घनत्व आव्यूह: Difference between revisions

Latest revision as of 17:06, 29 August 2023

क्वांटम यांत्रिकी में, घनत्व आव्यूह या घनत्व सक्रियक (ऑपरेटर) एक आव्यूह है जो भौतिक प्रणाली की क्वांटम स्थिति का वर्णन करता है। यह बोर्न नियम का उपयोग करके इस प्रणाली पर किए गए किसी भी माप के परिणामों की संभावनाओं की गणना करने की स्वीकृति देता है। यह अधिक सामान्य स्थैतिक सदिश या तरंग फलन का सामान्यीकरण है जबकि वे केवल शुद्ध स्थितियों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं घनत्व आव्यूह भी समिश्र स्थितियों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। दो अलग-अलग स्थितियों में क्वांटम यांत्रिकी के हल उत्पन्न होते हैं पहला जब प्रणाली की तैयारी पूरी तरह से ज्ञात नहीं है और इस प्रकार किसी को संभावित तैयारियों के एक सांख्यिकीय समूह से निपटना चाहिए, और दूसरा जब कोई एक भौतिक प्रणाली का वर्णन करना चाहता है जो उनकी संयुक्त स्थिति का वर्णन किए बिना दूसरे से जटिल होता है।

घनत्व आव्यूह इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी के क्षेत्रों में महत्वपूर्ण आव्यूह हैं जिसमे क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी, विवृत क्वांटम प्रणाली, क्वांटम असंगति और क्वांटम प्रौद्योगिकी जैसी समिश्र स्थितिया सम्मिलित हैं।

परिभाषा और प्रेरणा

घनत्व आव्यूह एक रैखिक सक्रियक का प्रतिनिधित्व है जिसे "घनत्व सक्रियक" कहा जाता है। घनत्व आव्यूह अंतर्निहित समष्टि में आधार (रैखिक बीजगणित) की स्थिति से घनत्व सक्रियक प्राप्त किया जाता है। सामान्यतः शब्द घनत्व आव्यूह और घनत्व सक्रियक प्रायः एक दूसरे के स्थान पर उपयोग किए जाते हैं।

सक्रियक भाषा में, एक प्रणाली के लिए एक घनत्व सक्रियक एक धनात्मक अर्ध-निश्चित, हर्मिटियन सक्रियक है जो प्रणाली के हिल्बर्ट समष्टि पर अभिनय करता है।^[1]^[2]^[3] इस परिभाषा को एक ऐसी स्थिति पर विचार करके प्रेरित किया जा सकता है जहाँ एक शुद्ध स्थिति $|\psi _{j}\rangle$ होती है और प्रायिकता के साथ तैयार किया जाता है जिसको $p_{j}$ के रूप में जाना जाता है। क्वांटम यांत्रिकी प्रक्षेपी माप परिणाम में मापन प्राप्त करने की प्रायिकता $m$ प्रक्षेपण सक्रियकों का उपयोग करते समय $\Pi _{m}$ द्वारा दिया गया है:^[4]^: 99

p(m)=\sum _{j}p_{j}\langle \psi _{j}\mid \Pi _{m}\mid \psi _{j}\rangle =\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|\right)\right],

जो घनत्व सक्रियक बनाता है, जिसे परिभाषित किया गया है:

\rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|,

इस प्रायिकता की स्थिति के लिए एक सुविधाजनक प्रतिनिधित्व के लिए यह जांचना आसान है कि यह सक्रियक धनात्मक अर्ध-निश्चित, हर्मिटियन है और इसका एक संकेत है। इसके विपरीत, यह स्पेक्ट्रम प्रमेय से अनुसरण करता है कि इन गुणों वाले प्रत्येक संकारक को इस रूप $\textstyle \sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|$ में लिखा जा सकता है कुछ स्थितियों के लिए $|\psi _{j}\rangle$ और गुणांक $p_{j}$ जो गैर- ऋणात्मक हैं और एक के बराबर हैं।^[5]^[4]^: 102 हालांकि, यह प्रतिनिधित्व अद्वितीय नहीं होगा, जैसा कि श्रोडिंगर-एचजेडब्ल्यू प्रमेय द्वारा प्रदर्शित किया गया है।

घनत्व सक्रियकों की परिभाषा के लिए एक और प्रेरणा समिश्र स्थितियों पर स्थानीय मापों पर विचार करने से आती है। माना कि $|\Psi \rangle$ समग्र हिल्बर्ट समष्टि में एक शुद्ध समिश्र स्थिति ${\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}$ है माप परिणाम प्राप्त करने की प्रायिकता $m$ प्रक्षेपक को मापते समय $\Pi _{m}$ हिल्बर्ट समष्टि पर ${\mathcal {H}}_{1}$ द्वारा ही दिया जाता है:^[4]^: 107

p(m)=\langle \Psi |\Pi _{m}\otimes I|\Psi \rangle =\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\operatorname {tr} _{2}|\Psi \rangle \langle \Psi |\right)\right],

जहाँ $\operatorname {tr} _{2}$ हिल्बर्ट समष्टि पर आंशिक संकेत ${\mathcal {H}}_{2}$ को दर्शाता है यह सक्रियक बनाता है:

\rho =\operatorname {tr} _{2}|\Psi \rangle \langle \Psi |

इन स्थानीय मापों की प्रायिकता की गणना करने के लिए एक सुविधाजनक उपकरण है इसे कम घनत्व आव्यूह $|\Psi \rangle$ के रूप में जाना जाता है उप-प्रणाली 1 पर यह जांचना आसान होता है कि इस सक्रियक में घनत्व सक्रियक के सभी गुण हैं। इसके विपरीत, श्रोडिंगर-एचजेडब्ल्यू प्रमेय का अर्थ है कि सभी घनत्व सक्रियकों को $\operatorname {tr} _{2}|\Psi \rangle \langle \Psi |$ के रूप में लिखा जा सकता है अन्य किसी स्थिति के लिए $|\Psi \rangle$ के रूप मे प्रदर्शित किया जा सकता है।

शुद्ध और समिश्र स्थितियाँ

शुद्ध क्वांटम स्थिति एक ऐसी स्थिति है जिसे अन्य क्वांटम स्थितियों के संभाव्य मिश्रण या उत्तल संयोजन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।^[3] घनत्व सक्रियकों की भाषा में शुद्ध स्थितियों के कई समकक्ष लक्षण होते हैं।^[6]^: 73 :यदि घनत्व सक्रियक एक शुद्ध स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है:

इसे स्थैतिक सदिश के बाहरी उत्पाद को $|\psi \rangle$ रूप में लिखा जा सकता है अर्थात, $\rho =|\psi \rangle \langle \psi |.$
यह एक प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) है।
यह निःशेष है, अर्थात् $\rho =\rho ^{2}.$
इसमें शुद्धता (क्वांटम यांत्रिकी) होती है अर्थात, $\operatorname {tr} (\rho ^{2})=1.$

क्वांटम स्थितियों के प्रायिकतात्मक समिश्र और उनके अध्यारोपण के बीच अंतर पर महत्व देना महत्वपूर्ण है। यदि एक भौतिक प्रणाली या तो $|\psi _{1}\rangle$ या $|\psi _{2}\rangle$ की स्थिति में होने के लिए तैयार है तब समान प्रायिकता के साथ, इसे समिश्र स्थिति द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

\rho ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},

जहाँ $|\psi _{1}\rangle$ और $|\psi _{2}\rangle$ की स्थिति के लिए लंबकोणीय और आयाम 2 माना किया जाता है। दूसरी तरफ समान प्रायिकता आयाम वाले इन दो स्थितियों की एक क्वांटम अध्यारोपण का परिणाम शुद्ध स्थिति $|\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}},$ में होता है और घनत्व आव्यूह के साथ $|\psi \rangle \langle \psi |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}.$ प्रायिकतात्मक समिश्र के विपरीत, यह क्वांटम अध्यारोपण क्वांटम हस्तक्षेप प्रदर्शित कर सकता है।^[4]^: 81

बलोच क्षेत्र में एक कक्ष का प्रतिनिधित्व, इकाई क्षेत्र पर प्रत्येक बिंदु एक शुद्ध स्थिति के लिए लम्बवत होता है। अन्य सभी घनत्व आव्यूह के भीतर में बिंदुओं के अनुरूप हैं।

ज्यामितीय रूप से, घनत्व सक्रियकों का समुच्चय एक उत्तल समुच्चय होता है और शुद्ध स्थिति उस समुच्चय के फेज बिंदु हैं। सबसे सरल स्थिति द्वि-आयामी हिल्बर्ट समष्टि है जिसे एक कक्ष के रूप में जाना जाता है। एक घन के लिए एक अपेक्षाकृत स्थिति पाउली आव्यूह के एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है जो एक साथ पहचान आव्यूह के लिए एक आधार $2\times 2$ का स्व-संलग्न आव्यूह प्रदान करता है:^[7]^: 126

\rho ={\frac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),

जहां वास्तविक संख्या $(r_{x},r_{y},r_{z})$ इकाई क्षेत्र के भीतर एक बिंदु के निर्देशांक हैं और

\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.

के साथ अंक $r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}=1$ शुद्ध स्थितियों का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि समिश्र स्थितियों को आंतरिक बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। इसे क्वेट स्थिति समष्टि के "बलोच स्फीयर" के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण: प्रकाश ध्रुवीकरण

ऊष्मीय विद्युत बल्ब समिश्र घनत्व आव्यूह के साथ पूरी तरह से यादृच्छिक ध्रुवीकृत फोटॉन का उत्सर्जन करता है:

{\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{bmatrix}}

. ऊर्ध्वाधर समतल ध्रुवीकरण से गुजरने के बाद, शेष फोटॉन सभी लंबवत ध्रुवीकृत होते हैं और शुद्ध स्थिति घनत्व आव्यूह हैं:

{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}

.

फोटॉन ध्रुवीकरण शुद्ध और समिश्र स्थितियों का एक उदाहरण है। एक व्यक्तिगत फोटॉन लंबकोणीय क्वांटम स्थितियों द्वारा वर्णित दाएं या बाएं वृत्तीय ध्रुवीकरण $|\mathrm {R} \rangle$ और $|\mathrm {L} \rangle$ के रूप में वर्णित किया जा सकता है या दोनों का क्वांटम अध्यारोपण यह किसी भी स्थिति में हो सकता है $\alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle$ $|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1$ ), रैखिक ध्रुवीकरण, वृत्तीय ध्रुवीकरण या दीर्घवृत्तीय ध्रुवीकरण के अनुरूप स्थिति द्वारा वर्णित लंबवत ध्रुवीकृत फोटॉन $|\mathrm {V} \rangle =(|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}$ पर विचार करें यदि हम इसे एक वृत्तीय ध्रुवीकरण से गुजारते हैं जो या तो केवल $|\mathrm {R} \rangle$ ध्रुवीकृत प्रकाश या केवल $|\mathrm {L} \rangle$ ध्रुवीकृत प्रकाश की स्वीकृति देता है दोनों स्थितियों में आधे फोटॉन अवशोषित होते हैं। इससे ऐसा लग सकता है कि आधे फोटॉन $|\mathrm {R} \rangle$ स्थिति में हैं और दूसरा आधा $|\mathrm {L} \rangle$ स्थिति में लेकिन यह सही नहीं है यदि हमारे पास $(|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}$ फोटॉन हो जाते हैं तब एक रैखिक ध्रुवीकरण के माध्यम से कोई अवशोषण नहीं होता है, लेकिन यदि हम किसी भी स्थिति को प्रतिच्छेदित करते हैं तो $|\mathrm {R} \rangle$ या $|\mathrm {L} \rangle$ आधे फोटॉन अवशोषित हो जाते हैं।

अध्रुवित प्रकाश (जैसे कि ऊष्मीय विद्युत बल्ब से प्रकाश) को $\alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle$ के किसी भी रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है रैखिक ध्रुवीकरण, दीर्घवृत्तीय ध्रुवीकरण या ध्रुवीकृत प्रकाश के विपरीत, यह 50% तीव्रता की कमी के साथ एक ध्रुवीकरणकर्ता के माध्यम से गुजरता है जो कि ध्रुवीकरणकर्ता के उन्मुखीकरण के कारण होता है और इसे किसी तरंग प्लेट से गुजारकर ध्रुवीकृत नहीं किया जा सकता है। हालांकि, ध्रुवीकृत प्रकाश को एक सांख्यिकीय समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है, उदाहरण प्रत्येक फोटॉन के रूप में या तो $|\mathrm {R} \rangle$ ध्रुवीकरण या $|\mathrm {L} \rangle$ प्रायिकता 1/2 के साथ ध्रुवीकरण यदि प्रत्येक फोटॉन में या तो लंबवत ध्रुवीकरण $|\mathrm {V} \rangle$ होता है या क्षैतिज ध्रुवीकरण $|\mathrm {H} \rangle$ प्रायिकता 1/2 के साथ ये दो समुच्चय प्रयोगात्मक रूप से अप्रभेद्य हैं और इसलिए उन्हें एक ही समिश्र स्थिति मे माना जाता है। अध्रुवित प्रकाश के इस उदाहरण के लिए घनत्व सक्रियक बराबर होता है:^[6]^: 75

\rho ={\frac {1}{2}}|\mathrm {R} \rangle \langle \mathrm {R} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {L} \rangle \langle \mathrm {L} |={\frac {1}{2}}|\mathrm {H} \rangle \langle \mathrm {H} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {V} \rangle \langle \mathrm {V} |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.

अध्रुवीकृत प्रकाश उत्पन्न करने के अन्य तरीके भी हैं: फोटॉन की तैयारी में अनिश्चितता का परिचय देने की एक संभावना है उदाहरण के लिए, इसे एक सतह के साथ एक द्विअर्थी क्रिस्टल के माध्यम से पारित करना, ताकि प्रकाश किरण के अपेक्षाकृत अलग भाग अलग-अलग ध्रुवीकरण प्राप्त कर सकें। एक और संभावना जटिल स्थितियों का उपयोग कर रही है एक रेडियोधर्मी क्षय क्वांटम स्थिति में विपरीत दिशाओं में संचरण करने वाले दो फोटॉन $(|\mathrm {R} ,\mathrm {L} \rangle +|\mathrm {L} ,\mathrm {R} \rangle )/{\sqrt {2}}$ उत्सर्जित कर सकते है एक साथ दो फोटॉनों की संयुक्त स्थिति शुद्ध है, लेकिन प्रत्येक फोटॉन के लिए सामान्य रूप से घनत्व आव्यूह, संयुक्त घनत्व आव्यूह के आंशिक समीकरण को ले कर पाया जाता है कि यह पूरी तरह से समिश्र होता है।^[4]^: 106

समतुल्य समुच्चय और शुद्धीकरण

एक दिया गया घनत्व सक्रियक विशिष्ट रूप से यह निर्धारित नहीं करता है कि शुद्ध स्थितियों का कौन सा समूह इसे उत्पन्न करता है सामान्यतः एक ही घनत्व आव्यूह उत्पन्न करने वाले असीम रूप से कई अलग-अलग समुच्चय होते हैं।^[8] इन्हें किसी माप से नहीं पहचाना जा सकता है^[9] समतुल्य समुच्चय पूरी तरह से चित्रित किया जा सकता है।

माना कि $\{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}$ एक समुच्चय है फिर किसी समिश्र आव्यूह के लिए $U$ ऐसा है कि $U^{\dagger }U=I$ (एक आंशिक समदूरीकता), समुच्चय $\{q_{i},|\varphi _{i}\rangle \}$ द्वारा परिभाषित है:

{\sqrt {q_{i}}}\left|\varphi _{i}\right\rangle =\sum _{j}U_{ij}{\sqrt {p_{j}}}\left|\psi _{j}\right\rangle

एक ही घनत्व सक्रियक को :उत्पन्न करता है और सभी समतुल्य समुच्चय इस रूप में हैं। एक निकट से संबंधित तथ्य यह है कि एक दिए गए घनत्व सक्रियक के पास परिमित रूप से क्वांटम स्थिति के कई अलग-अलग शुद्धिकरण होते हैं, जो शुद्ध स्थितिया होती हैं जो आंशिक समीकरण किए जाने पर घनत्व संचालिका उत्पन्न करती हैं।

माना कि

\rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|

यदि समुच्चय द्वारा उत्पन्न घनत्व सक्रियक $\{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}$ हो तब स्थितियों के साथ $|\psi _{j}\rangle$ आवश्यक नहीं कि लंबकोणीय हो। फिर सभी आंशिक समदूरीकता के लिए $U$ है:

|\Psi \rangle =\sum _{j}{\sqrt {p_{j}}}|\psi _{j}\rangle U|a_{j}\rangle

जहाँ $|a_{j}\rangle$ एक लंबकोणीय आधार है और इसके अतिरिक्त सभी शुद्धिकरण $\rho$ के रूप हैं।

माप

माना कि $A$ प्रणाली का एक अवलोकनीय प्रणाली है और मान लीजिए कि समुच्चय एक समिश्र स्थिति में है, जैसे कि प्रत्येक शुद्ध स्थिति $\textstyle |\psi _{j}\rangle$ प्रायिकता $p_{j}$ से होता है फिर संबंधित घनत्व सक्रियक बराबर होता है

\rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|.

