होमोटॉपी: Difference between revisions

Revision as of 22:13, 18 February 2023

ऊपर दिखाए गए दो धराशायी पथ (सांस्थिति) उनके समापन बिंदुओं के सापेक्ष होमोटोपिक हैं। सजीवता एक संभावित समरूपता का प्रतिनिधित्व करता है।

सांस्थिति में, गणित की शाखा, एक सांस्थितिकीय स्थल से दूसरे में दो निरंतर कार्यो को होमोटोपिक कहा जाता हैं यद्यपि एक को दूसरे में लगातार विकृत किया जा सकता है, तो ऐसी विकृति को दो कार्यों के बीच होमोटोपी कहा जाता है । होमोटॉपी का एक उल्लेखनीय उपयोग होमोटॉपी समूहों और कोहोमोटॉपी समूहों की परिभाषा है, बीजगणितीय सांस्थितिकी में महत्वपूर्ण व् अपरिवर्तनीय है।^[1]

कार्यप्रणाली में, कुछ स्थानों के साथ समरूपता का उपयोग करने में तकनीकी कठिनाइयाँ हैं। बीजगणितीय सांस्थितिकीय सघन रूप से उत्पन्न रिक्त स्थान, सीडब्ल्यू परिसरों या वर्णक्रम के साथ काम करते हैं।

औपचारिक परिभाषा

आर में स्थूलक्र्स के दो अंतःस्थापन के बीच एक समरूपता³: एक डोनट की सतह के रूप में और एक कॉफी मग की सतह के रूप में। यह भी एक #आइसोटोपी का उदाहरण है।

औपचारिक रूप से, से दो निरंतर फलन f और g के बीच एक समरूपता

सांस्थितिक स्थल X से सांस्थितिक स्थल Y को एक निरंतर कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है $H:X\times [0,1]\to Y$ इकाई अंतराल [0, 1] के साथ स्थल X के उत्पाद सांस्थिति से Y तक $H(x,0)=f(x)$ और $H(x,1)=g(x)$ सभी के लिए $x\in X$ .

यद्यपि हम समय के रूप में H के दूसरे मापदण्ड के विषय में सोचते हैं तो H g में g के निरंतर विरूपण का वर्णन करता है: समय 0 पर हमारे पास फलन f होता है और समय 1 पर हमारे पास फलन g होता है। हम दूसरे मापदण्ड को सर्पक नियंत्रण के रूप में भी सोच सकते हैं जो हमें f से g तक आसानी से संपर्क करने की अनुमति देता है क्योंकि सर्पक 0 से 1 तक चलता है, परन्तु इसके विपरीत।

एक वैकल्पिक संकेतन का यह कहना है कि दो निरंतर कार्यों के बीच एक समरूपता $f,g:X\to Y$ निरंतर कार्यों का एक परिवार है $h_{t}:X\to Y$ के लिए $t\in [0,1]$ ऐसा है कि $h_{0}=f$ और $h_{1}=g$ , और Map_(गणित) $(x,t)\mapsto h_{t}(x)$ से निरन्तर है $X\times [0,1]$ को $Y$ . दो संस्करण समायोजन से मेल खाते हैं $h_{t}(x)=H(x,t)$ . प्रत्येक मानचित्र की आवश्यकता के लिए पर्याप्त नहीं है $h_{t}(x)$ निरंतर किया जाना।^[2] सजीवता जो ऊपर दाईं ओर चक्रित किया गया है, स्थूलक के दो अंतःस्थापन, f और g के बीच एक समरूपता का उदाहरण प्रदान करता है R³. X स्थूलक है, Y है R³, f स्थूलक से R तक कुछ निरंतर कार्य है³ जो स्थूलक को डोनट आकार की अन्तःस्थापित सतह पर ले जाता है जिसके साथ सजीवता शुरू होता है; g कुछ निरंतर कार्य है जो स्थूलक को एक कॉफी-मग आकार की अन्तःस्थापित सतह पर ले जाता है। सजीवता H की छवि प्रदर्शित करता है_t(x) मापदण्ड टी के एक समारोह के रूप में, जहां टी सजीवता चक्रण के प्रत्येक चक्र पर 0 से 1 के समय के साथ बदलता रहता है। यह रुकता है, फिर छवि प्रदर्शित करता है क्योंकि टी 1 से 0 तक भिन्न होता है, रुकता है और इस चक्र को दोहराता है।

गुण

निरंतर कार्य f और g को होमोटोपिक कहा जाता है यदि ऊपर बताए गए के अनुसार f को g पर ले जाने वाला होमोटॉपी H है। होमोटोपिक होना X से Y तक सभी निरंतर कार्यों के समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध है। यह होमोटॉपी संबंध निम्नलिखित अर्थों में कार्य रचना के अनुकूल है: यदि f₁, g₁ : X → Y होमोटोपिक हैं, और f₂, g₂ : Y → Z होमोटोपिक हैं, तो उनकी रचनाएँ f₂ ∘ f₁ और g₂ ∘ g₁ : X → Z होमोटोपिक भी हैं।

उदाहरण

अगर $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ द्वारा दिए गए हैं $f(x):=\left(x,x^{3}\right)$ और $g(x)=\left(x,e^{x}\right)$ , फिर नक्शा $H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}$ द्वारा दिए गए $H(x,t)=\left(x,(1-t)x^{3}+te^{x}\right)$ उनके बीच एक समरूपता है।
अधिक प्रायः, यदि $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ यूक्लिडियन स्थल का एक उत्तल समुच्चय सबसमुच्चय है और $f,g:[0,1]\to C$ $f,g:[0,1]\to C$ पथ एक ही समापन बिंदु के साथ हैं, तो एक रैखिक समरूपता है^[3] (या सरल रेखा होमोटॉपी) द्वारा दिया गया
${\begin{aligned}H:[0,1]\times [0,1]&\longrightarrow C\\(s,t)&\longmapsto (1-t)f(s)+tg(s).\end{aligned}}$
- माना $\operatorname {id} _{B^{n}}:B^{n}\to B^{n}$ इकाई एन-बॉल पर परिचय फलन हो; अर्थात समुच्चय $B^{n}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\right\}$ . होने देना $c_{\vec {0}}:B^{n}\to B^{n}$ निरंतर कार्य हो $c_{\vec {0}}(x):={\vec {0}}$ जो सभी बिंदु को मूल स्थान पर भेजता है। तब निम्नलिखित से उनके बीच एक समरूपता है:
  ${\begin{aligned}H:B^{n}\times [0,1]&\longrightarrow B^{n}\\(x,t)&\longmapsto (1-t)x.\end{aligned}}$

होमोटॉपी तुल्यता

दो सांस्थितिक स्थल X और Y दिए गए हैं, X और Y के बीच एक 'होमोटोपी समतुल्यता' निरंतर मानचित्र की एक जोड़ी है f : X → Y और g : Y → X, ऐसा है कि g ∘ f पहचान मानचित्र id_X के लिए होमोटोपिक है_X और f ∘ g आईडी के लिए होमोटोपिक है_Y. यदि ऐसी कोई जोड़ी मौजूद है, तो X और Y को 'समरूपता समतुल्य' या समान 'समरूपता प्रकार' कहा जाता है। सहज रूप से, दो रिक्त स्थान X और Y होमोटॉपी समतुल्य हैं यद्यपि उन्हें झुकने, सिकुड़ने और संचालन के विस्तार से एक दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है। रिक्त स्थान जो होमोटॉपी-एक बिंदु के समतुल्य होते हैं, संविदात्मक कहलाते हैं।

होमोटॉपी तुल्यता बनाम होमियोमोर्फिज्म

होमोमोर्फिज्म होमोटोपी तुल्यता का एक विशेष मामला है, जिसमें g ∘ f पहचान मानचित्र id_X के बराबर है और f ∘ g id_Y के बराबर है.^[4]^: 0:53:00 इसलिए, यदि X और Y होमियोमॉर्फिक हैं तो वे होमोटॉपी-समतुल्य हैं, परन्तु विपरीत सत्य नहीं है। कुछ उदाहरण:

ठोस चक्र होमोटॉपी-एक बिंदु के बराबर है, क्योंकि आप चक्र को उज्जवल रेखाओं के साथ एक बिंदु पर लगातार विकृत कर सकते हैं। यद्यपि, वे होमियोमॉर्फिक नहीं हैं, क्योंकि उनके बीच कोई आपत्ति नहीं है चूंकि एक अनंत समुच्चय है, जबकि दूसरा परिमित है।
मोबियस पट्टी और एक मुड़ी हुई पट्टी होमोटॉपी समतुल्य हैं, क्योंकि आप दोनों पट्टियों को लगातार एक वृत्त में विकृत कर सकते हैं। परन्तु वे होमियोमॉर्फिक नहीं हैं।

