हेरोनियन त्रिकोण: Difference between revisions

Latest revision as of 15:20, 11 April 2023

ज्यामिति में, हेरोनियन त्रिभुज (या हेरोन त्रिकोण) एक त्रिभुज है जिसकी भुजाओं की लंबाई $a$ , $b$ , और $c$ है और क्षेत्रफल $A$ सभी पूर्णांक हैं।^[1]^[2] हेरोनियन त्रिकोणों का नाम अलेक्जेंड्रिया के हेरॉन के नाम पर रखा गया है, जो हेरोन के सूत्र के संबंध पर आधारित है, जिसे हेरोन ने भुजाओं $13, 14, 15$ और क्षेत्रफल $84$ के उदाहरण त्रिकोण के साथ प्रदर्शित किया।^[3]

हीरोन के सूत्र का अर्थ है कि हेरोनियन त्रिकोण डायोफैंटाइन समीकरण के बिल्कुल धनात्मक पूर्णांक समाधान हैं

16\,A^{2}=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b);

अर्थात्, यह किसी भी हेरोनियन त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई और क्षेत्रफल समीकरण को संतुष्ट करते हैं, और समीकरण का कोई भी धनात्मक पूर्णांक हल एक हेरोनियन त्रिभुज का वर्णन करता है।^[4]

यदि तीन भुजाओं की लंबाई पदशः सह-अभाज्य है, तो हेरोनियन त्रिभुज को अभाज्य कहा जाता है।

ऐसे त्रिभुज जिनकी भुजाओं की लंबाई और क्षेत्रफल सभी परिमेय संख्याएँ हैं (उपरोक्त समीकरण के धनात्मक परिमेय समाधान) को कभी-कभी हेरोनियन त्रिभुज या परिमेय त्रिभुज भी कहा जाता है;^[5] इस लेख में, इन अधिक सामान्य त्रिभुजों को परिमेय हेरोनियन त्रिभुज कहा जाएगा। प्रत्येक (अभिन्न) हेरोनियन त्रिभुज एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज है। इसके विपरीत, प्रत्येक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज ठीक एक अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज के समान (ज्यामिति) होता है।

किसी भी परिमेय हेरोनियन त्रिकोण में, तीन ऊंचाई (त्रिकोण), परित्रिज्या, अंतः त्रिज्या और ब्राहात्रिज्या, और तीन कोणों की साइन और कोसाइन भी सभी परिमेय संख्याएं हैं।

अभाज्य त्रिभुजों में स्केलिंग

$s$ के एक गुणक के साथ त्रिभुज को मापने में इसकी भुजाओं की लंबाई को $s$ से गुणा करना समिलित है; यह क्षेत्रफल को $s^{2}$ से गुणा करता है और एक समानता (ज्यामिति) त्रिभुज का निर्माण करता है। एक परिमेय संख्या गुणनखंड द्वारा एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज को मापन करना एक और परिमेय हेरोनियन त्रिकोण पैदा करता है।

पार्श्व लंबाई के एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज को देखते हुए ${\textstyle {\frac {p}{d}},{\frac {q}{d}},{\frac {r}{d}},}$ सोपानी गुणक ${\textstyle {\frac {d}{\gcd(p,q,r)}}}$ एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज का निर्माण करें जैसे कि इसकी भुजा की लंबाई ${\textstyle a,b,c}$ पदशः सह-अभाज्य संख्या हैं। नीचे यह सिद्ध किया गया है कि क्षेत्रफल $A$ एक पूर्णांक है, और इस प्रकार त्रिभुज एक हेरोनियन त्रिभुज है। ऐसे त्रिभुज को प्राय: अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज कहा जाता है।

सारांश में, परिमेय हेरोनियन त्रिभुजों के प्रत्येक समानता तुल्यता वर्ग में ठीक एक अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज होता है। प्रमाण का एक उपोत्पाद यह है कि अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज की भुजाओं में से एक एक सम पूर्णांक है।

प्रमाण: सिद्ध करना होगा कि, यदि एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाई ${\textstyle a,b,c}$ सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो क्षेत्रफल $A$ भी एक पूर्णांक है और ठीक एक भुजा की लंबाई सम संख्या है।

परिचय में दिए गए डायोफैंटाइन समीकरण तुरंत यह दर्शाता है कि $16A^{2}$ एक पूर्णांक है। इसका वर्गमूल $4A$ भी एक पूर्णांक है, क्योंकि पूर्णांक का वर्गमूल या तो एक पूर्णांक या एक अपरिमेय संख्या होता है।

यदि किसी एक भुजा की लंबाई सम है, तो समीकरण के दाहिने पक्ष के सभी गुणनखंड सम होते हैं, और, समीकरण को $16$ से विभाजित करके हमे यह प्राप्त होता है कि $A^{2}$ और $A$ पूर्णांक हैं।

जैसा कि भुजाओं की लंबाई को सह-अभाज्य माना जाता है, एक स्थिति को छोड़ दिया जाता है जहां एक या तीन भुजाओं की लंबाई विषम होती है। मान लीजिए कि $c$ विषम है, डायोफैंटाइन समीकरण के दाहिने हाथ को फिर से लिखा जा सकता है

((a+b)^{2}-c^{2})(c^{2}-(a-b)^{2}),

$a+b$ और $a-b$ सम के साथ है। चूंकि एक विषम पूर्णांक का वर्ग $1$ सापेक्ष अंकगणित $4$ के सर्वांगसम होता है, समीकरण का दाहिना पक्ष $-1$ सापेक्ष $4$ के अनुरूप होना चाहिए। इस प्रकार यह असंभव है, कि किसी के पास डायोफैंटिन समीकरण का समाधान है, क्योंकि $16A^{2}$ पूर्णांक का वर्ग होना चाहिए, और पूर्णांक का वर्ग $0$ या $1$ सापेक्ष $4$ के सर्वांगसम होता है।

उदाहरण

कोई भी पाइथागोरस त्रिभुज एक हेरोनियन त्रिभुज है। परिभाषा के अनुसार, ऐसे त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है। ऐसे किसी त्रिभुज में, दो छोटी भुजाओं में से एक की लंबाई समान होती है, इसलिए क्षेत्रफल (इन दोनों भुजाओं का गुणनफल, दो से विभाजित) भी एक पूर्णांक होता है।

भुजाओं की लंबाई c, e और b + d, और ऊँचाई a वाला त्रिभुज।

हेरोनियन त्रिभुजों के उदाहरण जो समकोण नहीं हैं, समद्विबाहु त्रिभुज हैं जो एक पाइथागोरस त्रिभुज और उसकी दर्पण छवि को समकोण की भुजाओं को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। पायथागॉरियन त्रिक $3, 4, 5$ से शुरू होकर यह दो हेरोनियन त्रिभुज देता है जिसकी भुजाओं की लंबाई $(5, 5, 6)$ और $(5, 5, 8)$ और क्षेत्रफल $12$ है।

अधिक समान्यतः, दो पाइथागोरस त्रिक $(a,b,c)$ और $(a,d,e)$ सबसे बड़ी प्रविष्टियों $c$ और $e$ के साथ दिए गए हैं, भुजाओं की लंबाई $c,e,b+d$ और क्षेत्रफल ${\tfrac {1}{2}}a(b+d)$ वाला हेरोनियन त्रिभुज प्राप्त करने के लिए लंबाई $a$ की भुजाओं के साथ संगत त्रिभुजों को जोड़ा जा सकता हैं (आकृति देखें) (यह एक पूर्णांक है, क्योंकि पायथागॉरियन त्रिभुज का क्षेत्रफल पूर्णांक है)।

ऐसे हेरोनियन त्रिभुज हैं जिन्हें पायथागॉरियन त्रिभुजों में समिलित होने से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भुजाओं की लंबाई $5,29,30$ और क्षेत्रफल 72 वाला हेरोनियन त्रिभुज, क्योंकि इसकी कोई भी ऊँचाई पूर्णांक नहीं है। ऐसे हेरोनियन त्रिभुज अविभाज्य कहलाते हैं {{{1}}}.^[6] हालांकि, प्रत्येक हेरोनियन त्रिभुज को समकोण त्रिभुजों से परिमेय भुजाओं की लंबाई के साथ बनाया जा सकता है, और इस प्रकार यह एक विघटित हेरोनियन त्रिभुज के समान है। वास्तव में, त्रिभुज की कम से कम एक ऊँचाई त्रिभुज के अंदर होती है, और इसे दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है। इन त्रिभुजों के परिमेय भुजाएँ होती हैं, क्योंकि हेरोनियन त्रिभुज के कोणों की कोज्या और ज्या परिमेय संख्याएँ हैं, और, आकृति के अंकन के साथ, एक के पास है $a=c\sin \alpha$ और $b=c\cos \alpha ,$ जहाँ $\alpha$ त्रिभुज का सबसे बायाँ कोण है।

परिमेयता गुण

एक हेरोनियन त्रिभुज से संबंधित कई मात्राएँ परिमेय संख्याएँ होती हैं। विशेष रूप से:

एक हेरोनियन त्रिभुज के सभी शीर्ष परिमेय होते हैं।^[7] इसे इस तथ्य से देखा जा सकता है कि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उस ओर से उसकी ऊंचाई के एक भुजा के गुना का आधा होता है, और एक हेरोनियन त्रिभुज में पूर्णांक भुजाएँ और क्षेत्रफल होता है। कुछ हेरोनियन त्रिकोणों में तीन गैर-पूर्णांक ऊंचाई होती है, उदाहरण के लिए क्षेत्र 252 के साथ (15, 34, 35) और क्षेत्रफल 72 के साथ (5, 29, 30)। कोई भी हेरोनियन त्रिकोण एक या अधिक गैर-पूर्णांक ऊंचाई के साथ हो सकता है। समानता (ज्यामिति) हेरोनियन त्रिकोण को तीन पूर्णांक ऊंचाई के साथ प्राप्त करने के लिए ऊंचाई के हर के कम से कम सामान्य गुणक के बराबर एक गुणनखंड द्वारा बढ़ाया जा सकता है।
एक हेरोनियन त्रिभुज की सभी अंत्रिक भुजाएँ समद्विभाजक परिमेय होते हैं: किसी भी त्रिभुज के लिए ये निम्नलिखित हैं $p_{a}={\tfrac {2aA}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},$ $p_{b}={\tfrac {2bA}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},$ और $p_{c}={\tfrac {2cA}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},$ जहाँ भुजाएँ a ≥ b ≥ c हैं और क्षेत्रफल A है;^[8] एक हेरोनियन त्रिभुज में सभी a, b, c और A पूर्णांक हैं।
एक हेरोनियन त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण में एक परिमेय ज्या होती है। यह क्षेत्रफल सूत्र से निम्नानुसार है $Area = (1/2) ab sin C$ , जिसमें क्षेत्रफल और भुजाएँ a और b पूर्णांक हैं, और समान रूप से अन्य आंतरिक कोणों के लिए भी।
एक हेरोनियन त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण में एक परिमेय कोसाइन होता है। यह कोसाइन के नियम से अनुसरण करता है, $c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab cos C$ , जिसमें भुजाएँ a, b, और c पूर्णांक हैं, और समान रूप से अन्य आंतरिक कोणों के लिए भी।
चूंकि सभी हेरोनियन त्रिभुजों में सभी आंतरिक कोणों की ज्या और कोसाइन परिमेय होते हैं, इसका तात्पर्य है कि प्रत्येक आंतरिक कोण की स्पर्शरेखा, कर्ण, छेदक और कोसाइन या तो परिमेय या अनंत है।
प्रत्येक आंतरिक कोण के आधे अंश में एक परिमेय स्पर्शरेखा होती है क्योंकि $tan C /2 = sin C / (1 + cos C)$ , और समान रूप से अन्य आंतरिक कोणों के लिए। इन आधे-कोण स्पर्शरेखा मूल्यों का ज्ञान एक अभाज्य हेरोनियन त्रिकोण (नीचे देखें) की भुजाओं की लंबाई को फिर से बनाने के लिए पर्याप्त है।
किसी भी त्रिभुज के लिए, परिवृत्त के परिकेंद्र से देखे जाने पर एक भुजा द्वारा फैला हुआ कोण भुजा के विपरीत त्रिभुज के शीर्ष के आंतरिक कोण का दुगुना होता है। क्योंकि एक हेरोनियन त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण के लिए अर्ध-कोण स्पर्शरेखा परिमेय है, यह इस प्रकार है कि एक हेरोनियन त्रिभुज के ऐसे प्रत्येक केंद्रीय कोण का चौथाई-कोण स्पर्शरेखा परिमेय है। (साथ ही, ब्रह्मगुप्त चतुर्भुज के केंद्रीय कोणों के लिए चौथाई-कोण स्पर्शरेखा परिमेय हैं, लेकिन यह एक अनसुलझी समस्या है कि क्या यह सभी रॉबिन्स पंचभुज के लिए सही है।) समान्यतः सभी चक्रीय बहुभुजों के लिए विपरीत सच है; यदि ऐसे सभी केंद्रीय कोणों में उनके चौथाई कोणों के लिए परिमेय स्पर्शरेखाएँ हैं, तो चक्रीय बहुभुज को एक साथ पूर्णांक भुजा लंबाई और पूर्णांक क्षेत्र तक बढ़ाया जा सकता है।
ऐसे कोई हेरोनियन त्रिभुज नहीं हैं जिनके तीन आंतरिक कोण अंकगणितीय प्रगति बनाते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि अंकगणितीय प्रगति में आंतरिक कोण वाले सभी समतल त्रिभुजों में 60° का एक आंतरिक कोण होना चाहिए, जिसमें परिमेय ज्या नहीं होती है।^[9]
हेरोनियन त्रिभुज में उत्कीर्ण किसी भी वर्ग में परिमेय भुजाएँ होती हैं: एक सामान्य त्रिभुज के लिए लंबाई a की भुजा पर त्रिभुज में अंकित आकृतियों की लंबाई होती है ${\tfrac {2Aa}{a^{2}+2A}}$ जहाँ A त्रिभुज का क्षेत्रफल है;^[10] एक हेरोनियन त्रिभुज में, A और a दोनों पूर्णांक हैं।
प्रत्येक हेरोनियन त्रिभुज में एक परिमेय अंतर्त्रिज्या (इसके उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या) होती है: एक सामान्य त्रिभुज के लिए अंतःत्रिज्या आधे परिधि के क्षेत्रफल का अनुपात होता है, और ये दोनों एक हेरोनियन त्रिभुज में परिमेय होते हैं।
प्रत्येक हेरोनियन त्रिभुज में एक परिमेय परित्रिज्या (इसके परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या) होती है: एक सामान्य त्रिभुज के लिए परित्रिज्या क्षेत्रफल द्वारा विभाजित भुजाओं के गुणनफल के एक-चौथाई के बराबर होती है; एक हेरोनियन त्रिभुज में भुजाएँ और क्षेत्रफल पूर्णांक होते हैं।
एक हेरोनियन त्रिभुज में केन्द्रक से प्रत्येक पक्ष की दूरी परिमेय है क्योंकि, सभी त्रिभुजों के लिए, यह दूरी क्षेत्रफल के दोगुने से भुजा की लंबाई के तीन गुना के अनुपात में होती है।^[11] यह कहते हुए सामान्यीकृत किया जा सकता है कि हेरोनियन त्रिभुजों से जुड़े सभी केंद्र जिनके बेरिकेंट्रिक समन्वय निर्देशांक परिमेय अनुपात हैं, प्रत्येक पक्ष के लिए एक परिमेय दूरी है। इन केंद्रों में परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, नौ-बिंदु केंद्र, सिम्मेडियन बिंदु, गेर्गोन बिंदु और नागल बिंदु समिलित हैं।^[12]
प्रत्येक हेरोनियन त्रिभुज को एक इकाई-पक्षीय वर्ग जालक पर रखा जा सकता है, जिसमें प्रत्येक शीर्ष एक जालक बिंदु पर होता है।^[13] एक उपप्रमेय के रूप में, प्रत्येक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज को सभी परिमेय-मूल्यवान निर्देशांकों के साथ द्वि-आयामी कार्तीय समन्वय निर्देशांक में रखा जा सकता है।

भुजाओं की लंबाई के गुण

यहाँ हेरोनियन त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई के कुछ गुण हैं, जिनकी भुजाएँ हैं $a, b, c$ और क्षेत्रफल $A$ है।

