंत में सकारात्मक है जिसके माध्यम से प्रवाह संवाहक को छोड़ देता है, प्रवाह को बनाए रखने के लिए प्रवृत्त होता है।आत्म-इंडक्शन, सामान्यतः सिर्फ अधिष्ठापन कहा जाता है, $L$ प्रेरित वोल्टेज और प्रवाह के परिवर्तन की दर के बीच का अनुपात है

$$v(t)=L\,{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}\qquad \qquad \qquad (1)\;$$

इस प्रकार, अधिष्ठापन संवाहक या सर्किट की संपत्ति है, इसके चुंबकीय क्षेत्र के कारण, जो सर्किट के माध्यम से प्रवाह में परिवर्तन का विरोध करता है। प्रणाली इंटरनेशनल प्रणाली में अधिष्ठापन की इकाई हेनरी (यूनिट) (एच) है, जिसका नाम अमेरिकी वैज्ञानिक जोसेफ हेनरी के नाम पर रखा गया है, जो कि अधिष्ठापन की मात्रा है जो था (इकाई) का वोल्टेज उत्पन्न करता है जब प्रवाह दर पर बदल रहा होता है एम्पेयर प्रति सेकंड।

सभी चालकों में कुछ अधिष्ठापन होते हैं, जिनमें व्यावहारिक विद्युत उपकरणों में या तो वांछनीय या हानिकारक प्रभाव हो सकते हैं। सर्किट का अधिष्ठापन प्रवाह पथ की ज्यामिति पर निर्भर करता है, और पास की सामग्रियों की चुंबकीय पारगम्यता पर; संवाहक के पास लोहे की तरह उच्च पारगम्यता के साथ लौह-चुंबकीय सामग्री चुंबकीय क्षेत्र और अधिष्ठापन को बढ़ाने के लिए होती है। सर्किट में कोई भी परिवर्तन जो किसी दिए गए प्रवाह द्वारा उत्पादित सर्किट के माध्यम से फ्लक्स (कुल चुंबकीय क्षेत्र) को बढ़ाता है, अधिष्ठापन को बढ़ाता है, क्योंकि अधिष्ठापन भी प्रवाह में चुंबकीय प्रवाह के अनुपात के बराबर है

$$L={\Phi (i) \over i}$$

प्रारंभ करनेवाला विद्युत घटक होता है जिसमें संवाहक से होता है जो चुंबकीय प्रवाह को बढ़ाने के लिए होता है, सर्किट में अधिष्ठापन जोड़ने के लिए। सामान्यतः इसमें तार घाव होता है जो विद्युत चुम्बकीय कॉइल या कुंडलित वक्रता में होता है। कुंडलित तार में ही लंबाई के सीधे तार की तुलना में अधिक अधिष्ठापन होता है, क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र लाइनें कई बार सर्किट से गुजरती हैं, इसमें कई फ्लक्स लिंकेज होते हैं। भक्ति पूर्ण प्रवाह लिंकेज को मानते हुए, कॉइल में मोड़ की संख्या के वर्ग के लिए आनुपातिक है।

केंद्र में छेद में फेरोमैग्नेटिक सामग्री के चुंबकीय कोर को रखकर कॉइल के अधिष्ठापन को बढ़ाया जा सकता है। कॉइल का चुंबकीय क्षेत्र कोर की सामग्री को चुंबकित करता है, इसके चुंबकीय डोमेन को संरेखित करता है, और कोर के चुंबकीय क्षेत्र को कॉइल के माध्यम से प्रवाह को बढ़ाते हुए, कॉइल को जोड़ता है। इसे प्रारंभ करनेवाला फेरोमैग्नेटिक कोर इंडिक्टर कहा जाता है। चुंबकीय कोर हजारों बार कॉइल के अधिष्ठापन को बढ़ा सकता है।

यदि कई विद्युत परिपथ दूसरे के करीब स्थित हैं, तो का चुंबकीय क्षेत्र दूसरे से गुजर सकता है; इस स्थितियों में सर्किट को आगमनात्मक युग्मन कहा जाता है। फैराडे के प्रेरण के नियम के कारण, सर्किट में प्रवाह में बदलाव से दूसरे सर्किट में चुंबकीय प्रवाह में बदलाव हो सकता है और इस प्रकार दूसरे सर्किट में वोल्टेज को प्रेरित किया जा सकता है। इस स्थितियों में अधिष्ठापन की अवधारणा को पारस्परिक प्रेरण को परिभाषित करके सामान्यीकृत किया जा सकता है $M_{k,\ell }$ सर्किट का $k$ और परिपथ $\ell$ सर्किट में प्रेरित वोल्टेज के अनुपात के रूप में $\ell$ सर्किट में प्रवाह परिवर्तन की दर के लिए $k$।यह ट्रांसफार्मर के पीछे का सिद्धांत है। अपने आप में संवाहक के प्रभाव का वर्णन करने वाली संपत्ति को अधिक सटीक रूप से आत्म-अधिष्ठापन कहा जाता है, और पास के चालकों पर प्रवाह को बदलने वाले संवाहक के प्रभावों का वर्णन करने वाले गुणों को पारस्परिक अधिष्ठापन कहा जाता है।

आत्म-अधिष्ठापन और चुंबकीय ऊर्जा

यदि अधिष्ठापन के साथ संवाहक के माध्यम से प्रवाह बढ़ रहा है, तो वोल्टेज $v(t)$ संवाहक के साथ ध्रुवीयता के साथ प्रेरित है जो प्रवाह का विरोध करता है - संवाहक के प्रतिरोध के कारण होने वाले किसी भी वोल्टेज ड्रॉप के अतिरिक्त ।सर्किट के माध्यम से बहने वाले शुल्क संभावित ऊर्जा खो देते हैं।इस संभावित पहाड़ी को दूर करने के लिए आवश्यक बाहरी सर्किट से ऊर्जा संवाहक के चारों ओर बढ़े हुए चुंबकीय क्षेत्र में संग्रहीत की जाती है।इसलिए, प्रारंभ करनेवाला अपने चुंबकीय क्षेत्र में ऊर्जा संग्रहीत करता है।दिये गये समय पर $t$ शक्ति $p(t)$ चुंबकीय क्षेत्र में बहना, जो संग्रहीत ऊर्जा के परिवर्तन की दर के बराबर है $U$, प्रवाह का उत्पाद है $i(t)$ और वोल्टेज $v(t)$ संवाहक के पार

$$p(t)={\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}t}}=v(t)\,i(t)$$

ऊपर (1) से

$${\begin{aligned}{\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}t}}&=L(i)\,i\,{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}\\{\text{d}}U&=L(i)\,i\,{\text{d}}i\,\end{aligned}}$$

जब कोई चालू नहीं होता है, तो कोई चुंबकीय क्षेत्र नहीं होता है और संग्रहीत ऊर्जा शून्य होती है।प्रतिरोधक नुकसान की उपेक्षा, ऊर्जा $U$ (जूल में मापा गया, तथा में) प्रवाह के साथ अधिष्ठापन द्वारा संग्रहीत $I$ इसके माध्यम से शून्य से अधिष्ठापन के माध्यम से प्रवाह को स्थापित करने के लिए आवश्यक कार्य की मात्रा के बराबर है, और इसलिए चुंबकीय क्षेत्र।यह द्वारा दिया गया है:

$$U=\int _{0}^{I}L(i)\,i\,{\text{d}}i\,$$

अगर अधिष्ठापन $L(i)$ प्रवाह सीमा पर स्थिर है, संग्रहीत ऊर्जा है

$${\begin{aligned}U&=L\int _{0}^{I}\,i\,{\text{d}}i\\&={\tfrac {1}{2}}L\,I^{2}\end{aligned}}$$