क्वांटम यांत्रिकी में मापन का आपेक्षिक मान (क्वांटम यांत्रिकी) की गणना शुद्ध स्थितियों की स्थिति से बढ़ाकर की जा सकती है:

\langle A\rangle =\sum _{j}p_{j}\langle \psi _{j}|A|\psi _{j}\rangle =\sum _{j}p_{j}\operatorname {tr} \left(|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} \left(\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} (\rho A),

जहाँ $\operatorname {tr}$ ट्रेस (रैखिक बीजगणित) को दर्शाता है। इस प्रकार, परिचित अभिव्यक्ति $\langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle$ शुद्ध स्थितियों को समिश्र स्थितियों के लिए $\langle A\rangle =\operatorname {tr} (\rho A)$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।^[6]^: 73

इसके अतिरिक्त यदि $A$ अविनिमेय विश्लेषण है तब

A=\sum _{i}a_{i}P_{i},

जहाँ $P_{i}$ आइगेन मान के संगत आइगेन समष्टि में प्रक्षेप सक्रियक $a_{i}$ है और माप घनत्व सक्रियक द्वारा दिया जाता है:^[10]^[11]

\rho _{i}'={\frac {P_{i}\rho P_{i}}{\operatorname {tr} \left[\rho P_{i}\right]}}

जब परिणाम i प्राप्त होता है। तो ऐसे स्थिति में जहां माप परिणाम ज्ञात नहीं है, समुच्चय इसके अतिरिक्त वर्णित होता है:

\;\rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i}.

यदि कोई मानता है कि माप परिणामों की संभावनाएं प्रक्षेप $P_{i}$ के रैखिक कार्य हैं, तो उन्हें प्रक्षेप के घनत्व सक्रियक के चिन्ह द्वारा दिया जाना चाहिए। ग्लीसन की प्रमेय से पता चलता है कि आयाम 3 या बड़े हिल्बर्ट रिक्त समष्टि में रैखिकता की धारणा को क्वांटम प्रासंगिकता की धारणा से परिवर्तित किया जा सकता है।^[12] पीओवीएम के लिए भी गैर-प्रासंगिकता मानकर आयाम पर इस प्रतिबंध को प्रतिबंध जा सकता है,^[13]^[14] लेकिन भौतिकी मे असंबद्ध के रूप में इसकी आलोचना की गई है।^[15]

एंट्रॉपी

वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी $S$ समिश्र के आइगेन मान $\rho$ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है या घनत्व सक्रियक के सूक्ष्ममात्रिक सक्रियक और आव्यूह लघुगणक के संदर्भ में $\rho$ से $\rho$ तक एक धनात्मक अर्ध-निश्चित सक्रियक है इसमें एक वर्णक्रमीय प्रमेय है जैसे कि $\rho =\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}|\varphi _{i}\rangle \langle \varphi _{i}|$ , जहाँ $|\varphi _{i}\rangle$ या लंबकोणीय सदिश $\lambda _{i}\geq 0$ , और $\textstyle \sum \lambda _{i}=1$ घनत्व आव्यूह के साथ एक क्वांटम प्रणाली $\rho$ की एन्ट्रापी है:

S=-\sum _{i}\lambda _{i}\ln \lambda _{i}=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ).

इस परिभाषा का तात्पर्य यह है कि किसी भी शुद्ध स्थिति की वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी शून्य होती है।^[16]^: 217 यदि $\rho _{i}$ ऐसे स्थिति हैं जिनके पास लंबकोणीय उप समष्टि पर समर्थन है, फिर इन स्थितियों के उत्तल संयोजन के वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी,

\rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i},

स्थितियों के वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी $\rho _{i}$ द्वारा दिया गया है और प्रायिकता $p_{i}$ की शैनन एंट्रॉपी:

S(\rho )=H(p_{i})+\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i}).

जब स्थिति $\rho _{i}$ लंबकोणीय समर्थन होता है, तो दाईं ओर का योग उत्तल संयोजन के वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी $\rho$ से अधिक होता है।^[4]^: 518

एक घनत्व सक्रियक $\rho$ दिया गया है और पिछले भाग की स्थिति के रूप में एक प्रक्षेपी माप $\rho '$ उत्तल संयोजन द्वारा परिभाषित है:

\rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i},

जिसे माप के प्रदर्शन द्वारा उत्पादित स्थिति के रूप में व्याख्या की जा सकती है, लेकिन यह निर्धारित नहीं किया जा सकता है कि कौन सा परिणाम हुआ,^[7]^: 159 जिसकी तुलना में एक वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी $\rho$ बड़ा होता है यदि $\rho =\rho '$ के लिए संभव $\rho '$ है तो सामान्यीकृत माप या पीओवीएम द्वारा उत्पादन की तुलना में कम वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी $\rho$ है।^[4]^: 514

समय विकास के लिए वॉन न्यूमैन समीकरण

जिस प्रकार श्रोडिंगर समीकरण वर्णन करता है कि समय के साथ शुद्ध स्थिति कैसे विकसित होती हैं, वॉन न्यूमैन समीकरण (जिसे लिउविल-वॉन न्यूमैन समीकरण भी कहा जाता है) वर्णन करता है कि समय में एक घनत्व सक्रियक कैसे विकसित होता है। वॉन न्यूमैन समीकरण यह निर्धारित करता है:^[17]^[18]^[19]

i\hbar {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=[H,\rho ]~,

जहां कोष्ठक क्रमविनिमयक को दर्शाता है।

यह समीकरण केवल तभी प्रयुक्त करता है जब घनत्व सक्रियक को श्रोडिंगर चित्र में लिया जाता है यद्यपि यह समीकरण हाइजेनबर्ग चित्र में गति के हाइजेनबर्ग समीकरण का अनुकरण करने के लिए एक महत्वपूर्ण संकेतिक अंतर के साथ प्रयुक्त किया जाता है:

i\hbar {\frac {dA^{(\mathrm {H} )}}{dt}}=-\left[H,A^{(\mathrm {H} )}\right]~,

जहाँ $A^{(\mathrm {H} )}(t)$ हाइजेनबर्ग चित्र संचालिका है लेकिन इस चित्र में घनत्व आव्यूह समय-निर्भर नहीं है और सापेक्ष संकेत यह सुनिश्चित करता है कि अपेक्षित मान का व्युत्पन्न समय $\langle A\rangle$ श्रोडिंगर चित्र के समान ही बाहर आता है।^[3] यदि हैमिल्टनियन समय-रैखिक है, तो वॉन न्यूमैन समीकरण को इसके लिए आसानी से हल किया जा सकता है:

\rho (t)=e^{-iHt/\hbar }\rho (0)e^{iHt/\hbar }.

अधिक सामान्य हैमिल्टनियन के लिए, यदि $G(t)$ कुछ अंतराल पर तरंग फलन प्रचारक है, तो उसी अंतराल पर घनत्व आव्यूह का समय विकास द्वारा दिया जाता है:

\rho (t)=G(t)\rho (0)G(t)^{\dagger }.

विग्नर फलन और उपमाएँ

घनत्व आव्यूह सक्रियक को फेज़ समष्टि में भी प्रयुक्त किया जा सकता है। विग्नेर चित्रण के अंतर्गत घनत्व आव्यूह समकक्ष विग्नेर फलन में परिवर्तित हो जाता है।

W(x,p)\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \,{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy.

विग्नर फलन के समय विकास के लिए समीकरण, जिसे मोयल समीकरण के रूप में जाना जाता है, फिर उपरोक्त वॉन न्यूमैन समीकरण का विग्नर-रूपांतरण है।

{\frac {\partial W(x,p,t)}{\partial t}}=-\{\{W(x,p,t),H(x,p)\}\},

जहाँ $H(x,p)$ हैमिल्टनियन है और $\{\{\cdot ,\cdot \}\}$ मोयल कोष्ठक है, क्वांटम क्रमविनिमयक का परिवर्तन विग्नर फलन के लिए विकास समीकरण तब इसकी निर्धारित सीमा के अनुरूप होता है लिउविल के प्रमेय हैमिल्टनियन भौतिकी के लिउविल समीकरण प्लैंक नियतांक $\hbar$ की सीमा में है जो फेज़ समष्टि $W(x,p,t)$ में लिउविल प्रायिकता घनत्व फलन को अपेक्षाकृत कम करता है।

उदाहरण अनुप्रयोग

घनत्व आव्यूह क्वांटम यांत्रिकी का एक आधारिक उपकरण है और कम से कम कभी-कभी लगभग किसी भी प्रकार की क्वांटम-यांत्रिक गणना में दिखाई देता है। कुछ विशिष्ट उदाहरण जहां घनत्व आव्यूह विशेष रूप से सहायक और सामान्य हैं, वे इस प्रकार हैं:

सांख्यिकीय यांत्रिकी घनत्व आव्यूह का उपयोग करता है सबसे प्रमुख रूप से इस विचार को व्यक्त करने के लिए कि एक गैर-शून्य तापमान पर एक प्रणाली तैयार की जाती है। एक विहित समुदाय का उपयोग करके घनत्व आव्यूह का निर्माण $\rho =\exp(-\beta H)/Z(\beta )$ का परिणाम देता है जहाँ $\beta$ व्युत्क्रम तापमान है $(k_{\rm {B}}T)^{-1}$ और $H$ प्रणाली का हैमिल्टनियन मान है। सामान्यीकरण शर्त है कि $\rho$ का पता लगाने 1 के बराबर होना विभाजन फलन सांख्यिकीय यांत्रिकी $Z(\beta )=\mathrm {tr} \exp(-\beta H)$ को परिभाषित करता है यदि प्रणाली में सम्मिलित कणों की संख्या स्वयं निश्चित नहीं है तो एक भव्य विहित समुच्चय प्रयुक्त किया जा सकता है जहां स्थितियों को घनत्व आव्यूह बनाने के लिए फॉक समष्टि से तैयार किया जाता है।^[20]^: 174
क्वांटम असम्बद्धता सिद्धान्त में सामान्यतः गैर-पृथक क्वांटम प्रणाली सम्मिलित होती हैं, जो माप उपकरण सहित अन्य प्रणालियों के साथ विकसित होती हैं। जो घनत्व आव्यूह प्रक्रिया का वर्णन करना और उसके परिणामों की गणना करना बहुत आसान बनाती हैं। क्वांटम असम्बद्धता को बताती है कि एक प्रणाली पर्यावरण के साथ परस्पर क्रिया करती है एक शुद्ध स्थिति होने से अध्यारोपण प्रदर्शित करने से एक समिश्र स्थिति में, क्वांटम असम्बद्धता के विकल्पों का एक असंगत संयोजन यह रूपान्तरण मौलिक रूप से प्रतिवर्ती होता है क्योंकि प्रणाली और पर्यावरण की संयुक्त स्थिति अभी भी शुद्ध है, लेकिन सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए अपरिवर्तनीय है क्योंकि पर्यावरण एक बहुत बड़ी और जटिल क्वांटम प्रणाली है और उनकी परस्पर क्रिया को व्युक्रम करना संभव नहीं है। इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी सीमा की व्याख्या करने के लिए असम्बद्धता बहुत महत्वपूर्ण है, लेकिन तरंग फलन की व्याख्या नहीं कर सकता है, क्योंकि सभी क्वांटम असम्बद्धता के विकल्प अभी भी समिश्र स्थिति में सम्मिलित हैं और तरंग फलन उनमें से केवल एक का चयन करता है।^[21]
इसी प्रकार क्वांटम गणना, क्वांटम सूचना सिद्धांत, विवृत क्वांटम प्रणाली और अन्य क्षेत्रों में जहां स्थिति और अव्यवस्था हो सकती है घनत्व आव्यूह का प्रायः उपयोग किया जाता है। ध्वनि को प्रायः एक क्वांटम विध्रुवण चैनल या एक आयाम वाले चैनल के माध्यम से तैयार किया जाता है। क्वांटम टोमोग्राफी एक ऐसी प्रक्रिया है जिसके द्वारा, क्वांटम मापन के परिणामों का प्रतिनिधित्व करने वाले डेटा का एक उपकरण दिया जाता है उन माप परिणामों के अनुरूप एक घनत्व आव्यूह की गणना की जाती है।^[22]^[23]
परमाणु या अणु जैसे कई इलेक्ट्रॉनों के साथ एक प्रणाली का विश्लेषण करते समय, एक अपूर्ण लेकिन उपयोगी पहला सन्निकटन इलेक्ट्रॉनों को इलेक्ट्रॉनिक सहसंबंध या प्रत्येक को रैखिक एकल-कण तरंग के रूप में माना जाता है। हार्ट्री-फॉक पद्धति में स्लेटर निर्धारक का निर्माण करते समय यह सामान्य प्रारम्भिक बिंदु है। यदि वहाँ $N$ इलेक्ट्रॉन स्थित हैं और $N$ एकल-कण तरंग फलन $|\psi _{i}\rangle$ , के संग्रह $N$ इलेक्ट्रॉनों को एक साथ घनत्व आव्यूह ${\textstyle \sum _{i=1}^{N}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$ द्वारा चित्रित किया जा सकता है।

सी * - स्थितियों का बीजगणितीय सूत्रीकरण

यह सामान्यतः स्वीकृत किया जाता है कि क्वांटम यांत्रिकी का वर्णन जिसमें सभी स्व-संलग्न संचालिकाएं प्रेक्षणीयों का प्रतिनिधित्व करती हैं^[24]^[25] इस कारण से, वेधशालाओं की पहचान एक अमूर्त C* बीजगणित A के तत्वों के साथ की जाती है जो सक्रियकों के बीजगणित के रूप में एक विशिष्ट प्रतिनिधित्व के बिना है और स्थित (कार्यात्मक विश्लेषण) A पर धनात्मक रैखिक कार्यात्मक हैं। हालांकि जीएनएस का उपयोग करके निर्माण हिल्बर्ट रिक्त समष्टि को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं जो A को सक्रियकों के उप-लजेब्रा के रूप में सिद्ध करते हैं।

ज्यामितीय रूप से, C* बीजगणित A पर एक शुद्ध स्थिति एक ऐसी स्थिति है जो A पर सभी स्थितियों के समूह का एक मुख्य बिंदु है। जीएनएस निर्माण के गुणों से ये स्थिति A के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के अनुरूप हैं। संक्षिप्त सक्रियक K(H) के C* बीजगणित की स्थिति घनत्व सक्रियकों के अनुरूप होती हैं और इसलिए K(H) की शुद्ध स्थिति क्वांटम यांत्रिकी के अर्थ में पूर्णतः शुद्ध स्थिति हैं।

C* बीजगणितीय सूत्रीकरण को समिश्र और क्वांटम दोनों प्रणालियों को सम्मिलित करने के लिए देखा जा सकता है। जब प्रणाली समिश्र होती है, तो वेधशालाओं का बीजगणित विनिमेय समूह C* बीजगणित समूह बन जाता है। उस स्थिति में विनिमेय समूह प्रायिकता माप हैं।

इतिहास

घनत्व सक्रियक और आव्यूह की औपचारिकता 1927 में जॉन वॉन न्यूमैन और रैखिक रूप से, लेव लैंडौ और बाद में 1946 में फेलिक्स बलोच द्वारा प्रस्तुत की गई थी।^[26]^[27]^[28] क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी और क्वांटम माप के सिद्धांत दोनों को विकसित करने के लिए वॉन न्यूमैन ने घनत्व आव्यूह प्रस्तुत किया था। नाम घनत्व आव्यूह स्वयं सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक फेज़-समष्टि प्रायिकता माप (स्थिति और संवेग का विनिमेय वितरण) के सांख्यिकीय यांत्रिकी से संबंधित है, जिसे 1932 में विग्नर द्वारा प्रस्तुत किया गया था।^[1]

इसके विपरीत, लेव लैंडौ को प्रेरित करने वाली प्रेरणा एक स्थैतिक सदिश द्वारा एक समग्र क्वांटम प्रणाली की निहित प्रणाली का वर्णन करने की असंभवता थी।^[28]

यह भी देखें

नोट्स और संदर्भ

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श्रेणी:कार्यात्मक विश्लेषण श्रेणी:क्वांटम सूचना विज्ञान श्रेणी:सांख्यिकीय यांत्रिकी श्रेणी:लेव लैंडौ

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[23] Ardila, Luis; Heyl, Markus; Eckardt, André (28 December 2018). "एक ऑप्टिकल जाली में फ़र्मियंस और हार्ड-कोर बोसोन के लिए एकल-कण घनत्व मैट्रिक्स को मापना". Physical Review Letters. 121 (260401): 6. arXiv:1806.08171. Bibcode:2018PhRvL.121z0401P. doi:10.1103/PhysRevLett.121.260401. PMID 30636128. S2CID 51684413.