प्रत्येक अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज हेरोनियन त्रिभुज में एक सम और दो विषम भुजाएँ होती हैं (देखें § Scaling to primitive triangles). इससे पता चलता है कि हेरोनियन त्रिभुज की एक या तीन भुजाएँ सम लंबाई की होती हैं,^[14]^: p.3 और यह कि अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज की परिधि हमेशा एक सम संख्या होती है।^[15]
कोई समबाहु हेरोनियन त्रिभुज नहीं हैं, क्योंकि अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज की एक सम भुजा लंबाई और दो विषम भुजा लंबाई होती है।^[7]
एक हेरोनियन त्रिभुज का क्षेत्रफल हमेशा 6 से विभाज्य होता है।^[16]^[15]
1 या 2 भुजाओं वाली कोई हेरोनियन त्रिभुज नहीं हैं।^[17]^[1] दिए गए $a$ के बराबर एक भुजा की लंबाई के साथ अभाज्य हेरोनियन त्रिभुजों की अनंत संख्या स्थित हैं, ${{{1}}}$ .^[1]
एक हेरोनियन त्रिभुज का अर्धपरिमाप अभाज्य नहीं हो सकता (जैसे कि $s(s-a)(s-b)(s-c)$ क्षेत्रफल का वर्ग है, और क्षेत्रफल एक पूर्णांक है, यदि $s$ अभाज्य होगा, इसे दूसरे गुणनखंड को विभाजित करना चाहिए; यह असंभव है क्योंकि ये सभी गुणनखंड $s$ से कम हैं).
हेरोनियन त्रिकोण जिनमें कोई पूर्णांक ऊंचाई नहीं है (अविघटनीय और गैर-पाइथागोरस) की भुजाएँ जो सभी $4 k +1$ के अभाज्य द्वारा विभाजित है।.^[6]हालाँकि विघटित हेरोनियन त्रिभुजों में दो भुजाएँ होनी चाहिए जो पाइथागोरस त्रिभुजों का कर्ण हैं। इसलिए सभी हेरोनियन त्रिभुज जो पाइथागोरस के नहीं हैं, उनकी कम से कम दो भुजाएँ होती हैं जो $4 k +1$ रूप की अभाज्य संख्याओं से विभाजित होती हैं. जो बचा है वह पायथागॉरियन त्रिभुज हैं। इसलिए, सभी हेरोनियन त्रिभुजों में कम से कम एक भुजा होती है जो $4 k +1$ के रूप की अभाज्य संख्याओं से विभाज्य होती है। अंत में यदि हेरोनियन त्रिभुज का केवल एक भुजा $4 k +1$ के रूप के अभाज्य संख्यों से विभाजित होती है, तो यह पाइथागोरस की भुजा के साथ कर्ण के रूप में होना चाहिए और कर्ण को 5 से विभाजित होना चाहिए।
ऐसे कोई हेरोनियन त्रिभुज नहीं हैं जिनकी भुजाओं की लंबाई एक ज्यामितीय प्रगति बनाती है।^[18]
यदि किसी हेरोनियन त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं (लेकिन तीन नहीं) में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है, तो वह गुणनखंड दो वर्गों का योग होना चाहिए।^[19]

पैरामीट्रिजेशन

पैरामीट्रिक समीकरण या हेरोनियन त्रिभुजों के पैरामीट्रिजेशन में एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई और क्षेत्रफल की अभिव्यक्ति होती है जैसे कि कुछ मापदंडों के फलन— समान्यतः बहुपद फलन - जैसे कि त्रिकोण हेरोनियन है अगर और केवल परिमाप कुछ बाधाओं को पूरा करते हैं—समान्यतः, धनात्मक पूर्णांक होने के लिए कुछ असमानताओं को संतुष्ट करते हैं। समान्यतः यह भी जरूरी है कि सभी हेरोनियन त्रिकोण परिमाप के कुछ मूल्यों के लिए मापन

प्राप्त किए जा सकते हैं, और ये मान अद्वितीय हैं, यदि त्रिकोण के भुजाओं पर एक आदेश निर्दिष्ट किया गया है।

इस तरह के पहले पैरामीट्रिजेशन की खोज ब्रह्मगुप्त (598-668 A.D.) ने की थी, जिन्होंने यह सिद्ध नहीं किया कि सभी हेरोनियन त्रिकोण पैरामीट्रिजेशन द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं। 18वीं शताब्दी में, लियोनार्ड यूलर ने एक और पैरामीट्रिजेशन प्रदान किया और सिद्ध किया कि यह सभी हेरोनियन त्रिकोण उत्पन्न करता है। इन पैरामीट्रिजेशन का वर्णन अगले दो उपखंडों में किया गया है।

तीसरे उपखंड में, एक परिमेय पैरामीट्रिजेशन— जो पैरामीट्रिजेशन है जहां परिमाप धनात्मक परिमेय संख्याएं हैं— स्वाभाविक रूप से यह हेरोनियन त्रिभुजों के गुणों से प्राप्त होता है। ब्रह्मगुप्त और यूलर के पैरामीट्रिजेशन दोनों को इस परिमेय पैरामीट्रिजेशन से समाशोधन हर द्वारा पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। यह एक प्रमाण प्रदान करता है कि ब्रह्मगुप्त और यूलर के पैरामीट्रिजेशन सभी हेरोनियन त्रिकोण उत्पन्न करते हैं।

ब्रह्मगुप्त का पैरामीट्रिक समीकरण

भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त (598-668 A.D.) ने हेरोनियन त्रिकोण बनाने के लिए निम्नलिखित पैरामीट्रिक समीकरणों की खोज की,^[20] लेकिन यह सिद्ध नहीं किया कि हेरोनियन त्रिभुजों की प्रत्येक समरूपता (ज्यामिति) वर्ग को इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है।^{[citation needed]}

तीन धनात्मक पूर्णांकों के लिए $m$ , $n$ और $k$ जो कि सह-अभाज्य पूर्णांक हैं ( $\gcd(m,n,k)=1$ ) और संतुष्ट $mn>k^{2}$ (धनात्मक पक्ष की लंबाई की गारंटी के लिए) और $m\geq n$ (विशिष्टता के लिए):

{\begin{aligned}a&=n(m^{2}+k^{2}),&s-a&={\tfrac {1}{2}}(b+c-a)=n(mn-k^{2}),\\b&=m(n^{2}+k^{2}),&s-b&={\tfrac {1}{2}}(c+a-b)=m(mn-k^{2}),\\c&=(m+n)(mn-k^{2}),&s-c&={\tfrac {1}{2}}(a+b-c)=(m+n)k^{2},\\&&s&={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)=mn(m+n),\\A&=mnk(m+n)(mn-k^{2}),&r&=k(mn-k^{2}),\\\end{aligned}}

जहाँ $s$ अर्ध परिमाप है, $A$ क्षेत्रफल है, और $r$ अंतःत्रिज्या है।

परिणामी हेरोनियन त्रिकोण हमेशा अभाज्य नहीं होता है, और संबंधित अभाज्य त्रिकोण प्राप्त करने के लिए मापन की आवश्यकता हो सकती है। उदाहरण के लिए, माना $m = 36$ , $n = 4$ और $k = 3$ एक त्रिकोण बनाता है $a = 5220$ , $b = 900$ और $c = 5400$ , जो $(5, 29, 30)$ हेरोनियन त्रिभुज के समान है, जिसका अनुपातिक गुणक $180$ . है।

तथ्य यह है कि उत्पन्न त्रिभुज अभाज्य नहीं है, इस पैरामीट्रिजेशन का उपयोग सभी हेरोनियन त्रिकोणों को एक निश्चित सीमा से कम लंबाई के आकार के साथ उत्पन्न करने के लिए एक बाधा है क्योंकि $\gcd(a,b,c)$ की भविष्यवाणी नहीं की जा सकती।^[20]

यूलर का पैरामीट्रिक समीकरण

लियोनार्ड यूलर द्वारा सभी हेरोनियन त्रिभुजों को उत्पन्न करने की निम्नलिखित विधि की खोज की गई थी,^[21] जो ऐसे सभी त्रिभुजों को सिद्ध करने वाले पहले व्यक्ति थे।

चार धनात्मक पूर्णांकों के लिए $m$ , $n$ के लिए सह-अभाज्य और $p$ , $q$ के लिए सह-अभाज्य ( $\gcd {(m,n)}=\gcd {(p,q)}=1$ ) संतुष्टि देने वाला $mp>nq$ (धनात्मक पक्ष की लंबाई की गारंटी के लिए):

{\begin{aligned}a&=mn(p^{2}+q^{2}),&s-a&=mq(mp-nq),\\b&=pq(m^{2}+n^{2}),&s-b&=np(mp-nq),\\c&=(mq+np)(mp-nq),&s-c&=nq(mq+np),\\&&s&=mp(mq+np),\\A&=mnpq(mq+np)(mp-nq),&r&=nq(mp-nq),\\\end{aligned}}

जहाँ $s$ अर्ध परिमाप है, $A$ क्षेत्र है, और $r$ अंतःत्रिज्या है।

यहां तक कि जब $m$ , $n$ , $p$ , और $q$ जोड़ीवार सहअभाज्य हैं, परिणामी हेरोनियन त्रिभुज अभाज्य नहीं हो सकता है। विशेष रूप से, अगर $m$ , $n$ , $p$ , और $q$ सभी विषम हैं, तीनों भुजाएँ सम हैं। तो यह भी संभव है $a$ , $b$ , और $c$ के अतिरिक्त एक सामान्य विभाजक $2$ है। उदाहरण के लिए, $m = 2$ , $n = 1$ , $p = 7$ , और $q = 4$ , के साथ हमे $(a, b, c) = (130, 140, 150)$ प्राप्त होता है, जहां प्रत्येक भुजा की लंबाई का गुणक $10$ है संबंधित अभाज्य त्रिक $(13, 14, 15)$ है, जिसे $m = 2, n = 1, p = 3, q = 2$ से उत्पन्न त्रिक को दो से विभाजित करके भी प्राप्त किया जा सकता है, फिर $b$ और $c$ .का आदान-प्रदान किया जा सकता है।

आधा कोण स्पर्शरेखा पैरामीट्रिजेशन

भुजाओं की लंबाई और आंतरिक कोणों वाला एक त्रिभुज जिसे टेक्स्ट में लेबल किया गया है

माना कि $a,b,c$ त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई है, मान लीजिए $\alpha ,\beta ,\gamma$ इन भुजाओं के विपरीत आंतरिक कोण बनें, और मान लें ${\textstyle t=\tan {\frac {\alpha }{2}},}$ ${\textstyle u=\tan {\frac {\beta }{2}},}$ और ${\textstyle v=\tan {\frac {\gamma }{2}}}$ आधा कोण स्पर्शरेखा हो। मान $t,u,v$ सभी धनात्मक और संतुष्ट $tu+uv+vt=1$ है; यह "त्रिक स्पर्शरेखा पहचान" मूल त्रिकोण पहचान के आधे कोण स्पर्शरेखा संस्करण के रूप में लिखी गई है ${\textstyle {\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\beta }{2}}+{\frac {\gamma }{2}}={\frac {\pi }{2}}}$ रेडियन (अर्थात, 90°), जैसा कि कोण योग सूत्रों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। साइन्स सिद्धांत और कोसाइन सिद्धांत के द्वारा, सभी साइन्स और कोसाइन्स के $\alpha ,\beta ,\gamma$ परिमेय संख्याएँ हैं यदि त्रिभुज एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज है और इस प्रकार यह इस स्थिति में अनुसरण करता है कि अर्ध-कोण स्पर्शरेखा भी परिमेय हैं।

इसके विपरीत यदि $t,u,v$ धनात्मक परिमेय संख्याएँ हैं जैसे कि $tu+uv+vt=1,$ वे समान हेरोनियन त्रिभुजों के एक वर्ग के आंतरिक कोणों की अर्ध-कोण स्पर्शरेखाएँ हैं।^[22] स्थिति $tu+uv+vt=1$ को ${\textstyle v={\frac {1-tu}{t+u}},}$ में नर्व्यवस्थित किया जा सकता है और प्रतिबंध $v>0$ के लिए $tu<1.$ की आवश्यकता है। इस प्रकार परिमेय हेरोनियन त्रिभुजों के समानता वर्गों और धनात्मक परिमेय संख्याओं के युग्मों $(t,u)$ जिनका गुणनफल $1$ से कम है।

इस द्विभाजन को स्पष्ट करने के लिए, समानता वर्ग के एक विशिष्ट सदस्य के रूप में, एक इकाई-व्यास वृत्त में अंकित त्रिकोण को विपरीत कोणों की साइन के बराबर लंबाई के साथ चुन सकते हैं:^[23]

\begin{aligned} a & = \sin α = \frac{2 t}{1 + t^{2}}, & s - a = \frac{2 u (1 - t u)}{(1 + t^{2}) (1 + u^{2})}, \\ b & = \sin β = \frac{2 u}{1 + u^{2}}, & s - b = \frac{2 t (1 - t u)}{(1 + t^{2}) (1 + u^{2})}, \\ c & = \sin γ = \frac{2 (t + u) (1 - t u)}{(1 + t^{2}) (1 + u^{2})}, & s - c = \frac{2 t u (t + u)}{(1 + t^{2}) (1 + u^{2})}, \\ s = \frac{2 (t + u)}{(1 + t^{2}) (1 + u^{2})}, \\ A & = \frac{4 t u (t + u) (1 - t u)}{{(1 + t^{2})}^{2} {(1 + u^{2})}^{2}}, & r = \end{aligned}

जहाँ

s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)

अर्ध परिमाप है,

A={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma

क्षेत्रफल है,

r={\sqrt {\tfrac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}

अंतःत्रिज्या है, और ये सभी मान परिमेय हैं क्योंकि

t

और

u

परिमेय हैं।

एक (अभिन्न) हेरोनियन त्रिभुज प्राप्त करने के लिए, $a$ , $b$ , और $c$ के हर को साफ किया चाहिए। इसे करने के बहुत सारे प्रकार हैं। अगर $t=m/n$ और $u=p/q,$ के साथ $\gcd(m,n)=\gcd(p,q)=1$ (अलघुकरणीय भिन्न), और त्रिभुज को ${\tfrac {1}{2}}(m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2}),$ द्वारा बढ़ाया जाता है, इसका परिणाम यूलर का पैरामीट्रिजेशन है। अगर $t=m/k$ और $u=n/k$ के साथ $\gcd(m,n,k)=1$ (न्यूत्रिकोण भाजक), और त्रिकोण को $(k^{2}+m^{2})(k^{2}+n^{2})/2k,$ द्वारा बढ़ाया गया है, परिणाम समान है लेकिन ब्रह्मगुप्त के पैरामीट्रिजेशन के समान नहीं है। अगर, इसके विपरीत, $1/t$ और $1/u$ जो निम्नतम सामान्य भाजक तक कम हो जाते हैं, अर्थात यदि $t=k/m$ और $u=k/n$ के साथ $\gcd(m,n,k)=1,$ तब किसी को त्रिभुज को मापन करके ब्रह्मगुप्त का पैरामीट्रिजेशन $(k^{2}+m^{2})(k^{2}+n^{2})/2k.$ मिलता है।

यह साबित करता है कि या तो पैरामीट्रिजेशन सभी हेरोनियन त्रिकोण उत्पन्न करता है।

अन्य परिणाम

Kurz (2008) ने हेरोनियन त्रिकोण उत्पन्न करने के लिए तेज़ कलन विधि प्राप्त की है।

अपरिमित रूप से कई अभाज्य और अविघटनीय गैर-पाइथागोरियन हेरोनियन त्रिभुज हैं, जो अंतःत्रिज्या $r$ के लिए पूर्णांक मानों के साथ और तीनों l अंतःत्रिज्या $(r_{a},r_{b},r_{c})$ , सहित उत्पन्न किए जाते है ^[24]^{: Thm. 4}

{\begin{aligned}a&=5(5n^{2}+n-1),&r_{a}&=5n+3,\\b&=(5n+3)(5n^{2}-4n+1),&r_{b}&=5n^{2}+n-1,\\c&=(5n-2)(5n^{2}+6n+2),&r_{c}&=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1),\\&&r&=5n-2,\\A&=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1)=r_{c}.\end{aligned}}

अपरिमित रूप से कई हेरोनियन त्रिकोण हैं जिन्हें एक जालक पर रखा जा सकता है जैसे कि सभी हेरोनियन त्रिकोणों के लिए न केवल जालक बिंदुओं पर भुजाओं के लिए, बल्कि इसके अतिरिक्त अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त के केंद्र जालक बिंदुओं पर हैं।^[24]^{: Thm. 5}

कुछ प्रकार के हेरोनियन त्रिभुजों के पैरामीट्रिजेशन के लिए पूर्णांक त्रिभुज पूर्णांक त्रिभुज § हेरोनियन त्रिकोण भी देखे।

उदाहरण

अभाज्य पूर्णांक हेरोनियन त्रिकोणों की सूची, क्षेत्रफल द्वारा क्रमबद्ध और यदि यह समान है,

परिमाप के अनुसार, निम्न तालिका के अनुसार शुरू होता है।

अभाज्य का अर्थ है कि तीन भुजाओं की लंबाई का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक 1 के बराबर है।