उदाहरण

होमोटॉपी तुल्यता का पहला उदाहरण है $\mathbb {R} ^{n}$ एक बिंदु के साथ, निरूपित $\mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}$ . जिस भाग की जाँच करने की आवश्यकता है वह एक होमोटॉपी का अस्तित्व है $H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ बीच में $\operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ और $p_{0}$ , का प्रक्षेपण $\mathbb {R} ^{n}$ उत्पत्ति पर। इसका वर्णन इस प्रकार किया जा सकता है $H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ .
के बीच एक होमोटोपी समानता है $S^{1}$ $S^{1}$ (द n-sphere|1-sphere) और $\mathbb {R} ^{2}-\{0\}$ $\mathbb {R} ^{2}-\{0\}$ .
- प्रायः अधिक, $\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}$ .
कोई फाइबर बंडल $\pi :E\to B$ तंतुओं के साथ $F_{b}$ होमोटॉपी एक बिंदु के बराबर होमोटॉपी समतुल्य कुल और आधार स्थान है। यह पिछले दो उदाहरणों को सामान्यीकृत करता है $\pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}$ फाइबर के साथ फाइबर बंडल है $\mathbb {R} _{>0}$ .
प्रत्येक वेक्टर बंडल एक फाइबर बंडल है जिसमें एक बिंदु के बराबर फाइबर होमोटॉपी होता है।
$\mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}\simeq S^{n-k-1}$ किसी के लिए $0\leq k<n$ , लेखन से $\mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}$ फाइबर बंडल के कुल स्थान के रूप में $\mathbb {R} ^{k}\times (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})$ , फिर उपरोक्त होमोटॉपी समकक्षों को लागू करना।
यदि एक उपसमुच्चय $A$ एक सीडब्ल्यू परिसर की $X$ सिकुड़ा हुआ है, फिर भागफल स्थान (सांस्थिति) $X/A$ होमोटॉपी के बराबर है $X$ .^[5]
एक विरूपण प्रत्यावर्तन एक होमोटॉपी तुल्यता है।

अशक्त-समरूपता

एक फलन f को 'अशक्त-समरूपता' कहा जाता है अगर यह निरंतर कार्य के लिए होमोटोपिक है। (f से एक स्थिर कार्य के लिए होमोटॉपी को कभी-कभी 'नल-होमोटोपी' कहा जाता है।) उदाहरण के लिए, इकाई सर्कल एस से एक नक्शा f^{किसी भी स्थान के लिए 1} X अशक्त-होमोटोपिक है जब इसे इकाई चक्र D से मानचित्र पर लगातार बढ़ाया जा सकता है² से X जो सीमा पर f से सहमत है।

यह इन परिभाषाओं से अनुसरण करता है कि एक स्थान एक्स सिकुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर एक्स से स्वयं के लिए पहचान मानचित्र - जो हमेशा एक होमोटोपी तुल्यता है - अशक्त-होमोटोपिक है।

अपरिवर्तन

होमोटॉपी तुल्यता महत्वपूर्ण है क्योंकि बीजगणितीय सांस्थिति में कई अवधारणाएं होमोटॉपी इनवेरिएंट हैं, अर्थात, वे होमोटॉपी तुल्यता के संबंध का सम्मान करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि X और Y समरूप समतुल्य स्थान हैं, तो:

X जुड़ा हुआ स्थान है|पथ-कनेक्टेड अगर और केवल अगर Y है।
X बस जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर Y है।
(एकवचन) होमोलॉg (गणित) और एक्स और वाई के कोहोलॉg समूह समूह समरूपता हैं।
यदि X और Y पाथ-कनेक्टेड हैं, तो X और Y के मौलिक समूह आइसोमॉर्फिक हैं, और इसलिए उच्च समरूप समूह हैं। (पथ-जुड़ाव धारणा के बिना, किसी के पास π है₁(एक्स, -एक्स₀) तुल्याकारी से π₁(वाई, f (एक्स₀)) कहाँ f : X → Y एक समरूपता तुल्यता है और x₀ ∈ X.)

सांस्थितिक रिक्त स्थान के एक बीजगणितीय अपरिवर्तनीय का एक उदाहरण जो होमोटॉपी-इनवेरिएंट नहीं है, कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित होमोलॉg है (जो मोटे तौर पर बोल रहा है, संघनन (गणित)गणित) की होमोलॉg, और कॉम्पैक्टिफिकेशन होमोटॉपी-इनवेरिएंट नहीं है)।

वेरिएंट

सापेक्ष समरूपता

मौलिक समूह को परिभाषित करने के लिए, किसी को एक उप-स्थान के सापेक्ष समरूपता की धारणा की आवश्यकता होती है। ये समरूपताएं हैं जो उप-स्थान के तत्वों को स्थिर रखती हैं। औपचारिक रूप से: यदि f और g X से Y तक निरंतर मानचित्र हैं और K X का उपसमुच्चय है, तो हम कहते हैं कि ' यदि होमोटॉपी मौजूद है तो 'के' के सापेक्ष 'f' और 'g' होमोटोपिक हैं H : X × [0, 1] → Y f और g के बीच ऐसा है कि H(k, t) = f(k) = g(k) सभी के लिए k ∈ K और t ∈ [0, 1]. साथ ही, यदि g, X से K तक एक प्रत्यावर्तन (सांस्थिति) है और f पहचान मानचित्र है, तो इसे X से K तक एक मजबूत विरूपण वापसी के रूप में जाना जाता है। जब K एक बिंदु होता है, तो 'पॉइंटेड होमोटॉपी' शब्द का प्रयोग किया जाता है।

समस्थानिक

The unknot is not equivalent to the trefoil knot since one cannot be deformed into the other through a continuous path of homeomorphisms of the ambient space. Thus they are not ambient-isotopic.

यदि सांस्थितिक स्थल X से सांस्थितिक स्थल Y तक दिए गए दो निरंतर कार्य f और g अंतःस्थापन हैं, तो कोई पूछ सकता है कि क्या उन्हें 'अंतःस्थापन के माध्यम से' जोड़ा जा सकता है। यह 'आइसोटोपी' की अवधारणा को जन्म देता है, जो पहले इस्तेमाल किए गए नोटेशन में एक होमोटॉपी, एच है, जैसे कि प्रत्येक निश्चित टी के लिए, एच(एक्स,-टी) एक अंतःस्थापन देता है।^[6] एक संबंधित, परन्तु अलग, अवधारणा परिवेश समस्थानिक की है।

यह आवश्यक है कि दो अंतःस्थापन समस्थानिक हों, यह एक मजबूत आवश्यकता है कि वे होमोटोपिक हों। उदाहरण के लिए, अंतराल [−1, 1] से f(x) = −x द्वारा परिभाषित वास्तविक संख्याओं में नक्शा पहचान g(x) = x के समस्थानिक नहीं है। f से पहचान तक किसी भी समरूपता को समापन बिंदुओं का आदान-प्रदान करना होगा, जिसका अर्थ होगा कि उन्हें एक-दूसरे से 'गुजरना' होगा। इसके अलावा, f ने अंतराल के अभिविन्यास को बदल दिया है और g ने नहीं किया है, जो एक समस्थानिक के तहत असंभव है। हालाँकि, नक्शे समरूप हैं; पहचान के लिए f से एक होमोटॉपी H: [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1] H(x, y) = 2yx − x द्वारा दिया गया है।

इकाई बॉल के दो होमोमोर्फिम्स (जो अंतःस्थापन के विशेष मामले हैं) जो सीमा पर सहमत हैं, को अलेक्जेंडर की चाल का उपयोग करके समस्थानिक दिखाया जा सकता है। इसी कारण से 'R' में इकाई चक्र का मानचित्र² f(x, y) = (−x, −y) द्वारा परिभाषित मूल बिंदु के चारों ओर 180-डिग्री घुमाव के लिए समस्थानिक है, और इसलिए पहचान मानचित्र और f समस्थानिक हैं क्योंकि वे घूर्णन द्वारा जुड़े हो सकते हैं।

ज्यामितीय सांस्थिति में - उदाहरण के लिए गाँठ सिद्धांत में - समस्थानिक के विचार का उपयोग तुल्यता संबंधों के निर्माण के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, कब दो गांठों को समान माना जाना चाहिए? हम दो समुद्री मील लेते हैं, के₁ और के₂, त्रि-आयामी स्थल में। एक गाँठ इस स्थान में एक-आयामी स्थान, स्ट्रिंग (या सर्कल) के चक्रण का एक अंतःस्थापन है, और यह अंतःस्थापन सर्कल और इसकी छवि के बीच अंतःस्थापन स्थल में एक होमोमोर्फिज्म देता है। गाँठ तुल्यता की धारणा के पीछे सहज ज्ञान युक्त विचार यह है कि अंतःस्थापन के पथ के माध्यम से एक अंतःस्थापन को दूसरे में विकृत किया जा सकता है: टी = 0 पर शुरू होने वाला एक सतत कार्य के देता है₁ अंतःस्थापन, t = 1 पर समाप्त होने पर K देता है₂ अंतःस्थापन, अंतःस्थापन के अनुरूप सभी मध्यवर्ती मानों के साथ। यह आइसोटोपी की परिभाषा के अनुरूप है। इस संदर्भ में अध्ययन किया गया एक परिवेश समस्थानिक, बड़े स्थान का एक समस्थानिक है, जिसे अंतःस्थापित सबमनीफोल्ड पर इसकी क्रिया के प्रकाश में माना जाता है। नॉट्स के₁ और के₂ समतुल्य माना जाता है जब एक परिवेश समस्थानिक होता है जो K को स्थानांतरित करता है₁ कश्मीर के लिए₂. यह सामयिक श्रेणी में उपयुक्त परिभाषा है।