इसलिए अधिष्ठापन किसी दिए गए प्रवाह के लिए चुंबकीय क्षेत्र में संग्रहीत ऊर्जा के लिए आनुपातिक है।यह ऊर्जा तब तक संग्रहीत की जाती है जब तक कि प्रवाह स्थिर रहता है।यदि प्रवाह कम हो जाता है, तो चुंबकीय क्षेत्र कम हो जाता है, विपरीत दिशा में संवाहक में वोल्टेज को प्रेरित करता है, अंत में ऋणात्मक जिसके माध्यम से प्रवाह में प्रवेश होता है और अंत में सकारात्मक होता है जिसके माध्यम से यह छोड़ देता है।यह रैखिक परिपथ में चुंबकीय ऊर्जा को संग्रहीत करता है।

यदि फेरोमैग्नेटिक सामग्री संवाहक के पास स्थित होती है, जैसे कि चुंबकीय कोर के साथ प्रारंभ करनेवाला में, ऊपर निरंतर अधिष्ठापन समीकरण केवल चुंबकीय प्रवाह के रैखिक सर्किट क्षेत्रों के लिए मान्य है, तो उस स्तर के नीचे धाराओं पर, जिस पर फेरोमैग्नेटिक सामग्री चुंबकीय संतृप्ति , जहां जहांअधिष्ठापन लगभग स्थिर है।यदि प्रारंभ करनेवाला में चुंबकीय क्षेत्र उस स्तर पर पहुंचता है जिस पर कोर संतृप्त होता है, तो अधिष्ठापन प्रवाह के साथ बदलना प्रारंभ कर देता है, और अभिन्न समीकरण का उपयोग किया जाना चाहिए।

आगमनात्मक प्रतिक्रिया

File:Waveforms - inductive reactance.svg

वोल्टेज ($v$, नीला) और प्रवाह ($i$, लाल) आदर्श प्रारंभ करनेवाला में तरंगों को वैकल्पिक प्रवाह लागू किया गया है।प्रवाह वोल्टेज को 90 ° से पिछड़ देता है

जब सिनुसाइडल वैकल्पिक प्रवाह (एसी) रैखिक अधिष्ठापन से गुजर रहा है, तो प्रेरित बैक-ईएमएफ | बैक-EMFसाइनसोइडल भी है।यदि अधिष्ठापन के माध्यम से प्रवाह है $i(t)=I_{\text{peak}}\sin \left(\omega t\right)$, (1) से इसके पार वोल्टेज के ऊपर है

$${\begin{aligned}v(t)&=L{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}=L\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[I_{\text{peak}}\sin \left(\omega t\right)\right]\\&=\omega L\,I_{\text{peak}}\,\cos \left(\omega t\right)=\omega L\,I_{\text{peak}}\,\sin \left(\omega t+{\pi \over 2}\right)\end{aligned}}$$

यहाँ पे $I_{\text{peak}}$ amperes में साइनसोइडल प्रवाह का आयाम (शिखर मूल्य) है, $\omega =2\pi f$ वैकल्पिक प्रवाह की कोणीय आवृत्ति है, के साथ $f$ हर्ट्ज (इकाई) में इसकी आवृत्ति होने के नाते, और $L$ अधिष्ठापन है।

इस प्रकार अधिष्ठापन के पार वोल्टेज का आयाम (शिखर मूल्य) है

$$V_{p}=\omega L\,I_{p}=2\pi f\,L\,I_{p}$$

आगमनात्मक प्रतिक्रिया (इलेक्ट्रॉनिक्स) वैकल्पिक प्रवाह के लिए प्रारंभ करनेवाला का विरोध है। यह अवरोधक में विद्युत प्रतिरोध के अनुरूप रूप से परिभाषित किया गया है, घटक में प्रवाह के लिए वैकल्पिक वोल्टेज के आयाम (शिखर मूल्य) के अनुपात के रूप में

$$X_{L}={\frac {V_{p}}{I_{p}}}=2\pi f\,L$$

रिएक्शन में ओम (यूनिट) की इकाइयाँ हैं।यह देखा जा सकता है कि प्रारंभ करनेवाला की आगमनात्मक प्रतिक्रिया आवृत्ति के साथ आनुपातिक रूप से बढ़ जाती है $f$, इसलिए प्रारंभ करनेवाला किसी दिए गए एसी वोल्टेज के लिए कम प्रवाह का संचालन करता है क्योंकि आवृत्ति बढ़ती है।क्योंकि प्रेरित वोल्टेज सबसे बड़ा है जब प्रवाह बढ़ रहा है, वोल्टेज और प्रवाह तरंग चरण से बाहर हैं;वोल्टेज चोटियाँ पहले प्रत्येक चक्र में प्रवाह चोटियों की तुलना में होती हैं।प्रवाह और प्रेरित वोल्टेज के बीच चरण अंतर है $\phi ={\tfrac {1}{2}}\pi$ कांति या 90 & nbsp; डिग्री, यह दिखाते हुए कि आदर्श प्रारंभक में प्रवाह वोल्टेज को 90 ° तक पिछड़ता है।

गणना इंडक्शन

सबसे सामान्य स्थितियों में, अधिष्ठापन की गणना मैक्सवेल के समीकरणों से की जा सकती है।कई महत्वपूर्ण मामलों को सरलीकरण का उपयोग करके हल किया जा सकता है।जहां उच्च आवृत्ति धाराओं पर विचार किया जाता है, त्वचा के प्रभाव के साथ, सतह प्रवाह घनत्व और चुंबकीय क्षेत्र लाप्लास समीकरण को हल करके प्राप्त किया जा सकता है।जहां संवाहक पतले तार होते हैं, आत्म-उत्कृष्टता अभी भी तार त्रिज्या और तार में प्रवाह के वितरण पर निर्भर करती है।यह प्रवाह वितरण अन्य लंबाई के तराजू की तुलना में तार त्रिज्या के लिए लगभग स्थिर (सतह पर या तार की मात्रा में) है।

सीधे एकल तार का इंडक्शन

व्यावहारिक स्थितियों के रूप में, लंबे समय तक तारों में अधिक प्रेरण होता है, और मोटे तारों में कम होता है, उनके विद्युत प्रतिरोध के अनुरूप होता है (चूंकि रिश्ते रैखिक नहीं हैं, और रिश्तों से अलग हैं जो लंबाई और व्यास प्रतिरोध के लिए सहन करते हैं)।

सर्किट के अन्य भागों से तार को अलग करना किसी भी सूत्र के परिणामों में कुछ अपरिहार्य त्रुटि का परिचय देता है।इन अधिष्ठापन को अक्सर "आंशिक इंडक्शन" के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो कि पूरे-सर्किट अधिष्ठापन के लिए अन्य योगदानों पर विचार करने के लिए प्रोत्साहित करता है जो छोड़े गए हैं।