क्षेत्र	Perimeter	पार्श्व लंबाई b+d	पार्श्व लंबाई e	पार्श्व लंबाई c
6	12	5	4	3
12	16	6	5	5
12	18	8	5	5
24	32	15	13	4
30	30	13	12	5
36	36	17	10	9
36	54	26	25	3
42	42	20	15	7
60	36	13	13	10
60	40	17	15	8
60	50	24	13	13
60	60	29	25	6
66	44	20	13	11
72	64	30	29	5
84	42	15	14	13
84	48	21	17	10
84	56	25	24	7
84	72	35	29	8
90	54	25	17	12
90	108	53	51	4
114	76	37	20	19
120	50	17	17	16
120	64	30	17	17
120	80	39	25	16
126	54	21	20	13
126	84	41	28	15
126	108	52	51	5
132	66	30	25	11
156	78	37	26	15
156	104	51	40	13
168	64	25	25	14
168	84	39	35	10
168	98	48	25	25
180	80	37	30	13
180	90	41	40	9
198	132	65	55	12
204	68	26	25	17
210	70	29	21	20
210	70	28	25	17
210	84	39	28	17
210	84	37	35	12
210	140	68	65	7
210	300	149	148	3
216	162	80	73	9
234	108	52	41	15
240	90	40	37	13
252	84	35	34	15
252	98	45	40	13
252	144	70	65	9
264	96	44	37	15
264	132	65	34	33
270	108	52	29	27
288	162	80	65	17
300	150	74	51	25
300	250	123	122	5
306	108	51	37	20
330	100	44	39	17
330	110	52	33	25
330	132	61	60	11
330	220	109	100	11
336	98	41	40	17
336	112	53	35	24
336	128	61	52	15
336	392	195	193	4
360	90	36	29	25
360	100	41	41	18
360	162	80	41	41
390	156	75	68	13
396	176	87	55	34
396	198	97	90	11
396	242	120	109	13

अभाज्य हेरोनियन त्रिभुजों की सूची जिनकी भुजाएँ 6,000,000 से अधिक नहीं हैं, "आदिम हेरोनियन त्रिभुजों की सूची". Sascha Kurz, University of Bayreuth, Germany. Archived (PDF) from the original on May 2016. Retrieved 29 March 2016. {{cite web}}: Check date values in: |archive-date= (help) में पाई जा सकती है

पूर्ण वर्ग भुजाओं के साथ हेरोनियन त्रिकोण

पूर्ण वर्ग भुजाओं वाले हेरोनियन त्रिभुज पूर्ण घनाभ समस्या से संबंधित हैं। फरवरी 2021 तक, पूर्ण वर्ग भुजाओं वाले केवल दो अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज ज्ञात हैं:

(1853², 4380², 4427², क्षेत्रफल=32918611718880), 2013 में प्रकाशित।^[25]

(11789², 68104², 68595², क्षेत्रफल=284239560530875680), 2018 में प्रकाशित।^[26]

समान त्रिभुज

एक आकृति को सम आकार कहा जाता है यदि उसका क्षेत्रफल उसके परिमाप के बराबर हो। वास्तव में पाँच समान हेरोनियन त्रिभुज हैं : भुजाओं की लंबाई वाले (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20), और (9,10) , 17),^[27]^[28] हालांकि उनमें से केवल चार ही अभाज्य हैं।

लगभग-समबाहु हेरोनियन त्रिकोण

चूँकि परिमेय भुजाओं वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल एक अपरिमेय संख्या है, कोई भी समबाहु त्रिभुज हेरोनियन नहीं है। हालाँकि, समद्विबाहु हेरोनियन त्रिभुजों का एक क्रम जो "लगभग समबाहु" हैं, को समकोण त्रिभुजों के दोहराव से विकसित किया जा सकता है, जिसमें कर्ण पैरों में से एक से लगभग दोगुना लंबा होता है। इन लगभग-समबाहु त्रिभुजों के पहले कुछ उदाहरण निम्न तालिका में सूचीबद्ध हैं (sequence A102341 in the OEIS):

पार्श्व लंबाई			क्षेत्र
a	b=a	c	क्षेत्र
5	5	6	12
17	17	16	120
65	65	66	1848
241	241	240	25080
901	901	902	351780
3361	3361	3360	4890480
12545	12545	12546	68149872
46817	46817	46816	949077360

हेरोनियन त्रिभुजों का एक अनूठा क्रम है जो "लगभग समबाहु" हैं क्योंकि तीन भुजाएँ n − 1, n, n +1 के रूप में हैं। निरंतर भिन्नों के आधार पर इस समस्या के सभी समाधानों को उत्पन्न करने के लिए एक विधि का वर्णन 1864 में एडवर्ड कंपनी द्वारा किया गया था ,^[29] और 1880 में रेनहोल्ड हॉपी ने समाधान के लिए एक बंद रूप अभिव्यक्ति दी।^[30] इन लगभग-समबाहु त्रिभुजों के पहले कुछ उदाहरण निम्न तालिका में सूचीबद्ध हैं (sequence A003500 in the OEIS):

पार्श्व लंबाई			क्षेत्र	त्रिज्या
n − 1	n	n + 1	क्षेत्र	त्रिज्या
3	4	5	6	1
13	14	15	84	4
51	52	53	1170	15
193	194	195	16296	56
723	724	725	226974	209
2701	2702	2703	3161340	780
10083	10084	10085	44031786	2911
37633	37634	37635	613283664	10864

n के बाद के मान पिछले मान को 4 से गुणा करके, फिर उससे पहले के मान को घटाकर (52 = 4 × 14 - 4, 194 = 4 × 52 - 14, आदि) द्वारा प्राप्त किए जा सकते है, इस प्रकार:

n_{t}=4n_{t-1}-n_{t-2}\,,

जहाँ t तालिका में किसी भी पंक्ति को दर्शाता है। यह एक लुकास क्रम है। वैकल्पिक रूप से, सूत्र $(2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}$ धनात्मक पूर्णांक t के लिए सभी n उत्पन्न करता है। समतुल्य रूप से, माना A = क्षेत्रफल और y = अंतःत्रिज्या, फिर,

{\big (}(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}{\big )}^{2}-2{\big (}(n-1)^{4}+n^{4}+(n+1)^{4}{\big )}=(6ny)^{2}=(4A)^{2}

जहां {n, y} n² − 12y² = 4 के समाधान हैं। एक छोटा परिवर्तन n = 2x एक पारंपरिक पेल समीकरण x² − 3y² = 1 देता है, जिसके समाधान के लिए √3 निरंतर अंश विस्तार से प्राप्त किया जा सकता है।^[31]

चर n $n={\sqrt {2+2k}}$ के रूप का है, जहां k7, 97, 1351, 18817, … है। इस क्रम की संख्याओं में यह गुण है कि k क्रमागत पूर्णांकों में समाकल मानक विचलन होता है।^[32]

यह भी देखें

हेरोनियन टेट्राहेड्रॉन
ब्रह्मगुप्त चतुर्भुज
रॉबिन्स पेंटागन
पूर्णांक त्रिभुज # हेरोनियन त्रिभुज

संदर्भ

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↑ Proof. One can suppose that the Heronian triangle is primitive. The right-hand side of the Diophantine equation can be rewritten as $((a+b)^{2}-c^{2})(c^{2}-(a-b)^{2}).$ If an odd length is chosen for $c$ , all squares are odd, and therefore of the form $8k+1;$ and the two differences are multiple of $8$ . So $16A^{2}$ is multiple of $64$ , and $A$ is even. For the divisibility by three, one chooses $c$ as non-multiple of $3$ (the triangle is supposed to be primitive). If one of $a+b$ and $a-b$ is not a multiple of $3$ , the corresponding factor is a nultiple of $3$ (since the square of a non-multiple of $3$ has the form $3k+1$ ), and this implies that $3$ is a divisor of $16A^{2}.$ Otherwise, $3$ would divide both $a+b$ and $a-b,$ and the right-hand side of the Diophantine would not be the square of $4A,$ as being congruent to minus times a square modulo $3$ . So this last case is impossible.
↑ Proof. Supposing $a\geq b\geq c,$ the triangle inequality implies $b\leq a\leq b+c.$ If $c=1,$ this implies that $a=b,$ and the condition that there is exactly one even side length cannot be fulfilled. If $c=2,$ one has two even side lengths if $a=b+1.$ So, $a=b,$ and the Diophantine equation becomes $16A^{2}=16(a^{2}-1),$ which is impossible for two positive integers.
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अग्रिम पठन

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Dickson, Leonard Eugene (1920). "V. Triangles, Quadrilaterals, and Tetrahedra with Rational Sides". History of the Theory of Numbers, Volume II: Diophantine Analysis. Carnegie Institution of Washington. pp. 191–224.

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W. "हेरोनियन त्रिकोण". MathWorld.
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[carlson-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Carlson, John R. (1970), "Determination of Heronian Triangles" (PDF), Fibonacci Quarterly, 8: 499–506

[2] Beauregard, Raymond A.; Suryanarayan, E. R. (January 1998), "The Brahmagupta Triangles" (PDF), College Mathematics Journal, 29 (1): 13–17, doi:10.2307/2687630, JSTOR 2687630

[3] Sastry, K. R. S. (2001). "Heron triangles: A Gergonne-Cevian-and-median perspective" (PDF). Forum Geometricorum. 1 (2001): 17–24.

[4] The sides and area of any triangle satisfy the Diophantine equation obtained by squaring both sides of Heron's formula; see Heron's formula § Proofs. Conversely, consider a solution of the equation where $(a,b,c,A)$ are all positive integers. It corresponds to a valid triangle if and only if the triangle inequality is satisfied, that is, if the three integers $a+b-c,$ $b+c-a,$ and $c+a-b$ are all positive. This is necessarily true in this case: if any of these sums were negative or zero, the other two would be positive and the right-hand side of the equation would thus be negative or zero and could not possibly equal the left-hand side $16\,A^{2},$ which is positive.

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[11] Clark Kimberling, "Trilinear distance inequalities for the symmedian point, the centroid, and other triangle centers", Forum Geometricorum, 10 (2010), 135−139. http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201015index.html

[ck-12] Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangle Centers "Encyclopedia of Triangle Centers". Archived from the original on 2012-04-19. Retrieved 2012-06-17.

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[Friche-15] 15.0 ^15.1 Friche, Jan (2 January 2002). "हेरोन सिम्पलिसेस और इंटीजर एंबेडिंग पर". Ernst-Moritz-Arndt Universät Greiswald Publication. arXiv:math/0112239. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)

[16] Proof. One can suppose that the Heronian triangle is primitive. The right-hand side of the Diophantine equation can be rewritten as $((a+b)^{2}-c^{2})(c^{2}-(a-b)^{2}).$ If an odd length is chosen for $c$ , all squares are odd, and therefore of the form $8k+1;$ and the two differences are multiple of $8$ . So $16A^{2}$ is multiple of $64$ , and $A$ is even. For the divisibility by three, one chooses $c$ as non-multiple of $3$ (the triangle is supposed to be primitive). If one of $a+b$ and $a-b$ is not a multiple of $3$ , the corresponding factor is a nultiple of $3$ (since the square of a non-multiple of $3$ has the form $3k+1$ ), and this implies that $3$ is a divisor of $16A^{2}.$ Otherwise, $3$ would divide both $a+b$ and $a-b,$ and the right-hand side of the Diophantine would not be the square of $4A,$ as being congruent to minus times a square modulo $3$ . So this last case is impossible.

[17] Proof. Supposing $a\geq b\geq c,$ the triangle inequality implies $b\leq a\leq b+c.$ If $c=1,$ this implies that $a=b,$ and the condition that there is exactly one even side length cannot be fulfilled. If $c=2,$ one has two even side lengths if $a=b+1.$ So, $a=b,$ and the Diophantine equation becomes $16A^{2}=16(a^{2}-1),$ which is impossible for two positive integers.

[Buchholz-18] Buchholz, R. H.; MacDougall, J. A. (1999). "अंकगणित या ज्यामितीय प्रगति में पक्षों के साथ बगुला चतुर्भुज". Bulletin of the Australian Mathematical Society. 59 (2): 263–269. doi:10.1017/s0004972700032883.

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[22] Cheney, William Fitch, Jr. (1929). "हेरोनियन त्रिकोण" (PDF). American Mathematical Monthly. 36 (1): 22–28. doi:10.1080/00029890.1929.11986902.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[23] Kocik, Jerzy; Solecki, Andrzej (2009). "त्रिभुज को सुलझाना" (PDF). American Mathematical Monthly. 116 (3): 228–237. doi:10.1080/00029890.2009.11920932.

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[30] Gould, H. W. (February 1973), "A triangle with integral sides and area" (PDF), Fibonacci Quarterly, 11 (1): 27–39.

[31] Richardson, William H. (2007), Super-Heronian Triangles

[32] Online Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS: A011943.

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हेरोनियन त्रिकोण: Difference between revisions