समान भाषा का उपयोग समकक्ष अवधारणा के संदर्भ में किया जाता है जहां किसी के पास समानता की एक मजबूत धारणा होती है। उदाहरण के लिए, दो चिकनी अंतःस्थापन के बीच एक पथ एक चिकनी समस्थानिक है।

timelike होमोटॉपी

लोरेन्ट्ज़ियन मैनिफोल्ड पर, कुछ वक्रों को टाइमलाइक के रूप में प्रतिष्ठित किया जाता है (कुछ का प्रतिनिधित्व करता है जो केवल आगे बढ़ता है, पीछे नहीं, समय में, हर स्थानीय फ्रेम में)। दो समयबद्ध वक्र्स के बीच एक टाइमलाइक होमोटॉपी एक होमोटॉपी है जैसे कि कर्व एक कर्व से दूसरे कर्व में निरंतर परिवर्तन के दौरान टाइमलाइक रहता है। लोरेंट्ज़ियन कई गुना पर कोई बंद टाइमलाइक कर्व (सीटीसी) एक बिंदु के लिए टाइमलाइक होमोटोपिक नहीं है (यानी, शून्य टाइमलाइक होमोटोपिक); इस तरह के कई गुना इसलिए कहा जाता है कि समयबद्ध घटता से गुणा किया जाता है। 3-गोले जैसे मैनिफोल्ड को आसानी से जोड़ा जा सकता है (किसी भी प्रकार के वक्र द्वारा), और फिर बंद समयबद्ध वक्र से गुणा किया जा सकता है।^[7]

गुण

भारोत्तोलन और विस्तार गुण

अगर हमारे पास होमोटॉपी है H : X × [0,1] → Y और एक आवरण p : Y → Y और हमें एक नक्शा दिया जाता है h₀ : X → Y ऐसा है कि H₀ = p ○ h₀ (h₀ h की लिफ्ट (गणित) कहलाती है₀), तो हम सभी H को एक मानचित्र पर उठा सकते हैं H : X × [0, 1] → Y ऐसा है कि p ○ H = H. होमोटोपी उठाने की संपत्ति का उपयोग फ़िब्रेशन को चिह्नित करने के लिए किया जाता है।

होमोटॉपी से जुड़ी एक और उपयोगी संपत्ति होमोटॉपी एक्सटेंशन संपत्ति है, जो कुछ समुच्चय के सबसमुच्चय से समुच्चय तक दो कार्यों के बीच एक होमोटॉपी के विस्तार की विशेषता है। [[cofibration]] से निपटने के दौरान यह उपयोगी है।

समूह

दो कार्यों के संबंध के बाद से $f,g\colon X\to Y$ एक उपसमष्टि के सापेक्ष होमोटोपिक होना एक तुल्यता संबंध है, हम एक निश्चित X और Y के बीच के मानचित्रों के तुल्यता वर्गों को देख सकते हैं। यदि हम तय करते हैं $X=[0,1]^{n}$ , इकाई अंतराल [0, 1] कार्तीय उत्पाद स्वयं के साथ n बार, और हम इसकी सीमा (सांस्थिति) लेते हैं $\partial ([0,1]^{n})$ एक उप-स्थान के रूप में, तब तुल्यता वर्ग एक समूह बनाते हैं, जिसे निरूपित किया जाता है $\pi _{n}(Y,y_{0})$ , कहाँ $y_{0}$ उप-स्थान की छवि में है $\partial ([0,1]^{n})$ .

हम एक समतुल्य वर्ग की क्रिया को दूसरे पर परिभाषित कर सकते हैं, और इस प्रकार हमें एक समूह प्राप्त होता है। इन समूहों को होमोटोपी समूह कहा जाता है। यदि $n=1$ , इसे मौलिक समूह भी कहा जाता है।

होमोटॉपी श्रेणी

समरूपता के विचार को श्रेणी सिद्धांत की एक औपचारिक श्रेणी में बदला जा सकता है। होमोटॉपी श्रेणी वह श्रेणी है जिसकी वस्तुएँ सांस्थितिक स्थल हैं, और जिनकी आकृति विज्ञान निरंतर मानचित्रों के होमोटोपी तुल्यता वर्ग हैं। इस श्रेणी में दो सांस्थितिक स्थल 'एक्स' और 'वाई' आइसोमोर्फिक हैं यदि और केवल अगर वे होमोटोपी-समतुल्य हैं। फिर सांस्थितिक रिक्त स्थान की श्रेणी पर एक ऑपरेटर होमोटॉपी इनवेरिएंट है यदि इसे होमोटॉपी श्रेणी पर एक फ़ैक्टर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, होमोलॉg समूह एक फंक्शनल होमोटॉपी इनवेरिएंट हैं: इसका मतलब है कि अगर f और g X से Y होमोटोपिक हैं, तो समूह समरूपता प्रेरित होमोलॉg समूहों के स्तर पर 'f' और 'g' द्वारा समान हैं: एच_n(f) = एच_n(g): एच_n(एक्स) → एच_n(वाई) सभी एन के लिए। इसी तरह, यदि X और Y अतिरिक्त जुड़ाव में हैं, और f और g के बीच की होमोटॉपी को इंगित किया गया है, तो होमोटोपी समूहों के स्तर पर f और g द्वारा प्रेरित समूह समरूपता भी समान हैं: π_n(f) = पी_n(g): पी_n(एक्स) → पी_n(और)।

अनुप्रयोग

समरूपता की अवधारणा के आधार पर, बीजगणितीय समीकरणों और अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियों का विकास किया गया है। बीजगणितीय समीकरणों की विधियों में समरूपता निरंतरता विधि शामिल है^[8] और निरंतरता विधि (संख्यात्मक निरंतरता देखें)। विभेदक समीकरणों के तरीकों में होमोटॉपी विश्लेषण पद्धति शामिल है।

होमोटॉपी सिद्धांत को होमोलॉg (गणित) के लिए एक नींव के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है: होमोटॉपी समतुल्यता तक एक्स के मैपिंग द्वारा स्थल एक्स पर एक कोहोलॉg फ़ैक्टर का प्रतिनिधित्व करने योग्य फ़ंक्टर हो सकता है। उदाहरण के लिए, किसी भी एबेलियन समूह g और किसी भी आधारित सीडब्ल्यू-परिसरों एक्स के लिए, समुच्चय $[X,K(G,n)]$ एक्स से ईलेनबर्ग-मैकलेन स्थल पर आधारित नक्शों के आधारित होमोटॉपी वर्गों का $K(G,n)$ एन-वें विलक्षण कोहोलॉg समूह के साथ प्राकृतिक आपत्ति में है $H^{n}(X,G)$ एक का कहना है कि स्पेक्ट्रम (सांस्थिति) | ईलेनबर्ग-मैकलेन स्थल का ओमेगा-स्पेक्ट्रम g में गुणांक के साथ एकवचन कोहोलॉg के लिए स्थान का प्रतिनिधित्व कर रहा है।

यह भी देखें

फाइबर-होमोटॉपी तुल्यता (होमोटॉपी तुल्यता का सापेक्ष संस्करण)
होम्योपैथी
होमोटॉपी प्रकार सिद्धांत
मानचित्रण वर्ग समूह
पॉइनकेयर अनुमान
नियमित होमोटॉपी

संदर्भ

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↑ "algebraic topology - Path homotopy and separately continuous functions". Mathematics Stack Exchange.
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↑ Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: Albin, Pierre (2019). "History of algebraic topology". YouTube.
↑ Allen., Hatcher (2002). Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press. p. 11. ISBN 9780521795401. OCLC 45420394.
↑ Weisstein, Eric W. "Isotopy". MathWorld.
↑ Monroe, Hunter (2008-11-01). "Are Causality Violations Undesirable?". Foundations of Physics (in English). 38 (11): 1065–1069. arXiv:gr-qc/0609054. Bibcode:2008FoPh...38.1065M. doi:10.1007/s10701-008-9254-9. ISSN 0015-9018. S2CID 119707350.
↑ Allgower, E. L. (2003). Introduction to numerical continuation methods. Kurt Georg. Philadelphia: SIAM. ISBN 0-89871-544-X. OCLC 52377653.

स्रोत

Armstrong, M.A. (1979). बेसिक टोपोलॉजी. Springer. ISBN 978-0-387-90839-7.
"Homotopy", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
"Isotopy (in topology)", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Spanier, Edwin (December 1994). बीजगणितीय टोपोलॉजी. Springer. ISBN 978-0-387-94426-5.

श्रेणी:समरूपता सिद्धांत|* श्रेणी:सतत कार्यों का सिद्धांत श्रेणी:कई गुना के मानचित्र

[1] "Homotopy | mathematics". Encyclopedia Britannica (in English). Retrieved 2019-08-17.

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[4] Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: Albin, Pierre (2019). "History of algebraic topology". YouTube.

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[6] Weisstein, Eric W. "Isotopy". MathWorld.

[7] Monroe, Hunter (2008-11-01). "Are Causality Violations Undesirable?". Foundations of Physics (in English). 38 (11): 1065–1069. arXiv:gr-qc/0609054. Bibcode:2008FoPh...38.1065M. doi:10.1007/s10701-008-9254-9. ISSN 0015-9018. S2CID 119707350.

[8] Allgower, E. L. (2003). Introduction to numerical continuation methods. Kurt Georg. Philadelphia: SIAM. ISBN 0-89871-544-X. OCLC 52377653.