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v t e Matrix classes
Explicitly constrained entries	Alternant Anti-diagonal Anti-Hermitian Anti-symmetric Arrowhead Band Bidiagonal Bisymmetric Block-diagonal Block Block tridiagonal Boolean Cauchy Centrosymmetric Conference Complex Hadamard Copositive Diagonally dominant Diagonal Discrete Fourier Transform Elementary Equivalent Frobenius Generalized permutation Hadamard Hankel Hermitian Hessenberg Hollow Integer Logical Matrix unit Metzler Moore Nonnegative Pentadiagonal Permutation Persymmetric Polynomial Quaternionic Signature Skew-Hermitian Skew-symmetric Skyline Sparse Sylvester Symmetric Toeplitz Triangular Tridiagonal Vandermonde Walsh Z
Constant	Exchange Hilbert Identity Lehmer Of ones Pascal Pauli Redheffer Shift Zero
Conditions on eigenvalues or eigenvectors	Companion Convergent Defective Definite Diagonalizable Hurwitz Positive-definite Stieltjes
Satisfying conditions on products or inverses	Congruent Idempotent or Projection Invertible Involutory Nilpotent Normal Orthogonal Unimodular Unipotent Unitary Totally unimodular Weighing
With specific applications	Adjugate Alternating sign Augmented Bézout Carleman Cartan Circulant Cofactor Commutation Confusion Coxeter Distance Duplication and elimination Euclidean distance Fundamental (linear differential equation) Generator Gram Hessian Householder Jacobian Moment Payoff Pick Random Rotation Seifert Shear Similarity Symplectic Totally positive Transformation
Used in statistics	Centering Correlation Covariance Design Doubly stochastic Fisher information Hat Precision Stochastic Transition
Used in graph theory	Adjacency Biadjacency Degree Edmonds Incidence Laplacian Seidel adjacency Tutte
Used in science and engineering	Cabibbo–Kobayashi–Maskawa Density Fundamental (computer vision) Fuzzy associative Gamma Gell-Mann Hamiltonian Irregular Overlap S State transition Substitution Z (chemistry)
Related terms	Jordan normal form Linear independence Matrix exponential Matrix representation of conic sections Perfect matrix Pseudoinverse Row echelon form Wronskian
' List of matrices Category:Matrices

v t e Quantum mechanics
Background	Introduction History Timeline Classical mechanics Old quantum theory Glossary
Fundamentals	Born rule Bra–ket notation Complementarity Density matrix Energy level Ground state Excited state Degenerate levels Zero-point energy Entanglement Hamiltonian Interference Decoherence Measurement Nonlocality Quantum state Superposition Tunnelling Scattering theory Symmetry in quantum mechanics Uncertainty Wave function Collapse Wave–particle duality
Formulations	Formulations Heisenberg Interaction Matrix mechanics Schrödinger Path integral formulation Phase space
Equations	Dirac Klein–Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretations	Interpretations Bayesian Consistent histories Copenhagen de Broglie–Bohm Ensemble Hidden-variable Local Many-worlds Objective collapse Quantum logic Relational Transactional Von Neumann-Wigner
Experiments	Bell's inequality Davisson–Germer Delayed-choice quantum eraser Double-slit Franck–Hertz Mach–Zehnder interferometer Elitzur–Vaidman Popper Quantum eraser Stern–Gerlach Wheeler's delayed choice
Science	Quantum biology Quantum chemistry Quantum chaos Quantum cosmology Quantum differential calculus Quantum dynamics Quantum geometry Quantum measurement problem Quantum stochastic calculus Quantum spacetime
Technology	Quantum algorithms Quantum amplifier Quantum bus Quantum cellular automata Quantum finite automata Quantum channel Quantum circuit Quantum complexity theory Quantum computing Timeline Quantum cryptography Quantum electronics Quantum error correction Quantum imaging Quantum image processing Quantum information Quantum key distribution Quantum logic Quantum logic gates Quantum machine Quantum machine learning Quantum metamaterial Quantum metrology Quantum network Quantum neural network Quantum optics Quantum programming Quantum sensing Quantum simulator Quantum teleportation
Extensions	Casimir effect Quantum statistical mechanics Quantum field theory History Quantum gravity Relativistic quantum mechanics
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Contents