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Contents

अभाज्य त्रिभुजों में स्केलिंग

उदाहरण

परिमेयता गुण

भुजाओं की लंबाई के गुण

पैरामीट्रिजेशन

ब्रह्मगुप्त का पैरामीट्रिक समीकरण

यूलर का पैरामीट्रिक समीकरण

आधा कोण स्पर्शरेखा पैरामीट्रिजेशन

अन्य परिणाम

उदाहरण

पूर्ण वर्ग भुजाओं के साथ हेरोनियन त्रिकोण

समान त्रिभुज

लगभग-समबाहु हेरोनियन त्रिकोण

यह भी देखें

संदर्भ

अग्रिम पठन

बाहरी संबंध

Navigation

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@@ Line 3: / Line 3: @@
 </ref> हेरोनियन त्रिकोणों का नाम अलेक्जेंड्रिया के हेरॉन के नाम पर रखा गया है, जो हेरोन के सूत्र के संबंध पर आधारित है, जिसे हेरोन ने भुजाओं {{math|13, 14, 15}} और क्षेत्रफल {{math|84}}  के उदाहरण त्रिकोण के साथ प्रदर्शित किया।<ref>{{cite journal |last=Sastry |first=K. R. S. |year=2001 |title=Heron triangles: A Gergonne-Cevian-and-median perspective |journal=Forum Geometricorum |volume=1 |number=2001 |pages=17–24 |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200104.pdf }}</ref>
-हीरोन के सूत्र का अर्थ है कि हेरोनियन त्रिकोण [[डायोफैंटाइन समीकरण]] के बिल्कुल सकारात्मक पूर्णांक समाधान हैं
+हीरोन के सूत्र का अर्थ है कि हेरोनियन त्रिकोण [[डायोफैंटाइन समीकरण]] के बिल्कुल धनात्मक पूर्णांक समाधान हैं
-:<math>16\,A^2=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b);</math> अर्थात्, किसी भी हेरोनियन त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई और क्षेत्रफल समीकरण को संतुष्ट करते हैं, और समीकरण का कोई भी धनात्मक पूर्णांक हल एक हेरोनियन त्रिभुज का वर्णन करता है।<ref>The sides and area of any triangle satisfy the Diophantine equation obtained by squaring both sides of Heron's formula; see {{slink|Heron's formula|Proofs}}. Conversely, consider a solution of the equation where <math>(a, b, c, A)</math> are all positive integers. It corresponds to a valid triangle [[if and only if]] the [[triangle inequality]] is satisfied, that is, if the three integers <math>a+b-c,</math> <math>b+c-a,</math> and <math>c+a-b</math> are all positive. This is necessarily true in this case: if any of these sums were negative or zero, the other two would be positive and the right-hand side of the equation would thus be negative or zero and could not possibly equal the left-hand side <math>16\,A^2,</math> which is positive.</ref>
+:<math>16\,A^2=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b);</math> अर्थात्, यह किसी भी हेरोनियन त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई और क्षेत्रफल समीकरण को संतुष्ट करते हैं, और समीकरण का कोई भी धनात्मक पूर्णांक हल एक हेरोनियन त्रिभुज का वर्णन करता है।<ref>The sides and area of any triangle satisfy the Diophantine equation obtained by squaring both sides of Heron's formula; see {{slink|Heron's formula|Proofs}}. Conversely, consider a solution of the equation where <math>(a, b, c, A)</math> are all positive integers. It corresponds to a valid triangle [[if and only if]] the [[triangle inequality]] is satisfied, that is, if the three integers <math>a+b-c,</math> <math>b+c-a,</math> and <math>c+a-b</math> are all positive. This is necessarily true in this case: if any of these sums were negative or zero, the other two would be positive and the right-hand side of the equation would thus be negative or zero and could not possibly equal the left-hand side <math>16\,A^2,</math> which is positive.</ref>
 यदि तीन भुजाओं की लंबाई [[सेटवाइज कोप्राइम|पदशः सह-अभाज्य]]  है, तो हेरोनियन त्रिभुज को अभाज्य कहा जाता है।
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 किसी भी परिमेय हेरोनियन त्रिकोण में, तीन [[ऊंचाई (त्रिकोण)]], परित्रिज्या, अंतः त्रिज्या और ब्राहात्रिज्या, और तीन कोणों की [[साइन और कोसाइन]] भी सभी परिमेय संख्याएं हैं।
-== आदिम त्रिभुजों में स्केलिंग ==
+== अभाज्य त्रिभुजों में स्केलिंग ==
-[[स्केलिंग (ज्यामिति)]] एक त्रिकोण के एक कारक के साथ {{mvar|s}} में इसकी पार्श्व लंबाई को गुणा करना शामिल है {{mvar|s}}; यह क्षेत्र को गुणा करता है <math>s^2</math> और एक [[समानता (ज्यामिति)]] त्रिभुज का निर्माण करता है। एक तर्कसंगत संख्या कारक द्वारा एक तर्कसंगत हेरोनियन त्रिभुज को स्केल करना एक और तर्कसंगत हेरोनियन त्रिकोण पैदा करता है।
+{{mvar|s}} के एक गुणक के साथ त्रिभुज को मापने में इसकी भुजाओं की लंबाई को  {{mvar|s}} से गुणा करना समिलित है; यह क्षेत्रफल को <math>s^2</math> से गुणा करता है और एक [[समानता (ज्यामिति)]] त्रिभुज का निर्माण करता है। एक परिमेय संख्या गुणनखंड द्वारा एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज को मापन करना एक और परिमेय हेरोनियन त्रिकोण पैदा करता है।
-पार्श्व लंबाई के एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज को देखते हुए <math display=inline>\frac pd, \frac qd,\frac rd,</math> पैमाना कारक <math display=inline>\frac d{\gcd(p,q,r)}</math> एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज का निर्माण करें जैसे कि इसकी भुजा की लंबाई <math display=inline>a, b,c</math> सेटवार [[कोप्राइम संख्या]] हैं। क्षेत्र के नीचे सिद्ध होता है {{mvar|A}} एक पूर्णांक है, और इस प्रकार त्रिभुज एक हेरोनियन त्रिभुज है। ऐसे त्रिभुज को प्राय: आदिम हेरोनियन त्रिभुज कहा जाता है।
+पार्श्व लंबाई के एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज को देखते हुए <math display=inline>\frac pd, \frac qd,\frac rd,</math>  सोपानी गुणक <math display=inline>\frac d{\gcd(p,q,r)}</math> एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज का निर्माण करें जैसे कि इसकी भुजा की लंबाई <math display=inline>a, b,c</math> पदशः [[कोप्राइम संख्या|सह-अभाज्य संख्या]] हैं। नीचे यह सिद्ध किया गया है कि क्षेत्रफल {{mvar|A}} एक पूर्णांक है, और इस प्रकार त्रिभुज एक हेरोनियन त्रिभुज है। ऐसे त्रिभुज को प्राय: अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज कहा जाता है।
-सारांश में, परिमेय हेरोनियन त्रिभुजों के प्रत्येक समानता [[तुल्यता वर्ग]] में ठीक एक आदिम हेरोनियन त्रिभुज होता है। प्रमाण का एक उपोत्पाद यह है कि आदिम हेरोनियन त्रिभुज की भुजाओं में से एक एक सम पूर्णांक है।
+सारांश में, परिमेय हेरोनियन त्रिभुजों के प्रत्येक समानता [[तुल्यता वर्ग]] में ठीक एक अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज होता है। प्रमाण का एक उपोत्पाद यह है कि अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज की भुजाओं में से एक एक सम पूर्णांक है।
-उपपत्ति: सिद्ध करना होगा कि, यदि भुजा की लम्बाई है <math display=inline>a, b,c</math> एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज के कोप्राइम पूर्णांक हैं, फिर क्षेत्रफल {{mvar|A}} भी एक पूर्णांक है और ठीक एक भुजा की लंबाई सम है।
+प्रमाण: सिद्ध करना होगा कि, यदि एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाई  <math display=inline>a, b,c</math>  सह-अभाज्य पूर्णांक हैं, तो क्षेत्रफल {{mvar|A}} भी एक पूर्णांक है और ठीक एक भुजा की लंबाई सम संख्या है।
-परिचय में दिए गए डायोफैंटाइन समीकरण तुरंत यह दर्शाता है <math>16A^2</math> एक पूर्णांक है। इसका वर्गमूल <math>4A</math> एक पूर्णांक भी है, क्योंकि एक पूर्णांक का वर्गमूल या तो एक पूर्णांक या एक [[अपरिमेय संख्या]] है।
+परिचय में दिए गए डायोफैंटाइन समीकरण तुरंत यह दर्शाता है कि <math>16A^2</math> एक पूर्णांक है। इसका वर्गमूल <math>4A</math> भी एक पूर्णांक है, क्योंकि पूर्णांक का वर्गमूल या तो एक पूर्णांक या एक [[अपरिमेय संख्या]] होता है।
-यदि किसी एक भुजा की लंबाई सम है, तो समीकरण के दाहिने पक्ष के सभी गुणनखंड सम होते हैं, और, समीकरण को इससे विभाजित करके {{math|16}}, वह मिलता है <math>A^2</math> और <math>A</math> पूर्णांक हैं।
+यदि किसी एक भुजा की लंबाई सम है, तो समीकरण के दाहिने पक्ष के सभी गुणनखंड सम होते हैं, और, समीकरण को {{math|16}} से विभाजित करके हमे यह प्राप्त होता है कि <math>A^2</math> और <math>A</math> पूर्णांक हैं।
-जैसा कि साइड की लंबाई को कोप्राइम माना जाता है, एक मामले को छोड़ दिया जाता है जहां एक या तीन साइड की लंबाई विषम होती है। माना जा रहा है कि {{mvar|c}} विषम है, डायोफैंटाइन समीकरण के दाहिने हाथ को फिर से लिखा जा सकता है
+जैसा कि भुजाओं की लंबाई को सह-अभाज्य माना जाता है, एक स्थिति को छोड़ दिया जाता है जहां एक या तीन भुजाओं की लंबाई विषम होती है। मान लीजिए कि {{mvar|c}} विषम है, डायोफैंटाइन समीकरण के दाहिने हाथ को फिर से लिखा जा सकता है
 :<math>((a+b)^2-c^2)(c^2-(a-b)^2),</math>
-साथ <math>a+b</math> और <math>a-b</math> यहां तक की। के रूप में एक विषम पूर्णांक का वर्ग [[मॉड्यूलर अंकगणित]]ीय है <math>1</math> मापांक {{math|4}}, समीकरण का दाहिना पक्ष सर्वांगसम होना चाहिए <math>-1</math> मापांक {{math|4}}. इस प्रकार यह असंभव है, कि किसी के पास डायोफैंटिन समीकरण का समाधान है, क्योंकि <math>16A^2</math> पूर्णांक का वर्ग होना चाहिए, और पूर्णांक का वर्ग सर्वांगसम होता है {{math|0}} या {{math|1}} मापांक {{math|4}}.
+<math>a+b</math> और <math>a-b</math>  सम के साथ है। चूंकि एक विषम पूर्णांक का वर्ग  <math>1</math>सापेक्ष अंकगणित {{math|4}} के सर्वांगसम होता है, समीकरण का दाहिना पक्ष <math>-1</math> सापेक्ष {{math|4}} के अनुरूप होना चाहिए। इस प्रकार यह असंभव है, कि किसी के पास डायोफैंटिन समीकरण का समाधान है, क्योंकि <math>16A^2</math> पूर्णांक का वर्ग होना चाहिए, और पूर्णांक का वर्ग {{math|0}} या {{math|1}} सापेक्ष {{math|4}} के सर्वांगसम होता है।
 == उदाहरण ==
 कोई भी पाइथागोरस त्रिभुज एक हेरोनियन त्रिभुज है। परिभाषा के अनुसार, ऐसे त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है। ऐसे किसी त्रिभुज में, दो छोटी भुजाओं में से एक की लंबाई समान होती है, इसलिए क्षेत्रफल (इन दोनों भुजाओं का गुणनफल, दो से विभाजित) भी एक पूर्णांक होता है।
-[[Image:Triangle-heronian.svg|thumb|right|भुजाओं की लंबाई c, e और b + d, और ऊँचाई a वाला त्रिभुज।]]हेरोनियन त्रिभुजों के उदाहरण जो समकोण नहीं हैं, समद्विबाहु त्रिभुज हैं जो एक पाइथागोरस त्रिभुज और उसकी दर्पण छवि को समकोण के किनारे जोड़कर प्राप्त किया जाता है। [[पायथागॉरियन ट्रिपल]] से शुरू {{math|3, 4, 5}} यह भुजाओं की लंबाई के साथ दो हेरोनियन त्रिभुज देता है {{math|(5, 5, 6)}} और {{math|(5, 5, 8)}} और क्षेत्र {{math|12}}.
+[[Image:Triangle-heronian.svg|thumb|right|भुजाओं की लंबाई c, e और b + d, और ऊँचाई a वाला त्रिभुज।]]हेरोनियन त्रिभुजों के उदाहरण जो समकोण नहीं हैं, समद्विबाहु त्रिभुज हैं जो एक पाइथागोरस त्रिभुज और उसकी दर्पण छवि को समकोण की भुजाओं को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। [[पायथागॉरियन ट्रिपल|पायथागॉरियन त्रिक]] {{math|3, 4, 5}} से शुरू होकर यह दो हेरोनियन त्रिभुज देता है जिसकी भुजाओं की लंबाई {{math|(5, 5, 6)}} और {{math|(5, 5, 8)}} और क्षेत्रफल {{math|12}} है।
-अधिक आम तौर पर, दो पाइथागोरस त्रिक दिए गए हैं <math>(a,b,c)</math> और <math>(a,d,e)</math> सबसे बड़ी प्रविष्टियों के साथ {{mvar|c}} और {{mvar|e}}, लंबाई की भुजाओं के साथ संगत त्रिभुजों को जोड़ा जा सकता है {{mvar|a}} (आकृति देखें) पार्श्व लंबाई के साथ एक हेरोनियन त्रिभुज प्राप्त करने के लिए <math>c,e,b+d</math> और क्षेत्र <math display=inline>\tfrac12a(b+d)</math> (यह एक पूर्णांक है, क्योंकि पायथागॉरियन त्रिभुज का क्षेत्रफल एक पूर्णांक है)।
+अधिक समान्यतः, दो पाइथागोरस त्रिक <math>(a,b,c)</math> और <math>(a,d,e)</math> सबसे बड़ी प्रविष्टियों {{mvar|c}} और {{mvar|e}}  के साथ दिए गए हैं, भुजाओं की लंबाई<math>c,e,b+d</math> और क्षेत्रफल <math>\tfrac12a(b+d)</math> वाला हेरोनियन त्रिभुज प्राप्त करने के लिए लंबाई <math>a</math> की भुजाओं के साथ संगत त्रिभुजों को जोड़ा जा सकता हैं (आकृति देखें) (यह एक पूर्णांक है, क्योंकि पायथागॉरियन त्रिभुज का क्षेत्रफल पूर्णांक है)।
-ऐसे हेरोनियन त्रिभुज हैं जिन्हें पायथागॉरियन त्रिभुजों में शामिल होने से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भुजाओं की लंबाई का हेरोनियन त्रिभुज <math>5, 29, 30</math> और क्षेत्रफल 72, क्योंकि इसकी कोई भी ऊँचाई पूर्णांक नहीं है। ऐसे हेरोनियन त्रिभुज कहलाते हैं {{Em|indecomposable}}.<ref name=Yiu>{{citation |first=Paul |last=Yiu |title=Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles |url=http://math.fau.edu/yiu/Southern080216.pdf |year=2008 |publisher=41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America }}</ref> हालांकि, प्रत्येक हेरोनियन त्रिभुज को समकोण त्रिभुजों से तर्कसंगत संख्या पक्ष की लंबाई के साथ बनाया जा सकता है, और इस प्रकार यह एक विघटित हेरोनियन त्रिभुज के समान है। वास्तव में, त्रिभुज की कम से कम एक ऊँचाई त्रिभुज के अंदर होती है, और इसे दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है। इन त्रिभुजों के परिमेय पक्ष होते हैं, क्योंकि हेरोनियन त्रिभुज के कोणों की कोज्या और ज्या परिमेय संख्याएँ हैं, और, आकृति के अंकन के साथ, एक के पास है <math>a=c\sin \alpha</math> और <math>b=c\cos\alpha,</math> कहाँ <math>\alpha</math> त्रिभुज का सबसे बायाँ कोण है।