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@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{short description|Continuous deformation between two continuous functions}}
+[[File:HomotopySmall.gif|thumb|ऊपर दिखाए गए दो धराशायी [[पथ (टोपोलॉजी)|पथ (सांस्थिति)]] उनके समापन बिंदुओं के सापेक्ष होमोटोपिक हैं। सजीवता एक संभावित समरूपता का प्रतिनिधित्व करता है।]][[टोपोलॉजी|सांस्थिति]] में, गणित की शाखा, एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिकीय]] [[टोपोलॉजिकल स्पेस|स्थल]] से दूसरे में दो [[निरंतर कार्य (टोपोलॉजी)|निरंतर कार्यो को]] होमोटोपिक कहा जाता हैं यद्यपि एक को दूसरे में लगातार विकृत किया जा सकता है, तो ऐसी विकृति को दो कार्यों के बीच होमोटोपी कहा जाता है । होमोटॉपी का एक उल्लेखनीय उपयोग [[होमोटॉपी समूह|होमोटॉपी समूहों]] और [[कोहोमोटॉपी समूह|कोहोमोटॉपी समूहों]] की परिभाषा है, [[बीजगणितीय टोपोलॉजी|बीजगणितीय सांस्थितिकी]] में महत्वपूर्ण व् [[अपरिवर्तनीय (गणित)|अपरिवर्तनीय है]]।<ref>{{Cite web|url=https://www.britannica.com/science/homotopy|title=Homotopy {{!}} mathematics|website=Encyclopedia Britannica|language=en|access-date=2019-08-17}}</ref>
-{{About|topology|chemistry|Homotopic groups}}
+कार्यप्रणाली में, कुछ स्थानों के साथ समरूपता का उपयोग करने में तकनीकी कठिनाइयाँ हैं। बीजगणितीय सांस्थितिकीय सघन रूप से उत्पन्न रिक्त स्थान, [[सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स|सीडब्ल्यू परिसरों]] या [[स्पेक्ट्रम (होमोटोपी सिद्धांत)|वर्णक्रम]] के साथ काम करते हैं।
-{{more footnotes|date=June 2017}}
-[[File:HomotopySmall.gif|thumb|ऊपर दिखाए गए दो धराशायी [[पथ (टोपोलॉजी)]] उनके समापन बिंदुओं के सापेक्ष होमोटोपिक हैं। एनीमेशन एक संभावित समरूपता का प्रतिनिधित्व करता है।]][[टोपोलॉजी]] में, गणित की एक शाखा, एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] से दूसरे में दो [[निरंतर कार्य (टोपोलॉजी)]] होमोटोपिक कहलाते हैं (से {{lang-grc|ὁμός}} {{transl|grc|homós}} समान, समान और {{lang|grc|τόπος}} {{transl|grc|tópos}} स्थान) यदि एक को दूसरे में लगातार विकृत किया जा सकता है, तो ऐसी विकृति को होमोटोपी कहा जाता है ({{IPAc-en|h|ə|ˈ|m|ɒ|t|ə|p|iː}},<ref>{{cite web |url = https://www.dictionary.com/browse/homotopy |title = Homotopy Definition & Meaning |access-date = 22 April 2022 |url-status = live }}</ref> {{Respell|hə|MO|tə|pee}}; {{IPAc-en|ˈ|h|oʊ|m|oʊ|ˌ|t|oʊ|p|iː}},<ref>{{cite web |url = https://www.youtube.com/watch?v=Ft8R3-kPDdk |title = Homotopy Type Theory Discussed - Computerphile |website = [[YouTube]] |access-date = 22 April 2022 |url-status = live }}</ref> {{Respell|HOH|moh|toh|pee}}) दो कार्यों के बीच। होमोटॉपी का एक उल्लेखनीय उपयोग [[होमोटॉपी समूह]]ों और [[कोहोमोटॉपी समूह]]ों की परिभाषा है, [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में महत्वपूर्ण [[अपरिवर्तनीय (गणित)]]।<ref>{{Cite web|url=https://www.britannica.com/science/homotopy|title=Homotopy {{!}} mathematics|website=Encyclopedia Britannica|language=en|access-date=2019-08-17}}</ref>
-व्यवहार में, कुछ स्थानों के साथ समरूपता का उपयोग करने में तकनीकी कठिनाइयाँ हैं। बीजगणितीय टोपोलॉजिस्ट कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न रिक्त स्थान, [[सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स]] या [[स्पेक्ट्रम (होमोटोपी सिद्धांत)]] के साथ काम करते हैं।
 == औपचारिक परिभाषा ==
-[[File:Mug and Torus morph.gif|thumb|right|250px|आर में [[टोरस्र्स]] के दो [[एम्बेडिंग]] के बीच एक समरूपता<sup>3</sup>: एक डोनट की सतह के रूप में और एक कॉफी मग की सतह के रूप में। यह भी एक #आइसोटोपी का उदाहरण है।]]औपचारिक रूप से, ए से दो निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) एस एफ और जी के बीच एक समरूपता
+[[File:Mug and Torus morph.gif|thumb|right|250px|आर में [[टोरस्र्स|स्थूलक्र्स]] के दो [[एम्बेडिंग|अंतःस्थापन]] के बीच एक समरूपता<sup>3</sup>: एक डोनट की सतह के रूप में और एक कॉफी मग की सतह के रूप में। यह भी एक #आइसोटोपी का उदाहरण है।]]औपचारिक रूप से, से दो निरंतर फलन f और g के बीच एक समरूपता
-टोपोलॉजिकल स्पेस X से टोपोलॉजिकल स्पेस Y को एक निरंतर कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है <math>H: X \times  [0,1] \to Y</math> [[इकाई अंतराल]] [0, 1] के साथ अंतरिक्ष X के [[उत्पाद टोपोलॉजी]] से Y तक <math>H(x,0) = f(x)</math> और <math>H(x,1) = g(x)</math> सभी के लिए <math>x \in X</math>.
+सांस्थितिक स्थल X से सांस्थितिक स्थल Y को एक निरंतर कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है <math>H: X \times  [0,1] \to Y</math> [[इकाई अंतराल]] [0, 1] के साथ स्थल X के [[उत्पाद टोपोलॉजी|उत्पाद सांस्थिति]] से Y तक <math>H(x,0) = f(x)</math> और <math>H(x,1) = g(x)</math> सभी के लिए <math>x \in X</math>.
-यदि हम समय के रूप में एच के दूसरे [[पैरामीटर]] के बारे में सोचते हैं तो एच जी में एफ के निरंतर विरूपण का वर्णन करता है: समय 0 पर हमारे पास फ़ंक्शन एफ होता है और समय 1 पर हमारे पास फ़ंक्शन जी होता है। हम दूसरे पैरामीटर को स्लाइडर नियंत्रण के रूप में भी सोच सकते हैं जो हमें f से g तक आसानी से संक्रमण करने की अनुमति देता है क्योंकि स्लाइडर 0 से 1 तक चलता है, और इसके विपरीत।
+यद्यपि हम समय के रूप में H के दूसरे [[पैरामीटर|मापदण्ड]] के विषय में सोचते हैं तो H g में g के निरंतर विरूपण का वर्णन करता है: समय 0 पर हमारे पास फलन f होता है और समय 1 पर हमारे पास फलन g होता है। हम दूसरे मापदण्ड को सर्पक नियंत्रण के रूप में भी सोच सकते हैं जो हमें f से g तक आसानी से संपर्क करने की अनुमति देता है क्योंकि सर्पक 0 से 1 तक चलता है, परन्तु इसके विपरीत।
-एक वैकल्पिक संकेतन यह कहना है कि दो निरंतर कार्यों के बीच एक समरूपता <math>f, g: X \to Y</math> निरंतर कार्यों का एक परिवार है <math>h_t: X \to Y</math> के लिए <math>t \in [0,1]</math> ऐसा है कि <math>h_0 = f</math> और <math>h_1 = g</math>, और Map_(गणित) <math>(x, t) \mapsto h_t(x)</math> से निरन्तर है <math>X \times [0,1]</math> को <math>Y</math>. दो संस्करण सेटिंग से मेल खाते हैं <math>h_t(x) = H(x,t)</math>. प्रत्येक मानचित्र की आवश्यकता के लिए पर्याप्त नहीं है <math>h_t(x)</math> निरंतर किया जाना।<ref>{{Cite web|url=https://math.stackexchange.com/questions/104515/path-homotopy-and-separately-continuous-functions|title=algebraic topology - Path homotopy and separately continuous functions|website=Mathematics Stack Exchange}}</ref>