परिभाषा और प्रेरणा

शुद्ध और समिश्र स्थितियाँ

उदाहरण: प्रकाश ध्रुवीकरण

समतुल्य समुच्चय और शुद्धीकरण

माप

एंट्रॉपी

समय विकास के लिए वॉन न्यूमैन समीकरण

विग्नर फलन और उपमाएँ

उदाहरण अनुप्रयोग

सी * - स्थितियों का बीजगणितीय सूत्रीकरण

इतिहास

यह भी देखें

नोट्स और संदर्भ

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Matrix describing a quantum system in a pure or mixed state}}
 {{Quantum mechanics|cTopic=Advanced topics}}
-[[क्वांटम यांत्रिकी]] में, घनत्व मैट्रिक्स (या घनत्व ऑपरेटर) एक मैट्रिक्स है जो भौतिक प्रणाली की [[कितना राज्य]] का वर्णन करता है। यह बोर्न नियम का उपयोग करके इस प्रणाली पर किए गए क्वांटम यांत्रिकी में किसी भी मापन के परिणामों की संभावनाओं की गणना करने की अनुमति देता है। यह अधिक सामान्य राज्य वैक्टर या तरंगों का एक सामान्यीकरण है: जबकि वे केवल शुद्ध राज्यों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, घनत्व मैट्रिक्स भी 'मिश्रित राज्यों' का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। दो अलग-अलग स्थितियों में क्वांटम यांत्रिकी में मिश्रित राज्य उत्पन्न होते हैं: पहला जब सिस्टम की तैयारी पूरी तरह से ज्ञात नहीं होती है, और इस प्रकार किसी को संभावित तैयारियों के एक सांख्यिकीय समेकन से निपटना चाहिए, और दूसरा जब कोई भौतिक प्रणाली का वर्णन करना चाहता है जो क्वांटम उलझाव है दूसरे के साथ, उनकी संयुक्त स्थिति का वर्णन किए बिना।
+[[क्वांटम यांत्रिकी]] में, '''घनत्व आव्यूह''' या '''घनत्व सक्रियक (ऑपरेटर)''' एक आव्यूह है जो भौतिक प्रणाली की क्वांटम स्थिति का वर्णन करता है। यह बोर्न नियम का उपयोग करके इस प्रणाली पर किए गए किसी भी माप के परिणामों की संभावनाओं की गणना करने की स्वीकृति देता है। यह अधिक सामान्य स्थैतिक सदिश या तरंग फलन का सामान्यीकरण है जबकि वे केवल शुद्ध स्थितियों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं घनत्व आव्यूह भी समिश्र स्थितियों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। दो अलग-अलग स्थितियों में क्वांटम यांत्रिकी के हल उत्पन्न होते हैं पहला जब प्रणाली की तैयारी पूरी तरह से ज्ञात नहीं है और इस प्रकार किसी को संभावित तैयारियों के एक सांख्यिकीय समूह से निपटना चाहिए, और दूसरा जब कोई एक भौतिक प्रणाली का वर्णन करना चाहता है जो उनकी संयुक्त स्थिति का वर्णन किए बिना दूसरे से जटिल होता है।
-घनत्व मैट्रिसेस इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी के क्षेत्रों में महत्वपूर्ण उपकरण हैं जो मिश्रित राज्यों से निपटते हैं, जैसे [[क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी]], खुली क्वांटम प्रणाली, [[क्वांटम असंगति]] और [[क्वांटम जानकारी]]।
+घनत्व आव्यूह इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी के क्षेत्रों में महत्वपूर्ण आव्यूह हैं जिसमे [[क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी]], विवृत क्वांटम प्रणाली, [[क्वांटम असंगति]] और [[क्वांटम जानकारी|क्वांटम प्रौद्योगिकी]] जैसी समिश्र स्थितिया सम्मिलित हैं।
 == परिभाषा और प्रेरणा ==
-घनत्व मैट्रिक्स एक [[रैखिक ऑपरेटर]] का प्रतिनिधित्व है जिसे घनत्व ऑपरेटर कहा जाता है। घनत्व मैट्रिक्स अंतर्निहित स्थान में [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] की पसंद से घनत्व ऑपरेटर से प्राप्त किया जाता है। व्यवहार में, "घनत्व मैट्रिक्स" और "घनत्व ऑपरेटर" शब्द अक्सर एक दूसरे के स्थान पर उपयोग किए जाते हैं।
+घनत्व आव्यूह एक [[रैखिक ऑपरेटर|रैखिक सक्रियक]] का प्रतिनिधित्व है जिसे "घनत्व सक्रियक" कहा जाता है। घनत्व आव्यूह अंतर्निहित समष्टि में [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] की स्थिति से घनत्व सक्रियक प्राप्त किया जाता है। सामान्यतः शब्द घनत्व आव्यूह और घनत्व सक्रियक प्रायः एक दूसरे के स्थान पर उपयोग किए जाते हैं।
-ऑपरेटर भाषा में, एक सिस्टम के लिए एक घनत्व ऑपरेटर एक [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स]] है | सकारात्मक अर्ध-निश्चित, [[ट्रेस क्लास ऑपरेटर]] का [[हर्मिटियन मैट्रिक्स]] ऑपरेटर जो सिस्टम के [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] पर अभिनय करता है।<ref name=fano1957>{{cite journal |doi=10.1103/RevModPhys.29.74 |title=घनत्व मैट्रिक्स और ऑपरेटर तकनीकों द्वारा क्वांटम यांत्रिकी में राज्यों का विवरण|journal=Reviews of Modern Physics |volume=29 |issue=1 |pages=74–93 |year=1957 |last1=Fano |first1=U. |bibcode=1957RvMP...29...74F }}</ref><ref>{{Cite book|last=Holevo |first=Alexander S. |author-link=Alexander Holevo |title=क्वांटम थ्योरी की सांख्यिकीय संरचना|publisher=Springer |series=Lecture Notes in Physics |year=2001 |isbn=3-540-42082-7|oclc=318268606}}</ref><ref name=Hall2013pp419-440>{{cite book |doi=10.1007/978-1-4614-7116-5_19 |chapter=Systems and Subsystems, Multiple Particles |title=गणितज्ञों के लिए क्वांटम थ्योरी|volume=267 |pages=419–440 |series=Graduate Texts in Mathematics |year=2013 |last1=Hall |first1=Brian C. |isbn=978-1-4614-7115-8 }}</ref> इस परिभाषा को एक ऐसी स्थिति पर विचार करके प्रेरित किया जा सकता है जहाँ एक शुद्ध अवस्था होती है <math>|\psi_j\rangle</math> संभावना के साथ तैयार किया गया है <math>p_j</math>, एक पहनावा के रूप में जाना जाता है। क्वांटम यांत्रिकी # प्रक्षेपी माप परिणाम में मापन प्राप्त करने की संभावना <math>m</math> प्रक्षेपण ऑपरेटरों का उपयोग करते समय <math>\Pi_m</math> द्वारा दिया गया है<ref name="mikeandike" />{{rp|99}}
+सक्रियक भाषा में, एक प्रणाली के लिए एक घनत्व सक्रियक एक [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|धनात्मक अर्ध-निश्चित]], [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन]] सक्रियक है जो प्रणाली के [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष|हिल्बर्ट समष्टि]] पर अभिनय करता है।<ref name=fano1957>{{cite journal |doi=10.1103/RevModPhys.29.74 |title=घनत्व मैट्रिक्स और ऑपरेटर तकनीकों द्वारा क्वांटम यांत्रिकी में राज्यों का विवरण|journal=Reviews of Modern Physics |volume=29 |issue=1 |pages=74–93 |year=1957 |last1=Fano |first1=U. |bibcode=1957RvMP...29...74F }}</ref><ref>{{Cite book|last=Holevo |first=Alexander S. |author-link=Alexander Holevo |title=क्वांटम थ्योरी की सांख्यिकीय संरचना|publisher=Springer |series=Lecture Notes in Physics |year=2001 |isbn=3-540-42082-7|oclc=318268606}}</ref><ref name=Hall2013pp419-440>{{cite book |doi=10.1007/978-1-4614-7116-5_19 |chapter=Systems and Subsystems, Multiple Particles |title=गणितज्ञों के लिए क्वांटम थ्योरी|volume=267 |pages=419–440 |series=Graduate Texts in Mathematics |year=2013 |last1=Hall |first1=Brian C. |isbn=978-1-4614-7115-8 }}</ref> इस परिभाषा को एक ऐसी स्थिति पर विचार करके प्रेरित किया जा सकता है जहाँ एक शुद्ध स्थिति <math>|\psi_j\rangle</math> होती है और प्रायिकता के साथ तैयार किया जाता है जिसको <math>p_j</math> के रूप में जाना जाता है। क्वांटम यांत्रिकी प्रक्षेपी माप परिणाम में मापन प्राप्त करने की प्रायिकता <math>m</math> प्रक्षेपण सक्रियकों का उपयोग करते समय <math>\Pi_m</math> द्वारा दिया गया है:<ref name="mikeandike" />{{rp|99}}
 :<math> p(m) = \sum_j p_j \langle \psi_j\mid \Pi_m \mid\psi_j\rangle  = \operatorname{tr} \left[ \Pi_m \left ( \sum_j p_j |\psi_j\rangle \langle \psi_j|\right)  \right],</math>
-जो घनत्व ऑपरेटर बनाता है, जिसे परिभाषित किया गया है
+जो घनत्व सक्रियक बनाता है, जिसे परिभाषित किया गया है:
 :<math>\rho = \sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j|, </math>
-इस पहनावा की स्थिति के लिए एक सुविधाजनक प्रतिनिधित्व। यह जांचना आसान है कि यह ऑपरेटर सकारात्मक अर्ध-निश्चित, हर्मिटियन है, और इसका एक निशान है। इसके विपरीत, यह [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] से अनुसरण करता है कि इन गुणों वाले प्रत्येक संकारक को इस रूप में लिखा जा सकता है <math>\textstyle \sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j|</math> कुछ राज्यों के लिए <math>|\psi_j\rangle</math> और गुणांक <math>p_j</math> जो गैर-नकारात्मक हैं और एक के बराबर हैं।<ref name=davidson>{{cite book|last=Davidson|first=Ernest Roy|title=क्वांटम रसायन विज्ञान में कम घनत्व मैट्रिक्स|year=1976|publisher=[[Academic Press]], London}}</ref><ref name="mikeandike" />{{rp|102}} हालांकि, यह प्रतिनिधित्व अद्वितीय नहीं होगा, जैसा कि श्रोडिंगर-एचजेडब्ल्यू प्रमेय द्वारा दिखाया गया है।
+इस प्रायिकता की स्थिति के लिए एक सुविधाजनक प्रतिनिधित्व के लिए यह जांचना आसान है कि यह सक्रियक धनात्मक अर्ध-निश्चित, हर्मिटियन है और इसका एक संकेत है। इसके विपरीत, यह स्पेक्ट्रम प्रमेय से अनुसरण करता है कि इन गुणों वाले प्रत्येक संकारक को इस रूप <math>\textstyle \sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j|</math> में लिखा जा सकता है कुछ स्थितियों के लिए <math>|\psi_j\rangle</math> और गुणांक <math>p_j</math> जो गैर- ऋणात्मक हैं और एक के बराबर हैं।<ref name=davidson>{{cite book|last=Davidson|first=Ernest Roy|title=क्वांटम रसायन विज्ञान में कम घनत्व मैट्रिक्स|year=1976|publisher=[[Academic Press]], London}}</ref><ref name="mikeandike" />{{rp|102}} हालांकि, यह प्रतिनिधित्व अद्वितीय नहीं होगा, जैसा कि श्रोडिंगर-एचजेडब्ल्यू प्रमेय द्वारा प्रदर्शित किया गया है।
-घनत्व संचालकों की परिभाषा के लिए एक और प्रेरणा उलझी हुई अवस्थाओं पर स्थानीय मापों पर विचार करने से आती है। होने देना <math>|\Psi\rangle</math> समग्र हिल्बर्ट अंतरिक्ष में एक शुद्ध उलझी हुई अवस्था हो <math> \mathcal{H}_1\otimes\mathcal{H}_2</math>. माप परिणाम प्राप्त करने की संभावना <math>m</math> प्रोजेक्टर को मापते समय <math>\Pi_m</math> हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर <math>\mathcal{H}_1</math> द्वारा ही दिया जाता है<ref name="mikeandike" />{{rp|107}}
+घनत्व सक्रियकों की परिभाषा के लिए एक और प्रेरणा समिश्र स्थितियों पर स्थानीय मापों पर विचार करने से आती है। माना कि <math>|\Psi\rangle</math> समग्र हिल्बर्ट समष्टि में एक शुद्ध समिश्र स्थिति <math> \mathcal{H}_1\otimes\mathcal{H}_2</math> है माप परिणाम प्राप्त करने की प्रायिकता <math>m</math> प्रक्षेपक को मापते समय <math>\Pi_m</math> हिल्बर्ट समष्टि पर <math>\mathcal{H}_1</math> द्वारा ही दिया जाता है:<ref name="mikeandike" />{{rp|107}}
 :<math> p(m) = \langle \Psi| \Pi_m \otimes I |\Psi\rangle = \operatorname{tr} \left[ \Pi_m \left ( \operatorname{tr}_2 |\Psi\rangle\langle \Psi| \right)  \right],</math>
-कहाँ <math> \operatorname{tr}_2 </math> हिल्बर्ट स्पेस पर [[आंशिक निशान]] को दर्शाता है <math>\mathcal{H}_2</math>. यह ऑपरेटर बनाता है
+जहाँ <math> \operatorname{tr}_2 </math> हिल्बर्ट समष्टि पर [[आंशिक निशान|आंशिक संकेत]] <math>\mathcal{H}_2</math> को दर्शाता है यह सक्रियक बनाता है:
 :<math>\rho = \operatorname{tr}_2 |\Psi\rangle\langle \Psi| </math>
-इन स्थानीय मापों की संभावनाओं की गणना करने के लिए एक सुविधाजनक उपकरण। इसे [[कम घनत्व मैट्रिक्स]] के रूप में जाना जाता है <math>|\Psi\rangle</math> सबसिस्टम 1 पर। यह जांचना आसान है कि इस ऑपरेटर में घनत्व ऑपरेटर के सभी गुण हैं। इसके विपरीत, श्रोडिंगर-एचजेडब्ल्यू प्रमेय का अर्थ है कि सभी घनत्व ऑपरेटरों को इस रूप में लिखा जा सकता है <math>\operatorname{tr}_2 |\Psi\rangle\langle \Psi|</math> किसी राज्य के लिए <math>|\Psi\rangle </math>.
+इन स्थानीय मापों की प्रायिकता की गणना करने के लिए एक सुविधाजनक उपकरण है इसे [[कम घनत्व मैट्रिक्स|कम घनत्व आव्यूह]] <math>|\Psi\rangle</math> के रूप में जाना जाता है उप-प्रणाली 1 पर यह जांचना आसान होता है कि इस सक्रियक में घनत्व सक्रियक के सभी गुण हैं। इसके विपरीत, श्रोडिंगर-एचजेडब्ल्यू प्रमेय का अर्थ है कि सभी घनत्व सक्रियकों को <math>\operatorname{tr}_2 |\Psi\rangle\langle \Psi|</math> के रूप में लिखा जा सकता है अन्य किसी स्थिति के लिए <math>|\Psi\rangle </math> के रूप मे प्रदर्शित किया जा सकता है।
-== शुद्ध और मिश्रित अवस्थाएँ ==
+== शुद्ध और समिश्र स्थितियाँ ==
-एक शुद्ध क्वांटम अवस्था एक ऐसी अवस्था है जिसे अन्य क्वांटम अवस्थाओं के संभाव्य मिश्रण या [[उत्तल संयोजन]] के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।<ref name=Hall2013pp419-440 />घनत्व संचालकों की भाषा में शुद्ध अवस्थाओं के कई समकक्ष लक्षण हैं।<ref name=":0">{{cite book|last=Peres |first=Asher |author-link=Asher Peres |title=[[Quantum Theory: Concepts and Methods]] |year=1995 |publisher=Kluwer |isbn=978-0-7923-3632-7 |oclc=901395752}}</ref>{{rp|73}} एक घनत्व ऑपरेटर एक शुद्ध स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है अगर और केवल अगर:
+शुद्ध क्वांटम स्थिति एक ऐसी स्थिति है जिसे अन्य क्वांटम स्थितियों के संभाव्य मिश्रण या [[उत्तल संयोजन]] के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।<ref name=Hall2013pp419-440 /> घनत्व सक्रियकों की भाषा में शुद्ध स्थितियों के कई समकक्ष लक्षण होते हैं।<ref name=":0">{{cite book|last=Peres |first=Asher |author-link=Asher Peres |title=[[Quantum Theory: Concepts and Methods]] |year=1995 |publisher=Kluwer |isbn=978-0-7923-3632-7 |oclc=901395752}}</ref>{{rp|73}} :यदि घनत्व सक्रियक एक शुद्ध स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है:
-* इसे स्टेट वेक्टर के [[बाहरी उत्पाद]] के रूप में लिखा जा सकता है <math>|\psi\rangle</math> खुद के साथ, यानी <math display="block"> \rho = |\psi \rangle \langle \psi|.</math>
+* इसे स्थैतिक सदिश के [[बाहरी उत्पाद]] को <math>|\psi\rangle</math> रूप में लिखा जा सकता है अर्थात, <math display="block"> \rho = |\psi \rangle \langle \psi|.</math>
-* यह एक [[प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)]] है, विशेष रूप से [[रैंक (रैखिक बीजगणित)]] एक का।
+* यह एक [[प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)]] है।
-* यह निःशेष है, अर्थात् <math display="block">\rho = \rho^2.</math>
+*यह निःशेष है, अर्थात् <math display="block">\rho = \rho^2.</math>
-* इसमें [[शुद्धता (क्वांटम यांत्रिकी)]] एक है, अर्थात, <math display="block">\operatorname{tr}(\rho^2) = 1.</math>
+* इसमें [[शुद्धता (क्वांटम यांत्रिकी)]] होती है अर्थात, <math display="block">\operatorname{tr}(\rho^2) = 1.</math>
-क्वांटम अवस्थाओं के संभाव्य मिश्रण और उनके [[ जितना अध्यारोपण ]] के बीच अंतर पर जोर देना महत्वपूर्ण है। यदि एक भौतिक प्रणाली या तो राज्य में होने के लिए तैयार है <math>| \psi_1 \rangle</math> या <math>| \psi_2 \rangle</math>, समान संभावना के साथ, इसे मिश्रित अवस्था द्वारा वर्णित किया जा सकता है