व्यावहारिक सूत्र

नीचे दिए गए सूत्रों की व्युत्पत्ति के लिए, रोजा (1908) देखें। सीधे तार की कुल कम आवृत्ति अधिष्ठापन (आंतरिक प्लस बाहरी) है:

$$L_{\text{DC}}=200{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}\cdot \ell \cdot \left[\ln \left({\frac {\,2\,\ell \,}{r}}\right)-0.75\right]$$

यहाँ पे

• $L_{\text{DC}}$ नैनोहेनरी (एनएच या 10) में "कम-आवृत्ति" या डीसी अधिष्ठापन है^{& minus; 9} h),
• $\ell$ मीटर में तार की लंबाई है,
• $r$ मीटर में तार की त्रिज्या है (इसलिए बहुत छोटी दशमलव संख्या),
• अटल $200{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}$ वैक्यूम पारगम्यता है, जिसे सामान्यतः कहा जाता है $\mu _{\text{o}}$, द्वारा विभाजित $2\pi$;चुंबकीय रूप से प्रतिक्रियाशील इन्सुलेशन की अनुपस्थिति में μ की शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करते समय मूल्य 200 सटीक है₀ = 4π×10⁻⁷ H/m, और 7 दशमलव स्थानों के लिए सही जब SI आधार इकाइयों के 2019 पुनर्वितरण का उपयोग करते हैं।₀ = 1.25663706212(19)×10⁻⁶ H/m।

निरंतर 0.75 कई के बीच सिर्फ पैरामीटर मान है;अलग -अलग आवृत्ति रेंज, अलग -अलग आकार, या बेहद लंबी तार लंबाई की आवश्यकता होती है, जो थोड़ा अलग स्थिरांक (#Current_distribution_parameter_y) की आवश्यकता होती है।यह परिणाम इस धारणा पर आधारित है कि त्रिज्या $r$ लंबाई से बहुत कम है $\ell$, जो तारों और छड़ के लिए सामान्य मामला है।डिस्क या मोटी सिलेंडर में थोड़ा अलग सूत्र होते हैं।

पर्याप्त रूप से उच्च आवृत्तियों के लिए त्वचा के प्रभाव आंतरिक धाराओं को गायब हो जाते हैं, संवाहक की सतह पर केवल धाराओं को छोड़ देते हैं;वैकल्पिक प्रवाह के लिए इंडक्शन, $L_{\text{AC}}$ तब बहुत ही सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$L_{\text{AC}}=200{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}\cdot \ell \cdot \left[\ln \left({\frac {\,2\,\ell \,}{r}}\right)-1\right]$$

जहां चर $\ell$ तथा $r$ ऊपर के समान हैं;ऊपर 0.75 से परिवर्तित निरंतर शब्द 1 पर ध्यान दें।

रोजमर्रा के अनुभव से उदाहरण में, दीपक कॉर्ड के संवाहक में से 10 m लंबे, 18 & nbsp से बना; अमेरिकन_वायर_गॉज वायर, केवल के बारे में अधिष्ठापन होगा 19 μH अगर सीधे फैला हुआ हो।

दो समानांतर सीधे तारों का पारस्परिक प्रेरण

विचार करने के लिए दो स्थितियों हैं:

1. प्रवाह प्रत्येक तार में ही दिशा में यात्रा करता है, और
2. तारों में दिशाओं का विरोध करने में प्रवाह यात्रा।

तारों में धाराओं को समान नहीं होना चाहिए, चूंकि वे अक्सर होते हैं, जैसा कि पूर्ण सर्किट के स्थितियों में होता है, जहां तार स्रोत और दूसरा वापसी है।

दो तार छोरों का पारस्परिक इंडक्शन

यह समान कम आवृत्ति प्रवाह ले जाने वाले प्रतिमान दो-लूप बेलनाकार कॉइल का सामान्यीकृत मामला है;लूप स्वतंत्र बंद सर्किट हैं जिनकी अलग -अलग लंबाई हो सकती है, अंतरिक्ष में कोई भी अभिविन्यास, और विभिन्न धाराओं को ले जा सकता है।कोई भी-कम, त्रुटि शब्द, जो अभिन्न में शामिल नहीं होते हैं, केवल छोटे होते हैं यदि छोरों की ज्यामिति ज्यादातर चिकनी होती है और उत्तल होती है: उनके पास बहुत अधिक किंक, तेज कोने, कॉइल, क्रॉसओवर, समानांतर खंड नहीं होते हैं,अवतल गुहाओं या अन्य टोपोलॉजिकल करीबी विकृति। डबल वक्र अभिन्न अंग के लिए 3-आयामी कई गुना एकीकरण सूत्र की कमी के लिए आवश्यक विधेय यह है कि प्रवाह पथ फिलामेंटरी सर्किट हैं, अर्थात् पतले तारों जहां तार की त्रिज्या इसकी लंबाई की तुलना में नगण्य है।

फिलामेंटरी सर्किट द्वारा पारस्परिक अधिष्ठापन $m$ फिलामेंटरी सर्किट पर $n$ डबल इंटीग्रल फ्रांज अर्न्स्ट न्यूमैन फॉर्मूला द्वारा दिया गया है

$$L_{m,n}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{C_{m}}\oint _{C_{n}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{m}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}{|\mathbf {x} _{m}-\mathbf {x} _{n}|}}$$

यहाँ पे

• $C_{m}$ तथा $C_{n}$ तारों के बाद घटता है।
• $\mu _{0}$ मुक्त स्थान की पारगम्यता है (4π × 10⁻⁷ H/m)
• $\mathrm {d} \mathbf {x} _{m}$ सर्किट सी में तार की छोटी वृद्धि है_m
• $\mathbf {x} _{m}$ की स्थिति है $d\mathbf {x} _{m}$ अंतरिक्ष में
• $\mathrm {d} \mathbf {x} _{n}$ सर्किट सी में तार की छोटी वृद्धि है_n
• $\mathbf {x} _{n}$ की स्थिति है $d\mathbf {x} _{n}$ अंतरिक्ष में

व्युत्पत्ति

$$M_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\Phi _{ij}}{I_{j}}}$$

यहाँ पे

• $\Phi _{ij}\ \,$ द्वारा उल्लिखित विद्युत सर्किट के कारण ith सतह के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह है $C_{j}$
• $I_{j}$ के माध्यम से प्रवाह है $j$तार, यह प्रवाह चुंबकीय प्रवाह बनाता है $\Phi _{ij}\ \,$के माध्यम से $i$सतह।

$$\Phi _{ij}=\int _{S_{i}}\mathbf {B} _{j}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\int _{S_{i}}(\nabla \times \mathbf {A_{j}} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\oint _{C_{i}}\mathbf {A} _{j}\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} _{i}=\oint _{C_{i}}\left({\frac {\mu _{0}I_{j}}{4\pi }}\oint _{C_{j}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {s} _{j}}{\left|\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j}\right|}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} _{i}$$

यहाँ पे

• $C_{i}$ वक्र घेरने वाली सतह है$S_{i}$; and $S_{i}$ किनारे के साथ कोई इच्छानुसार उन्मुख क्षेत्र है $C_{i}$
• $\mathbf {B} _{j}$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र सदिश है $j$-th करंट (सर्किट का)$C_{j}$).
• $\mathbf {A} _{j}$ सदिश क्षमता के कारण है $j$-th करंट .