+ऐसे हेरोनियन त्रिभुज हैं जिन्हें पायथागॉरियन त्रिभुजों में समिलित होने से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भुजाओं की लंबाई<math>5, 29, 30</math> और क्षेत्रफल 72 वाला हेरोनियन त्रिभुज, क्योंकि इसकी कोई भी ऊँचाई पूर्णांक नहीं है। ऐसे हेरोनियन त्रिभुज अविभाज्य कहलाते हैं {{Em}}.<ref name=Yiu>{{citation |first=Paul |last=Yiu |title=Heron triangles which cannot be decomposed into two integer right triangles |url=http://math.fau.edu/yiu/Southern080216.pdf |year=2008 |publisher=41st Meeting of Florida Section of Mathematical Association of America }}</ref> हालांकि, प्रत्येक हेरोनियन त्रिभुज को समकोण त्रिभुजों से परिमेय भुजाओं की लंबाई के साथ बनाया जा सकता है, और इस प्रकार यह एक विघटित हेरोनियन त्रिभुज के समान है। वास्तव में, त्रिभुज की कम से कम एक ऊँचाई त्रिभुज के अंदर होती है, और इसे दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है। इन त्रिभुजों के परिमेय भुजाएँ होती हैं, क्योंकि हेरोनियन त्रिभुज के कोणों की कोज्या और ज्या परिमेय संख्याएँ हैं, और, आकृति के अंकन के साथ, एक के पास है <math>a=c\sin \alpha</math> और <math>b=c\cos\alpha,</math> जहाँ <math>\alpha</math> त्रिभुज का सबसे बायाँ कोण है।
-== तर्कसंगतता गुण ==
+== परिमेयता गुण ==
-एक हेरोनियन त्रिभुज से संबंधित कई राशियाँ परिमेय संख्याएँ होती हैं। विशेष रूप से:
+एक हेरोनियन त्रिभुज से संबंधित कई मात्राएँ परिमेय संख्याएँ होती हैं। विशेष रूप से:
-*एक हेरोनियन त्रिभुज के सभी शीर्ष परिमेय होते हैं।<ref name=Somos>{{cite web|last=Somos|first=M.|author-link=Michael Somos|title=तर्कसंगत त्रिकोण|url=http://grail.eecs.csuohio.edu/~somos/rattri.html|date=December 2014|access-date=2018-11-04}}</ref> इसे इस तथ्य से देखा जा सकता है कि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उस ओर से उसकी ऊंचाई के एक भुजा के गुना का आधा होता है, और एक हेरोनियन त्रिभुज में पूर्णांक भुजाएँ और क्षेत्रफल होता है। कुछ हेरोनियन त्रिकोणों में तीन गैर-पूर्णांक ऊंचाई होती है, उदाहरण के लिए क्षेत्र 252 के साथ तीव्र (15, 34, 35) और क्षेत्रफल 72 के साथ अधिक (5, 29, 30)। कोई भी हेरोनियन त्रिकोण एक या अधिक गैर-पूर्णांक ऊंचाई के साथ हो सकता है। समानता (ज्यामिति) हेरोनियन त्रिकोण को तीन पूर्णांक ऊंचाई के साथ प्राप्त करने के लिए ऊंचाई के हर के कम से कम सामान्य गुणक के बराबर एक कारक द्वारा बढ़ाया जा सकता है।
+*एक हेरोनियन त्रिभुज के सभी शीर्ष परिमेय होते हैं।<ref name=Somos>{{cite web|last=Somos|first=M.|author-link=Michael Somos|title=तर्कसंगत त्रिकोण|url=http://grail.eecs.csuohio.edu/~somos/rattri.html|date=December 2014|access-date=2018-11-04}}</ref> इसे इस तथ्य से देखा जा सकता है कि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उस ओर से उसकी ऊंचाई के एक भुजा के गुना का आधा होता है, और एक हेरोनियन त्रिभुज में पूर्णांक भुजाएँ और क्षेत्रफल होता है। कुछ हेरोनियन त्रिकोणों में तीन गैर-पूर्णांक ऊंचाई होती है, उदाहरण के लिए क्षेत्र 252 के साथ (15, 34, 35) और क्षेत्रफल 72 के साथ (5, 29, 30)। कोई भी हेरोनियन त्रिकोण एक या अधिक गैर-पूर्णांक ऊंचाई के साथ हो सकता है। समानता (ज्यामिति) हेरोनियन त्रिकोण को तीन पूर्णांक ऊंचाई के साथ प्राप्त करने के लिए ऊंचाई के हर के कम से कम सामान्य गुणक के बराबर एक गुणनखंड द्वारा बढ़ाया जा सकता है।
-*एक हेरोनियन त्रिभुज के सभी समद्विभाजक#लम्ब समद्विभाजक परिमेय होते हैं: किसी भी त्रिभुज के लिए ये निम्नलिखित हैं <math>p_a=\tfrac{2aA}{a^2+b^2-c^2},</math> <math>p_b=\tfrac{2bA}{a^2+b^2-c^2},</math> और <math>p_c=\tfrac{2cA}{a^2-b^2+c^2},</math> जहाँ भुजाएँ a ≥ b ≥ c हैं और क्षेत्रफल A है;<ref>Mitchell, Douglas W. (2013), "Perpendicular Bisectors of Triangle Sides", ''Forum Geometricorum'' 13, 53−59: Theorem 2.</ref> एक हेरोनियन त्रिभुज में सभी a, b, c और A पूर्णांक हैं।
+*एक हेरोनियन त्रिभुज की सभी अंत्रिक भुजाएँ समद्विभाजक परिमेय होते हैं: किसी भी त्रिभुज के लिए ये निम्नलिखित हैं <math>p_a=\tfrac{2aA}{a^2+b^2-c^2},</math> <math>p_b=\tfrac{2bA}{a^2+b^2-c^2},</math> और <math>p_c=\tfrac{2cA}{a^2-b^2+c^2},</math> जहाँ भुजाएँ a ≥ b ≥ c हैं और क्षेत्रफल A है;<ref>Mitchell, Douglas W. (2013), "Perpendicular Bisectors of Triangle Sides", ''Forum Geometricorum'' 13, 53−59: Theorem 2.</ref> एक हेरोनियन त्रिभुज में सभी a, b, c और A पूर्णांक हैं।
-*एक हेरोनियन त्रिभुज के प्रत्येक [[आंतरिक कोण]] में एक परिमेय ज्या होती है। यह क्षेत्र सूत्र से निम्नानुसार है {{math|1=''Area'' = (1/2)''ab'' sin ''C''}}, जिसमें क्षेत्रफल और भुजाएँ a और b पूर्णांक हैं, और समान रूप से अन्य आंतरिक कोणों के लिए।
+*एक हेरोनियन त्रिभुज के प्रत्येक [[आंतरिक कोण]] में एक परिमेय ज्या होती है। यह क्षेत्रफल सूत्र से निम्नानुसार है {{math|1=''Area'' = (1/2)''ab'' sin ''C''}}, जिसमें क्षेत्रफल और भुजाएँ a और b पूर्णांक हैं, और समान रूप से अन्य आंतरिक कोणों के लिए भी।
-*एक हेरोनियन त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण में एक परिमेय कोसाइन होता है। यह कोसाइन के नियम से अनुसरण करता है, {{math|1=''c''<sup>2</sup> = ''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> − 2''ab'' cos ''C''}}, जिसमें भुजाएँ a, b, और c पूर्णांक हैं, और समान रूप से अन्य आंतरिक कोणों के लिए।
+*एक हेरोनियन त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण में एक परिमेय कोसाइन होता है। यह कोसाइन के नियम से अनुसरण करता है, {{math|1=''c''<sup>2</sup> = ''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> − 2''ab'' cos ''C''}}, जिसमें भुजाएँ a, b, और c पूर्णांक हैं, और समान रूप से अन्य आंतरिक कोणों के लिए भी।
-*चूंकि सभी हेरोनियन त्रिभुजों में सभी आंतरिक कोणों की ज्या और कोसाइन परिमेय होते हैं, इसका तात्पर्य है कि प्रत्येक आंतरिक कोण की स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श, छेदक और व्युत्क्रमज्या या तो तर्कसंगत या अनंत है।
+*चूंकि सभी हेरोनियन त्रिभुजों में सभी आंतरिक कोणों की ज्या और कोसाइन परिमेय होते हैं, इसका तात्पर्य है कि प्रत्येक आंतरिक कोण की स्पर्शरेखा, कर्ण, छेदक और कोसाइन या तो परिमेय या अनंत है।
-* प्रत्येक आंतरिक कोण के आधे हिस्से में एक परिमेय स्पर्शरेखा होती है क्योंकि {{math|1=tan ''C''/2 = sin ''C'' / (1 + cos ''C'')}}, और समान रूप से अन्य आंतरिक कोणों के लिए। इन आधे-कोण स्पर्शरेखा मूल्यों का ज्ञान एक आदिम हेरोनियन त्रिकोण (हेरोनियन त्रिकोण # अर्ध-कोण स्पर्शरेखा से सभी हेरोनियन त्रिकोण) की भुजाओं की लंबाई को फिर से बनाने के लिए पर्याप्त है।
+* प्रत्येक आंतरिक कोण के आधे अंश में एक परिमेय स्पर्शरेखा होती है क्योंकि {{math|1=tan ''C''/2 = sin ''C'' / (1 + cos ''C'')}}, और समान रूप से अन्य आंतरिक कोणों के लिए। इन आधे-कोण स्पर्शरेखा मूल्यों का ज्ञान एक अभाज्य हेरोनियन त्रिकोण (नीचे देखें) की भुजाओं की लंबाई को फिर से बनाने के लिए पर्याप्त है।
-*किसी भी त्रिभुज के लिए, [[परिवृत्त]] के परिकेंद्र से देखे जाने पर एक भुजा द्वारा फैला हुआ कोण भुजा के विपरीत त्रिभुज के शीर्ष के आंतरिक कोण का दुगुना होता है। क्योंकि एक हेरोनियन त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण के लिए अर्ध-कोण स्पर्शरेखा परिमेय है, यह इस प्रकार है कि एक हेरोनियन त्रिभुज के ऐसे प्रत्येक केंद्रीय कोण का चौथाई-कोण स्पर्शरेखा परिमेय है। (साथ ही, [[ब्रह्मगुप्त चतुर्भुज]] के केंद्रीय कोणों के लिए चौथाई-कोण स्पर्शरेखा तर्कसंगत हैं, लेकिन यह एक अनसुलझी समस्या है कि क्या यह सभी [[रॉबिन्स पेंटागन]] के लिए सही है।) आम तौर पर सभी [[चक्रीय बहुभुज]]ों के लिए रिवर्स सच है; यदि ऐसे सभी केंद्रीय कोणों में उनके चौथाई कोणों के लिए तर्कसंगत स्पर्शरेखाएँ हैं, तो चक्रीय बहुभुज को एक साथ पूर्णांक भुजा लंबाई और पूर्णांक क्षेत्र तक बढ़ाया जा सकता है।
+*किसी भी त्रिभुज के लिए, [[परिवृत्त]] के परिकेंद्र से देखे जाने पर एक भुजा द्वारा फैला हुआ कोण भुजा के विपरीत त्रिभुज के शीर्ष के आंतरिक कोण का दुगुना होता है। क्योंकि एक हेरोनियन त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण के लिए अर्ध-कोण स्पर्शरेखा परिमेय है, यह इस प्रकार है कि एक हेरोनियन त्रिभुज के ऐसे प्रत्येक केंद्रीय कोण का चौथाई-कोण स्पर्शरेखा परिमेय है। (साथ ही, [[ब्रह्मगुप्त चतुर्भुज]] के केंद्रीय कोणों के लिए चौथाई-कोण स्पर्शरेखा परिमेय हैं, लेकिन यह एक अनसुलझी समस्या है कि क्या यह सभी [[रॉबिन्स पेंटागन|रॉबिन्स पंचभुज]] के लिए सही है।) समान्यतः सभी [[चक्रीय बहुभुज|चक्रीय बहुभुजों]] के लिए विपरीत सच है; यदि ऐसे सभी केंद्रीय कोणों में उनके चौथाई कोणों के लिए परिमेय स्पर्शरेखाएँ हैं, तो चक्रीय बहुभुज को एक साथ पूर्णांक भुजा लंबाई और पूर्णांक क्षेत्र तक बढ़ाया जा सकता है।
 *ऐसे कोई हेरोनियन त्रिभुज नहीं हैं जिनके तीन आंतरिक कोण अंकगणितीय प्रगति बनाते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि अंकगणितीय प्रगति में आंतरिक कोण वाले सभी समतल त्रिभुजों में 60° का एक आंतरिक कोण होना चाहिए, जिसमें परिमेय ज्या नहीं होती है।<ref name=Zelator>[https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0803/0803.3778.pdf Zelator, K., "Triangle Angles and Sides in Progression and the diophantine equation x<sup>2</sup>+3y<sup>2</sup>=z<sup>2</sup>", ''Cornell Univ. archive'', 2008]</ref>
-*हेरोनियन त्रिभुज में उत्कीर्ण किसी भी वर्ग में परिमेय भुजाएँ होती हैं: एक सामान्य त्रिभुज के लिए त्रिभुज#लंबाई a की भुजा पर त्रिभुज में अंकित आकृतियों की लंबाई होती है <math>\tfrac{2Aa}{a^2+2A}</math> जहाँ A त्रिभुज का क्षेत्रफल है;<ref>Bailey, Herbert, and DeTemple, Duane, "Squares inscribed in angles and triangles", ''[[Mathematics Magazine]]'' 71(4), 1998, 278–284.</ref> एक हेरोनियन त्रिभुज में, A और a दोनों पूर्णांक हैं।
+*हेरोनियन त्रिभुज में उत्कीर्ण किसी भी वर्ग में परिमेय भुजाएँ होती हैं: एक सामान्य त्रिभुज के लिए लंबाई a की भुजा पर त्रिभुज में अंकित आकृतियों की लंबाई होती है <math>\tfrac{2Aa}{a^2+2A}</math> जहाँ A त्रिभुज का क्षेत्रफल है;<ref>Bailey, Herbert, and DeTemple, Duane, "Squares inscribed in angles and triangles", ''[[Mathematics Magazine]]'' 71(4), 1998, 278–284.</ref> एक हेरोनियन त्रिभुज में, A और a दोनों पूर्णांक हैं।
 * प्रत्येक हेरोनियन त्रिभुज में एक परिमेय अंतर्त्रिज्या (इसके उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या) होती है: एक सामान्य त्रिभुज के लिए अंतःत्रिज्या आधे परिधि के क्षेत्रफल का अनुपात होता है, और ये दोनों एक हेरोनियन त्रिभुज में परिमेय होते हैं।
-*प्रत्येक हेरोनियन त्रिभुज में एक परिमेय परिबद्ध वृत्त होता है#त्रिकोण (इसके परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या): एक सामान्य त्रिभुज के लिए परित्रिज्या क्षेत्रफल द्वारा विभाजित भुजाओं के गुणनफल के एक-चौथाई के बराबर होता है; एक हेरोनियन त्रिभुज में भुजाएँ और क्षेत्रफल पूर्णांक होते हैं।
+*प्रत्येक हेरोनियन त्रिभुज में एक परिमेय परित्रिज्या (इसके परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या) होती है: एक सामान्य त्रिभुज के लिए परित्रिज्या क्षेत्रफल द्वारा विभाजित भुजाओं के गुणनफल के एक-चौथाई के बराबर होती है; एक हेरोनियन त्रिभुज में भुजाएँ और क्षेत्रफल पूर्णांक होते हैं।
-*एक हेरोनियन त्रिभुज में [[केन्द्रक]] से प्रत्येक पक्ष की दूरी तर्कसंगत है क्योंकि, सभी त्रिभुजों के लिए, यह दूरी क्षेत्रफल के दोगुने से भुजा की लंबाई के तीन गुना के अनुपात में होती है।<ref>Clark Kimberling, "Trilinear distance inequalities for the symmedian point, the centroid, and other triangle centers", ''Forum Geometricorum'', 10 (2010), 135−139. http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201015index.html</ref> इसे यह कहते हुए सामान्यीकृत किया जा सकता है कि हेरोनियन त्रिभुजों से जुड़े सभी केंद्र जिनके बेरिकेंट्रिक समन्वय प्रणाली तर्कसंगत अनुपात हैं, प्रत्येक पक्ष के लिए एक तर्कसंगत दूरी है। इन केंद्रों में परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, [[नौ-बिंदु केंद्र]], [[सिम्मेडियन बिंदु]], गेर्गोन बिंदु और [[नागल बिंदु]] शामिल हैं।<ref name=ck>Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangle Centers {{cite web|url=http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |title=Encyclopedia of Triangle Centers |access-date=2012-06-17 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |archive-date=2012-04-19 }}</ref>
+*एक हेरोनियन त्रिभुज में [[केन्द्रक]] से प्रत्येक पक्ष की दूरी परिमेय है क्योंकि, सभी त्रिभुजों के लिए, यह दूरी क्षेत्रफल के दोगुने से भुजा की लंबाई के तीन गुना के अनुपात में होती है।<ref>Clark Kimberling, "Trilinear distance inequalities for the symmedian point, the centroid, and other triangle centers", ''Forum Geometricorum'', 10 (2010), 135−139. http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201015index.html</ref>  यह कहते हुए सामान्यीकृत किया जा सकता है कि हेरोनियन त्रिभुजों से जुड़े सभी केंद्र जिनके बेरिकेंट्रिक समन्वय निर्देशांक परिमेय अनुपात हैं, प्रत्येक पक्ष के लिए एक परिमेय दूरी है। इन केंद्रों में परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, [[नौ-बिंदु केंद्र]], [[सिम्मेडियन बिंदु]], गेर्गोन बिंदु और [[नागल बिंदु]] समिलित हैं।<ref name=ck>Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangle Centers {{cite web|url=http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |title=Encyclopedia of Triangle Centers |access-date=2012-06-17 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |archive-date=2012-04-19 }}</ref>
-* प्रत्येक हेरोनियन त्रिभुज को एक जाली बिंदु पर प्रत्येक शीर्ष के साथ एक इकाई-पक्षीय वर्ग जाली पर रखा जा सकता है।<ref name=Yiu3>Yiu, P., "Heronian triangles are lattice triangles", ''American Mathematical Monthly'' 108 (2001), 261–263.</ref> एक उपप्रमेय के रूप में, प्रत्येक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज को सभी परिमेय-मूल्यवान निर्देशांकों के साथ द्वि-आयामी [[कार्तीय समन्वय प्रणाली]] में रखा जा सकता है।