+एक वैकल्पिक संकेतन का यह कहना है कि दो निरंतर कार्यों के बीच एक समरूपता <math>f, g: X \to Y</math> निरंतर कार्यों का एक परिवार है <math>h_t: X \to Y</math> के लिए <math>t \in [0,1]</math> ऐसा है कि <math>h_0 = f</math> और <math>h_1 = g</math>, और Map_(गणित) <math>(x, t) \mapsto h_t(x)</math> से निरन्तर है <math>X \times [0,1]</math> को <math>Y</math>. दो संस्करण समायोजन से मेल खाते हैं <math>h_t(x) = H(x,t)</math>. प्रत्येक मानचित्र की आवश्यकता के लिए पर्याप्त नहीं है <math>h_t(x)</math> निरंतर किया जाना।<ref>{{Cite web|url=https://math.stackexchange.com/questions/104515/path-homotopy-and-separately-continuous-functions|title=algebraic topology - Path homotopy and separately continuous functions|website=Mathematics Stack Exchange}}</ref>
-एनीमेशन जो ऊपर दाईं ओर लूप किया गया है, टोरस के दो एम्बेडिंग, एफ और जी के बीच एक समरूपता का उदाहरण प्रदान करता है {{nowrap|1=''R''<sup>3</sup>}}. X टोरस है, Y है {{nowrap|1=''R''<sup>3</sup>}}, f टोरस से R तक कुछ निरंतर कार्य है<sup>3</sup> जो टोरस को डोनट आकार की एम्बेडेड सतह पर ले जाता है जिसके साथ एनीमेशन शुरू होता है; जी कुछ निरंतर कार्य है जो टोरस को एक कॉफी-मग आकार की एम्बेडेड सतह पर ले जाता है। एनीमेशन एच की छवि दिखाता है<sub>''t''</sub>(x) पैरामीटर टी के एक समारोह के रूप में, जहां टी एनीमेशन लूप के प्रत्येक चक्र पर 0 से 1 के समय के साथ बदलता रहता है। यह रुकता है, फिर छवि दिखाता है क्योंकि टी 1 से 0 तक भिन्न होता है, रुकता है और इस चक्र को दोहराता है।
+सजीवता जो ऊपर दाईं ओर चक्रित किया गया है, स्थूलक के दो अंतःस्थापन, f और g के बीच एक समरूपता का उदाहरण प्रदान करता है {{nowrap|1=''R''<sup>3</sup>}}. X स्थूलक है, Y है {{nowrap|1=''R''<sup>3</sup>}}, f स्थूलक से R तक कुछ निरंतर कार्य है<sup>3</sup> जो स्थूलक को डोनट आकार की अन्तःस्थापित सतह पर ले जाता है जिसके साथ सजीवता शुरू होता है; g कुछ निरंतर कार्य है जो स्थूलक को एक कॉफी-मग आकार की अन्तःस्थापित सतह पर ले जाता है। सजीवता H की छवि प्रदर्शित करता है<sub>''t''</sub>(x) मापदण्ड टी के एक समारोह के रूप में, जहां टी सजीवता चक्रण के प्रत्येक चक्र पर 0 से 1 के समय के साथ बदलता रहता है। यह रुकता है, फिर छवि प्रदर्शित करता है क्योंकि टी 1 से 0 तक भिन्न होता है, रुकता है और इस चक्र को दोहराता है।
 === गुण ===
-निरंतर कार्य f और g को होमोटोपिक कहा जाता है यदि और केवल अगर ऊपर बताए अनुसार f को g पर ले जाने वाला होमोटॉपी H है। होमोटोपिक होना X से Y तक सभी निरंतर कार्यों के सेट पर एक [[तुल्यता संबंध]] है।
+निरंतर कार्य f और g को होमोटोपिक कहा जाता है यदि ऊपर बताए गए के अनुसार f को g पर ले जाने वाला होमोटॉपी H है। होमोटोपिक होना X से Y तक सभी निरंतर कार्यों के समुच्चय पर एक [[तुल्यता संबंध]] है।
 यह होमोटॉपी संबंध निम्नलिखित अर्थों में कार्य रचना के अनुकूल है: यदि {{nowrap|1=''f''<sub>1</sub>, ''g''<sub>1</sub> : ''X'' → ''Y''}} होमोटोपिक हैं, और {{nowrap|1=''f''<sub>2</sub>, ''g''<sub>2</sub> : ''Y'' → ''Z''}} होमोटोपिक हैं, तो उनकी रचनाएँ {{nowrap|1=''f''<sub>2</sub>&thinsp;∘&thinsp;''f''<sub>1</sub>}} और {{nowrap|1=''g''<sub>2</sub>&thinsp;∘&thinsp;''g''<sub>1</sub> : ''X'' → ''Z''}} होमोटोपिक भी हैं।
 == उदाहरण ==
 * अगर <math>f, g: \R \to \R^2</math> द्वारा दिए गए हैं <math>f(x) := \left(x, x^3\right)</math> और <math>g(x) = \left(x, e^x\right)</math>, फिर नक्शा <math>H: \mathbb{R} \times [0, 1] \to \mathbb{R}^2</math> द्वारा दिए गए <math>H(x, t) = \left(x, (1 - t)x^3 + te^x\right)</math> उनके बीच एक समरूपता है।
-* अधिक आम तौर पर, अगर <math>C \subseteq \mathbb{R}^n</math> [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] का एक [[उत्तल सेट]] सबसेट है और <math>f, g: [0, 1] \to C</math> पथ (टोपोलॉजी) एक ही समापन बिंदु के साथ हैं, तो एक रैखिक समरूपता है<ref>{{Cite book|title=Algebraic topology|last=Allen.|first=Hatcher|date=2002|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780521795401|location=Cambridge|pages=185|oclc=45420394}}</ref> (या स्ट्रेट-लाइन होमोटॉपी) द्वारा दिया गया
+* अधिक प्रायः, यदि <math>C \subseteq \mathbb{R}^n</math> [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन स्थल]] का एक [[उत्तल सेट|उत्तल समुच्चय]] सबसमुच्चय है और <math>f, g: [0, 1] \to C</math> पथ एक ही समापन बिंदु के साथ हैं, तो एक रैखिक समरूपता है<ref>{{Cite book|title=Algebraic topology|last=Allen.|first=Hatcher|date=2002|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780521795401|location=Cambridge|pages=185|oclc=45420394}}</ref> (या सरल रेखा होमोटॉपी) द्वारा दिया गया
 *: <math>\begin{align}
    H: [0, 1] \times [0, 1] &\longrightarrow C \\
                     (s, t) &\longmapsto (1 - t)f(s) + tg(s).
 \end{align}</math>
-* होने देना <math>\operatorname{id}_{B^n}:B^n\to B^n</math> यूनिट एन-बॉल (गणित) पर [[पहचान समारोह]] हो; यानी सेट <math>B^n := \left\{x\in\mathbb{R}^n: \|x\| \leq 1\right\}</math>. होने देना <math>c_{\vec{0}}: B^n \to B^n</math> [[निरंतर कार्य]] हो <math>c_\vec{0}(x) := \vec{0}</math> जो हर बिंदु को [[उत्पत्ति (गणित)]] में भेजता है। फिर निम्नलिखित उनके बीच एक समरूपता है:
+** माना <math>\operatorname{id}_{B^n}:B^n\to B^n</math> इकाई एन-बॉल पर [[पहचान समारोह|परिचय फलन]] हो; अर्थात समुच्चय <math>B^n := \left\{x\in\mathbb{R}^n: \|x\| \leq 1\right\}</math>. होने देना <math>c_{\vec{0}}: B^n \to B^n</math> [[निरंतर कार्य]] हो <math>c_\vec{0}(x) := \vec{0}</math> जो सभी बिंदु को [[उत्पत्ति (गणित)|मूल स्थान पर]] भेजता है। तब निम्नलिखित से उनके बीच एक समरूपता है:
-*: <math>\begin{align}
+**: <math>\begin{align}
    H: B^n \times [0, 1] &\longrightarrow B^n \\
                  (x, t) &\longmapsto (1 - t)x.
@@ Line 35: / Line 31: @@
 == होमोटॉपी तुल्यता ==
-दो टोपोलॉजिकल स्पेस X और Y दिए गए हैं, X और Y के बीच एक 'होमोटोपी समतुल्यता' निरंतर मानचित्र (गणित) की एक जोड़ी है {{nowrap|1=''f'' : ''X'' → ''Y''}} और {{nowrap|1=''g'' : ''Y'' → ''X''}}, ऐसा है कि {{nowrap|1=''g''&thinsp;∘&thinsp;''f''}} पहचान समारोह आईडी के लिए होमोटोपिक है<sub>''X''</sub> और {{nowrap|1=''f''&thinsp;∘&thinsp;''g''}} आईडी के लिए होमोटोपिक है<sub>''Y''</sub>. यदि ऐसी कोई जोड़ी मौजूद है, तो X और Y को 'समरूपता समतुल्य' या समान 'समरूपता प्रकार' कहा जाता है। सहज रूप से, दो रिक्त स्थान X और Y होमोटॉपी समतुल्य हैं यदि उन्हें झुकने, सिकुड़ने और संचालन के विस्तार से एक दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है। रिक्त स्थान जो होमोटॉपी-एक बिंदु के समतुल्य होते हैं, संविदात्मक कहलाते हैं।