स्टोक्स के प्रमेय का उपयोग तीसरे समानता कदम के लिए किया गया है।

अंतिम समानता के कदम के लिए, हमने मंदबुद्धि संभावित अभिव्यक्ति का उपयोग किया $A_{j}$ और हम मंद समय के प्रभाव को नजरअंदाज करते हैं (सर्किट की ज्यामिति को मानते हुए कि वे प्रवाह की तरंग दैर्ध्य की तुलना में काफी छोटा है)।यह वास्तव में अनुमानित कदम है, और केवल पतले तारों से बने स्थानीय सर्किट के लिए मान्य है।

तार लूप की आत्म-इंडक्शन

औपचारिक रूप से, तार लूप की आत्म-उत्कृष्टता उपरोक्त समीकरण द्वारा दी जाएगी $m=n$। चूंकि , यहाँ $1/|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|$ अनंत हो जाता है, लघुगणक विचलन अभिन्न तक जाता है। यह परिमित तार त्रिज्या लेने की आवश्यकता है $a$ और तार में प्रवाह का वितरण ध्यान में है।सभी बिंदुओं पर अभिन्न अंग और सुधार शब्द से योगदान रहता है,

$$L={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[\oint _{C}\oint _{C'}{\frac {d\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} '}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}\right]+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\,\ell \,Y+O\quad {\text{ for }}\;\left|\mathbf {s} -\mathbf {s} '\right|>{\tfrac {1}{2}}a$$

यहाँ पे

• $\mathbf {s}$ तथा $\mathbf {s} '$ घटता के साथ दूरियां हैं $C$ तथा $C'$ क्रमश:
• $a$ तार की त्रिज्या है
• $\ell$ तार की लंबाई है
• $Y$ स्थिरांक है जो तार में प्रवाह के वितरण पर निर्भर करता है: $Y=0$ जब प्रवाह तार की सतह पर बहता है (कुल त्वचा प्रभाव), $Y={\tfrac {1}{2}}$ जब प्रवाह समान रूप से तार के क्रॉस-सेक्शन पर होता है।
• $O$ त्रुटि शब्द है $O(\mu _{0}a)$ जब लूप में तेज कोने होते हैं, और $O\left(\mu _{0}a^{2}/\ell \right)$जब यह चिकनी वक्र है।ये छोटे होते हैं जब तार अपने त्रिज्या की तुलना में लंबा होता है।

सोलेनोइड का इंडक्शन

सोलनॉइड लंबा, पतला कुंडल है;यानी, कॉइल जिसकी लंबाई उसके व्यास से बहुत अधिक है।इन शर्तों के तहत, और किसी भी चुंबकीय सामग्री का उपयोग किए बिना, चुंबकीय क्षेत्र $B$ कॉइल के भीतर व्यावहारिक रूप से स्थिर है और द्वारा दिया जाता है

$$\displaystyle B={\frac {\mu _{0}\ N\ i}{\ell }}$$

यहाँ पे $\mu _{0}$ चुंबकीय स्थिरांक है, $N$ मोड़ की संख्या, $i$ प्रवाह और $l$ कॉइल की लंबाई।अंतिम प्रभावों को अनदेखा करते हुए, कॉइल के माध्यम से कुल चुंबकीय प्रवाह प्रवाह घनत्व को गुणा करके प्राप्त किया जाता है $B$ क्रॉस-सेक्शन क्षेत्र द्वारा $A$:

$$\displaystyle \Phi ={\frac {\mu _{0}\ N\ i\ A}{\ell }},$$

जब इसे अधिष्ठापन की परिभाषा के साथ जोड़ा जाता है $\displaystyle L={\frac {N\ \Phi }{i}}$, यह निम्नानुसार है कि सोलनॉइड का अधिष्ठापन द्वारा दिया गया है:

$$\displaystyle L={\frac {\mu _{0}\ N^{2}\ A}{\ell }}.$$

इसलिए, एयर-कोर कॉइल के लिए, अधिष्ठापन कॉइल ज्यामिति और टर्न की संख्या का कार्य है, और प्रवाह से स्वतंत्र है।

समाक्षीय केबल का इंडक्शन

चलो आंतरिक संवाहक में त्रिज्या है $r_{i}$ और पारगम्यता (इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म) $\mu _{i}$, आंतरिक और बाहरी संवाहक के बीच ढांकता हुआ पारगम्यता है $\mu _{d}$, और बाहरी संवाहक में आंतरिक त्रिज्या है $r_{o1}$, बाहरी त्रिज्या $r_{o2}$, और पारगम्यता $\mu _{0}$। चूंकि , विशिष्ट समाक्षीय लाइन एप्लिकेशन के लिए, हम आवृत्तियों पर (गैर-डीसी) संकेतों को पारित करने में रुचि रखते हैं, जिसके लिए प्रतिरोधक त्वचा प्रभाव की उपेक्षा की जा सकती है।ज्यादातर मामलों में, आंतरिक और बाहरी संवाहक शब्द नगण्य हैं, जिस स्थिति में कोई अनुमानित हो सकता है

$$L'={\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}\ell }}\quad \approx \quad {\frac {\mu _{d}}{2\pi }}\ln {\frac {r_{o1}}{r_{i}}}$$

मल्टीलेयर कॉइल का इंडक्शन

अधिकांश व्यावहारिक एयर-कोर इंडक्टर्स बहुपक्षीय बेलनाकार कॉइल होते हैं, जो वर्ग क्रॉस-सेक्शन के साथ मोड़ के बीच औसत दूरी को कम करने के लिए होते हैं (परिपत्र क्रॉस-सेक्शन बेहतर होगा लेकिन बनने के लिए कठिन होगा)।

चुंबकीय कोर

कई इंडक्टरों में चुंबकीय कोर शामिल होता है, जो घुमावदार के केंद्र में या आंशिक रूप से घुमावदार होता है। बड़ी पर्याप्त सीमा पर ये संतृप्ति (चुंबकीय) जैसे प्रभावों के साथ nonlinear पारगम्यता प्रदर्शित करते हैं।संतृप्ति परिणामी अधिष्ठापन को लागू प्रवाह का फ़ंक्शन बनाती है।

फ्लक्स गणना में सेकेंट या बड़े-सिग्नल अधिष्ठापन का उपयोग किया जाता है।यह इस के रूप में परिभाषित किया गया है:

$$L_{s}(i)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {N\ \Phi }{i}}={\frac {\Lambda }{i}}$$

दूसरी ओर, अंतर या छोटे-सिग्नल अधिष्ठापन का उपयोग वोल्टेज की गणना में किया जाता है।यह इस के रूप में परिभाषित किया गया है:

$$L_{d}(i)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {{\text{d}}(N\Phi )}{{\text{d}}i}}={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}i}}$$

अरेखीय प्रारंभ करनेवाला के लिए सर्किट वोल्टेज को अंतर अधिष्ठापन के माध्यम से प्राप्त किया जाता है जैसा कि फैराडे के नियम और कैलकुलस के श्रृंखला नियम द्वारा दिखाया गया है।

$$v(t)={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}i}}{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}=L_{d}(i){\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}$$