+* प्रत्येक हेरोनियन त्रिभुज को एक इकाई-पक्षीय वर्ग जालक पर रखा जा सकता है, जिसमें प्रत्येक शीर्ष एक जालक बिंदु पर होता है।<ref name=Yiu3>Yiu, P., "Heronian triangles are lattice triangles", ''American Mathematical Monthly'' 108 (2001), 261–263.</ref> एक उपप्रमेय के रूप में, प्रत्येक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज को सभी परिमेय-मूल्यवान निर्देशांकों के साथ द्वि-आयामी [[कार्तीय समन्वय प्रणाली|कार्तीय समन्वय निर्देशांक]]  में रखा जा सकता है।
-== पक्ष की लंबाई के गुण ==
+== भुजाओं की लंबाई के गुण ==
-यहाँ हेरोनियन त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई के कुछ गुण हैं, जिनकी भुजाएँ हैं {{math|''a'', ''b'', ''c''}} और क्षेत्रफल है {{mvar|A}}.
+यहाँ हेरोनियन त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई के कुछ गुण हैं, जिनकी भुजाएँ हैं {{math|''a'', ''b'', ''c''}} और क्षेत्रफल {{mvar|A}} है।
-* प्रत्येक आदिम हेरोनियन त्रिभुज हेरोनियन त्रिभुज में एक सम और दो विषम भुजाएँ होती हैं (देखें {{slink||Scaling to primitive triangles}}). इससे पता चलता है कि एक हेरोनियन त्रिभुज की एक या तीन भुजाएँ सम लंबाई की होती हैं,<ref name=Buchholz1>{{cite journal |last1=Buchholz  |first1=R. H. |last2=MacDougall |first2=J. A. |title=तर्कसंगत पक्षों और क्षेत्रफल के साथ चक्रीय बहुभुज|citeseerx = 10.1.1.169.6336 |year=2001 |page=3 |publisher=CiteSeerX Penn State University }}</ref>{{rp|p.3}} और यह कि आदिम हेरोनियन त्रिभुज की परिधि हमेशा एक सम संख्या होती है।<ref name=Friche>{{Cite journal |title=हेरोन सिम्पलिसेस और इंटीजर एंबेडिंग पर|last=Friche |first=Jan |publisher=Ernst-Moritz-Arndt Universät Greiswald Publication |date=2 January 2002 |arxiv=math/0112239 }}</ref> * कोई समबाहु हेरोनियन त्रिभुज नहीं हैं, क्योंकि आदिम हेरोनियन त्रिभुज की एक सम भुजा लंबाई और दो विषम भुजा लंबाई होती है।<ref name=Somos/>*एक हेरोनियन त्रिभुज का क्षेत्रफल हमेशा 6 से विभाज्य होता है।<ref>''Proof''. One can suppose that the Heronian triangle is primitive. The right-hand side of the Diophantine equation can be rewritten as <math>((a+b)^2-c^2)(c^2-(a-b)^2).</math>  If an odd length is chosen for {{mvar|c}}, all squares are odd, and therefore of the form <math>8k+1;</math> and the two differences are multiple of {{math|8{{math|}}}}. So <math>16A^2</math> is multiple of {{math|64}}, and {{mvar|A}} is even. For the divisibility by three, one chooses {{mvar|c}} as non-multiple of {{math|3}} (the triangle is supposed to be primitive). If one of <math>a+b</math> and <math>a-b</math> is not a multiple of {{mvar|3}}, the corresponding factor is a  nultiple of {{mvar|3}} (since the square of a non-multiple of {{mvar|3}} has the form <math>3k+1</math>), and this implies that {{mvar|3}} is a divisor of <math>16A^2.</math> Otherwise, {{mvar|3}} would divide both <math>a+b</math> and <math>a-b,</math>  and the right-hand side of the Diophantine would not be the square of <math>4A,</math> as being congruent to minus times a square  modulo {{math|3}}. So this last case is impossible.</ref><ref name=Friche/>* 1 या 2 भुजाओं वाली कोई हेरोनियन त्रिभुज नहीं हैं।<ref>''Proof''. Supposing <math>a\ge b\ge c,</math> the [[triangle inequality]] implies <math>b\le a\le b+c.</math> If <math>c=1,</math> this implies that <math>a=b,</math> and the condition that there is exactly one even side length cannot be fulfilled. If <math>c=2,</math> one has two even side lengths if <math>a=b+1.</math> So, <math>a=b,</math> and the Diophantine equation becomes <math>16 A^2=16(a^2-1),</math> which is impossible for two positive integers.</ref><ref name=carlson/>*अनंत संख्या में आदिम हेरोनियन त्रिभुज मौजूद हैं जिनकी एक भुजा की लंबाई दी गई के बराबर है {{math|''a''}}, उसे उपलब्ध कराया {{math|''a ''> 2}}.<ref name=carlson/>* अर्धपरिधि {{math|''s''}एक हेरोनियन त्रिभुज का } अभाज्य नहीं हो सकता (as <math>s(s-a)(s-b)(s-c)</math> क्षेत्र का वर्ग है, और क्षेत्र एक पूर्णांक है, यदि {{mvar|s}} प्रधान होगा, इसे दूसरे कारक को विभाजित करना चाहिए; यह असंभव है क्योंकि ये सभी कारक इससे कम हैं {{math|''s''}}).
+* प्रत्येक अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज हेरोनियन त्रिभुज में एक सम और दो विषम भुजाएँ होती हैं (देखें {{slink||Scaling to primitive triangles}}). इससे पता चलता है कि हेरोनियन त्रिभुज की एक या तीन भुजाएँ सम लंबाई की होती हैं,<ref name=Buchholz1>{{cite journal |last1=Buchholz  |first1=R. H. |last2=MacDougall |first2=J. A. |title=तर्कसंगत पक्षों और क्षेत्रफल के साथ चक्रीय बहुभुज|citeseerx = 10.1.1.169.6336 |year=2001 |page=3 |publisher=CiteSeerX Penn State University }}</ref>{{rp|p.3}} और यह कि अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज की परिधि हमेशा एक सम संख्या होती है।<ref name=Friche>{{Cite journal |title=हेरोन सिम्पलिसेस और इंटीजर एंबेडिंग पर|last=Friche |first=Jan |publisher=Ernst-Moritz-Arndt Universät Greiswald Publication |date=2 January 2002 |arxiv=math/0112239 }}</ref>
-* हेरोनियन त्रिकोण जिनमें कोई पूर्णांक ऊंचाई नहीं है (# भुजाओं की लंबाई और गैर-पाइथागोरस के गुण) ऐसे पक्ष हैं जो सभी प्रकार के अभाज्यों से विभाज्य हैं {{math|4''k''+1}}.<ref name=Yiu/>हालाँकि विघटित हेरोनियन त्रिभुजों में दो भुजाएँ होनी चाहिए जो पाइथागोरस त्रिभुजों का कर्ण हैं। इसलिए सभी हेरोनियन त्रिभुज जो पाइथागोरस के नहीं हैं, उनकी कम से कम दो भुजाएँ होती हैं जो इस रूप की अभाज्य संख्याओं से विभाज्य होती हैं {{math|4''k''+1}}. जो बचा है वह पायथागॉरियन त्रिभुज हैं। इसलिए, सभी हेरोनियन त्रिभुजों में कम से कम एक भुजा होती है जो कि प्रपत्र के अभाज्य संख्याओं से विभाज्य होती है {{math|4''k''+1}}. अंत में यदि एक हेरोनियन त्रिभुज का केवल एक पक्ष रूप के अभाज्यों से विभाज्य है {{math|4''k''+1}} यह पाइथागोरसियन होना चाहिए और कर्ण के रूप में पार्श्व होना चाहिए और कर्ण पाइथागोरसियन ट्रिपल#सामान्य गुण होना चाहिए।
+*कोई समबाहु हेरोनियन त्रिभुज नहीं हैं, क्योंकि अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज की एक सम भुजा लंबाई और दो विषम भुजा लंबाई होती है।<ref name="Somos" />
+*एक हेरोनियन त्रिभुज का क्षेत्रफल हमेशा 6 से विभाज्य होता है।<ref>''Proof''. One can suppose that the Heronian triangle is primitive. The right-hand side of the Diophantine equation can be rewritten as <math>((a+b)^2-c^2)(c^2-(a-b)^2).</math>  If an odd length is chosen for {{mvar|c}}, all squares are odd, and therefore of the form <math>8k+1;</math> and the two differences are multiple of {{math|8{{math|}}}}. So <math>16A^2</math> is multiple of {{math|64}}, and {{mvar|A}} is even. For the divisibility by three, one chooses {{mvar|c}} as non-multiple of {{math|3}} (the triangle is supposed to be primitive). If one of <math>a+b</math> and <math>a-b</math> is not a multiple of {{mvar|3}}, the corresponding factor is a  nultiple of {{mvar|3}} (since the square of a non-multiple of {{mvar|3}} has the form <math>3k+1</math>), and this implies that {{mvar|3}} is a divisor of <math>16A^2.</math> Otherwise, {{mvar|3}} would divide both <math>a+b</math> and <math>a-b,</math>  and the right-hand side of the Diophantine would not be the square of <math>4A,</math> as being congruent to minus times a square  modulo {{math|3}}. So this last case is impossible.</ref><ref name="Friche" />
+*1 या 2 भुजाओं वाली कोई हेरोनियन त्रिभुज नहीं हैं।<ref>''Proof''. Supposing <math>a\ge b\ge c,</math> the [[triangle inequality]] implies <math>b\le a\le b+c.</math> If <math>c=1,</math> this implies that <math>a=b,</math> and the condition that there is exactly one even side length cannot be fulfilled. If <math>c=2,</math> one has two even side lengths if <math>a=b+1.</math> So, <math>a=b,</math> and the Diophantine equation becomes <math>16 A^2=16(a^2-1),</math> which is impossible for two positive integers.</ref><ref name="carlson" /> दिए गए <math>a</math> के बराबर एक भुजा की लंबाई के साथ अभाज्य हेरोनियन त्रिभुजों की अनंत संख्या स्थित हैं, {{math}}.<ref name="carlson" />
+*एक हेरोनियन त्रिभुज का अर्धपरिमाप अभाज्य नहीं हो सकता (जैसे कि <math>s(s-a)(s-b)(s-c)</math> क्षेत्रफल का वर्ग है, और क्षेत्रफल एक पूर्णांक है, यदि {{mvar|s}} अभाज्य होगा, इसे दूसरे गुणनखंड को विभाजित करना चाहिए; यह असंभव है क्योंकि ये सभी गुणनखंड {{math|''s''}} से कम हैं).
+* हेरोनियन त्रिकोण जिनमें कोई पूर्णांक ऊंचाई नहीं है (अविघटनीय और गैर-पाइथागोरस) की भुजाएँ जो सभी {{math|4''k''+1}} के अभाज्य द्वारा विभाजित है।.<ref name="Yiu" />हालाँकि विघटित हेरोनियन त्रिभुजों में दो भुजाएँ होनी चाहिए जो पाइथागोरस त्रिभुजों का कर्ण हैं। इसलिए सभी हेरोनियन त्रिभुज जो पाइथागोरस के नहीं हैं, उनकी कम से कम दो भुजाएँ होती हैं जो  {{math|4''k''+1}} रूप की अभाज्य संख्याओं से विभाजित होती हैं. जो बचा है वह पायथागॉरियन त्रिभुज हैं। इसलिए, सभी हेरोनियन त्रिभुजों में कम से कम एक भुजा होती है जो {{math|4''k''+1}} के रूप की अभाज्य संख्याओं से विभाज्य होती है। अंत में यदि हेरोनियन त्रिभुज का केवल एक भुजा {{math|4''k''+1}} के रूप के अभाज्य संख्यों से विभाजित होती है, तो यह पाइथागोरस की भुजा के साथ कर्ण के रूप में होना चाहिए और कर्ण को 5 से विभाजित होना चाहिए।
 *ऐसे कोई हेरोनियन त्रिभुज नहीं हैं जिनकी भुजाओं की लंबाई एक ज्यामितीय प्रगति बनाती है।<ref name=Buchholz>{{Cite journal |title=अंकगणित या ज्यामितीय प्रगति में पक्षों के साथ बगुला चतुर्भुज|last1=Buchholz |first1=R. H. |last2=MacDougall |first2=J. A. |journal=Bulletin of the Australian Mathematical Society |pages=263–269 |volume=59 |year=1999 |issue=2 |doi=10.1017/s0004972700032883|doi-access=free }}</ref>
 *यदि किसी हेरोनियन त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं (लेकिन तीन नहीं) में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है, तो वह गुणनखंड दो वर्गों का योग होना चाहिए।<ref>{{Cite journal |title=परिमेय भुजाओं वाले त्रिभुज और परिमेय क्षेत्र वाले|last=Blichfeldt |first=H. F. |journal=Annals of Mathematics |volume=11 |issue=1/6 |year=1896–1897 |pages=57–60 |jstor=1967214 |doi=10.2307/1967214 }}</ref>
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 == पैरामीट्रिजेशन ==
-एक [[पैरामीट्रिक समीकरण]] या हेरोनियन त्रिभुजों के पैरामीट्रिजेशन में एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई और क्षेत्र के कार्यों के रूप में अभिव्यक्ति होती है{{mdash}}आमतौर पर बहुपद कार्य{{dash}}कुछ मापदंडों का, जैसे कि त्रिकोण हेरोनियन है अगर और केवल अगर पैरामीटर कुछ बाधाओं को पूरा करते हैं{{mdash}}आमतौर पर, सकारात्मक पूर्णांक होने के लिए कुछ असमानताओं को संतुष्ट करते हैं। आम तौर पर यह भी जरूरी है कि सभी हेरोनियन त्रिकोण पैरामीटर के कुछ मूल्यों के लिए स्केलिंग तक प्राप्त किए जा सकते हैं, और ये मान अद्वितीय हैं, यदि त्रिकोण के किनारों पर एक आदेश निर्दिष्ट किया गया है।
+[[पैरामीट्रिक समीकरण]] या हेरोनियन त्रिभुजों के पैरामीट्रिजेशन में एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई और क्षेत्रफल की अभिव्यक्ति होती है जैसे कि कुछ मापदंडों के फलन{{mdash}} समान्यतः बहुपद फलन - जैसे कि त्रिकोण हेरोनियन है अगर और केवल परिमाप कुछ बाधाओं को पूरा करते हैं{{mdash}}समान्यतः, धनात्मक पूर्णांक होने के लिए कुछ असमानताओं को संतुष्ट करते हैं। समान्यतः यह भी जरूरी है कि सभी हेरोनियन त्रिकोण परिमाप के कुछ मूल्यों के लिए मापन
-इस तरह के पहले पैरामीट्रिजेशन की खोज [[ब्रह्मगुप्त]] (598-668 A.D.) ने की थी, जिन्होंने यह साबित नहीं किया कि सभी हेरोनियन त्रिकोण पैरामीट्रिजेशन द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं। 18वीं शताब्दी में, [[लियोनार्ड यूलर]] ने एक और पैरामीट्रिजेशन प्रदान किया और साबित किया कि यह सभी हेरोनियन त्रिकोण उत्पन्न करता है। इन पैरामीट्रिजेशन का वर्णन अगले दो उपखंडों में किया गया है।
+प्राप्त किए जा सकते हैं, और ये मान अद्वितीय हैं, यदि त्रिकोण के भुजाओं पर एक आदेश निर्दिष्ट किया गया है।
-तीसरे उपखंड में, एक तर्कसंगत parametrization{{mdash}}वह एक पैरामीट्रिजेशन है जहां पैरामीटर धनात्मक परिमेय संख्याएं हैं{{mdash}} स्वाभाविक रूप से हेरोनियन त्रिभुजों के गुणों से प्राप्त होता है। ब्रह्मगुप्त और यूलर के पैरामीट्रिजेशन दोनों को इस तर्कसंगत पैरामीट्रिजेशन से समाशोधन हर द्वारा पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। यह एक प्रमाण प्रदान करता है कि ब्रह्मगुप्त और यूलर के पैरामीट्रिजेशन सभी हेरोनियन त्रिकोण उत्पन्न करते हैं।
+इस तरह के पहले पैरामीट्रिजेशन की खोज [[ब्रह्मगुप्त]] (598-668 A.D.) ने की थी, जिन्होंने यह सिद्ध नहीं किया कि सभी हेरोनियन त्रिकोण पैरामीट्रिजेशन द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं। 18वीं शताब्दी में, [[लियोनार्ड यूलर]] ने एक और पैरामीट्रिजेशन प्रदान किया और सिद्ध किया कि यह सभी हेरोनियन त्रिकोण उत्पन्न करता है। इन पैरामीट्रिजेशन का वर्णन अगले दो उपखंडों में किया गया है।
+तीसरे उपखंड में, एक परिमेय पैरामीट्रिजेशन{{mdash}} जो पैरामीट्रिजेशन है जहां परिमाप धनात्मक परिमेय संख्याएं हैं{{mdash}} स्वाभाविक रूप से यह हेरोनियन त्रिभुजों के गुणों से प्राप्त होता है। ब्रह्मगुप्त और यूलर के पैरामीट्रिजेशन दोनों को इस परिमेय पैरामीट्रिजेशन से समाशोधन हर द्वारा पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। यह एक प्रमाण प्रदान करता है कि ब्रह्मगुप्त और यूलर के पैरामीट्रिजेशन सभी हेरोनियन त्रिकोण उत्पन्न करते हैं।