+दो सांस्थितिक स्थल X और Y दिए गए हैं, X और Y के बीच एक 'होमोटोपी समतुल्यता' निरंतर मानचित्र की एक जोड़ी है {{nowrap|1=''f'' : ''X'' → ''Y''}} और {{nowrap|1=''g'' : ''Y'' → ''X''}}, ऐसा है कि {{nowrap|1=''g''&thinsp;∘&thinsp;''f''}} पहचान मानचित्र id<sub>''X''</sub>  के लिए होमोटोपिक है<sub>''X''</sub> और {{nowrap|1=''f''&thinsp;∘&thinsp;''g''}} आईडी के लिए होमोटोपिक है<sub>''Y''</sub>. यदि ऐसी कोई जोड़ी मौजूद है, तो X और Y को 'समरूपता समतुल्य' या समान 'समरूपता प्रकार' कहा जाता है। सहज रूप से, दो रिक्त स्थान X और Y होमोटॉपी समतुल्य हैं यद्यपि उन्हें झुकने, सिकुड़ने और संचालन के विस्तार से एक दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है। रिक्त स्थान जो होमोटॉपी-एक बिंदु के समतुल्य होते हैं, संविदात्मक कहलाते हैं।
 === होमोटॉपी तुल्यता बनाम [[होमियोमोर्फिज्म]] ===
-होमोमोर्फिज्म होमोटोपी तुल्यता का एक विशेष मामला है, जिसमें {{nowrap|1=''g''&thinsp;∘&thinsp;''f''}} पहचान मानचित्र आईडी के बराबर है<sub>''X''</sub> (न केवल इसके लिए होमोटोपिक), और {{nowrap|1=''f''&thinsp;∘&thinsp;''g''}} आईडी के बराबर है<sub>''Y''</sub>.<ref>Archived at [https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211211/XxFGokyYo6g Ghostarchive]{{cbignore}} and the [https://web.archive.org/web/20200829013025/https://www.youtube.com/watch?v=XxFGokyYo6g&gl=US&hl=en Wayback Machine]{{cbignore}}: {{Cite web|last=Albin|first=Pierre|date=2019|title=History of algebraic topology|website=[[YouTube]] |url=https://www.youtube.com/watch?v=XxFGokyYo6g}}{{cbignore}}</ref>{{Rp|0:53:00}} इसलिए, यदि X और Y होमियोमॉर्फिक हैं तो वे होमोटॉपी-समतुल्य हैं, लेकिन विपरीत सत्य नहीं है। कुछ उदाहरण:
+होमोमोर्फिज्म होमोटोपी तुल्यता का एक विशेष मामला है, जिसमें {{nowrap|1=''g''&thinsp;∘&thinsp;''f''}} पहचान मानचित्र id<sub>''X''</sub> के बराबर है और {{nowrap|1=''f''&thinsp;∘&thinsp;''g''}} id<sub>''Y''</sub> के बराबर है.<ref>Archived at [https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211211/XxFGokyYo6g Ghostarchive]{{cbignore}} and the [https://web.archive.org/web/20200829013025/https://www.youtube.com/watch?v=XxFGokyYo6g&gl=US&hl=en Wayback Machine]{{cbignore}}: {{Cite web|last=Albin|first=Pierre|date=2019|title=History of algebraic topology|website=[[YouTube]] |url=https://www.youtube.com/watch?v=XxFGokyYo6g}}{{cbignore}}</ref>{{Rp|0:53:00}} इसलिए, यदि X और Y होमियोमॉर्फिक हैं तो वे होमोटॉपी-समतुल्य हैं, परन्तु विपरीत सत्य नहीं है। कुछ उदाहरण:
-* एक ठोस डिस्क होमोटॉपी-एक बिंदु के बराबर है, क्योंकि आप डिस्क को रेडियल लाइनों के साथ एक बिंदु पर लगातार विकृत कर सकते हैं। हालांकि, वे होमियोमॉर्फिक नहीं हैं, क्योंकि उनके बीच कोई आपत्ति नहीं है (चूंकि एक अनंत सेट है, जबकि दूसरा परिमित है)।
+* ठोस चक्र होमोटॉपी-एक बिंदु के बराबर है, क्योंकि आप चक्र को उज्जवल रेखाओं के साथ एक बिंदु पर लगातार विकृत कर सकते हैं। यद्यपि, वे होमियोमॉर्फिक नहीं हैं, क्योंकि उनके बीच कोई आपत्ति नहीं है चूंकि एक अनंत समुच्चय है, जबकि दूसरा परिमित है।
-* मोबियस पट्टी और एक मुड़ी हुई (बंद) पट्टी होमोटॉपी समतुल्य हैं, क्योंकि आप दोनों पट्टियों को लगातार एक वृत्त में विकृत कर सकते हैं। लेकिन वे होमियोमॉर्फिक नहीं हैं।
+* मोबियस पट्टी और एक मुड़ी हुई पट्टी होमोटॉपी समतुल्य हैं, क्योंकि आप दोनों पट्टियों को लगातार एक वृत्त में विकृत कर सकते हैं। परन्तु वे होमियोमॉर्फिक नहीं हैं।
 === उदाहरण ===
 * होमोटॉपी तुल्यता का पहला उदाहरण है <math>\mathbb{R}^n</math> एक बिंदु के साथ, निरूपित <math>\mathbb{R}^n \simeq \{ 0\}</math>. जिस भाग की जाँच करने की आवश्यकता है वह एक होमोटॉपी का अस्तित्व है <math>H: I \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> बीच में <math>\operatorname{id}_{\mathbb{R}^n}</math> और <math>p_0</math>, का प्रक्षेपण <math>\mathbb{R}^n</math> उत्पत्ति पर। इसका वर्णन इस प्रकार किया जा सकता है <math>H(t,\cdot) = t\cdot p_0 + (1-t)\cdot\operatorname{id}_{\mathbb{R}^n}</math>.
 * के बीच एक होमोटोपी समानता है <math>S^1</math> (द [[n-sphere]]|1-sphere) और <math>\mathbb{R}^2-\{0\}</math>.
-** आम तौर पर अधिक, <math>\mathbb{R}^n-\{ 0\} \simeq S^{n-1}</math>.
+** प्रायः अधिक, <math>\mathbb{R}^n-\{ 0\} \simeq S^{n-1}</math>.
 * कोई [[फाइबर बंडल]] <math>\pi: E \to B</math> तंतुओं के साथ <math>F_b</math> होमोटॉपी एक बिंदु के बराबर होमोटॉपी समतुल्य कुल और आधार स्थान है। यह पिछले दो उदाहरणों को सामान्यीकृत करता है <math>\pi:\mathbb{R}^n - \{0\} \to S^{n-1}</math>फाइबर के साथ फाइबर बंडल है <math>\mathbb{R}_{>0}</math>.
 * प्रत्येक [[वेक्टर बंडल]] एक फाइबर बंडल है जिसमें एक बिंदु के बराबर फाइबर होमोटॉपी होता है।
 * <math>\mathbb{R}^n - \mathbb{R}^k \simeq S^{n-k-1}</math> किसी के लिए <math>0 \le k < n</math>, लेखन से <math>\mathbb{R}^n - \mathbb{R}^k</math> फाइबर बंडल के कुल स्थान के रूप में <math>\mathbb{R}^k \times (\mathbb{R}^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb{R}^{n-k}-\{0\})</math>, फिर उपरोक्त होमोटॉपी समकक्षों को लागू करना।
-* यदि एक उपसमुच्चय <math>A</math> एक सीडब्ल्यू परिसर की <math>X</math> सिकुड़ा हुआ है, फिर [[भागफल स्थान (टोपोलॉजी)]] <math>X/A</math> होमोटॉपी के बराबर है <math>X</math>.<ref>{{Cite book|title=Algebraic topology|last=Allen.|first=Hatcher|date=2002|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780521795401|location=Cambridge|pages=11|oclc=45420394}}</ref>
+* यदि एक उपसमुच्चय <math>A</math> एक सीडब्ल्यू परिसर की <math>X</math> सिकुड़ा हुआ है, फिर [[भागफल स्थान (टोपोलॉजी)|भागफल स्थान (सांस्थिति)]] <math>X/A</math> होमोटॉपी के बराबर है <math>X</math>.<ref>{{Cite book|title=Algebraic topology|last=Allen.|first=Hatcher|date=2002|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780521795401|location=Cambridge|pages=11|oclc=45420394}}</ref>
 * एक विरूपण प्रत्यावर्तन एक होमोटॉपी तुल्यता है।
 === अशक्त-समरूपता ===
-एक फलन f को 'अशक्त-समरूपता' कहा जाता है {{anchor|null homotopic}} अगर यह निरंतर कार्य के लिए होमोटोपिक है। (एफ से एक स्थिर कार्य के लिए होमोटॉपी को कभी-कभी 'नल-होमोटोपी' कहा जाता है।) उदाहरण के लिए, [[यूनिट सर्कल]] एस से एक नक्शा एफ<sup>किसी भी स्थान के लिए 1</sup> X अशक्त-होमोटोपिक है जब इसे इकाई डिस्क D से मानचित्र पर लगातार बढ़ाया जा सकता है<sup>2</sup> से X जो सीमा पर f से सहमत है।