इसी तरह की परिभाषाएँ नॉनलाइनर म्यूचुअल अधिष्ठापन के लिए प्राप्त की जा सकती हैं।

म्यूचुअल इंडक्शन

Further information: आगमनात्मक युग्मन

म्यूचुअल अधिष्ठापन को लूप या कॉइल में प्रेरित ईएमएफ के बीच के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो किसी अन्य लूप या कॉइल में प्रवाह के परिवर्तन की दर से होता है।आपसी अधिष्ठापन को प्रतीक दिया जाता है M।

म्यूचुअल अधिष्ठापन की व्युत्पत्ति

ऊपर दिए गए समीकरण मैक्सवेल के समीकरणों का परिणाम हैं। पतले तारों से युक्त विद्युत सर्किट के महत्वपूर्ण स्थितियों के लिए, व्युत्पत्ति सीधी है।

की प्रणाली में $K$ तार लूप, प्रत्येक या कई तार मुड़ता है, लूप का फ्लक्स लिंकेज $m$, $\lambda _{m}$, द्वारा दिया गया है

$$\displaystyle \lambda _{m}=N_{m}\Phi _{m}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}\ i_{n}\,.$$

यहां $N_{m}$ लूप में मोड़ की संख्या को दर्शाता है $m$; $\Phi _{m}$ लूप के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह है $m$;तथा $L_{m,n}$ कुछ स्थिरांक नीचे वर्णित हैं।यह समीकरण एम्पीयर के नियम से है: चुंबकीय क्षेत्र और प्रवाह धाराओं के रैखिक कार्य हैं।फैराडे के प्रेरण के नियम से, हमारे पास है

$$\displaystyle v_{m}={\frac {{\text{d}}\lambda _{m}}{{\text{d}}t}}=N_{m}{\frac {{\text{d}}\Phi _{m}}{{\text{d}}t}}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}{\frac {{\text{d}}i_{n}}{{\text{d}}t}},$$

यहाँ पे $v_{m}$ सर्किट में प्रेरित वोल्टेज को दर्शाता है $m$।यह गुणांक से ऊपर के अधिष्ठापन की परिभाषा से सहमत है $L_{m,n}$ अधिष्ठापन के गुणांक के साथ पहचाना जाता है।क्योंकि कुल धाराएं $N_{n}\ i_{n}$ में योगदान $\Phi _{m}$ यह भी इस प्रकार है $L_{m,n}$ मोड़ के उत्पाद के लिए आनुपातिक है $N_{m}\ N_{n}$।

म्यूचुअल अधिष्ठापन और मैग्नेटिक फील्ड एनर्जी

उपरोक्त vm के समीकरण को imdt से गुणा करने और m से जोड़ने पर समय अंतराल dt में प्रणाली में स्थानांतरित ऊर्जा प्राप्त होती है,

$$\displaystyle \sum \limits _{m}^{K}i_{m}v_{m}{\text{d}}t=\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}{\text{d}}i_{n}{\overset {!}{=}}\sum \limits _{n=1}^{K}{\frac {\partial W\left(i\right)}{\partial i_{n}}}{\text{d}}i_{n}.$$

यह धाराओं के कारण चुंबकीय क्षेत्र ऊर्जा, डब्ल्यू के परिवर्तन से सहमत होना चाहिए। दूसरे डेरिवेटिव्स की समरूपता

$$\displaystyle {\frac {\partial ^{2}W}{\partial i_{m}\partial i_{n}}}={\frac {\partial ^{2}W}{\partial i_{n}\partial i_{m}}}$$

Lm,n = Ln,m की आवश्यकता है। अधिष्ठापन मैट्रिक्स, एलएम,एन, इस प्रकार सममित है। ऊर्जा हस्तांतरण का अभिन्न अंग धाराओं के कार्य के रूप में चुंबकीय क्षेत्र ऊर्जा है,

$$\displaystyle W\left(i\right)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}i_{n}.$$

यह समीकरण मैक्सवेल के समीकरणों की रैखिकता का प्रत्यक्ष परिणाम है।यह बदलते बिजली की धाराओं को निर्माण या चुंबकीय क्षेत्र ऊर्जा में कमी के साथ जोड़ने में मददगार है।इसी ऊर्जा हस्तांतरण के लिए वोल्टेज की आवश्यकता या उत्पन्न होती है।K = 1 मामले में चुंबकीय क्षेत्र ऊर्जा (1/2)Li² के साथ प्रतिबाधा सादृश्य द्रव्यमान एम, वेग यू और काइनेटिक ऊर्जा (1/2)Mu² के साथ शरीर है। द्रव्यमान (अधिष्ठापन) के साथ गुणा किए गए वेग (वर्तमान) के परिवर्तन की दर को बल ( विद्युत वोल्टेज) की आवश्यकता होती है या उत्पन्न होती है।

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दो पारस्परिक रूप से युग्मित इंडक्टरों का सर्किट आरेख।वाइंडिंग के बीच की दो ऊर्ध्वाधर रेखाएं इंगित करती हैं कि ट्रांसफार्मर में चुंबकीय कोर होता है।N: M दाएं प्रारंभ करनेवाला के वाइंडिंग के लिए बाएं प्रारंभ करनेवाला की वाइंडिंग की संख्या के बीच का अनुपात दिखाता है।यह तस्वीर डॉट कन्वेंशन भी दिखाती है।

म्यूचुअल अधिष्ठापन तब होता है जब इंडक्टर में प्रवाह में परिवर्तन अन्य पास के इंडक्टर में वोल्टेज को प्रेरित करता है।यह उस तंत्र के रूप में महत्वपूर्ण है जिसके द्वारा ट्रांसफॉर्मर काम करते हैं, लेकिन यह सर्किट में चालकों के बीच अवांछित युग्मन का कारण भी बन सकता है।

आपसी इंडक्शन, $M_{ij}$, दो इंडक्टरों के बीच युग्मन का उपाय भी है।सर्किट द्वारा पारस्परिक अधिष्ठापन $i$ सर्किट पर $j$ डबल इंटीग्रल फ्रांज अर्नस्ट न्यूमैन फॉर्मूला द्वारा दिया गया है,अधिष्ठापन देखें गिना जा रहा है

आपसी अधिष्ठापन का संबंध भी है:

$$M_{21}=N_{1}\ N_{2}\ P_{21}\!$$

यहाँ पे

• $M_{21}$पारस्परिक प्रेरकत्व है, और सबस्क्रिप्ट कॉइल 1 में करंट के कारण कॉइल 2 में प्रेरित वोल्टेज के संबंध को निर्दिष्ट करता है।
• $N_{1}$ कुंडली 1 में घुमावों की संख्या है,
• $N_{2}$कुंडल 2 में घुमावों की संख्या है,
• $P_{21}$फ्लक्स द्वारा व्याप्त स्थान का परमीन्स है।

बार पारस्परिक प्रेरण, $M$, निर्धारित किया गया है, इसका उपयोग सर्किट के व्यवहार की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है:

$$v_{1}=L_{1}\ {\frac {{\text{d}}i_{1}}{{\text{d}}t}}-M\ {\frac {{\text{d}}i_{2}}{{\text{d}}t}}$$

यहाँ पे

• $v_{1}$ रुचि के प्रारंभकर्ता पर वोल्टेज है;
• $L_{1}$ ब्याज के प्रारंभकर्ता का प्रेरण है;
• ${\text{d}}i_{1}\,/\,{\text{d}}t$ ब्याज के प्रारंभकर्ता के माध्यम से वर्तमान का समय के संबंध में व्युत्पन्न है, जिसे 1 लेबल किया गया है;
• ${\text{d}}i_{2}\,/\,{\text{d}}t$ प्रारंभ करनेवाला के माध्यम से वर्तमान के समय के संबंध में व्युत्पन्न है, जिसे 2 लेबल किया गया है, जो पहले प्रारंभ करनेवाला से जुड़ा हुआ है; और
• $M$ पारस्परिक प्रेरण है.