+क्वांटम स्थितियों के प्रायिकतात्मक समिश्र और उनके [[ जितना अध्यारोपण |अध्यारोपण]] के बीच अंतर पर महत्व देना महत्वपूर्ण है। यदि एक भौतिक प्रणाली या तो <math>| \psi_1 \rangle</math> या <math>| \psi_2 \rangle</math> की स्थिति में होने के लिए तैयार है तब समान प्रायिकता के साथ, इसे समिश्र स्थिति द्वारा वर्णित किया जा सकता है:
 :<math>\rho = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, </math>
-कहाँ <math>| \psi_1 \rangle</math> और <math>| \psi_2 \rangle</math> सादगी के लिए, ऑर्थोगोनल और आयाम 2 ग्रहण किया जाता है। दूसरी ओर, समान [[संभाव्यता आयाम]] वाले इन दो राज्यों की एक क्वांटम सुपरपोजिशन का परिणाम शुद्ध अवस्था में होता है <math>| \psi \rangle = (| \psi_1 \rangle + | \psi_2 \rangle)/\sqrt{2},</math> घनत्व मैट्रिक्स के साथ
+जहाँ <math>| \psi_1 \rangle</math> और <math>| \psi_2 \rangle</math> की स्थिति के लिए लंबकोणीय और आयाम 2 माना किया जाता है। दूसरी तरफ समान [[संभाव्यता आयाम|प्रायिकता आयाम]] वाले इन दो स्थितियों की एक क्वांटम अध्यारोपण का परिणाम शुद्ध स्थिति <math>| \psi \rangle = (| \psi_1 \rangle + | \psi_2 \rangle)/\sqrt{2},</math> में होता है और घनत्व आव्यूह के साथ <math>|\psi\rangle\langle\psi| = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}.</math> प्रायिकतात्मक समिश्र के विपरीत, यह क्वांटम अध्यारोपण [[क्वांटम हस्तक्षेप]] प्रदर्शित कर सकता है।<ref name="mikeandike" />{{rp|81}}[[File:Bloch sphere.svg|thumb|[[बलोच क्षेत्र]] में एक कक्ष का प्रतिनिधित्व, इकाई क्षेत्र पर प्रत्येक बिंदु एक शुद्ध स्थिति के लिए लम्बवत होता है। अन्य सभी घनत्व आव्यूह के भीतर में बिंदुओं के अनुरूप हैं।]]ज्यामितीय रूप से, घनत्व सक्रियकों का समुच्चय एक उत्तल समुच्चय होता है और शुद्ध स्थिति उस समुच्चय के [[चरम बिंदु|फेज बिंदु]] हैं। सबसे सरल स्थिति द्वि-आयामी हिल्बर्ट समष्टि है जिसे एक कक्ष के रूप में जाना जाता है। एक घन के लिए एक अपेक्षाकृत स्थिति [[पॉल मैट्रिसेस|पाउली आव्यूह]] के एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है जो एक साथ पहचान आव्यूह के लिए एक आधार <math>2 \times 2</math> का स्व-संलग्न आव्यूह प्रदान करता है:<ref name=":2" />{{Rp|126}}
-:<math>|\psi\rangle\langle\psi| = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}.</math>
-संभाव्य मिश्रण के विपरीत, यह सुपरपोजिशन [[क्वांटम हस्तक्षेप]] प्रदर्शित कर सकता है।<ref name="mikeandike" />{{rp|81}}
-[[File:Bloch sphere.svg|thumb|[[बलोच क्षेत्र]] में एक कक्षा का प्रतिनिधित्व, इकाई क्षेत्र पर प्रत्येक बिंदु एक शुद्ध स्थिति के लिए खड़ा होता है। अन्य सभी घनत्व मेट्रिसेस इंटीरियर में बिंदुओं के अनुरूप हैं।]]ज्यामितीय रूप से, घनत्व संचालकों का समुच्चय एक उत्तल समुच्चय है, और शुद्ध अवस्थाएँ उस समुच्चय के [[चरम बिंदु]] हैं। सबसे सरल मामला द्वि-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष का है, जिसे एक कक्षा के रूप में जाना जाता है। एक qubit के लिए एक मनमाना राज्य [[पॉल मैट्रिसेस]] के एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है, जो एक साथ पहचान मैट्रिक्स के लिए एक आधार प्रदान करता है <math>2 \times 2</math> स्व-संलग्न मेट्रिसेस:<ref name=":2" />{{Rp|126}}
 :<math>\rho = \frac{1}{2}\left(I + r_x \sigma_x + r_y \sigma_y + r_z \sigma_z\right),</math>
 जहां वास्तविक संख्या <math>(r_x, r_y, r_z)</math> [[इकाई क्षेत्र]] के भीतर एक बिंदु के निर्देशांक हैं और
@@ Line 54: / Line 50: @@
 &-1
      \end{pmatrix} .</math>
-के साथ अंक <math>r_x^2 + r_y^2 + r_z^2 = 1</math> शुद्ध अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि मिश्रित अवस्थाओं को आंतरिक बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। इसे क्वेट स्टेट स्पेस के बलोच स्फीयर पिक्चर के रूप में जाना जाता है।
+के साथ अंक <math>r_x^2 + r_y^2 + r_z^2 = 1</math> शुद्ध स्थितियों का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि समिश्र स्थितियों को आंतरिक बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। इसे क्वेट स्थिति समष्टि के "बलोच स्फीयर" के रूप में जाना जाता है।
 === उदाहरण: प्रकाश ध्रुवीकरण ===
-[[File:vertical polarization.svg|right|thumb|200px|गरमागरम प्रकाश बल्ब{{nbsp}}(1) पूरी तरह से यादृच्छिक ध्रुवीकृत फोटॉनों का उत्सर्जन करता है{{nbsp}}(2) मिक्स्ड स्टेट डेंसिटी मैट्रिक्स के साथ:<br />
+[[File:vertical polarization.svg|right|thumb|200px|ऊष्मीय विद्युत बल्ब समिश्र घनत्व आव्यूह के साथ पूरी तरह से यादृच्छिक ध्रुवीकृत फोटॉन का उत्सर्जन करता है:
-<डिव वर्ग = केंद्र><math>\begin{bmatrix}
+<math>\begin{bmatrix}
 .5 & 0  \\
 & 0.5
-\end{bmatrix}</math><span style= vertical-align:bottom >.</span></div>{{paragraph}}
+\end{bmatrix}</math><span style="vertical-align:bottom">.</span>
-वर्टिकल प्लेन पोलराइज़र से गुजरने के बाद{{nbsp}}(3), शेष फोटॉन सभी लंबवत ध्रुवीकृत हैं{{nbsp}}(4) और प्योर स्टेट डेंसिटी मैट्रिक्स है:<br />
-<डिव वर्ग = केंद्र><math>\begin{bmatrix}
+ऊर्ध्वाधर समतल ध्रुवीकरण से गुजरने के बाद, शेष फोटॉन सभी लंबवत ध्रुवीकृत होते हैं और शुद्ध स्थिति घनत्व आव्यूह हैं:<math>\begin{bmatrix}
 & 0  \\
 & 0
 \end{bmatrix}
-</math><span style= vertical-align:bottom >.</span></div>]][[फोटॉन ध्रुवीकरण]] शुद्ध और मिश्रित अवस्थाओं का एक उदाहरण है। एक व्यक्तिगत फोटॉन
+</math><span style="vertical-align:bottom">.</span>]][[फोटॉन ध्रुवीकरण]] शुद्ध और समिश्र स्थितियों का एक उदाहरण है। एक व्यक्तिगत फोटॉन लंबकोणीय क्वांटम स्थितियों द्वारा वर्णित दाएं या बाएं वृत्तीय ध्रुवीकरण <math>|\mathrm{R}\rangle</math> और <math>|\mathrm{L}\rangle</math> के रूप में वर्णित किया जा सकता है या दोनों का क्वांटम अध्यारोपण यह किसी भी स्थिति में हो सकता है <math>\alpha|\mathrm{R}\rangle+\beta|\mathrm{L}\rangle</math> <math>|\alpha|^2+|\beta|^2=1</math>), [[रैखिक ध्रुवीकरण]], वृत्तीय ध्रुवीकरण या [[अण्डाकार ध्रुवीकरण|दीर्घवृत्तीय ध्रुवीकरण]] के अनुरूप स्थिति द्वारा वर्णित लंबवत ध्रुवीकृत फोटॉन <math>|\mathrm{V}\rangle = (|\mathrm{R}\rangle+|\mathrm{L}\rangle)/\sqrt{2}</math> पर विचार करें यदि हम इसे एक वृत्तीय ध्रुवीकरण से गुजारते हैं जो या तो केवल <math>|\mathrm{R}\rangle</math> ध्रुवीकृत प्रकाश या केवल <math>|\mathrm{L}\rangle</math> ध्रुवीकृत प्रकाश की स्वीकृति देता है दोनों स्थितियों में आधे फोटॉन अवशोषित होते हैं। इससे ऐसा लग सकता है कि आधे फोटॉन <math>|\mathrm{R}\rangle</math> स्थिति में हैं और दूसरा आधा <math>|\mathrm{L}\rangle</math> स्थिति में लेकिन यह सही नहीं है यदि हमारे पास <math>(|\mathrm{R}\rangle+|\mathrm{L}\rangle)/\sqrt{2}</math> फोटॉन हो जाते हैं तब एक [[रैखिक ध्रुवीकरण]] के माध्यम से कोई अवशोषण नहीं होता है, लेकिन यदि हम किसी भी स्थिति को प्रतिच्छेदित करते हैं तो <math>|\mathrm{R}\rangle</math> या <math>|\mathrm{L}\rangle</math> आधे फोटॉन अवशोषित हो जाते हैं।
-ऑर्थोगोनल क्वांटम राज्यों द्वारा वर्णित दाएं या बाएं परिपत्र ध्रुवीकरण के रूप में वर्णित किया जा सकता है <math>|\mathrm{R}\rangle</math> और <math>|\mathrm{L}\rangle</math> या दोनों का क्वांटम सुपरपोजिशन: यह किसी भी अवस्था में हो सकता है <math>\alpha|\mathrm{R}\rangle+\beta|\mathrm{L}\rangle</math> (साथ <math>|\alpha|^2+|\beta|^2=1</math>), [[रैखिक ध्रुवीकरण]], परिपत्र ध्रुवीकरण, या [[अण्डाकार ध्रुवीकरण]] के अनुरूप। अब राज्य द्वारा वर्णित लंबवत ध्रुवीकृत फोटॉन पर विचार करें <math>|\mathrm{V}\rangle = (|\mathrm{R}\rangle+|\mathrm{L}\rangle)/\sqrt{2}</math>. यदि हम इसे एक गोलाकार पोलराइज़र से गुजारते हैं जो या तो केवल अनुमति देता है <math>|\mathrm{R}\rangle</math> ध्रुवीकृत प्रकाश, या केवल <math>|\mathrm{L}\rangle</math> ध्रुवीकृत प्रकाश, दोनों मामलों में आधे फोटॉन अवशोषित होते हैं। इससे ऐसा लग सकता है कि आधे फोटॉन अवस्था में हैं <math>|\mathrm{R}\rangle</math> और दूसरा आधा राज्य में <math>|\mathrm{L}\rangle</math>, लेकिन यह सही नहीं है: अगर हम पास हो जाते हैं <math>(|\mathrm{R}\rangle+|\mathrm{L}\rangle)/\sqrt{2}</math> एक [[रैखिक ध्रुवीकरण]] के माध्यम से कोई अवशोषण नहीं होता है, लेकिन अगर हम किसी भी स्थिति को पार करते हैं <math>|\mathrm{R}\rangle</math> या <math>|\mathrm{L}\rangle</math> आधे फोटॉन अवशोषित हो जाते हैं।
-अधुवित प्रकाश (जैसे कि [[गरमागरम प्रकाश बल्ब]] से प्रकाश) को किसी भी रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है <math>\alpha|\mathrm{R}\rangle+\beta|\mathrm{L}\rangle</math> (रैखिक, गोलाकार या अण्डाकार ध्रुवीकरण)। ध्रुवीकृत प्रकाश के विपरीत, यह 50% तीव्रता के नुकसान के साथ एक ध्रुवीकरणकर्ता के माध्यम से गुजरता है, जो कि ध्रुवीकरणकर्ता के उन्मुखीकरण के कारण होता है; और इसे किसी [[ तरंग प्लेट ]] से गुजारकर ध्रुवीकृत नहीं किया जा सकता है। हालांकि, ध्रुवीकृत प्रकाश को एक सांख्यिकीय समेकन के रूप में वर्णित किया जा सकता है, उदा। जी। प्रत्येक फोटॉन के रूप में या तो <math>|\mathrm{R}\rangle</math> ध्रुवीकरण या <math>|\mathrm{L}\rangle</math> संभाव्यता 1/2 के साथ ध्रुवीकरण। यदि प्रत्येक फोटॉन में या तो लंबवत ध्रुवीकरण होता है तो वही व्यवहार होता है <math>| \mathrm{V}\rangle </math> या क्षैतिज ध्रुवीकरण <math>| \mathrm{H} \rangle </math> प्रायिकता 1/2 के साथ। ये दो पहनावा प्रयोगात्मक रूप से पूरी तरह से अप्रभेद्य हैं, और इसलिए उन्हें एक ही मिश्रित अवस्था माना जाता है। अध्रुवित प्रकाश के इस उदाहरण के लिए, घनत्व ऑपरेटर बराबर होता है<ref name=":0" />{{Rp|75}}
+अध्रुवित प्रकाश (जैसे कि [[गरमागरम प्रकाश बल्ब|ऊष्मीय विद्युत बल्ब]] से प्रकाश) को <math>\alpha|\mathrm{R}\rangle+\beta|\mathrm{L}\rangle</math> के किसी भी रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है [[रैखिक ध्रुवीकरण]], [[अण्डाकार ध्रुवीकरण|दीर्घवृत्तीय ध्रुवीकरण]] या ध्रुवीकृत प्रकाश के विपरीत, यह 50% तीव्रता की कमी के साथ एक ध्रुवीकरणकर्ता के माध्यम से गुजरता है जो कि ध्रुवीकरणकर्ता के उन्मुखीकरण के कारण होता है और इसे किसी [[ तरंग प्लेट |तरंग प्लेट]] से गुजारकर ध्रुवीकृत नहीं किया जा सकता है। हालांकि, ध्रुवीकृत प्रकाश को एक सांख्यिकीय समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है, उदाहरण प्रत्येक फोटॉन के रूप में या तो <math>|\mathrm{R}\rangle</math> ध्रुवीकरण या <math>|\mathrm{L}\rangle</math> प्रायिकता 1/2 के साथ ध्रुवीकरण यदि प्रत्येक फोटॉन में या तो लंबवत ध्रुवीकरण <math>| \mathrm{V}\rangle </math> होता है या क्षैतिज ध्रुवीकरण <math>| \mathrm{H} \rangle </math> प्रायिकता 1/2 के साथ ये दो समुच्चय प्रयोगात्मक रूप से अप्रभेद्य हैं और इसलिए उन्हें एक ही समिश्र स्थिति मे माना जाता है। अध्रुवित प्रकाश के इस उदाहरण के लिए घनत्व सक्रियक बराबर होता है:<ref name=":0" />{{Rp|75}}
 :<math>\rho = \frac{1}{2} |\mathrm{R}\rangle \langle \mathrm{R}| + \frac{1}{2}|\mathrm{L}\rangle \langle \mathrm{L}| = \frac{1}{2} |\mathrm{H}\rangle \langle \mathrm{H}| + \frac{1}{2}|\mathrm{V}\rangle \langle \mathrm{V}| = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}.</math>
-अध्रुवीकृत प्रकाश उत्पन्न करने के अन्य तरीके भी हैं: फोटॉन की तैयारी में अनिश्चितता का परिचय देने की एक संभावना है, उदाहरण के लिए, इसे एक खुरदरी सतह के साथ एक [[द्विअर्थी क्रिस्टल]] के माध्यम से पारित करना, ताकि प्रकाश किरण के थोड़े अलग हिस्से अलग-अलग ध्रुवीकरण प्राप्त कर सकें। एक और संभावना उलझी हुई अवस्थाओं का उपयोग कर रही है: एक रेडियोधर्मी क्षय क्वांटम स्थिति में विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाले दो फोटॉन उत्सर्जित कर सकता है <math>(|\mathrm{R},\mathrm{L}\rangle+|\mathrm{L},\mathrm{R}\rangle)/\sqrt{2}</math>. एक साथ दो फोटॉनों की संयुक्त स्थिति शुद्ध है, लेकिन प्रत्येक फोटॉन के लिए व्यक्तिगत रूप से घनत्व मैट्रिक्स, संयुक्त घनत्व मैट्रिक्स के आंशिक ट्रेस को ले कर पाया जाता है, पूरी तरह से मिश्रित होता है।<ref name="mikeandike" />{{Rp|106}}
+अध्रुवीकृत प्रकाश उत्पन्न करने के अन्य तरीके भी हैं: फोटॉन की तैयारी में अनिश्चितता का परिचय देने की एक संभावना है उदाहरण के लिए, इसे एक सतह के साथ एक [[द्विअर्थी क्रिस्टल]] के माध्यम से पारित करना, ताकि प्रकाश किरण के अपेक्षाकृत अलग भाग अलग-अलग ध्रुवीकरण प्राप्त कर सकें। एक और संभावना जटिल स्थितियों का उपयोग कर रही है एक रेडियोधर्मी क्षय क्वांटम स्थिति में विपरीत दिशाओं में संचरण करने वाले दो फोटॉन <math>(|\mathrm{R},\mathrm{L}\rangle+|\mathrm{L},\mathrm{R}\rangle)/\sqrt{2}</math> उत्सर्जित कर सकते है एक साथ दो फोटॉनों की संयुक्त स्थिति शुद्ध है, लेकिन प्रत्येक फोटॉन के लिए सामान्य रूप से घनत्व आव्यूह, संयुक्त घनत्व आव्यूह के आंशिक समीकरण को ले कर पाया जाता है कि यह पूरी तरह से समिश्र होता है।<ref name="mikeandike" />{{Rp|106}}
+== समतुल्य समुच्चय और शुद्धीकरण ==
+{{main|श्रोडिंगर-एचजेडब्ल्यू प्रमेय}}
+एक दिया गया घनत्व सक्रियक विशिष्ट रूप से यह निर्धारित नहीं करता है कि शुद्ध स्थितियों का कौन सा समूह इसे उत्पन्न करता है सामान्यतः एक ही घनत्व आव्यूह उत्पन्न करने वाले असीम रूप से कई अलग-अलग समुच्चय होते हैं।<ref>{{Cite journal|last=Kirkpatrick |first=K. A. |date=February 2006 |title=The Schrödinger-HJW Theorem |journal=[[Foundations of Physics Letters]] |volume=19 |issue=1 |pages=95–102 |doi=10.1007/s10702-006-1852-1 |issn=0894-9875 |arxiv=quant-ph/0305068|bibcode=2006FoPhL..19...95K |s2cid=15995449 }}</ref> इन्हें किसी माप से नहीं पहचाना जा सकता है<ref>{{Cite journal|last=Ochs|first=Wilhelm|date=1981-11-01|title=क्वांटम यांत्रिकी में राज्य की अवधारणा पर कुछ टिप्पणियाँ|url=https://doi.org/10.1007/BF00211375|journal=Erkenntnis|language=en|volume=16|issue=3|pages=339–356|doi=10.1007/BF00211375|s2cid=119980948|issn=1572-8420}}</ref> समतुल्य समुच्चय पूरी तरह से चित्रित किया जा सकता है।
-== समतुल्य पहनावा और शुद्धि ==
+माना कि <math>\{p_j,|\psi_j\rangle\}</math> एक समुच्चय है फिर किसी समिश्र आव्यूह के लिए <math>U</math> ऐसा है कि <math>U^\dagger U = I</math> (एक [[आंशिक आइसोमेट्री|आंशिक समदूरीकता]]), समुच्चय <math>\{q_i,|\varphi_i\rangle\}</math> द्वारा परिभाषित है:
-{{main|Schrödinger–HJW theorem}}