+एक फलन f को 'अशक्त-समरूपता' कहा जाता है {{anchor|null homotopic}} अगर यह निरंतर कार्य के लिए होमोटोपिक है। (f से एक स्थिर कार्य के लिए होमोटॉपी को कभी-कभी 'नल-होमोटोपी' कहा जाता है।) उदाहरण के लिए, [[यूनिट सर्कल|इकाई सर्कल]] एस से एक नक्शा f<sup>किसी भी स्थान के लिए 1</sup> X अशक्त-होमोटोपिक है जब इसे इकाई चक्र D से मानचित्र पर लगातार बढ़ाया जा सकता है<sup>2</sup> से X जो सीमा पर f से सहमत है।
 यह इन परिभाषाओं से अनुसरण करता है कि एक स्थान एक्स सिकुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर एक्स से स्वयं के लिए पहचान मानचित्र - जो हमेशा एक होमोटोपी तुल्यता है - अशक्त-होमोटोपिक है।
 == अपरिवर्तन ==
-होमोटॉपी तुल्यता महत्वपूर्ण है क्योंकि बीजगणितीय टोपोलॉजी में कई अवधारणाएं होमोटॉपी इनवेरिएंट हैं, अर्थात, वे होमोटॉपी तुल्यता के संबंध का सम्मान करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि ''X'' और ''Y'' समरूप समतुल्य स्थान हैं, तो:
+होमोटॉपी तुल्यता महत्वपूर्ण है क्योंकि बीजगणितीय सांस्थिति में कई अवधारणाएं होमोटॉपी इनवेरिएंट हैं, अर्थात, वे होमोटॉपी तुल्यता के संबंध का सम्मान करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि ''X'' और ''Y'' समरूप समतुल्य स्थान हैं, तो:
 * ''X'' [[जुड़ा हुआ स्थान]] है|पथ-कनेक्टेड अगर और केवल अगर ''Y'' है।
 * ''X'' [[बस जुड़ा हुआ है]] अगर और केवल अगर ''Y'' है।
-* (एकवचन) होमोलॉजी (गणित) और '' एक्स '' और '' वाई '' के [[कोहोलॉजी समूह]] [[समूह समरूपता]] हैं।
+* (एकवचन) होमोलॉg (गणित) और '' एक्स '' और '' वाई '' के [[कोहोलॉजी समूह|कोहोलॉg समूह]] [[समूह समरूपता]] हैं।
-* यदि ''X'' और ''Y'' पाथ-कनेक्टेड हैं, तो ''X'' और ''Y'' के [[मौलिक समूह]] आइसोमॉर्फिक हैं, और इसलिए उच्च समरूप समूह हैं। (पथ-जुड़ाव धारणा के बिना, किसी के पास π है<sub>1</sub>(एक्स, -एक्स<sub>0</sub>) तुल्याकारी से π<sub>1</sub>(वाई, एफ (एक्स<sub>0</sub>)) कहाँ {{nowrap|1=''f'' : ''X'' → ''Y''}} एक समरूपता तुल्यता है और {{nowrap|1=''x''<sub>0</sub> &isin; ''X''.)}}
+* यदि ''X'' और ''Y'' पाथ-कनेक्टेड हैं, तो ''X'' और ''Y'' के [[मौलिक समूह]] आइसोमॉर्फिक हैं, और इसलिए उच्च समरूप समूह हैं। (पथ-जुड़ाव धारणा के बिना, किसी के पास π है<sub>1</sub>(एक्स, -एक्स<sub>0</sub>) तुल्याकारी से π<sub>1</sub>(वाई, f (एक्स<sub>0</sub>)) कहाँ {{nowrap|1=''f'' : ''X'' → ''Y''}} एक समरूपता तुल्यता है और {{nowrap|1=''x''<sub>0</sub> &isin; ''X''.)}}
-टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के एक बीजगणितीय अपरिवर्तनीय का एक उदाहरण जो होमोटॉपी-इनवेरिएंट नहीं है, [[कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित होमोलॉजी]] है (जो मोटे तौर पर बोल रहा है, [[संघनन (गणित)]]गणित) की होमोलॉजी, और कॉम्पैक्टिफिकेशन होमोटॉपी-इनवेरिएंट नहीं है)।
+सांस्थितिक रिक्त स्थान के एक बीजगणितीय अपरिवर्तनीय का एक उदाहरण जो होमोटॉपी-इनवेरिएंट नहीं है, [[कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित होमोलॉजी|कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित होमोलॉg]] है (जो मोटे तौर पर बोल रहा है, [[संघनन (गणित)]]गणित) की होमोलॉg, और कॉम्पैक्टिफिकेशन होमोटॉपी-इनवेरिएंट नहीं है)।
 == वेरिएंट ==
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 === सापेक्ष समरूपता ===
-मौलिक समूह को परिभाषित करने के लिए, किसी को एक उप-स्थान के सापेक्ष समरूपता की धारणा की आवश्यकता होती है। ये समरूपताएं हैं जो उप-स्थान के तत्वों को स्थिर रखती हैं। औपचारिक रूप से: यदि ''f'' और ''g'' ''X'' से ''Y'' तक निरंतर मानचित्र हैं और ''K'' ''X'' का उपसमुच्चय है, तो हम कहते हैं कि ' यदि होमोटॉपी मौजूद है तो 'के' के सापेक्ष 'एफ' और 'जी' होमोटोपिक हैं {{nowrap|1=''H'' : ''X'' &times; [0,&thinsp;1] → ''Y''}} f और g के बीच ऐसा है कि {{nowrap|1=''H''(''k'',&thinsp;''t'') = ''f''(''k'') = ''g''(''k'')}} सभी के लिए {{nowrap|1=''k'' ∈ ''K''}} और {{nowrap|1=''t'' ∈ [0,&thinsp;1].}} साथ ही, यदि g, X से K तक एक [[प्रत्यावर्तन (टोपोलॉजी)]] है और f पहचान मानचित्र है, तो इसे X से K तक एक मजबूत विरूपण वापसी के रूप में जाना जाता है।
+मौलिक समूह को परिभाषित करने के लिए, किसी को एक उप-स्थान के सापेक्ष समरूपता की धारणा की आवश्यकता होती है। ये समरूपताएं हैं जो उप-स्थान के तत्वों को स्थिर रखती हैं। औपचारिक रूप से: यदि ''f'' और ''g'' ''X'' से ''Y'' तक निरंतर मानचित्र हैं और ''K'' ''X'' का उपसमुच्चय है, तो हम कहते हैं कि ' यदि होमोटॉपी मौजूद है तो 'के' के सापेक्ष 'f' और 'g' होमोटोपिक हैं {{nowrap|1=''H'' : ''X'' &times; [0,&thinsp;1] → ''Y''}} f और g के बीच ऐसा है कि {{nowrap|1=''H''(''k'',&thinsp;''t'') = ''f''(''k'') = ''g''(''k'')}} सभी के लिए {{nowrap|1=''k'' ∈ ''K''}} और {{nowrap|1=''t'' ∈ [0,&thinsp;1].}} साथ ही, यदि g, X से K तक एक [[प्रत्यावर्तन (टोपोलॉजी)|प्रत्यावर्तन (सांस्थिति)]] है और f पहचान मानचित्र है, तो इसे X से K तक एक मजबूत विरूपण वापसी के रूप में जाना जाता है।
 जब K एक बिंदु होता है, तो 'पॉइंटेड होमोटॉपी' शब्द का प्रयोग किया जाता है।
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 | footer = The [[unknot]] is not equivalent to the [[trefoil knot]] since one cannot be deformed into the other through a continuous path of homeomorphisms of the ambient space. Thus they are not ambient-isotopic.
 }}
-यदि टोपोलॉजिकल स्पेस X से टोपोलॉजिकल स्पेस Y तक दिए गए दो निरंतर कार्य f और g एम्बेडिंग हैं, तो कोई पूछ सकता है कि क्या उन्हें 'एम्बेडिंग के माध्यम से' जोड़ा जा सकता है। यह 'आइसोटोपी' की अवधारणा को जन्म देता है, जो पहले इस्तेमाल किए गए नोटेशन में एक होमोटॉपी, एच है, जैसे कि प्रत्येक निश्चित टी के लिए, एच(एक्स,-टी) एक एम्बेडिंग देता है।<ref>{{MathWorld|Isotopy|Isotopy}}</ref>
+यदि सांस्थितिक स्थल X से सांस्थितिक स्थल Y तक दिए गए दो निरंतर कार्य f और g अंतःस्थापन हैं, तो कोई पूछ सकता है कि क्या उन्हें 'अंतःस्थापन के माध्यम से' जोड़ा जा सकता है। यह 'आइसोटोपी' की अवधारणा को जन्म देता है, जो पहले इस्तेमाल किए गए नोटेशन में एक होमोटॉपी, एच है, जैसे कि प्रत्येक निश्चित टी के लिए, एच(एक्स,-टी) एक अंतःस्थापन देता है।<ref>{{MathWorld|Isotopy|Isotopy}}</ref>
-एक संबंधित, लेकिन अलग, अवधारणा [[परिवेश समस्थानिक]] की है।
+एक संबंधित, परन्तु अलग, अवधारणा [[परिवेश समस्थानिक]] की है।
-यह आवश्यक है कि दो एम्बेडिंग समस्थानिक हों, यह एक मजबूत आवश्यकता है कि वे होमोटोपिक हों। उदाहरण के लिए, अंतराल [−1, 1] से f(x) = −x द्वारा परिभाषित वास्तविक संख्याओं में नक्शा पहचान g(x) = x के समस्थानिक नहीं है। एफ से पहचान तक किसी भी समरूपता को समापन बिंदुओं का आदान-प्रदान करना होगा, जिसका अर्थ होगा कि उन्हें एक-दूसरे से 'गुजरना' होगा। इसके अलावा, f ने अंतराल के अभिविन्यास को बदल दिया है और g ने नहीं किया है, जो एक समस्थानिक के तहत असंभव है। हालाँकि, नक्शे समरूप हैं; पहचान के लिए f से एक होमोटॉपी H: [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1] H(x, y) = 2yx − x द्वारा दिया गया है।