 ===ब्रह्मगुप्त का पैरामीट्रिक समीकरण===
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   }}.</ref> लेकिन यह सिद्ध नहीं किया कि हेरोनियन त्रिभुजों की प्रत्येक समरूपता (ज्यामिति) वर्ग को इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है।{{citation needed|date=January 2023}}
-तीन सकारात्मक पूर्णांकों के लिए {{mvar|m}}, {{mvar|n}} और {{mvar|k}} जो कि कोप्राइम पूर्णांक हैं # समुच्चयों में सहप्रमुखता (<math>\gcd(m,n,k)=1</math>) और संतुष्ट <math>mn > k^2</math> (सकारात्मक पक्ष की लंबाई की गारंटी के लिए) और {{nobr|<math>m \ge n</math>}} (विशिष्टता के लिए):
+तीन धनात्मक पूर्णांकों के लिए {{mvar|m}}, {{mvar|n}} और {{mvar|k}} जो कि सह-अभाज्य पूर्णांक हैं (<math>\gcd(m,n,k)=1</math>) और संतुष्ट <math>mn > k^2</math> (धनात्मक पक्ष की लंबाई की गारंटी के लिए) और {{nobr|<math>m \ge n</math>}} (विशिष्टता के लिए):
 :<math>\begin{align}
@@ Line 95: / Line 101: @@
 A &= mnk(m+n)(mn-k^{2}), & r &= k(mn - k^2), \\
 \end{align}</math>
-कहाँ {{mvar|s}} अर्धपरिधि है, {{mvar|A}} क्षेत्र है, और {{mvar|r}} अंतःत्रिज्या है।
+जहाँ {{mvar|s}} अर्ध परिमाप है, {{mvar|A}} क्षेत्रफल है, और {{mvar|r}} अंतःत्रिज्या है।
-परिणामी हेरोनियन त्रिकोण हमेशा आदिम नहीं होता है, और संबंधित आदिम त्रिकोण प्राप्त करने के लिए स्केलिंग की आवश्यकता हो सकती है। उदाहरण के लिए, लेना {{math|1=''m'' = 36}}, {{math|1=''n'' = 4}} और {{math|1=''k'' = 3}} के साथ एक त्रिकोण बनाता है {{math|1=''a'' = 5220}}, {{math|1=''b'' = 900}} और {{math|1=''c'' = 5400}}, जो के समान है {{math|(5, 29, 30)}} अनुपातिक गुणक के साथ हेरोनियन त्रिभुज {{math|180}}.
+परिणामी हेरोनियन त्रिकोण हमेशा अभाज्य नहीं होता है, और संबंधित अभाज्य त्रिकोण प्राप्त करने के लिए मापन की आवश्यकता हो सकती है। उदाहरण के लिए, माना {{math|1=''m'' = 36}}, {{math|1=''n'' = 4}} और {{math|1=''k'' = 3}} एक त्रिकोण बनाता है {{math|1=''a'' = 5220}}, {{math|1=''b'' = 900}} और {{math|1=''c'' = 5400}}, जो {{math|(5, 29, 30)}} हेरोनियन त्रिभुज के समान है, जिसका अनुपातिक गुणक  {{math|180}}. है।
-तथ्य यह है कि उत्पन्न त्रिभुज आदिम नहीं है, इस पैरामीट्रिजेशन का उपयोग करने के लिए सभी हेरोनियन त्रिकोणों को एक निश्चित सीमा से कम आकार के साथ उत्पन्न करने के लिए एक बाधा है (आकार के बाद से) <math>\gcd(a,b,c)</math> भविष्यवाणी नहीं की जा सकती।<ref name="Kurz" />
+तथ्य यह है कि उत्पन्न त्रिभुज अभाज्य नहीं है, इस पैरामीट्रिजेशन का उपयोग सभी हेरोनियन त्रिकोणों को एक निश्चित सीमा से कम लंबाई के आकार के साथ उत्पन्न करने के लिए एक बाधा है क्योंकि <math>\gcd(a,b,c)</math> की भविष्यवाणी नहीं की जा सकती।<ref name="Kurz" />
 ===यूलर का पैरामीट्रिक समीकरण===
-लियोनार्ड यूलर द्वारा सभी हेरोनियन त्रिभुजों को उत्पन्न करने की निम्नलिखित विधि की खोज की गई थी,{{sfn|Dickson|1920|p=193}} जो ऐसे सभी त्रिभुजों को साबित करने वाले पहले व्यक्ति थे।
+लियोनार्ड यूलर द्वारा सभी हेरोनियन त्रिभुजों को उत्पन्न करने की निम्नलिखित विधि की खोज की गई थी,{{sfn|Dickson|1920|p=193}} जो ऐसे सभी त्रिभुजों को सिद्ध करने वाले पहले व्यक्ति थे।
-चार धनात्मक पूर्णांकों के लिए {{mvar|m}} कोप्राइम टू {{mvar|n}} और {{mvar|p}} कोप्राइम टू {{mvar|q}} {{nobr|(<math>\gcd{(m, n)} = \gcd{(p, q)} = 1</math>)}} संतुष्टि देने वाला <math>mp > nq</math> (सकारात्मक पक्ष की लंबाई की गारंटी के लिए):
+चार धनात्मक पूर्णांकों के लिए {{mvar|m}},  {{mvar|n}} के लिए सह-अभाज्य और {{mvar|p}}, {{mvar|q}} के लिए सह-अभाज्य {{nobr|(<math>\gcd{(m, n)} = \gcd{(p, q)} = 1</math>)}} संतुष्टि देने वाला <math>mp > nq</math> (धनात्मक पक्ष की लंबाई की गारंटी के लिए):
 :<math>\begin{align}
@@ Line 114: / Line 120: @@
 A &= mnpq(mq + np)(mp - nq), & r &= nq(mp - nq), \\
 \end{align}</math>
-कहाँ {{mvar|s}} अर्धपरिधि है, {{mvar|A}} क्षेत्र है, और {{mvar|r}} अंतःत्रिज्या है।
-यहां तक कि जब {{mvar|m}}, {{mvar|n}}, {{mvar|p}}, और {{mvar|q}} जोड़ीवार सहअभाज्य हैं, परिणामी हेरोनियन त्रिभुज आदिम नहीं हो सकता है। विशेष रूप से, अगर {{mvar|m}}, {{mvar|n}}, {{mvar|p}}, और {{mvar|q}} सभी विषम हैं, तीनों भुजाएँ सम हैं। यह भी संभव है {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, और {{mvar|c}} के अलावा एक सामान्य विभाजक है {{math|2}}. उदाहरण के लिए, साथ {{math|1=''m'' = 2}}, {{math|1=''n'' = 1}}, {{math|1=''p'' = 7}}, और {{math|1=''q'' = 4}}, मिलता है {{math|1=(''a'', ''b'', ''c'') = (130, 140, 150)}}, जहां प्रत्येक भुजा की लंबाई का गुणक है {{math|10}}; संबंधित आदिम ट्रिपल है {{math|(13, 14, 15)}}, जिसे परिणामस्वरूप ट्रिपल को विभाजित करके भी प्राप्त किया जा सकता है {{math|1=''m'' = 2, ''n'' = 1, ''p'' = 3, ''q'' = 2}} दो से, फिर अदला बदली {{math|''b''}} और {{math|''c''}}.
+जहाँ  {{mvar|s}} अर्ध परिमाप है, {{mvar|A}} क्षेत्र है, और {{mvar|r}} अंतःत्रिज्या है।
+यहां तक कि जब {{mvar|m}}, {{mvar|n}}, {{mvar|p}}, और {{mvar|q}} जोड़ीवार सहअभाज्य हैं, परिणामी हेरोनियन त्रिभुज अभाज्य नहीं हो सकता है। विशेष रूप से, अगर {{mvar|m}}, {{mvar|n}}, {{mvar|p}}, और {{mvar|q}} सभी विषम हैं, तीनों भुजाएँ सम हैं। तो यह भी संभव है {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, और {{mvar|c}} के अतिरिक्त एक सामान्य विभाजक {{math|2}} है। उदाहरण के लिए, {{math|1=''m'' = 2}}, {{math|1=''n'' = 1}}, {{math|1=''p'' = 7}}, और {{math|1=''q'' = 4}}, के साथ हमे {{math|1=(''a'', ''b'', ''c'') = (130, 140, 150)}} प्राप्त होता है, जहां प्रत्येक भुजा की लंबाई का गुणक {{math|10}} है संबंधित अभाज्य त्रिक  {{math|(13, 14, 15)}} है, जिसे {{math|1=''m'' = 2, ''n'' = 1, ''p'' = 3, ''q'' = 2}} से उत्पन्न त्रिक को दो से विभाजित करके भी प्राप्त किया जा सकता है, फिर {{math|''b''}} और {{math|''c''}}.का आदान-प्रदान किया जा सकता है।
 === आधा कोण स्पर्शरेखा पैरामीट्रिजेशन ===
-[[File:Triangle-tikz.svg|thumb|right|भुजाओं की लंबाई और आंतरिक कोणों वाला एक त्रिभुज जिसे टेक्स्ट में लेबल किया गया है]]होने देना <math>a, b, c</math> त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हो, मान लीजिए <math>\alpha, \beta, \gamma</math> इन भुजाओं के विपरीत आंतरिक कोण बनें, और मान लें <math display=inline>t = \tan\frac\alpha2,</math> <math display=inline>u = \tan\frac\beta2,</math> और <math display = inline>v = \tan\frac\gamma2</math> आधा कोण स्पर्शरेखा हो। मूल्य <math>t, u, v</math> सभी सकारात्मक और संतुष्ट हैं <math>tu + uv + vt = 1</math>; यह ट्रिपल स्पर्शरेखा पहचान मूल त्रिकोण पहचान के आधे कोण स्पर्शरेखा संस्करण के रूप में लिखी गई है <math display=inline>\frac\alpha 2 + \frac\beta 2 + \frac\gamma 2 = \frac\pi 2</math> रेडियन (अर्थात, 90°), जैसा कि कोण योग सूत्रों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। साइन्स के कानून और कोसाइन के कानून के द्वारा, सभी साइन्स और कोसाइन्स के <math>\alpha, \beta, \gamma</math> परिमेय संख्याएँ हैं यदि त्रिभुज एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज है और इस प्रकार यह इस मामले में अनुसरण करता है कि स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र | अर्ध-कोण स्पर्शरेखा भी परिमेय हैं।
+[[File:Triangle-tikz.svg|thumb|right|भुजाओं की लंबाई और आंतरिक कोणों वाला एक त्रिभुज जिसे टेक्स्ट में लेबल किया गया है]]माना कि <math>a, b, c</math> त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई है, मान लीजिए <math>\alpha, \beta, \gamma</math> इन भुजाओं के विपरीत आंतरिक कोण बनें, और मान लें <math display=inline>t = \tan\frac\alpha2,</math> <math display=inline>u = \tan\frac\beta2,</math> और <math display = inline>v = \tan\frac\gamma2</math> आधा कोण स्पर्शरेखा हो। मान <math>t, u, v</math> सभी धनात्मक और संतुष्ट <math>tu + uv + vt = 1</math> है; यह "त्रिक स्पर्शरेखा पहचान" मूल त्रिकोण पहचान के आधे कोण स्पर्शरेखा संस्करण के रूप में लिखी गई है <math display=inline>\frac\alpha 2 + \frac\beta 2 + \frac\gamma 2 = \frac\pi 2</math> रेडियन (अर्थात, 90°), जैसा कि कोण योग सूत्रों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। साइन्स सिद्धांत और कोसाइन सिद्धांत के द्वारा, सभी साइन्स और कोसाइन्स के <math>\alpha, \beta, \gamma</math> परिमेय संख्याएँ हैं यदि त्रिभुज एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज है और इस प्रकार यह इस स्थिति में अनुसरण करता है कि अर्ध-कोण स्पर्शरेखा भी परिमेय हैं।
-इसके विपरीत यदि <math>t, u, v</math> धनात्मक परिमेय संख्याएँ हैं जैसे कि <math>tu + uv + vt = 1,</math> वे समान हेरोनियन त्रिभुजों के एक वर्ग के आंतरिक कोणों की अर्ध-कोण स्पर्शरेखाएँ हैं।<ref>{{cite journal |last=Cheney |first=William Fitch, Jr. |year=1929 |title=हेरोनियन त्रिकोण|journal=American Mathematical Monthly |volume=36 |issue=1 |pages=22–28 |doi=10.1080/00029890.1929.11986902 |url=http://math.fau.edu/yiu/PSRM2015/yiu/New%20Folder%20(4)/Heron%20Triangles/Cheney.pdf}}</ref> स्थिति <math>tu + uv + vt = 1</math> में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है <math display=inline>v = \frac{1-tu}{t+u},</math> और प्रतिबंध <math>v > 0</math> आवश्यक है <math>tu < 1.</math> इस प्रकार परिमेय हेरोनियन त्रिभुजों के समानता वर्गों और धनात्मक परिमेय संख्याओं के युग्मों के बीच एक आक्षेप है <math>(t, u)</math> जिसका उत्पाद कम है {{math|1}}.
+इसके विपरीत यदि <math>t, u, v</math> धनात्मक परिमेय संख्याएँ हैं जैसे कि <math>tu + uv + vt = 1,</math> वे समान हेरोनियन त्रिभुजों के एक वर्ग के आंतरिक कोणों की अर्ध-कोण स्पर्शरेखाएँ हैं।<ref>{{cite journal |last=Cheney |first=William Fitch, Jr. |year=1929 |title=हेरोनियन त्रिकोण|journal=American Mathematical Monthly |volume=36 |issue=1 |pages=22–28 |doi=10.1080/00029890.1929.11986902 |url=http://math.fau.edu/yiu/PSRM2015/yiu/New%20Folder%20(4)/Heron%20Triangles/Cheney.pdf}}</ref> स्थिति <math>tu + uv + vt = 1</math> को <math display=inline>v = \frac{1-tu}{t+u},</math> में नर्व्यवस्थित किया जा सकता है और प्रतिबंध <math>v > 0</math> के लिए <math>tu < 1.</math> की आवश्यकता है। इस प्रकार परिमेय हेरोनियन त्रिभुजों के समानता वर्गों और धनात्मक परिमेय संख्याओं के युग्मों <math>(t, u)</math> जिनका गुणनफल {{math|1}} से कम है।
-इस द्विभाजन को स्पष्ट करने के लिए, समानता वर्ग के एक विशिष्ट सदस्य के रूप में, एक इकाई-व्यास चक्र में अंकित त्रिकोण को विपरीत कोणों की साइन के बराबर लंबाई के साथ चुन सकते हैं:<ref>{{cite journal |last1=Kocik |first1=Jerzy |last2=Solecki |first2=Andrzej |date=2009 |title=त्रिभुज को सुलझाना|journal=American Mathematical Monthly |volume=116 |number=3 |pages=228–237 |url=http://lagrange.math.siu.edu/Kocik/triangle/monthlyTriangle.pdf |doi=10.1080/00029890.2009.11920932}}</ref>
+इस द्विभाजन को स्पष्ट करने के लिए, समानता वर्ग के एक विशिष्ट सदस्य के रूप में, एक इकाई-व्यास वृत्त में अंकित त्रिकोण को विपरीत कोणों की साइन के बराबर लंबाई के साथ चुन सकते हैं:<ref>{{cite journal |last1=Kocik |first1=Jerzy |last2=Solecki |first2=Andrzej |date=2009 |title=त्रिभुज को सुलझाना|journal=American Mathematical Monthly |volume=116 |number=3 |pages=228–237 |url=http://lagrange.math.siu.edu/Kocik/triangle/monthlyTriangle.pdf |doi=10.1080/00029890.2009.11920932}}</ref>
 :<math>\begin{align}
 a &= \sin\alpha = \frac{2t}{1+t^2}, & s - a = \frac{2u(1-tu)}{(1+t^2)(1+u^2)}, \\[5mu]
@@ Line 132: / Line 140: @@
 A &= \frac{4tu(t+u)(1-tu)}{(1+t^2)^2(1+u^2)^2}, & r = \frac{2tu(1-tu)}{(1+t^2)(1+u^2)},
 \end{align}</math>
-कहाँ <math>s = \tfrac12(a + b + c)</math> अर्द्धपरिधि है, <math>A = \tfrac12 ab \sin \gamma</math> क्षेत्र है, <math>r = \sqrt{\tfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}</math> अंतःत्रिज्या है, और ये सभी मूल्य तर्कसंगत हैं क्योंकि <math>t</math> और <math>u</math> तर्कसंगत हैं।
+जहाँ <math>s = \tfrac12(a + b + c)</math> अर्ध परिमाप है, <math>A = \tfrac12 ab \sin \gamma</math> क्षेत्रफल है, <math>r = \sqrt{\tfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}</math> अंतःत्रिज्या है, और ये सभी मान परिमेय हैं क्योंकि <math>t</math> और <math>u</math> परिमेय हैं।
+एक (अभिन्न) हेरोनियन त्रिभुज प्राप्त करने के लिए, {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, और {{mvar|c}} के हर को साफ किया चाहिए। इसे करने के बहुत सारे प्रकार हैं। अगर <math>t = m/n</math> और <math>u = p/q,</math> के साथ <math>\gcd(m, n) = \gcd(p,q) = 1</math> (अलघुकरणीय भिन्न), और त्रिभुज को <math>\tfrac12(m^2 + n^2)(p^2 + q^2),</math> द्वारा बढ़ाया जाता है, इसका परिणाम यूलर का पैरामीट्रिजेशन है। अगर <math>t = m/k</math> और <math>u = n/k</math> के साथ <math>\gcd(m, n, k) = 1</math> (न्यूत्रिकोण भाजक), और त्रिकोण को <math>(k^2 + m^2)(k^2 + n^2)/2k,</math> द्वारा बढ़ाया गया है, परिणाम समान है लेकिन ब्रह्मगुप्त के पैरामीट्रिजेशन के समान नहीं है। अगर, इसके विपरीत, <math>1/t</math> और <math>1/u</math> जो निम्नतम सामान्य भाजक तक कम हो जाते हैं, अर्थात यदि <math>t = k/m</math> और <math>u = k/n</math> के साथ <math>\gcd(m, n, k) = 1,</math> तब किसी को त्रिभुज को मापन करके ब्रह्मगुप्त का पैरामीट्रिजेशन <math>(k^2 + m^2)(k^2 + n^2)/2k.</math> मिलता है।