माइनस चिन्ह प्रवाह के कारण उत्पन्न होता है $i_{2}$ आरेख में परिभाषित किया गया है।दोनों धाराओं के साथ डॉट सम्मेलनों में जाने के संकेत के संकेत के साथ $M$ सकारात्मक होगा (समीकरण इसके बजाय प्लस साइन के साथ पढ़ेगा)।

युग्मन गुणांक

युग्मन गुणांक ओपन-सर्किट वास्तविक वोल्टेज अनुपात का अनुपात है, जो प्राप्त किया जाएगा यदि सभी फ्लक्स चुंबकीय सर्किट से दूसरे में युग्मित हो।युग्मन गुणांक निम्नलिखित विधियां से पारस्परिक प्रेरण और आत्म प्रेरण से संबंधित है।दो-पोर्ट आव्युह में व्यक्त दो साथ समीकरणों से ओपन-सर्किट वोल्टेज अनुपात पाया जाता है:

$${V_{2} \over V_{1}}({\text{open circuit}})={M \over L_{1}}$$

यहाँ पे

• $M^{2}=M_{1}M_{2}$

जबकि अनुपात यदि सभी प्रवाह युग्मित है, तो मोड़ का अनुपात है, इसलिए अधिष्ठापन के वर्गमूल का अनुपात

$${V_{2} \over V_{1}}({\text{max coupled}})={\sqrt {L_{2} \over L_{1}\ }}$$

इस प्रकार,

$$M=k{\sqrt {L_{1}\ L_{2}\ }}$$

यहाँ पे

• $k$युग्मन गुणांक है,
• $L_{1}$ प्रथम कुंडल का प्रेरण है, और
• $L_{2}$दूसरे कुंडल का प्रेरकत्व है।

युग्मन गुणांक इच्छानुसार अधिष्ठापन के साथ प्रेरकों के निश्चित अभिविन्यास के बीच संबंध को निर्दिष्ट करने के लिए सुविधाजनक विधि है।अधिकांश लेखक रेंज को परिभाषित करते हैं $0\leq k<1$, लेकिन कुछ इसे परिभाषित करें $-1<k<1\,$. के ऋणात्मक मूल्यों की अनुमति $k$ कॉइल कनेक्शन और वाइंडिंग की दिशा के चरण व्युत्क्रमों को कैप्चर करता है।

आव्युह प्रतिनिधित्व

पारस्परिक रूप से युग्मित इंडक्टरों को दो पोर्ट नेटवर्क पैरामीटर आव्युह अभ्यावेदन में से किसी द्वारा वर्णित किया जा सकता है।सबसे प्रत्यक्ष z पैरामीटर हैं, जो द्वारा दिए गए हैं

$$[\mathbf {z} ]=s{\begin{bmatrix}L_{1}\ M\\M\ L_{2}\end{bmatrix}}$$

यहाँ पे $s$ जटिल आवृत्ति चर है, $L_{1}$ तथा $L_{2}$ क्रमशः प्राथमिक और द्वितीयक कुंडल के प्रेरण हैं, और $M$ कॉइल के बीच पारस्परिक प्रेरण है।

समकक्ष सर्किट

T-circuit

File:Mutual inductance equivalent circuit.svg

टी पारस्परिक रूप से युग्मित इंडक्टरों के बराबर सर्किट

पारस्परिक रूप से युग्मित इंडक्टरों को समान रूप से दिखाए गए अनुसार इंडक्टरों के टी-सर्किट द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।यदि युग्मन मजबूत है और इंडक्टर्स असमान मूल्यों के हैं, तो स्टेप-डाउन पक्ष पर श्रृंखला प्रारंभ करनेवाला ऋणात्मक मूल्य पर ले जा सकता है।

इसका विश्लेषण दो पोर्ट नेटवर्क के रूप में किया जा सकता है।आउटपुट के साथ कुछ इच्छानुसार प्रतिबाधा के साथ समाप्त किया गया, $Z$, वोल्टेज लाभ, $A_{v}$, द्वारा दिया गया है,

$$A_{\mathrm {v} }={\frac {sMZ}{\,s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z\,}}={\frac {k}{\,s\left(1-k^{2}\right){\frac {\sqrt {L_{1}L_{2}}}{Z}}+{\sqrt {\frac {L_{1}}{L_{2}}}}\,}}$$

यहाँ पे $k$ युग्मन स्थिर है और $s$ ऊपर के रूप में जटिल आवृत्ति चर है। कसकर युग्मित इंडक्टर्स के लिए जहां $k=1$ यह कम कर देता है

$$A_{\mathrm {v} }={\sqrt {L_{2} \over L_{1}}}$$

जो लोड प्रतिबाधा से स्वतंत्र है।यदि इंडक्टर्स ही कोर पर और ही ज्यामिति के साथ घाव कर रहे हैं, तो यह अभिव्यक्ति दो इंडक्टरों के टर्न अनुपात के बराबर है क्योंकि अधिष्ठापन टर्न अनुपात के वर्ग के लिए आनुपातिक है।

नेटवर्क का इनपुट प्रतिबाधा द्वारा दिया गया है,

$$Z_{\mathrm {in} }={\frac {s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,{\biggl (}{\frac {1}{1+\left({\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}\right)}}{\biggr )}{\Biggl (}1+{\frac {\left(1-k^{2}\right)}{\left({\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}\right)}}{\Biggr )}$$

के लिये $k=1$ यह कम कर देता है

$$Z_{\mathrm {in} }={\frac {sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,{\biggl (}{\frac {1}{1+\left({\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}\right)}}{\biggr )}$$

इस प्रकार, प्रवाह लाभ, $A_{i}$ तब तक लोड से स्वतंत्र नहीं है जब तक कि आगे की स्थिति

$$|sL_{2}|\gg |Z|$$

मुलाकात है, जिस स्थिति में,

$$Z_{\mathrm {in} }\approx {L_{1} \over L_{2}}Z$$

तथा

$$A_{\mathrm {i} }\approx {\sqrt {L_{1} \over L_{2}}}={1 \over A_{\mathrm {v} }}$$

π-सर्किट

File:Mutual inductance pi equivalent circuit.svg

π युग्मित इंडक्टर्स के समतुल्य सर्किट

वैकल्पिक रूप से, दो युग्मित इंडक्टरों को प्रत्येक पोर्ट पर वैकल्पिक आदर्श ट्रांसफॉर्मर के साथ समतुल्य सर्किट का उपयोग करके मॉडलिंग की जा सकती है।जबकि सर्किट टी-सर्किट की तुलना में अधिक जटिल है, इसे सामान्यीकृत किया जा सकता है दो से अधिक युग्मित इंडक्टरों से मिलकर सर्किट के लिए।समतुल्य परिपथ तत्व $L_{\text{s}}$, $L_{\text{p}}$ भौतिक अर्थ है, युग्मन पथों की क्रमशः चुंबकीय अनिच्छा और रिसाव अधिष्ठापन की चुंबकीय अनिच्छा।उदाहरण के लिए, इन तत्वों के माध्यम से बहने वाली विद्युत धाराएं युग्मन और रिसाव चुंबकीय प्रवाह के अनुरूप हैं।आदर्श ट्रांसफॉर्मर गणितीय सूत्रों को सरल बनाने के लिए 1 & nbsp; हेनरी को सभी आत्म-अधिष्ठापन को सामान्य करते हैं।