-एक दिया गया घनत्व ऑपरेटर विशिष्ट रूप से यह निर्धारित नहीं करता है कि शुद्ध राज्यों का कौन सा समूह इसे जन्म देता है; सामान्य तौर पर एक ही घनत्व मैट्रिक्स उत्पन्न करने वाले असीम रूप से कई अलग-अलग पहनावा होते हैं।<ref>{{Cite journal|last=Kirkpatrick |first=K. A. |date=February 2006 |title=The Schrödinger-HJW Theorem |journal=[[Foundations of Physics Letters]] |volume=19 |issue=1 |pages=95–102 |doi=10.1007/s10702-006-1852-1 |issn=0894-9875 |arxiv=quant-ph/0305068|bibcode=2006FoPhL..19...95K |s2cid=15995449 }}</ref> इन्हें किसी माप से नहीं पहचाना जा सकता।<ref>{{Cite journal|last=Ochs|first=Wilhelm|date=1981-11-01|title=क्वांटम यांत्रिकी में राज्य की अवधारणा पर कुछ टिप्पणियाँ|url=https://doi.org/10.1007/BF00211375|journal=Erkenntnis|language=en|volume=16|issue=3|pages=339–356|doi=10.1007/BF00211375|s2cid=119980948|issn=1572-8420}}</ref> समतुल्य पहनावा पूरी तरह से चित्रित किया जा सकता है: चलो <math>\{p_j,|\psi_j\rangle\}</math> एक पहनावा हो। फिर किसी जटिल मैट्रिक्स के लिए <math>U</math> ऐसा है कि <math>U^\dagger U = I</math> (एक [[आंशिक आइसोमेट्री]]), पहनावा <math>\{q_i,|\varphi_i\rangle\}</math> द्वारा परिभाषित
 :<math>\sqrt{q_i} \left| \varphi_i \right\rangle  = \sum_j U_{ij} \sqrt{p_j} \left| \psi_j  \right\rangle </math>
-एक ही घनत्व ऑपरेटर को जन्म देगा, और सभी समतुल्य पहनावा इस रूप में हैं।
+एक ही घनत्व सक्रियक को :उत्पन्न करता है और सभी समतुल्य समुच्चय इस रूप में हैं। एक निकट से संबंधित तथ्य यह है कि एक दिए गए घनत्व सक्रियक के पास परिमित रूप से क्वांटम स्थिति के कई अलग-अलग शुद्धिकरण होते हैं, जो शुद्ध स्थितिया होती हैं जो आंशिक समीकरण किए जाने पर घनत्व संचालिका उत्पन्न करती हैं।
-एक निकट से संबंधित तथ्य यह है कि एक दिए गए घनत्व संचालिका के पास अनंत रूप से क्वांटम अवस्था के कई अलग-अलग शुद्धिकरण होते हैं, जो शुद्ध अवस्थाएं होती हैं जो आंशिक ट्रेस लिए जाने पर घनत्व संचालिका उत्पन्न करती हैं। होने देना
+माना कि
 :<math>\rho = \sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j| </math>
-पहनावा द्वारा उत्पन्न घनत्व ऑपरेटर हो <math>\{p_j,|\psi_j\rangle\}</math>, राज्यों के साथ <math>|\psi_j\rangle</math> जरूरी नहीं कि ऑर्थोगोनल हो। फिर सभी आंशिक आइसोमेट्री के लिए <math>U</math> हमारे पास वह है
+यदि समुच्चय द्वारा उत्पन्न घनत्व सक्रियक <math>\{p_j,|\psi_j\rangle\}</math> हो तब स्थितियों के साथ <math>|\psi_j\rangle</math> आवश्यक नहीं कि लंबकोणीय हो। फिर सभी आंशिक समदूरीकता के लिए <math>U</math> है:
 :<math> |\Psi\rangle = \sum_j \sqrt{p_j} |\psi_j \rangle U |a_j\rangle </math>
-का शोधन है <math>\rho</math>, कहाँ <math>|a_j\rangle</math> एक ओर्थोगोनल आधार है, और इसके अलावा सभी शुद्धिकरण <math>\rho</math> इस रूप के हैं।
+जहाँ <math>|a_j\rangle</math> एक लंबकोणीय आधार है और इसके अतिरिक्त सभी शुद्धिकरण <math>\rho</math> के रूप हैं।
 == माप ==
-होने देना <math>A</math> प्रणाली का एक अवलोकन योग्य हो, और मान लीजिए कि पहनावा एक मिश्रित अवस्था में है, जैसे कि प्रत्येक शुद्ध अवस्था <math>\textstyle |\psi_j\rangle</math> संभावना से होता है <math>p_j</math>. फिर संबंधित घनत्व ऑपरेटर बराबर होता है
+माना कि <math>A</math> प्रणाली का एक अवलोकनीय प्रणाली है और मान लीजिए कि समुच्चय एक समिश्र स्थिति में है, जैसे कि प्रत्येक शुद्ध स्थिति <math>\textstyle |\psi_j\rangle</math> प्रायिकता <math>p_j</math> से होता है फिर संबंधित घनत्व सक्रियक बराबर होता है
 :<math>\rho = \sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j|.</math>
-क्वांटम यांत्रिकी में मापन की [[अपेक्षा मूल्य (क्वांटम यांत्रिकी)]] की गणना शुद्ध राज्यों के मामले से बढ़ाकर की जा सकती है:
+क्वांटम यांत्रिकी में मापन का [[अपेक्षा मूल्य (क्वांटम यांत्रिकी)|आपेक्षिक मान (क्वांटम यांत्रिकी)]] की गणना शुद्ध स्थितियों की स्थिति से बढ़ाकर की जा सकती है:
 :<math> \langle A \rangle = \sum_j p_j \langle \psi_j|A|\psi_j \rangle = \sum_j p_j \operatorname{tr}\left(|\psi_j \rangle \langle \psi_j|A \right) =   \operatorname{tr}\left(\sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j|A\right) = \operatorname{tr}(\rho A),</math>
-कहाँ <math>\operatorname{tr}</math> [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] को दर्शाता है। इस प्रकार, परिचित अभिव्यक्ति <math>\langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle</math> शुद्ध राज्यों के लिए द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है
+जहाँ <math>\operatorname{tr}</math> [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] को दर्शाता है। इस प्रकार, परिचित अभिव्यक्ति <math>\langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle</math> शुद्ध स्थितियों को समिश्र स्थितियों के लिए <math> \langle A \rangle = \operatorname{tr}( \rho A)</math> द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।<ref name=":0" />{{Rp|73}}
-:<math> \langle A \rangle = \operatorname{tr}( \rho A)</math>
-मिश्रित राज्यों के लिए<ref name=":0" />{{Rp|73}}
-इसके अलावा, अगर <math>A</math> वर्णक्रमीय संकल्प है
+इसके अतिरिक्त यदि <math>A</math> अविनिमेय विश्लेषण है तब
 :<math>A = \sum _i a_i P_i,</math>
-कहाँ <math>P_i</math> eigenvalue के संगत [[eigenspace]] में प्रोजेक्शन ऑपरेटर है <math>a_i</math>, पोस्ट-माप घनत्व ऑपरेटर द्वारा दिया जाता है<ref>{{cite journal|last=Lüders|first=Gerhart|author-link=Gerhart Lüders|year=1950|title=Über die Zustandsänderung durch den Messprozeß|journal=[[Annalen der Physik]]|volume=443|issue=5–8 |page=322|doi=10.1002/andp.19504430510|bibcode=1950AnP...443..322L }} Translated by K. A. Kirkpatrick as {{Cite journal|last=Lüders|first=Gerhart|author-link=Gerhart Lüders|date=2006-04-03|title=Concerning the state-change due to the measurement process|journal=[[Annalen der Physik]]|volume=15|issue=9|pages=663&ndash;670|arxiv=quant-ph/0403007|bibcode=2006AnP...518..663L|doi=10.1002/andp.200610207|s2cid=119103479}}</ref><ref>{{Citation|last1=Busch|first1=Paul|title=Lüders Rule|date=2009|work=Compendium of Quantum Physics|pages=356–358|editor-last=Greenberger|editor-first=Daniel|publisher=Springer Berlin Heidelberg|language=en|doi=10.1007/978-3-540-70626-7_110|isbn=978-3-540-70622-9|last2=Lahti|first2=Pekka|author-link=Paul Busch (physicist)|editor2-last=Hentschel|editor2-first=Klaus|editor3-last=Weinert|editor3-first=Friedel}}</ref>
+जहाँ <math>P_i</math> आइगेन मान के संगत आइगेन समष्टि में प्रक्षेप सक्रियक <math>a_i</math> है और माप घनत्व सक्रियक द्वारा दिया जाता है:<ref>{{cite journal|last=Lüders|first=Gerhart|author-link=Gerhart Lüders|year=1950|title=Über die Zustandsänderung durch den Messprozeß|journal=[[Annalen der Physik]]|volume=443|issue=5–8 |page=322|doi=10.1002/andp.19504430510|bibcode=1950AnP...443..322L }} Translated by K. A. Kirkpatrick as {{Cite journal|last=Lüders|first=Gerhart|author-link=Gerhart Lüders|date=2006-04-03|title=Concerning the state-change due to the measurement process|journal=[[Annalen der Physik]]|volume=15|issue=9|pages=663&ndash;670|arxiv=quant-ph/0403007|bibcode=2006AnP...518..663L|doi=10.1002/andp.200610207|s2cid=119103479}}</ref><ref>{{Citation|last1=Busch|first1=Paul|title=Lüders Rule|date=2009|work=Compendium of Quantum Physics|pages=356–358|editor-last=Greenberger|editor-first=Daniel|publisher=Springer Berlin Heidelberg|language=en|doi=10.1007/978-3-540-70626-7_110|isbn=978-3-540-70622-9|last2=Lahti|first2=Pekka|author-link=Paul Busch (physicist)|editor2-last=Hentschel|editor2-first=Klaus|editor3-last=Weinert|editor3-first=Friedel}}</ref>
 :<math>\rho_i' = \frac{P_i \rho P_i}{\operatorname{tr}\left[\rho P_i\right]}</math>
-जब परिणाम i प्राप्त होता है। ऐसे मामले में जहां माप परिणाम ज्ञात नहीं है, पहनावा इसके बजाय वर्णित है
+जब परिणाम i प्राप्त होता है। तो ऐसे स्थिति में जहां माप परिणाम ज्ञात नहीं है, समुच्चय इसके अतिरिक्त वर्णित होता है:
 :<math>\; \rho ' = \sum_i P_i \rho P_i.</math>
-यदि कोई मानता है कि माप परिणामों की संभावनाएं प्रोजेक्टर के रैखिक कार्य हैं <math>P_i</math>, तो उन्हें प्रोजेक्टर के ट्रेस द्वारा घनत्व ऑपरेटर के साथ दिया जाना चाहिए। ग्लिसन के प्रमेय से पता चलता है कि आयाम 3 या बड़े हिल्बर्ट रिक्त स्थान में रैखिकता की धारणा को [[क्वांटम प्रासंगिकता]] की धारणा के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है। गैर-प्रासंगिकता।<ref>{{cite journal|first=Andrew M.|author-link=Andrew M. Gleason|year = 1957|title = हिल्बर्ट अंतरिक्ष के बंद उप-स्थानों पर उपाय|url = http://www.iumj.indiana.edu/IUMJ/FULLTEXT/1957/6/56050|journal = [[Indiana University Mathematics Journal]]|volume = 6|issue=4|pages = 885–893|doi=10.1512/iumj.1957.6.56050|mr=0096113|last = Gleason|doi-access = free}}</ref> [[पीओवीएम]] के लिए भी गैर-प्रासंगिकता मानकर आयाम पर यह प्रतिबंध हटाया जा सकता है,<ref>{{Cite journal|last=Busch|first=Paul|author-link=Paul Busch (physicist) |date=2003|title=Quantum States and Generalized Observables: A Simple Proof of Gleason's Theorem|journal=[[Physical Review Letters]]|volume=91|issue=12|pages=120403|arxiv=quant-ph/9909073|doi=10.1103/PhysRevLett.91.120403|pmid=14525351|bibcode=2003PhRvL..91l0403B|s2cid=2168715}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Caves|first1=Carlton M.|author-link=Carlton M. Caves|last2=Fuchs|first2=Christopher A.|last3=Manne|first3=Kiran K.|last4=Renes|first4=Joseph M.|date=2004|title=सामान्यीकृत मापन के लिए क्वांटम प्रायिकता नियम का ग्लीसन-प्रकार व्युत्पत्ति|journal=[[Foundations of Physics]]|volume=34|issue=2|pages=193–209|arxiv=quant-ph/0306179|doi=10.1023/B:FOOP.0000019581.00318.a5|bibcode=2004FoPh...34..193C|s2cid=18132256}}</ref> लेकिन शारीरिक रूप से असम्बद्ध के रूप में इसकी आलोचना की गई है।<ref>{{cite journal |author1=Andrzej Grudka |author2=Paweł Kurzyński |title=Is There Contextuality for a Single Qubit? |journal=Physical Review Letters |date=2008 |volume=100 |issue=16 |page=160401 |doi=10.1103/PhysRevLett.100.160401|pmid=18518167 |arxiv=0705.0181|bibcode=2008PhRvL.100p0401G |s2cid=13251108 }}</ref>
+यदि कोई मानता है कि माप परिणामों की संभावनाएं प्रक्षेप <math>P_i</math> के रैखिक कार्य हैं, तो उन्हें प्रक्षेप के घनत्व सक्रियक के चिन्ह द्वारा दिया जाना चाहिए। ग्लीसन की प्रमेय से पता चलता है कि आयाम 3 या बड़े हिल्बर्ट रिक्त समष्टि में रैखिकता की धारणा को [[क्वांटम प्रासंगिकता]] की धारणा से परिवर्तित किया जा सकता है।<ref>{{cite journal|first=Andrew M.|author-link=Andrew M. Gleason|year = 1957|title = हिल्बर्ट अंतरिक्ष के बंद उप-स्थानों पर उपाय|url = http://www.iumj.indiana.edu/IUMJ/FULLTEXT/1957/6/56050|journal = [[Indiana University Mathematics Journal]]|volume = 6|issue=4|pages = 885–893|doi=10.1512/iumj.1957.6.56050|mr=0096113|last = Gleason|doi-access = free}}</ref> [[पीओवीएम]] के लिए भी गैर-प्रासंगिकता मानकर आयाम पर इस प्रतिबंध को प्रतिबंध जा सकता है,<ref>{{Cite journal|last=Busch|first=Paul|author-link=Paul Busch (physicist) |date=2003|title=Quantum States and Generalized Observables: A Simple Proof of Gleason's Theorem|journal=[[Physical Review Letters]]|volume=91|issue=12|pages=120403|arxiv=quant-ph/9909073|doi=10.1103/PhysRevLett.91.120403|pmid=14525351|bibcode=2003PhRvL..91l0403B|s2cid=2168715}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Caves|first1=Carlton M.|author-link=Carlton M. Caves|last2=Fuchs|first2=Christopher A.|last3=Manne|first3=Kiran K.|last4=Renes|first4=Joseph M.|date=2004|title=सामान्यीकृत मापन के लिए क्वांटम प्रायिकता नियम का ग्लीसन-प्रकार व्युत्पत्ति|journal=[[Foundations of Physics]]|volume=34|issue=2|pages=193–209|arxiv=quant-ph/0306179|doi=10.1023/B:FOOP.0000019581.00318.a5|bibcode=2004FoPh...34..193C|s2cid=18132256}}</ref> लेकिन भौतिकी मे असंबद्ध के रूप में इसकी आलोचना की गई है।<ref>{{cite journal |author1=Andrzej Grudka |author2=Paweł Kurzyński |title=Is There Contextuality for a Single Qubit? |journal=Physical Review Letters |date=2008 |volume=100 |issue=16 |page=160401 |doi=10.1103/PhysRevLett.100.160401|pmid=18518167 |arxiv=0705.0181|bibcode=2008PhRvL.100p0401G |s2cid=13251108 }}</ref>
 == एंट्रॉपी ==
-[[वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी]] <math>S</math> मिश्रण के eigenvalues के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है <math>\rho</math> या घनत्व ऑपरेटर के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) और [[मैट्रिक्स लघुगणक]] के संदर्भ में <math>\rho</math>. तब से <math>\rho</math> एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित ऑपरेटर है, इसमें एक वर्णक्रमीय प्रमेय है जैसे कि <math>\rho = \textstyle\sum_i \lambda_i |\varphi_i\rangle \langle\varphi_i|</math>, कहाँ <math>|\varphi_i\rangle</math> या ऑर्थोनॉर्मल वैक्टर, <math>\lambda_i \ge 0</math>, और <math>\textstyle \sum \lambda_i = 1</math>. फिर घनत्व मैट्रिक्स के साथ एक क्वांटम प्रणाली की एन्ट्रापी <math>\rho</math> है
+[[वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी]] <math>S</math> समिश्र के आइगेन मान <math>\rho</math> के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है या घनत्व सक्रियक के सूक्ष्ममात्रिक सक्रियक और [[मैट्रिक्स लघुगणक|आव्यूह लघुगणक]] के संदर्भ में <math>\rho</math> से <math>\rho</math> तक एक धनात्मक अर्ध-निश्चित सक्रियक है इसमें एक वर्णक्रमीय प्रमेय है जैसे कि <math>\rho = \textstyle\sum_i \lambda_i |\varphi_i\rangle \langle\varphi_i|</math>, जहाँ <math>|\varphi_i\rangle</math> या लंबकोणीय सदिश <math>\lambda_i \ge 0</math>, और <math>\textstyle \sum \lambda_i = 1</math> घनत्व आव्यूह के साथ एक क्वांटम प्रणाली <math>\rho</math> की एन्ट्रापी है:
 :<math>S = -\sum_i \lambda_i \ln\lambda_i = -\operatorname{tr}(\rho \ln\rho).</math>
-इस परिभाषा का तात्पर्य है कि किसी भी शुद्ध अवस्था की वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी शून्य है।<ref name=Rieffel>{{Cite book|title-link= Quantum Computing: A Gentle Introduction |title=Quantum Computing: A Gentle Introduction|last1=Rieffel|first1=Eleanor G.|last2=Polak|first2=Wolfgang H.|date=2011-03-04|publisher=MIT Press|isbn=978-0-262-01506-6|language=en|author-link=Eleanor Rieffel}}</ref>{{Rp|217}} अगर <math>\rho_i</math> ऐसे राज्य हैं जिनके पास ऑर्थोगोनल सबस्पेस पर समर्थन है, फिर इन राज्यों के उत्तल संयोजन के वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी,