-एक (अभिन्न) हेरोनियन त्रिभुज प्राप्त करने के लिए, के भाजक {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, और {{mvar|c}} समाशोधन भाजक। इसे करने बहुत सारे तरीके हैं। अगर <math>t = m/n</math> और <math>u = p/q,</math> साथ <math>\gcd(m, n) = \gcd(p,q) = 1</math> (irreducible भिन्न), और त्रिभुज को बढ़ाया जाता है <math>\tfrac12(m^2 + n^2)(p^2 + q^2),</math> इसका परिणाम यूलर का पैरामीट्रिजेशन है। अगर <math>t = m/k</math> और <math>u = n/k</math> साथ <math>\gcd(m, n, k) = 1</math> (न्यूनतम आम भाजक), और त्रिकोण द्वारा बढ़ाया गया है <math>(k^2 + m^2)(k^2 + n^2)/2k,</math> परिणाम समान है लेकिन ब्रह्मगुप्त के पैरामीट्रिजेशन के समान नहीं है। अगर, इसके बजाय, यह है <math>1/t</math> और <math>1/u</math> जो निम्नतम सामान्य भाजक तक कम हो जाते हैं, अर्थात यदि <math>t = k/m</math> और <math>u = k/n</math> साथ <math>\gcd(m, n, k) = 1,</math> तब किसी को त्रिभुज को स्केल करके ब्रह्मगुप्त का पैरामीट्रिजेशन मिलता है <math>(k^2 + m^2)(k^2 + n^2)/2k.</math>
 यह साबित करता है कि या तो पैरामीट्रिजेशन सभी हेरोनियन त्रिकोण उत्पन्न करता है।
 == अन्य परिणाम ==
-{{harvtxt|Kurz|2008}} ने हेरोनियन त्रिकोण उत्पन्न करने के लिए तेज़ एल्गोरिदम प्राप्त किया है।
+{{harvtxt|Kurz|2008}} ने हेरोनियन त्रिकोण उत्पन्न करने के लिए तेज़ कलन विधि प्राप्त की है।
-अंतःत्रिज्या के लिए पूर्णांक मानों के साथ असीम रूप से कई आदिम और अविघटनीय गैर-पाइथागोरियन हेरोनियन त्रिभुज हैं <math>r</math> और तीनों अंतःत्रिज्या <math>(r_a, r_b, r_c)</math>, द्वारा उत्पन्न सहित<ref name=Yiu1>Zhou, Li, "Primitive Heronian Triangles With Integer Inradius and Exradii", ''Forum Geometricorum'' 18, 2018, 71-77. http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201811.pdf</ref>{{rp|Thm. 4}}
+अपरिमित रूप से कई अभाज्य और अविघटनीय गैर-पाइथागोरियन हेरोनियन त्रिभुज हैं, जो अंतःत्रिज्या <math>r</math> के लिए पूर्णांक मानों के साथ और तीनों l अंतःत्रिज्या <math>(r_a, r_b, r_c)</math>, सहित उत्पन्न किए जाते है <ref name=Yiu1>Zhou, Li, "Primitive Heronian Triangles With Integer Inradius and Exradii", ''Forum Geometricorum'' 18, 2018, 71-77. http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201811.pdf</ref>{{rp|Thm. 4}}
 :<math>\begin{align}
@@ Line 150: / Line 159: @@
 A &= (5n - 2)(5n + 3)(5n^2 + n - 1) = r_c.
 \end{align}</math>
-असीम रूप से कई हेरोनियन त्रिकोण हैं जिन्हें एक जाली पर रखा जा सकता है जैसे कि न केवल जाली बिंदुओं पर कोने हैं, जैसा कि सभी हेरोनियन त्रिकोणों के लिए है, बल्कि इसके अतिरिक्त अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त के केंद्र जाली बिंदुओं पर हैं।<ref name=Yiu1/>{{rp|Thm. 5}}
+अपरिमित रूप से कई हेरोनियन त्रिकोण हैं जिन्हें एक जालक पर रखा जा सकता है जैसे कि सभी हेरोनियन त्रिकोणों के लिए न केवल जालक बिंदुओं पर भुजाओं के लिए, बल्कि इसके अतिरिक्त अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त के केंद्र जालक बिंदुओं पर हैं।<ref name=Yiu1/>{{rp|Thm. 5}}
-यह सभी देखें {{slink|Integer triangle|Heronian triangles}} कुछ प्रकार के हेरोनियन त्रिभुजों के पैरामीट्रिजेशन के लिए।
+कुछ प्रकार के हेरोनियन त्रिभुजों के पैरामीट्रिजेशन के लिए पूर्णांक त्रिभुज {{slink|पूर्णांक त्रिभुज|हेरोनियन त्रिकोण}} भी देखे।
 == उदाहरण ==
-आदिम पूर्णांक हेरोनियन त्रिकोणों की सूची, क्षेत्र द्वारा क्रमबद्ध और, यदि यह वही है,
+अभाज्य पूर्णांक हेरोनियन त्रिकोणों की सूची, क्षेत्रफल द्वारा क्रमबद्ध और यदि यह समान है,
 [[परिमाप]] के अनुसार, निम्न तालिका के अनुसार शुरू होता है।
-  आदिम का अर्थ है
+  अभाज्य का अर्थ है कि तीन भुजाओं की लंबाई का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक 1 के बराबर है।
-तीनों भुजाओं की लंबाई का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक 1 के बराबर है।
 {| class="wikitable" style="text-align:right;"
 |-
-! Area
+! क्षेत्र
 ! Perimeter
-! side length b+d
+! पार्श्व लंबाई b+d
-! side length e
+! पार्श्व लंबाई e
-! side length c
+! पार्श्व लंबाई c
 |-
 | 6
@@ Line 593: / Line 603: @@
 | 13
 |}
-आदिम हेरोनियन त्रिभुजों की सूची जिनकी भुजाएँ 6,000,000 से अधिक नहीं हैं, यहाँ पाई जा सकती हैं {{cite web|url=http://www.wm.uni-bayreuth.de/index.php?id=554&amp;L=3|url-status=live|title=आदिम हेरोनियन त्रिभुजों की सूची|publisher=Sascha Kurz, University of Bayreuth, Germany|archive-url=https://web.archive.org/web/20160508173315/http://www.wm-archive.uni-bayreuth.de/fileadmin/Sascha/Publikationen/On_Heronian_Triangles.pdf|archive-date=May 2016|access-date=29 March 2016}}
+अभाज्य हेरोनियन त्रिभुजों की सूची जिनकी भुजाएँ 6,000,000 से अधिक नहीं हैं, {{cite web|url=http://www.wm.uni-bayreuth.de/index.php?id=554&amp;L=3|url-status=live|title=आदिम हेरोनियन त्रिभुजों की सूची|publisher=Sascha Kurz, University of Bayreuth, Germany|archive-url=https://web.archive.org/web/20160508173315/http://www.wm-archive.uni-bayreuth.de/fileadmin/Sascha/Publikationen/On_Heronian_Triangles.pdf|archive-date=May 2016|access-date=29 March 2016}} में पाई जा सकती है
-== सही वर्ग भुजाओं के साथ हेरोनियन त्रिकोण ==
+== पूर्ण वर्ग भुजाओं के साथ हेरोनियन त्रिकोण ==
-पूर्ण वर्ग भुजाओं वाले हेरोनियन त्रिभुज पूर्ण घनाभ समस्या से संबंधित हैं। फरवरी 2021 तक, पूर्ण वर्ग भुजाओं वाले केवल दो आदिम हेरोनियन त्रिभुज ज्ञात हैं:
+पूर्ण वर्ग भुजाओं वाले हेरोनियन त्रिभुज पूर्ण घनाभ समस्या से संबंधित हैं। फरवरी 2021 तक, पूर्ण वर्ग भुजाओं वाले केवल दो अभाज्य हेरोनियन त्रिभुज ज्ञात हैं:
 (1853², 4380², 4427², क्षेत्रफल=32918611718880), 2013 में प्रकाशित।<ref>{{cite journal
@@ Line 611: / Line 621: @@
   | volume = 13
   | year = 2013}}</ref>
 (11789², 68104², 68595², क्षेत्रफल=284239560530875680), 2018 में प्रकाशित।<ref>{{Cite web | url=https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=NMBRTHRY;e7c96423.1804&S=b | title=LISTSERV - NMBRTHRY Archives - LISTSERV.NODAK.EDU }}</ref>
 == समान त्रिभुज ==
-एक आकृति को सम आकार कहा जाता है यदि उसका क्षेत्रफल उसके परिमाप के बराबर हो। वास्तव में पाँच समान हेरोनियन त्रिभुज हैं: पार्श्व लंबाई वाले (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20), और (9,10) , 17),{{sfn|Dickson|1920|p=199}}<ref>{{citation
+एक आकृति को सम आकार कहा जाता है यदि उसका क्षेत्रफल उसके परिमाप के बराबर हो। वास्तव में पाँच समान हेरोनियन त्रिभुज हैं : भुजाओं की लंबाई वाले (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20), और (9,10) , 17),{{sfn|Dickson|1920|p=199}}<ref>{{citation
   | last = Markowitz | first = L.
   | issue = 3
@@ Line 624: / Line 636: @@
   | year = 1981
 | doi = 10.5951/MT.74.3.0222
-  }}</ref> हालांकि उनमें से केवल चार आदिम हैं।
+  }}</ref> हालांकि उनमें से केवल चार ही अभाज्य हैं।
 ==लगभग-समबाहु हेरोनियन त्रिकोण==
-चूँकि परिमेय भुजाओं वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल एक अपरिमेय संख्या है, कोई भी समबाहु त्रिभुज हेरोनियन नहीं है। हालाँकि, समद्विबाहु हेरोनियन त्रिभुजों का एक क्रम जो लगभग समबाहु हैं, पायथागॉरियन ट्रिपल|समकोण त्रिभुजों के दोहराव से विकसित किया जा सकता है, जिसमें कर्ण पैरों में से एक से लगभग दोगुना लंबा होता है। इन लगभग-समबाहु त्रिभुजों के पहले कुछ उदाहरण निम्न तालिका में सूचीबद्ध हैं {{OEIS|A102341}}:
+चूँकि परिमेय भुजाओं वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल एक अपरिमेय संख्या है, कोई भी समबाहु त्रिभुज हेरोनियन नहीं है। हालाँकि, समद्विबाहु हेरोनियन त्रिभुजों का एक क्रम जो "लगभग समबाहु" हैं, को समकोण त्रिभुजों के दोहराव से विकसित किया जा सकता है, जिसमें कर्ण पैरों में से एक से लगभग दोगुना लंबा होता है। इन लगभग-समबाहु त्रिभुजों के पहले कुछ उदाहरण निम्न तालिका में सूचीबद्ध हैं {{OEIS|A102341}}:
 {| class="wikitable" style="table-layout: fixed; width: 500px;"
-! colspan="3" | Side length || rowspan="2" | Area
+! colspan="3" | पार्श्व लंबाई || rowspan="2" | क्षेत्र
 |-
 ! ''a'' || ''b''=''a'' || ''c''
@@ Line 650: / Line 662: @@
 | 46817 || 46817 || 46816 || 949077360
 |}
-हेरोनियन त्रिभुजों का एक अनूठा क्रम है जो लगभग समबाहु हैं क्योंकि तीन भुजाएँ n − 1, n, n +1 के रूप की हैं। निरंतर भिन्नों के आधार पर इस समस्या के सभी समाधानों को उत्पन्न करने के लिए एक विधि का वर्णन 1864 में [[ एडवर्ड कंपनी ]] द्वारा किया गया था ,<ref>{{citation|title=On the theory of commensurables|first=Edward|last=Sang|author-link=Edward Sang|journal=Transactions of the Royal Society of Edinburgh|year=1864|volume=23|issue=3|pages=721–760|doi=10.1017/s0080456800020019}}. See in particular [https://books.google.com/books?id=uXAxAQAAMAAJ&pg=PA734 p.&nbsp;734].</ref> और 1880 में [[रेनहोल्ड हॉपी]] ने समाधान के लिए एक [[बंद रूप अभिव्यक्ति]] दी।<ref>{{citation|title=A triangle with integral sides and area|first=H. W.|last=Gould|journal=[[Fibonacci Quarterly]]|pages=27–39|date=February 1973|volume=11|issue=1|url=http://www.mathstat.dal.ca/FQ/Scanned/11-1/gould.pdf}}.</ref> इन लगभग-समबाहु त्रिभुजों के पहले कुछ उदाहरण निम्न तालिका में सूचीबद्ध हैं {{OEIS|A003500}}:
+हेरोनियन त्रिभुजों का एक अनूठा क्रम है जो "लगभग समबाहु" हैं क्योंकि तीन भुजाएँ n − 1, n, n +1 के रूप में हैं। निरंतर भिन्नों के आधार पर इस समस्या के सभी समाधानों को उत्पन्न करने के लिए एक विधि का वर्णन 1864 में [[ एडवर्ड कंपनी ]] द्वारा किया गया था ,<ref>{{citation|title=On the theory of commensurables|first=Edward|last=Sang|author-link=Edward Sang|journal=Transactions of the Royal Society of Edinburgh|year=1864|volume=23|issue=3|pages=721–760|doi=10.1017/s0080456800020019}}. See in particular [https://books.google.com/books?id=uXAxAQAAMAAJ&pg=PA734 p.&nbsp;734].</ref> और 1880 में [[रेनहोल्ड हॉपी]] ने समाधान के लिए एक [[बंद रूप अभिव्यक्ति]] दी।<ref>{{citation|title=A triangle with integral sides and area|first=H. W.|last=Gould|journal=[[Fibonacci Quarterly]]|pages=27–39|date=February 1973|volume=11|issue=1|url=http://www.mathstat.dal.ca/FQ/Scanned/11-1/gould.pdf}}.</ref> इन लगभग-समबाहु त्रिभुजों के पहले कुछ उदाहरण निम्न तालिका में सूचीबद्ध हैं {{OEIS|A003500}}:
 {| class="wikitable" style="table-layout: fixed; width: 500px;"
-! colspan="3" | Side length || rowspan="2" | Area || rowspan="2" | Inradius
+! colspan="3" | पार्श्व लंबाई || rowspan="2" | क्षेत्र || rowspan="2" | त्रिज्या
 |-
 ! ''n'' − 1 || ''n'' || ''n'' + 1
@@ Line 672: / Line 684: @@
 | 37633 || 37634 || 37635 || 613283664 || 10864
 |}
-n के बाद के मान पिछले मान को 4 से गुणा करके, फिर उससे पहले के मान को घटाकर (52 = 4 × 14 - 4, 194 = 4 × 52 - 14, आदि) प्राप्त किया जा सकता है, इस प्रकार:
+n के बाद के मान पिछले मान को 4 से गुणा करके, फिर उससे पहले के मान को घटाकर (52 = 4 × 14 - 4, 194 = 4 × 52 - 14, आदि) द्वारा प्राप्त किए जा सकते है, इस प्रकार:
 :<math>n_t = 4n_{t-1} - n_{t-2} \, ,</math>
@@ Line 678: / Line 690: @@
 :<math>\big((n-1)^2+n^2+(n+1)^2\big)^2-2\big((n-1)^4+n^4+(n+1)^4\big) = (6n y)^2 = (4A)^2</math>
-जहां {n, y} n के समाधान हैं<sup>2</sup> − 12y<sup>2</sup> = 4. एक छोटा परिवर्तन n = 2x एक पारंपरिक [[पेल समीकरण]] x देता है<sup>2</sup> − 3y<sup>2</sup> = 1, जिसके समाधान के लिए निरंतर अंश विस्तार से प्राप्त किया जा सकता है {{radic|3}}.<ref>{{citation |first1=William H. |last1=Richardson |title=Super-Heronian Triangles |date=2007 |url=http://www.math.wichita.edu/~richardson/heronian/heronian.html}}</ref>
+जहां {n, y} n<sup>2</sup> − 12y<sup>2</sup> = 4 के समाधान हैं। एक छोटा परिवर्तन n = 2x एक पारंपरिक [[पेल समीकरण]] x<sup>2</sup> − 3y<sup>2</sup> = 1 देता है, जिसके समाधान के लिए {{radic|3}} निरंतर अंश विस्तार से प्राप्त किया जा सकता है।<ref>{{citation |first1=William H. |last1=Richardson |title=Super-Heronian Triangles |date=2007 |url=http://www.math.wichita.edu/~richardson/heronian/heronian.html}}</ref>
-चर n रूप का है <math>n=\sqrt{2 + 2 k}</math>, जहां के 7, 97, 1351, 18817, … है। इस क्रम की संख्याओं में यह गुण है कि k क्रमागत पूर्णांकों में समाकल [[मानक विचलन]] होता है।<ref>Online Encyclopedia of Integer Sequences, {{OEIS2C|A011943}}.</ref>
+चर n  <math>n=\sqrt{2 + 2 k}</math> के रूप का है, जहां k7, 97, 1351, 18817, … है। इस क्रम की संख्याओं में यह गुण है कि k क्रमागत पूर्णांकों में समाकल [[मानक विचलन]] होता है।<ref>Online Encyclopedia of Integer Sequences, {{OEIS2C|A011943}}.</ref>
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 * {{citation |author=S. sh. Kozhegel'dinov |title=On fundamental Heronian triangles |journal=Math. Notes |volume=55 |issue=2 |pages=151–6 |year=1994 |doi=10.1007/BF02113294 |s2cid=115233024 }}
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हेरोनियन त्रिकोण: Difference between revisions

Latest revision as of 15:20, 11 April 2023

अभाज्य त्रिभुजों में स्केलिंग

उदाहरण

परिमेयता गुण

भुजाओं की लंबाई के गुण

पैरामीट्रिजेशन

ब्रह्मगुप्त का पैरामीट्रिक समीकरण

यूलर का पैरामीट्रिक समीकरण

आधा कोण स्पर्शरेखा पैरामीट्रिजेशन

अन्य परिणाम

उदाहरण

पूर्ण वर्ग भुजाओं के साथ हेरोनियन त्रिकोण

समान त्रिभुज

लगभग-समबाहु हेरोनियन त्रिकोण

यह भी देखें

संदर्भ

अग्रिम पठन

बाहरी संबंध

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