समतुल्य सर्किट तत्व मानों की गणना युग्मन गुणांक से की जा सकती है

$${\begin{aligned}L_{S_{ij}}&={\dfrac {\det(\mathbf {K} )}{-\mathbf {C} _{ij}}}\\L_{P_{i}}&={\dfrac {\det(\mathbf {K} )}{\sum _{j=1}^{N}\mathbf {C} _{ij}}}\end{aligned}}$$

जहां युग्मन गुणांक आव्युह और इसके सॉफक्टोर्स को परिभाषित किया गया है

$$\mathbf {K} ={\begin{bmatrix}1&k_{12}&\cdots &k_{1N}\\k_{12}&1&\cdots &k_{2N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\k_{1N}&k_{2N}&\cdots &1\end{bmatrix}}\quad$$

तथा $\quad \mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\,\mathbf {M} _{ij}.$ दो युग्मित इंडक्टरों के लिए, ये सूत्र सरल बनाते हैं

$$L_{S_{12}}={\dfrac {-k_{12}^{2}+1}{k_{12}}}\quad$$

तथा $\quad L_{P_{1}}=L_{P_{2}}\!=\!k_{12}+1,$ और तीन युग्मित इंडक्टरों के लिए (केवल के लिए दिखाए गए संक्षिप्तता के लिए $L_{\text{s12}}$ तथा $L_{\text{p1}}$)

$$L_{S_{12}}={\frac {2\,k_{12}\,k_{13}\,k_{23}-k_{12}^{2}-k_{13}^{2}-k_{23}^{2}+1}{k_{13}\,k_{23}-k_{12}}}\quad$$

तथा $\quad L_{P_{1}}={\frac {2\,k_{12}\,k_{13}\,k_{23}-k_{12}^{2}-k_{13}^{2}-k_{23}^{2}+1}{k_{12}\,k_{23}+k_{13}\,k_{23}-k_{23}^{2}-k_{12}-k_{13}+1}}.$

गुंजयमान ट्रांसफार्मर

Main article: गुंजयमान आगमनात्मक युग्मन

जब संधारित्र ट्रांसफार्मर के घुमाव से जुड़ा होता है, तो वाइंडिंग को ट्यून्ड सर्किट (गुंजयमान सर्किट) बना देता है, इसे एकल-ट्यून ट्रांसफार्मर कहा जाता है। जब संधारित्र प्रत्येक घुमावदार में जुड़ा होता है, तो इसे डबल ट्यून कहा जाता है।ये ट्रांसफार्मर प्रकार गुंजयमान ट्रांसफार्मर गुंजयमान सर्किट के समान विद्युत ऊर्जा को दोलन कर सकते हैं और इस प्रकार बंदपास छननी के रूप में कार्य कर सकते हैं, जिससे प्राथमिक से द्वितीयक वाइंडिंग के लिए अपने गुंजयमान आवृत्ति के पास आवृत्तियों की अनुमति मिलती है, लेकिन अन्य आवृत्तियों को अवरुद्ध करता है।सर्किट के क्यू कारक के साथ दो वाइंडिंग के बीच पारस्परिक प्रेरण की मात्रा, आवृत्ति प्रतिक्रिया वक्र के आकार को निर्धारित करती है।डबल ट्यून ट्रांसफार्मर का लाभ यह है कि इसमें साधारण ट्यून सर्किट की तुलना में व्यापक बैंडविड्थ हो सकता है।डबल-ट्यून किए गए सर्किटों के युग्मन को युग्मन गुणांक (इंडक्टर्स) के मूल्य के आधार पर ढीले, महत्वपूर्ण- या ओवर-युग्मित के रूप में वर्णित किया गया है। $k$।जब दो ट्यून किए गए सर्किट को पारस्परिक प्रेरण के माध्यम से शिथिल रूप से युग्मित किया जाता है, तो बैंडविड्थ संकीर्ण होता है।जैसे -जैसे आपसी अधिष्ठापन की मात्रा बढ़ती जाती है, बैंडविड्थ बढ़ती रहती है।जब क्रिटिकल कपलिंग से परे म्यूचुअल अधिष्ठापन बढ़ जाता है, तो फ्रीक्वेंसी रिस्पॉन्स वक्र में शिखर दो चोटियों में विभाजित होता है, और जैसे -जैसे युग्मन बढ़ जाता है, दोनों चोटियों को और अलग कर दिया जाता है।इसे ओवरकंपलिंग के रूप में जाना जाता है।

मिड रेंज डिस्टेंस (दो मीटर तक) में उपकरणों के बीच वायरलेस पावर ट्रांसफर के लिए स्टॉन्ग-युग्मित स्व-रेजोनेंट कॉइल का उपयोग किया जा सकता है। ट्रांसफर किए गए उच्च प्रतिशत के लिए मजबूत युग्मन की आवश्यकता होती है, जिसके परिणामस्वरूप आवृत्ति प्रतिक्रिया का शिखर विभाजन होता है।

आदर्श ट्रांसफार्मर

जब $k=1$, प्रारंभ करनेवाला को बारीकी से युग्मित होने के रूप में संदर्भित किया जाता है।यदि इसके अतिरिक्त , आत्म-अधिष्ठापन इन्फिनिटी में जाते हैं, तो इंडक्टर आदर्श ट्रांसफार्मर बन जाता है।इस स्थितियों में वोल्टेज, धाराएं और टर्न की संख्या निम्नलिखित विधियां से संबंधित हो सकती है:

$$V_{\text{s}}={\frac {N_{\text{s}}}{N_{\text{p}}}}V_{\text{p}}$$

यहाँ पे

• $V_{\text{s}}$द्वितीयक प्रेरक पर वोल्टेज है,
• $V_{\text{p}}$ प्राथमिक प्रारंभ करनेवाला (एक शक्ति स्रोत से जुड़ा हुआ) में वोल्टेज है,
• $N_{\text{s}}$ द्वितीयक प्रारंभक में घुमावों की संख्या है, और
• $N_{\text{p}}$ प्राथमिक प्रारंभ करनेवाला में घुमावों की संख्या है।

इसके विपरीत वर्तमान:

$$I_{\text{s}}={\frac {N_{\text{p}}}{N_{\text{s}}}}I_{\text{p}}$$

यहाँ पे

• $I_{\text{s}}$ द्वितीयक प्रेरक के माध्यम से धारा है,
• $I_{\text{p}}$ प्राथमिक प्रारंभ करनेवाला (एक शक्ति स्रोत से जुड़ा हुआ) के माध्यम से धारा है,
• $N_{\text{s}}$ द्वितीयक प्रारंभक में घुमावों की संख्या है, और
• $N_{\text{p}}$ प्राथमिक प्रारंभ करनेवाला में घुमावों की संख्या है।