+इस परिभाषा का तात्पर्य यह है कि किसी भी शुद्ध स्थिति की वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी शून्य होती है।<ref name=Rieffel>{{Cite book|title-link= Quantum Computing: A Gentle Introduction |title=Quantum Computing: A Gentle Introduction|last1=Rieffel|first1=Eleanor G.|last2=Polak|first2=Wolfgang H.|date=2011-03-04|publisher=MIT Press|isbn=978-0-262-01506-6|language=en|author-link=Eleanor Rieffel}}</ref>{{Rp|217}} यदि <math>\rho_i</math> ऐसे स्थिति हैं जिनके पास लंबकोणीय उप समष्टि पर समर्थन है, फिर इन स्थितियों के उत्तल संयोजन के वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी,
 :<math>\rho = \sum_i p_i \rho_i,</math>
-राज्यों के वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी द्वारा दिया गया है <math>\rho_i</math> और प्रायिकता बंटन की [[ शैनन एंट्रॉपी ]] <math>p_i</math>:
+स्थितियों के वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी <math>\rho_i</math> द्वारा दिया गया है और प्रायिकता <math>p_i</math> की [[ शैनन एंट्रॉपी |शैनन एंट्रॉपी]]:
 :<math>S(\rho) = H(p_i) + \sum_i p_i S(\rho_i).</math>
-जब राज्य <math>\rho_i</math> ऑर्थोगोनल समर्थन नहीं है, दाईं ओर का योग उत्तल संयोजन के वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी से सख्ती से अधिक है <math>\rho</math>.<ref name="mikeandike" />{{rp|518}}
+जब स्थिति <math>\rho_i</math> लंबकोणीय समर्थन होता है, तो दाईं ओर का योग उत्तल संयोजन के वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी <math>\rho</math> से अधिक होता है।<ref name="mikeandike" />{{rp|518}}
-एक घनत्व ऑपरेटर दिया गया <math>\rho</math> और पिछले खंड, राज्य के रूप में एक प्रक्षेपी माप <math>\rho'</math> उत्तल संयोजन द्वारा परिभाषित
+एक घनत्व सक्रियक <math>\rho</math> दिया गया है और पिछले भाग की स्थिति के रूप में एक प्रक्षेपी माप <math>\rho'</math> उत्तल संयोजन द्वारा परिभाषित है:
 :<math>\rho' = \sum_i P_i \rho P_i,</math>
-जिसे माप के प्रदर्शन द्वारा उत्पादित राज्य के रूप में व्याख्या की जा सकती है, लेकिन यह रिकॉर्ड नहीं किया जा सकता है कि कौन सा परिणाम हुआ,<ref name=":2">{{Cite book|last=Wilde|first=Mark M.|title=क्वांटम सूचना सिद्धांत|publisher=Cambridge University Press|year=2017|isbn=978-1-107-17616-4|edition=2nd|doi=10.1017/9781316809976.001|arxiv=1106.1445|s2cid=2515538 |oclc=973404322}}</ref>{{Rp|159}} की तुलना में एक वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी बड़ा है <math>\rho</math>, सिवाय अगर <math>\rho = \rho'</math>. हालांकि के लिए संभव है <math>\rho'</math> सामान्यीकृत माप, या पीओवीएम द्वारा उत्पादित, की तुलना में कम वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी है <math>\rho</math>.<ref name="mikeandike">{{Citation | last1=Nielsen | first1=Michael | last2=Chuang | first2=Isaac | title=Quantum Computation and Quantum Information | title-link=Quantum Computation and Quantum Information | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-63503-5 | year=2000}}.</ref>{{rp|514}}
+जिसे माप के प्रदर्शन द्वारा उत्पादित स्थिति के रूप में व्याख्या की जा सकती है, लेकिन यह निर्धारित नहीं किया जा सकता है कि कौन सा परिणाम हुआ,<ref name=":2">{{Cite book|last=Wilde|first=Mark M.|title=क्वांटम सूचना सिद्धांत|publisher=Cambridge University Press|year=2017|isbn=978-1-107-17616-4|edition=2nd|doi=10.1017/9781316809976.001|arxiv=1106.1445|s2cid=2515538 |oclc=973404322}}</ref>{{Rp|159}} जिसकी तुलना में एक वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी <math>\rho</math> बड़ा होता है यदि <math>\rho = \rho'</math> के लिए संभव <math>\rho'</math> है तो सामान्यीकृत माप या पीओवीएम द्वारा उत्पादन की तुलना में कम वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी <math>\rho</math> है।<ref name="mikeandike">{{Citation | last1=Nielsen | first1=Michael | last2=Chuang | first2=Isaac | title=Quantum Computation and Quantum Information | title-link=Quantum Computation and Quantum Information | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-63503-5 | year=2000}}.</ref>{{rp|514}}
-== {{anchor|The Von Neumann equation for time evolution}समय विकास के लिए वॉन न्यूमैन समीकरण ==
+== समय विकास के लिए वॉन न्यूमैन समीकरण ==
-{{See also|Liouville's theorem (Hamiltonian)#Quantum Liouville equation}}
+{{See also|लिउविल की प्रमेय (हैमिल्टनियन)#क्वांटम लिउविल समीकरण}}
-जिस तरह श्रोडिंगर समीकरण वर्णन करता है कि समय के साथ शुद्ध राज्य कैसे विकसित होते हैं, वॉन न्यूमैन समीकरण (जिसे लिउविल-वॉन न्यूमैन समीकरण भी कहा जाता है) वर्णन करता है कि समय में एक घनत्व ऑपरेटर कैसे विकसित होता है। वॉन न्यूमैन समीकरण यह तय करता है<ref>{{citation |title=The theory of open quantum systems|last1= Breuer |first1=Heinz|last2= Petruccione|first2=Francesco|page=110|isbn=978-0-19-852063-4|url=https://books.google.com/books?id=0Yx5VzaMYm8C&pg=PA110 |year=2002}}</ref><ref>{{Citation|url=https://books.google.com/books?id=o-HyHvRZ4VcC&pg=PA16 |title=Statistical mechanics|last=Schwabl|first=Franz|page=16|isbn=978-3-540-43163-3|year=2002}}</ref><ref>{{citation|title=Classical Mechanics and Relativity|last=Müller-Kirsten|first=Harald J.W.|pages=175–179|publisher=World Scientific|year=2008|isbn=978-981-283-251-1}}</ref>
+जिस प्रकार श्रोडिंगर समीकरण वर्णन करता है कि समय के साथ शुद्ध स्थिति कैसे विकसित होती हैं, वॉन न्यूमैन समीकरण (जिसे लिउविल-वॉन न्यूमैन समीकरण भी कहा जाता है) वर्णन करता है कि समय में एक घनत्व सक्रियक कैसे विकसित होता है। वॉन न्यूमैन समीकरण यह निर्धारित करता है:<ref>{{citation |title=The theory of open quantum systems|last1= Breuer |first1=Heinz|last2= Petruccione|first2=Francesco|page=110|isbn=978-0-19-852063-4|url=https://books.google.com/books?id=0Yx5VzaMYm8C&pg=PA110 |year=2002}}</ref><ref>{{Citation|url=https://books.google.com/books?id=o-HyHvRZ4VcC&pg=PA16 |title=Statistical mechanics|last=Schwabl|first=Franz|page=16|isbn=978-3-540-43163-3|year=2002}}</ref><ref>{{citation|title=Classical Mechanics and Relativity|last=Müller-Kirsten|first=Harald J.W.|pages=175–179|publisher=World Scientific|year=2008|isbn=978-981-283-251-1}}</ref>
 :<math> i \hbar \frac{\partial \rho}{\partial t} = [H, \rho]~, </math>
-जहां ब्रैकेट [[कम्यूटेटर]] को दर्शाता है।
+जहां कोष्ठक [[कम्यूटेटर|क्रमविनिमयक]] को दर्शाता है।
-यह समीकरण केवल तभी धारण करता है जब घनत्व ऑपरेटर को श्रोडिंगर चित्र में लिया जाता है, भले ही यह समीकरण [[हाइजेनबर्ग चित्र]] में गति के हाइजेनबर्ग समीकरण का अनुकरण करने के लिए पहली नज़र में लगता है, एक महत्वपूर्ण संकेत अंतर के साथ:
+यह समीकरण केवल तभी प्रयुक्त करता है जब घनत्व सक्रियक को श्रोडिंगर चित्र में लिया जाता है यद्यपि यह समीकरण [[हाइजेनबर्ग चित्र]] में गति के हाइजेनबर्ग समीकरण का अनुकरण करने के लिए एक महत्वपूर्ण संकेतिक अंतर के साथ प्रयुक्त किया जाता है:
 :<math> i \hbar \frac{dA^{(\mathrm{H})}}{dt} = -\left[H, A^{(\mathrm{H})}\right] ~,</math>
-कहाँ <math>A^{(\mathrm{H})}(t)</math> कुछ हाइजेनबर्ग चित्र संचालिका है; लेकिन इस तस्वीर में घनत्व मैट्रिक्स समय-निर्भर नहीं है, और सापेक्ष संकेत यह सुनिश्चित करता है कि अपेक्षित मूल्य का व्युत्पन्न समय <math>\langle A \rangle</math> श्रोडिंगर चित्र के समान ही बाहर आता है।<ref name=Hall2013pp419-440/>
+जहाँ <math>A^{(\mathrm{H})}(t)</math> हाइजेनबर्ग चित्र संचालिका है लेकिन इस चित्र में घनत्व आव्यूह समय-निर्भर नहीं है और सापेक्ष संकेत यह सुनिश्चित करता है कि अपेक्षित मान का व्युत्पन्न समय <math>\langle A \rangle</math> श्रोडिंगर चित्र के समान ही बाहर आता है।<ref name=Hall2013pp419-440/> यदि हैमिल्टनियन समय-रैखिक है, तो वॉन न्यूमैन समीकरण को इसके लिए आसानी से हल किया जा सकता है:
-यदि हैमिल्टनियन समय-स्वतंत्र है, तो वॉन न्यूमैन समीकरण को उपज के लिए आसानी से हल किया जा सकता है
 :<math>\rho(t) = e^{-i H t/\hbar} \rho(0) e^{i H t/\hbar}.</math>
-अधिक सामान्य हैमिल्टनियन के लिए, यदि <math>G(t)</math> कुछ अंतराल पर वेवफंक्शन प्रचारक है, तो उसी अंतराल पर घनत्व मैट्रिक्स का समय विकास द्वारा दिया जाता है
+अधिक सामान्य हैमिल्टनियन के लिए, यदि <math>G(t)</math> कुछ अंतराल पर तरंग फलन प्रचारक है, तो उसी अंतराल पर घनत्व आव्यूह का समय विकास द्वारा दिया जाता है:
 :<math> \rho(t) = G(t) \rho(0) G(t)^\dagger.</math>
+== विग्नर फलन और उपमाएँ ==
+{{main|फेज़ समष्टि सूत्रीकरण}}
+घनत्व आव्यूह सक्रियक को फेज़ समष्टि में भी प्रयुक्त किया जा सकता है। विग्नेर चित्रण के अंतर्गत घनत्व आव्यूह समकक्ष विग्नेर फलन में परिवर्तित हो जाता है।
-== विग्नर कार्य और शास्त्रीय उपमाएँ ==
-{{main|Phase-space formulation}}
-घनत्व मैट्रिक्स ऑपरेटर को [[चरण स्थान]] में भी महसूस किया जा सकता है। Wigner अर्ध-प्रायिकता वितरण #Wigner-Weyl परिवर्तन के तहत, घनत्व मैट्रिक्स समकक्ष Wigner अर्ध-प्रायिकता वितरण में बदल जाता है,
 :<math> W(x,p) \,\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \, \frac{1}{\pi\hbar} \int_{-\infty}^\infty \psi^*(x + y) \psi(x - y) e^{2ipy/\hbar} \,dy.</math>
-विग्नर फ़ंक्शन के समय के विकास के लिए समीकरण, जिसे चरण अंतरिक्ष निर्माण # समय विकास के रूप में जाना जाता है, फिर उपरोक्त वॉन न्यूमैन समीकरण का विग्नर-रूपांतरण है,
+विग्नर फलन के समय विकास के लिए समीकरण, जिसे मोयल समीकरण के रूप में जाना जाता है, फिर उपरोक्त वॉन न्यूमैन समीकरण का विग्नर-रूपांतरण है।
 :<math>\frac{\partial W(x, p, t)}{\partial t} = -\{\{W(x, p, t), H(x, p)\}\},</math>
-कहाँ <math>H(x,p)</math> हैमिल्टनियन है, और <math>\{\{\cdot,\cdot\}\}</math> [[मोयल ब्रैकेट]] है, क्वांटम कम्यूटेटर का परिवर्तन।
+जहाँ <math>H(x,p)</math> हैमिल्टनियन है और <math>\{\{\cdot,\cdot\}\}</math> [[मोयल ब्रैकेट|मोयल कोष्ठक]] है, क्वांटम क्रमविनिमयक का परिवर्तन विग्नर फलन के लिए विकास समीकरण तब इसकी निर्धारित सीमा के अनुरूप होता है लिउविल के प्रमेय हैमिल्टनियन [[शास्त्रीय भौतिकी|भौतिकी]] के लिउविल समीकरण प्लैंक नियतांक <math>\hbar</math> की सीमा में है जो फेज़ समष्टि <math>W(x,p,t)</math> में लिउविल प्रायिकता घनत्व फलन को अपेक्षाकृत कम करता है।
-विग्नर फ़ंक्शन के लिए विकास समीकरण तब इसकी शास्त्रीय सीमा के अनुरूप है, लिउविल के प्रमेय (हैमिल्टनियन) # [[शास्त्रीय भौतिकी]] के लिउविल समीकरण। प्लैंक नियतांक लुप्त होने की सीमा में है <math>\hbar</math>, <math>W(x,p,t)</math> चरण अंतरिक्ष में क्लासिकल लिउविल प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन को कम करता है।
 == उदाहरण अनुप्रयोग ==
-घनत्व मेट्रिसेस क्वांटम यांत्रिकी का एक बुनियादी उपकरण है, और कम से कम कभी-कभी लगभग किसी भी प्रकार की क्वांटम-यांत्रिक गणना में दिखाई देता है। कुछ विशिष्ट उदाहरण जहां घनत्व मेट्रिसेस विशेष रूप से सहायक और सामान्य हैं, वे इस प्रकार हैं:
+घनत्व आव्यूह क्वांटम यांत्रिकी का एक आधारिक उपकरण है और कम से कम कभी-कभी लगभग किसी भी प्रकार की क्वांटम-यांत्रिक गणना में दिखाई देता है। कुछ विशिष्ट उदाहरण जहां घनत्व आव्यूह विशेष रूप से सहायक और सामान्य हैं, वे इस प्रकार हैं:
-* [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] घनत्व मेट्रिसेस का उपयोग करता है, सबसे प्रमुख रूप से इस विचार को व्यक्त करने के लिए कि एक गैर-शून्य तापमान पर एक प्रणाली तैयार की जाती है। एक कैनोनिकल समेकन का उपयोग करके घनत्व मैट्रिक्स का निर्माण फॉर्म का परिणाम देता है <math>\rho = \exp(-\beta H)/Z(\beta)</math>, कहाँ <math>\beta</math> उलटा तापमान है <math>(k_{\rm B} T)^{-1}</math> और <math>H</math> सिस्टम का हैमिल्टनियन है। सामान्यीकरण शर्त है कि का पता लगाने <math>\rho</math> 1 के बराबर होना विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) को परिभाषित करता है <math>Z(\beta) = \mathrm{tr} \exp(-\beta H)</math>. यदि सिस्टम में शामिल कणों की संख्या स्वयं निश्चित नहीं है, तो एक [[भव्य विहित पहनावा]] लागू किया जा सकता है, जहां राज्यों को घनत्व मैट्रिक्स बनाने के लिए एक [[फॉक स्पेस]] से तैयार किया जाता है।<ref name=":1">{{cite book|first=Mehran |last=Kardar |author-link=Mehran Kardar |title=कणों का सांख्यिकीय भौतिकी|title-link=कणों का सांख्यिकीय भौतिकी|year=2007 |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-87342-0 |oclc=860391091}}</ref>{{Rp|174}}
+* [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] घनत्व आव्यूह का उपयोग करता है सबसे प्रमुख रूप से इस विचार को व्यक्त करने के लिए कि एक गैर-शून्य तापमान पर एक प्रणाली तैयार की जाती है। एक विहित समुदाय का उपयोग करके घनत्व आव्यूह का निर्माण <math>\rho = \exp(-\beta H)/Z(\beta)</math> का परिणाम देता है जहाँ <math>\beta</math> व्युत्क्रम तापमान है <math>(k_{\rm B} T)^{-1}</math> और <math>H</math> प्रणाली का हैमिल्टनियन मान है। सामान्यीकरण शर्त है कि <math>\rho</math> का पता लगाने 1 के बराबर होना विभाजन फलन सांख्यिकीय यांत्रिकी <math>Z(\beta) = \mathrm{tr} \exp(-\beta H)</math> को परिभाषित करता है यदि प्रणाली में सम्मिलित कणों की संख्या स्वयं निश्चित नहीं है तो एक [[भव्य विहित पहनावा|भव्य विहित समुच्चय]] प्रयुक्त किया जा सकता है जहां स्थितियों को घनत्व आव्यूह बनाने के लिए [[फॉक स्पेस|फॉक समष्टि]] से तैयार किया जाता है।<ref name=":1">{{cite book|first=Mehran |last=Kardar |author-link=Mehran Kardar |title=कणों का सांख्यिकीय भौतिकी|title-link=कणों का सांख्यिकीय भौतिकी|year=2007 |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-87342-0 |oclc=860391091}}</ref>{{Rp|174}}
-* क्वांटम डीकोहेरेंस थ्योरी में आमतौर पर गैर-पृथक क्वांटम सिस्टम शामिल होते हैं, जो माप उपकरण सहित अन्य प्रणालियों के साथ उलझाव विकसित करते हैं। घनत्व मैट्रिसेस प्रक्रिया का वर्णन करना और उसके परिणामों की गणना करना बहुत आसान बनाते हैं। क्वांटम डीकोहेरेंस बताती है कि क्यों एक प्रणाली एक पर्यावरण के साथ बातचीत करती है, एक शुद्ध स्थिति होने से, सुपरपोज़िशन प्रदर्शित करने से, एक मिश्रित स्थिति में, शास्त्रीय विकल्पों का एक असंगत संयोजन। यह संक्रमण मौलिक रूप से प्रतिवर्ती है, क्योंकि प्रणाली और पर्यावरण की संयुक्त स्थिति अभी भी शुद्ध है, लेकिन सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए अपरिवर्तनीय है, क्योंकि पर्यावरण एक बहुत बड़ी और जटिल क्वांटम प्रणाली है, और उनकी बातचीत को उलटना संभव नहीं है। इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी की [[शास्त्रीय सीमा]] की व्याख्या करने के लिए डिकॉरेन्स बहुत महत्वपूर्ण है, लेकिन वेव फंक्शन पतन की व्याख्या नहीं कर सकता है, क्योंकि सभी शास्त्रीय विकल्प अभी भी मिश्रित अवस्था में मौजूद हैं, और वेव फंक्शन पतन उनमें से केवल एक का चयन करता है।<ref name=Schlosshauer>{{cite journal|first=M. |last=Schlosshauer |title=क्वांटम डिकॉरेन्स|journal=Physics Reports |volume=831 |year=2019 |pages=1–57 |arxiv=1911.06282 |doi=10.1016/j.physrep.2019.10.001 |bibcode=2019PhR...831....1S|s2cid=208006050 }}</ref>
+* क्वांटम असम्बद्धता सिद्धान्त में सामान्यतः गैर-पृथक क्वांटम प्रणाली सम्मिलित होती हैं, जो माप उपकरण सहित अन्य प्रणालियों के साथ विकसित होती हैं। जो घनत्व आव्यूह प्रक्रिया का वर्णन करना और उसके परिणामों की गणना करना बहुत आसान बनाती हैं। क्वांटम असम्बद्धता को बताती है कि एक प्रणाली पर्यावरण के साथ परस्पर क्रिया करती है एक शुद्ध स्थिति होने से अध्यारोपण प्रदर्शित करने से एक समिश्र स्थिति में, क्वांटम असम्बद्धता के विकल्पों का एक असंगत संयोजन यह रूपान्तरण मौलिक रूप से प्रतिवर्ती होता है क्योंकि प्रणाली और पर्यावरण की संयुक्त स्थिति अभी भी शुद्ध है, लेकिन सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए अपरिवर्तनीय है क्योंकि पर्यावरण एक बहुत बड़ी और जटिल क्वांटम प्रणाली है और उनकी परस्पर क्रिया को व्युक्रम करना संभव नहीं है। इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी सीमा की व्याख्या करने के लिए असम्बद्धता बहुत महत्वपूर्ण है, लेकिन तरंग फलन की व्याख्या नहीं कर सकता है, क्योंकि सभी क्वांटम असम्बद्धता के विकल्प अभी भी समिश्र स्थिति में सम्मिलित हैं और तरंग फलन उनमें से केवल एक का चयन करता है।<ref name=Schlosshauer>{{cite journal|first=M. |last=Schlosshauer |title=क्वांटम डिकॉरेन्स|journal=Physics Reports |volume=831 |year=2019 |pages=1–57 |arxiv=1911.06282 |doi=10.1016/j.physrep.2019.10.001 |bibcode=2019PhR...831....1S|s2cid=208006050 }}</ref>
-* इसी तरह, क्वांटम संगणना, [[क्वांटम सूचना सिद्धांत]], ओपन क्वांटम सिस्टम, और अन्य क्षेत्रों में जहां राज्य की तैयारी शोर है और अव्यवस्था हो सकती है, घनत्व मेट्रिसेस का अक्सर उपयोग किया जाता है। शोर को अक्सर एक [[क्वांटम विध्रुवण चैनल]] या एक आयाम भिगोने वाले चैनल के माध्यम से तैयार किया जाता है। [[क्वांटम टोमोग्राफी]] एक ऐसी प्रक्रिया है जिसके द्वारा, क्वांटम मापन के परिणामों का प्रतिनिधित्व करने वाले डेटा का एक सेट दिया जाता है, उन माप परिणामों के अनुरूप एक घनत्व मैट्रिक्स की गणना की जाती है।<ref name="granade2016">{{Cite journal|last1=Granade|first1=Christopher|last2=Combes|first2=Joshua|last3=Cory|first3=D. G.|date=2016-01-01|title=प्रैक्टिकल बायेसियन टोमोग्राफी|journal=New Journal of Physics|language=en|volume=18|issue=3|pages=033024|arxiv=1509.03770|doi=10.1088/1367-2630/18/3/033024|issn=1367-2630|bibcode=2016NJPh...18c3024G|s2cid=88521187}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Ardila |first1=Luis |last2=Heyl |first2=Markus |last3=Eckardt |first3=André |title=एक ऑप्टिकल जाली में फ़र्मियंस और हार्ड-कोर बोसोन के लिए एकल-कण घनत्व मैट्रिक्स को मापना|journal=Physical Review Letters |date=28 December 2018 |volume=121 |issue=260401 |pages=6 |doi=10.1103/PhysRevLett.121.260401|pmid=30636128 |bibcode=2018PhRvL.121z0401P |arxiv=1806.08171 |s2cid=51684413 }}</ref>
+* इसी प्रकार क्वांटम गणना, [[क्वांटम सूचना सिद्धांत]], विवृत क्वांटम प्रणाली और अन्य क्षेत्रों में जहां स्थिति और अव्यवस्था हो सकती है घनत्व आव्यूह का प्रायः उपयोग किया जाता है। ध्वनि को प्रायः एक [[क्वांटम विध्रुवण चैनल]] या एक आयाम वाले चैनल के माध्यम से तैयार किया जाता है। [[क्वांटम टोमोग्राफी]] एक ऐसी प्रक्रिया है जिसके द्वारा, क्वांटम मापन के परिणामों का प्रतिनिधित्व करने वाले डेटा का एक उपकरण दिया जाता है उन माप परिणामों के अनुरूप एक घनत्व आव्यूह की गणना की जाती है।<ref name="granade2016">{{Cite journal|last1=Granade|first1=Christopher|last2=Combes|first2=Joshua|last3=Cory|first3=D. G.|date=2016-01-01|title=प्रैक्टिकल बायेसियन टोमोग्राफी|journal=New Journal of Physics|language=en|volume=18|issue=3|pages=033024|arxiv=1509.03770|doi=10.1088/1367-2630/18/3/033024|issn=1367-2630|bibcode=2016NJPh...18c3024G|s2cid=88521187}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Ardila |first1=Luis |last2=Heyl |first2=Markus |last3=Eckardt |first3=André |title=एक ऑप्टिकल जाली में फ़र्मियंस और हार्ड-कोर बोसोन के लिए एकल-कण घनत्व मैट्रिक्स को मापना|journal=Physical Review Letters |date=28 December 2018 |volume=121 |issue=260401 |pages=6 |doi=10.1103/PhysRevLett.121.260401|pmid=30636128 |bibcode=2018PhRvL.121z0401P |arxiv=1806.08171 |s2cid=51684413 }}</ref>
-* परमाणु या [[अणु]] जैसे कई इलेक्ट्रॉनों के साथ एक प्रणाली का विश्लेषण करते समय, एक अपूर्ण लेकिन उपयोगी पहला सन्निकटन इलेक्ट्रॉनों को [[इलेक्ट्रॉनिक सहसंबंध]] या प्रत्येक के स्वतंत्र एकल-कण तरंग के रूप में माना जाता है। हार्ट्री-फॉक पद्धति में [[स्लेटर निर्धारक]] का निर्माण करते समय यह सामान्य शुरुआती बिंदु है। अगर वहाँ <math>N</math> इलेक्ट्रॉन भरते हैं <math>N</math> एकल-कण तरंग कार्य <math>|\psi_i\rangle</math>, फिर का संग्रह <math>N</math> इलेक्ट्रॉनों को एक साथ एक घनत्व मैट्रिक्स द्वारा चित्रित किया जा सकता है <math display="inline">\sum_{i=1}^N |\psi_i\rangle \langle \psi_i|</math>.
+* परमाणु या [[अणु]] जैसे कई इलेक्ट्रॉनों के साथ एक प्रणाली का विश्लेषण करते समय, एक अपूर्ण लेकिन उपयोगी पहला सन्निकटन इलेक्ट्रॉनों को [[इलेक्ट्रॉनिक सहसंबंध]] या प्रत्येक को रैखिक एकल-कण तरंग के रूप में माना जाता है। हार्ट्री-फॉक पद्धति में [[स्लेटर निर्धारक]] का निर्माण करते समय यह सामान्य प्रारम्भिक बिंदु है। यदि वहाँ <math>N</math> इलेक्ट्रॉन स्थित हैं और <math>N</math> एकल-कण तरंग फलन <math>|\psi_i\rangle</math>, के संग्रह <math>N</math> इलेक्ट्रॉनों को एक साथ घनत्व आव्यूह <math display="inline">\sum_{i=1}^N |\psi_i\rangle \langle \psi_i|</math> द्वारा चित्रित किया जा सकता है।
-== सी * - राज्यों का बीजगणितीय सूत्रीकरण ==
+== सी * - स्थितियों का बीजगणितीय सूत्रीकरण ==
-अब यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि क्वांटम यांत्रिकी का वर्णन जिसमें सभी स्व-संलग्न संचालिका अवलोकनीयों का प्रतिनिधित्व करते हैं, अस्थिर है।<ref>See appendix,  {{Citation | last1=Mackey | first1=George Whitelaw | author1-link=George Mackey | title=Mathematical Foundations of Quantum Mechanics | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | series=Dover Books on Mathematics | isbn=978-0-486-43517-6 | year=1963}}</ref><ref>{{Citation | last1=Emch | first1=Gerard G. | title=Algebraic methods in statistical mechanics and quantum field theory | publisher=[[Wiley-Interscience]] | isbn=978-0-471-23900-0 | year=1972}}</ref> इस कारण से, वेधशालाओं की पहचान एक अमूर्त C*-बीजगणित A के तत्वों के साथ की जाती है (जो संचालकों के बीजगणित के रूप में एक विशिष्ट प्रतिनिधित्व के बिना है) और [[राज्य (कार्यात्मक विश्लेषण)]] A पर सकारात्मक [[रैखिक कार्यात्मक]] हैं। हालांकि, GNS का उपयोग करके निर्माण, हम हिल्बर्ट रिक्त स्थान को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं जो ए को ऑपरेटरों के सबलजेब्रा के रूप में महसूस करते हैं।
+यह सामान्यतः स्वीकृत किया जाता है कि क्वांटम यांत्रिकी का वर्णन जिसमें सभी स्व-संलग्न संचालिकाएं प्रेक्षणीयों का प्रतिनिधित्व करती हैं<ref>See appendix,  {{Citation | last1=Mackey | first1=George Whitelaw | author1-link=George Mackey | title=Mathematical Foundations of Quantum Mechanics | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | series=Dover Books on Mathematics | isbn=978-0-486-43517-6 | year=1963}}</ref><ref>{{Citation | last1=Emch | first1=Gerard G. | title=Algebraic methods in statistical mechanics and quantum field theory | publisher=[[Wiley-Interscience]] | isbn=978-0-471-23900-0 | year=1972}}</ref> इस कारण से, वेधशालाओं की पहचान एक अमूर्त C* बीजगणित A के तत्वों के साथ की जाती है जो सक्रियकों के बीजगणित के रूप में एक विशिष्ट प्रतिनिधित्व के बिना है और [[राज्य (कार्यात्मक विश्लेषण)|स्थित (कार्यात्मक विश्लेषण)]] A पर धनात्मक [[रैखिक कार्यात्मक]] हैं। हालांकि जीएनएस का उपयोग करके निर्माण हिल्बर्ट रिक्त समष्टि को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं जो A को सक्रियकों के उप-लजेब्रा के रूप में सिद्ध करते हैं।
-ज्यामितीय रूप से, सी*-बीजगणित ए पर एक शुद्ध स्थिति एक ऐसी स्थिति है जो ए पर सभी राज्यों के सेट का एक चरम बिंदु है। [[जीएनएस निर्माण]] के गुणों से ये राज्य ए के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के अनुरूप हैं।
+ज्यामितीय रूप से, C* बीजगणित A पर एक शुद्ध स्थिति एक ऐसी स्थिति है जो A पर सभी स्थितियों के समूह का एक मुख्य बिंदु है। [[जीएनएस निर्माण]] के गुणों से ये स्थिति A के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के अनुरूप हैं। [[कॉम्पैक्ट ऑपरेटर|संक्षिप्त सक्रियक]] K(H) के C* बीजगणित की स्थिति घनत्व सक्रियकों के अनुरूप होती हैं और इसलिए K(H) की शुद्ध स्थिति क्वांटम यांत्रिकी के अर्थ में पूर्णतः शुद्ध स्थिति हैं।
-[[कॉम्पैक्ट ऑपरेटर]]्स K(H) के C*-बीजगणित की अवस्थाएं बिल्कुल घनत्व ऑपरेटरों के अनुरूप होती हैं, और इसलिए K(H) की शुद्ध अवस्थाएं क्वांटम यांत्रिकी के अर्थ में बिल्कुल शुद्ध अवस्थाएं हैं।
+C* बीजगणितीय सूत्रीकरण को समिश्र और क्वांटम दोनों प्रणालियों को सम्मिलित करने के लिए देखा जा सकता है। जब प्रणाली समिश्र होती है, तो वेधशालाओं का बीजगणित विनिमेय समूह C* बीजगणित समूह बन जाता है। उस स्थिति में विनिमेय समूह प्रायिकता माप हैं।
-C*-बीजगणितीय सूत्रीकरण को शास्त्रीय और क्वांटम दोनों प्रणालियों को शामिल करने के लिए देखा जा सकता है। जब प्रणाली शास्त्रीय होती है, तो वेधशालाओं का बीजगणित एबेलियन सी * -बीजगणित बन जाता है। उस स्थिति में राज्य संभाव्यता उपाय बन जाते हैं।
 == इतिहास ==
-में [[जॉन वॉन न्यूमैन]] द्वारा घनत्व ऑपरेटरों और मैट्रिक्स की औपचारिकता पेश की गई थी<ref>{{Citation | last = von Neumann | first = John  | year = 1927 | author-link = John von Neumann  |title=Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik | journal = Göttinger Nachrichten | volume = 1|pages= 245–272|url=https://eudml.org/doc/59230}}</ref> और स्वतंत्र रूप से, लेकिन कम व्यवस्थित रूप से, [[लेव लैंडौ]] द्वारा<ref name=landau1927>{{cite book |doi=10.1016/B978-0-08-010586-4.50007-9 |chapter=The Damping Problem in Wave Mechanics (1927)|title=एलडी के एकत्रित कागजात लेन्डौ|pages=8–18 |year=1965 |isbn=978-0-08-010586-4 }}</ref> और बाद में 1946 में [[फेलिक्स बलोच]] द्वारा।<ref name="Ugo ">{{cite journal |doi=10.1007/BF03001661 |title=घनत्व मैट्रिक्स ध्रुवीकरण वैक्टर के रूप में|journal=Rendiconti Lincei |volume=6 |issue=2 |pages=123–130 |year=1995 |last1=Fano |first1=Ugo |s2cid=128081459 }}</ref> क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी और क्वांटम माप के सिद्धांत दोनों को विकसित करने के लिए वॉन न्यूमैन ने घनत्व मैट्रिक्स पेश किया। नाम घनत्व मैट्रिक्स स्वयं शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक चरण-स्थान [[संभाव्यता माप]] (स्थिति और संवेग की संभाव्यता वितरण) के अपने शास्त्रीय पत्राचार से संबंधित है, जिसे 1932 में विग्नर द्वारा पेश किया गया था।<ref name="fano1957" />
+घनत्व सक्रियक और आव्यूह की औपचारिकता 1927 में [[जॉन वॉन न्यूमैन]] और रैखिक रूप से, [[लेव लैंडौ]] और बाद में 1946 में [[फेलिक्स बलोच]] द्वारा प्रस्तुत की गई थी।<ref>{{Citation | last = von Neumann | first = John  | year = 1927 | author-link = John von Neumann  |title=Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik | journal = Göttinger Nachrichten | volume = 1|pages= 245–272|url=https://eudml.org/doc/59230}}</ref><ref name="Ugo">{{cite journal |doi=10.1007/BF03001661 |title=घनत्व मैट्रिक्स ध्रुवीकरण वैक्टर के रूप में|journal=Rendiconti Lincei |volume=6 |issue=2 |pages=123–130 |year=1995 |last1=Fano |first1=Ugo |s2cid=128081459 }}</ref><ref name="landau1927">{{cite book |doi=10.1016/B978-0-08-010586-4.50007-9 |chapter=The Damping Problem in Wave Mechanics (1927)|title=एलडी के एकत्रित कागजात लेन्डौ|pages=8–18 |year=1965 |isbn=978-0-08-010586-4 }}</ref> क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी और क्वांटम माप के सिद्धांत दोनों को विकसित करने के लिए वॉन न्यूमैन ने घनत्व आव्यूह प्रस्तुत किया था। नाम घनत्व आव्यूह स्वयं सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक फेज़-समष्टि [[संभाव्यता माप|प्रायिकता माप]] (स्थिति और संवेग का विनिमेय वितरण) के सांख्यिकीय यांत्रिकी से संबंधित है, जिसे 1932 में विग्नर द्वारा प्रस्तुत किया गया था।<ref name="fano1957" />
-इसके विपरीत, लैंडौ को प्रेरित करने वाली प्रेरणा एक राज्य सदिश द्वारा एक समग्र क्वांटम प्रणाली के उपतंत्र का वर्णन करने की असंभवता थी।<ref name="landau1927" />
+इसके विपरीत, [[लेव लैंडौ]] को प्रेरित करने वाली प्रेरणा एक स्थैतिक सदिश द्वारा एक समग्र क्वांटम प्रणाली की निहित प्रणाली का वर्णन करने की असंभवता थी।<ref name="landau1927" />
 == यह भी देखें ==
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-* [[परमाणु इलेक्ट्रॉन संक्रमण]]
+* [[परमाणु इलेक्ट्रॉन रूपांतरण]]
-* [[सघनता व्यावहारिक सिद्धांत]]
+* [[सघनता कार्यात्मक सिद्धांत]]
-* हरा-कुबो संबंध
+* [[ग्रीन-कुबो संबंध]]
-* ग्रीन का कार्य (कई-शरीर सिद्धांत)
+* [[ग्रीन फलन (कई-शरीर सिद्धांत)]]
 * [[लिंडब्लाड समीकरण]]
-* विग्नर अर्ध-प्रायिकता वितरण
+* [[विग्नर अर्ध-प्रायिकता वितरण]]
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 श्रेणी:लेव लैंडौ
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घनत्व आव्यूह: Difference between revisions

Latest revision as of 17:06, 29 August 2023

परिभाषा और प्रेरणा

शुद्ध और समिश्र स्थितियाँ

उदाहरण: प्रकाश ध्रुवीकरण

समतुल्य समुच्चय और शुद्धीकरण

माप

एंट्रॉपी

समय विकास के लिए वॉन न्यूमैन समीकरण

विग्नर फलन और उपमाएँ

उदाहरण अनुप्रयोग

सी * - स्थितियों का बीजगणितीय सूत्रीकरण

इतिहास

यह भी देखें

नोट्स और संदर्भ

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