प्रारंभ करनेवाला के माध्यम से शक्ति दूसरे के माध्यम से शक्ति के समान है। ये समीकरण प्रवाह स्रोतों या वोल्टेज स्रोतों द्वारा किसी भी मजबूर करने की उपेक्षा करते हैं।

पतली तार आकृतियों की आत्म-इंडक्शन

See also: प्रेरक § प्रेरकत्व सूत्र

निम्नलिखित सरल आकृतियों की स्व-आवाहन की सूत्र सूखी गोल विद्युतचालकों (तारों) की बनाई जाती है। सामान्यत: ये सूत्र केवल उस स्थिति में सटीक होते हैं जब तार की ऊँचाई की तुलना में तार के त्रिज्या $a$ तार के आकार से बहुत छोटा हो, और यदि कोई फेरोमैग्नेटिक सामग्री समीप में नहीं है (कोई चुंबकीय मध्यभूत नहीं है)।

पतले तार आकृतियों का स्व-प्रेरण

प्रकार	अधिष्ठापन	टिप्पणी
एकल परत सोलनॉइड	करंट-शीट मॉडल एयर-कोर कॉइल के लिए प्रसिद्ध व्हीलर का सन्निकटन सूत्र: ${\mathcal {L}}={\frac {N^{2}D^{2}}{18D+40\ell }}$ (अंग्रेज़ी) ${\mathcal {L}}={\frac {N^{2}D^{2}}{45D+100\ell }}$ (सीजीएस) यह सूत्र 1% से अधिक त्रुटि नहीं देता है जब $\ell >0.4\,D~.$	${\mathcal {L}}$ स्व-आवाहन (इंडक्टेंस) में μH (10−6हेनरी) $N$ चक्रों की संख्या। $D$ व्यास (इंच में) (सेंटीमीटर में)। $\ell$लंबाई (इंच में) (सेंटीमीटर में)।
समाक्षीय केबल (एचएफ)	${\mathcal {L}}={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\ell \ln \left({\frac {b}{a}}\right)$	$b$: आउटर कंडक्टर की अंदर की त्रिज्या $a$: इनर कंडक्टर की त्रिज्या $\ell$: लंबाई $\mu _{0}$: टेबल के फुटनोट में देखें।
गोलाकार लूप	${\mathcal {L}}=\mu _{0}\ r\ \left[\ln \left({\frac {8r}{a}}\right)-2+{\tfrac {1}{4}}Y+{\mathcal {O}}\left({\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\right]$	$r$: लूप की त्रिज्या $a$: तार की त्रिज्या $\mu _{0},Y$: टेबल के फुटनोट में देखें।
गोल तार से बना आयत	${\mathcal {L}}={\frac {\mu _{0}}{\pi }}\ {\biggl [}\ \ell _{1}\ln \left({\frac {2\ell _{1}}{a}}\right)+\ell _{2}\ \ln \left({\frac {2\ell _{2}}{a}}\right)+2{\sqrt {\ell _{1}^{2}+\ell _{2}^{2}\ }}$ $\qquad -\ell _{1}\ \sinh ^{-1}\left({\frac {\ell _{1}}{\ell _{2}}}\right)-\ell _{2}\sinh ^{-1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)$ $\qquad -\left(2-{\tfrac {1}{4}}Y\ \right)\left(\ell _{1}+\ell _{2}\right)\ {\biggr ]}$	$\ell _{1},\ell _{2}$: पक्ष की लम्बाई $\ \ell _{1}\gg a,\ell _{2}\gg a\$ $a$: तार की त्रिज्या $\mu _{0},Y$: टेबल के फुटनोट में देखें।
समानांतर तारों की जोड़ी	${\mathcal {L}}={\frac {\ \mu _{0}}{\pi }}\ \ell \ \left[\ln \left({\frac {s}{a}}\right)+{\tfrac {1}{4}}Y\right]$	$a$: तार की त्रिज्या $s$: अलगाव की दूरी, $s\geq 2a$ $\ell$: जोड़ी की लंबाई $\mu _{0},Y$: टेबल के फुटनोट में देखें।
समानांतर तारों की जोड़ी (एचएफ)	${\mathcal {L}}={\frac {\mu _{0}}{\pi }}\ \ell \ \cosh ^{-1}\left({\frac {s}{2a}}\right)$ $\quad ={\frac {\mu _{0}}{\pi }}\ \ell \ \ln \left({\frac {s}{2a}}+{\sqrt {{\frac {s^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)$$\quad \approx \quad {\frac {\mu _{0}}{\pi }}\ \ell \ \ln \left({\frac {s}{a}}\right)$	$a$: तार की त्रिज्या $s$: अलगाव की दूरी $s\geq 2a$ $\ell$:जोड़ी की हर एक की लंबाई $\mu _{0}$: टेबल के फुटनोट में देखें।

$Y$ लगभग स्थिर मान है जो 0 और 1 के बीच होता है और तार में धारा के वितरण पर निर्भर करता है: $Y=0$ जब प्रवाह केवल तार की सतह पर प्रवाहित होती है (पूर्ण त्वचा प्रभाव), $Y=1$ जब प्रवाह तार की अनुपातित क्षेत्र में बराबर रूप से प्रसारित होती है (सीधी धारा)। गोल तारों के लिए, रोज़ा (1908) ने निम्नलिखित समक से समान सूत्र दिया:

$$Y\approx {\frac {1}{\,1+a\ {\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\mu \sigma \omega \,}}\,}}$$

जहाँ:

• $\omega =2\pi f$एक्सयूजी की आवृत्ति है, रेडियन्स प्रति सेकंड में;
• $\mu =\mu _{0}\,\mu _{\text{r}}$तार की नेट चुंबकीय प्रवाहनशीलता है;
• $\sigma$ तार की विशिष्ट चालकता है; और
• $a$ तार की त्रिज्या है।

${\mathcal {O}}(x)$ यह उन छोटे शब्दों को दर्शाता है जिन्हें सूत्र को सरल बनाने के लिए सूत्र से हटा दिया गया है। शब्द पढ़ें $+{\mathcal {O}}(x)$के रूप में "प्लस छोटे सुधार जो के क्रम $x$पर भिन्न होते हैं । (बिग ओ नोटेशन भी देखें।

यह भी देखें

• विद्युतचुंबकीय इंडक्शन
• जाइरेटर
• हाइड्रोलिक सादृश्य
• रिसाव इंडक्शन
• एलसी सर्किट , आरएलसी सर्किट , आरएल परिपथ
• काइनेटिक अधिष्ठापन

इस पृष्ठ में गुम आंतरिक लिंक की सूची

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• रिसावों की कमी
• क्यू फैक्टर
• गुंजयमान परिपथ

सामान्य संदर्भ

• Frederick W. Grover (1952). Inductance Calculations. Dover Publications, New York.
• Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Wangsness, Roald K. (1986). Electromagnetic Fields (2nd ed.). Wiley. ISBN 0-471-81186-6.
• Hughes, Edward. (2002). Electrical & Electronic Technology (8th ed.). Prentice Hall. ISBN 0-582-40519-X.
• कार्ल Küpfmüller | küpfmüller K., Einführung in die theoretische Elektrotechnik, Springer-Verlag, 1959।
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बाहरी संबंध

• Clemson Vehicular Electronics Laboratory: Inductance Calculator