+यह आवश्यक है कि दो अंतःस्थापन समस्थानिक हों, यह एक मजबूत आवश्यकता है कि वे होमोटोपिक हों। उदाहरण के लिए, अंतराल [−1, 1] से f(x) = −x द्वारा परिभाषित वास्तविक संख्याओं में नक्शा पहचान g(x) = x के समस्थानिक नहीं है। f से पहचान तक किसी भी समरूपता को समापन बिंदुओं का आदान-प्रदान करना होगा, जिसका अर्थ होगा कि उन्हें एक-दूसरे से 'गुजरना' होगा। इसके अलावा, f ने अंतराल के अभिविन्यास को बदल दिया है और g ने नहीं किया है, जो एक समस्थानिक के तहत असंभव है। हालाँकि, नक्शे समरूप हैं; पहचान के लिए f से एक होमोटॉपी H: [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1] H(x, y) = 2yx − x द्वारा दिया गया है।
-यूनिट बॉल के दो होमोमोर्फिम्स (जो एम्बेडिंग के विशेष मामले हैं) जो सीमा पर सहमत हैं, को अलेक्जेंडर की चाल का उपयोग करके समस्थानिक दिखाया जा सकता है। इसी कारण से 'R' में इकाई डिस्क का मानचित्र<sup>2</sup> f(x, y) = (−x, −y) द्वारा परिभाषित मूल बिंदु के चारों ओर 180-डिग्री घुमाव के लिए समस्थानिक है, और इसलिए पहचान मानचित्र और f समस्थानिक हैं क्योंकि वे घूर्णन द्वारा जुड़े हो सकते हैं।
+इकाई बॉल के दो होमोमोर्फिम्स (जो अंतःस्थापन के विशेष मामले हैं) जो सीमा पर सहमत हैं, को अलेक्जेंडर की चाल का उपयोग करके समस्थानिक दिखाया जा सकता है। इसी कारण से 'R' में इकाई चक्र का मानचित्र<sup>2</sup> f(x, y) = (−x, −y) द्वारा परिभाषित मूल बिंदु के चारों ओर 180-डिग्री घुमाव के लिए समस्थानिक है, और इसलिए पहचान मानचित्र और f समस्थानिक हैं क्योंकि वे घूर्णन द्वारा जुड़े हो सकते हैं।
-[[ज्यामितीय टोपोलॉजी]] में - उदाहरण के लिए [[गाँठ सिद्धांत]] में - समस्थानिक के विचार का उपयोग तुल्यता संबंधों के निर्माण के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, कब दो गांठों को समान माना जाना चाहिए? हम दो समुद्री मील लेते हैं, के<sub>1</sub> और के<sub>2</sub>, त्रि-[[आयाम]]ी अंतरिक्ष में। एक गाँठ इस स्थान में एक-आयामी स्थान, स्ट्रिंग (या सर्कल) के लूप का एक एम्बेडिंग है, और यह एम्बेडिंग सर्कल और इसकी छवि के बीच एम्बेडिंग स्पेस में एक होमोमोर्फिज्म देता है। गाँठ तुल्यता की धारणा के पीछे सहज ज्ञान युक्त विचार यह है कि एम्बेडिंग के पथ के माध्यम से एक एम्बेडिंग को दूसरे में विकृत किया जा सकता है: टी = 0 पर शुरू होने वाला एक सतत कार्य के देता है<sub>1</sub> एम्बेडिंग, t =  1 पर समाप्त होने पर K देता है<sub>2</sub> एम्बेडिंग, एम्बेडिंग के अनुरूप सभी मध्यवर्ती मानों के साथ। यह आइसोटोपी की परिभाषा के अनुरूप है। इस संदर्भ में अध्ययन किया गया एक परिवेश समस्थानिक, बड़े स्थान का एक समस्थानिक है, जिसे अंतःस्थापित सबमनीफोल्ड पर इसकी क्रिया के प्रकाश में माना जाता है। नॉट्स के<sub>1</sub> और के<sub>2</sub> समतुल्य माना जाता है जब एक परिवेश समस्थानिक होता है जो K को स्थानांतरित करता है<sub>1</sub> कश्मीर के लिए<sub>2</sub>. यह सामयिक श्रेणी में उपयुक्त परिभाषा है।
+[[ज्यामितीय टोपोलॉजी|ज्यामितीय सांस्थिति]] में - उदाहरण के लिए [[गाँठ सिद्धांत]] में - समस्थानिक के विचार का उपयोग तुल्यता संबंधों के निर्माण के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, कब दो गांठों को समान माना जाना चाहिए? हम दो समुद्री मील लेते हैं, के<sub>1</sub> और के<sub>2</sub>, त्रि-[[आयाम]]ी स्थल में। एक गाँठ इस स्थान में एक-आयामी स्थान, स्ट्रिंग (या सर्कल) के चक्रण का एक अंतःस्थापन है, और यह अंतःस्थापन सर्कल और इसकी छवि के बीच अंतःस्थापन स्थल में एक होमोमोर्फिज्म देता है। गाँठ तुल्यता की धारणा के पीछे सहज ज्ञान युक्त विचार यह है कि अंतःस्थापन के पथ के माध्यम से एक अंतःस्थापन को दूसरे में विकृत किया जा सकता है: टी = 0 पर शुरू होने वाला एक सतत कार्य के देता है<sub>1</sub> अंतःस्थापन, t =  1 पर समाप्त होने पर K देता है<sub>2</sub> अंतःस्थापन, अंतःस्थापन के अनुरूप सभी मध्यवर्ती मानों के साथ। यह आइसोटोपी की परिभाषा के अनुरूप है। इस संदर्भ में अध्ययन किया गया एक परिवेश समस्थानिक, बड़े स्थान का एक समस्थानिक है, जिसे अंतःस्थापित सबमनीफोल्ड पर इसकी क्रिया के प्रकाश में माना जाता है। नॉट्स के<sub>1</sub> और के<sub>2</sub> समतुल्य माना जाता है जब एक परिवेश समस्थानिक होता है जो K को स्थानांतरित करता है<sub>1</sub> कश्मीर के लिए<sub>2</sub>. यह सामयिक श्रेणी में उपयुक्त परिभाषा है।
-समान भाषा का उपयोग समकक्ष अवधारणा के संदर्भ में किया जाता है जहां किसी के पास समानता की एक मजबूत धारणा होती है। उदाहरण के लिए, दो चिकनी एम्बेडिंग के बीच एक पथ एक चिकनी समस्थानिक है।
+समान भाषा का उपयोग समकक्ष अवधारणा के संदर्भ में किया जाता है जहां किसी के पास समानता की एक मजबूत धारणा होती है। उदाहरण के लिए, दो चिकनी अंतःस्थापन के बीच एक पथ एक चिकनी समस्थानिक है।
 === [[timelike]] होमोटॉपी ===
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 होमोटॉपी से जुड़ी एक और उपयोगी संपत्ति [[होमोटॉपी एक्सटेंशन संपत्ति]] है,
-जो कुछ सेट के सबसेट से सेट तक दो कार्यों के बीच एक होमोटॉपी के विस्तार की विशेषता है। [[co[[fibration]]]] से निपटने के दौरान यह उपयोगी है।
+जो कुछ समुच्चय के सबसमुच्चय से समुच्चय तक दो कार्यों के बीच एक होमोटॉपी के विस्तार की विशेषता है। [[co[[fibration]]]] से निपटने के दौरान यह उपयोगी है।
 === समूह ===
 {{main|Homotopy group}}
-दो कार्यों के संबंध के बाद से <math>f, g\colon X\to Y</math> एक उपसमष्टि के सापेक्ष होमोटोपिक होना एक तुल्यता संबंध है, हम एक निश्चित X और Y के बीच के मानचित्रों के [[तुल्यता वर्ग]]ों को देख सकते हैं। यदि हम तय करते हैं <math>X = [0,1]^n</math>, इकाई अंतराल [0, 1] कार्तीय उत्पाद स्वयं के साथ n बार, और हम इसकी [[सीमा (टोपोलॉजी)]] लेते हैं <math>\partial([0,1]^n)</math> एक उप-स्थान के रूप में, तब तुल्यता वर्ग एक समूह बनाते हैं, जिसे निरूपित किया जाता है <math>\pi_n(Y,y_0)</math>, कहाँ <math>y_0</math> उप-स्थान की छवि में है <math>\partial([0,1]^n)</math>.
+दो कार्यों के संबंध के बाद से <math>f, g\colon X\to Y</math> एक उपसमष्टि के सापेक्ष होमोटोपिक होना एक तुल्यता संबंध है, हम एक निश्चित X और Y के बीच के मानचित्रों के [[तुल्यता वर्ग]]ों को देख सकते हैं। यदि हम तय करते हैं <math>X = [0,1]^n</math>, इकाई अंतराल [0, 1] कार्तीय उत्पाद स्वयं के साथ n बार, और हम इसकी [[सीमा (टोपोलॉजी)|सीमा (सांस्थिति)]] लेते हैं <math>\partial([0,1]^n)</math> एक उप-स्थान के रूप में, तब तुल्यता वर्ग एक समूह बनाते हैं, जिसे निरूपित किया जाता है <math>\pi_n(Y,y_0)</math>, कहाँ <math>y_0</math> उप-स्थान की छवि में है <math>\partial([0,1]^n)</math>.
 हम एक समतुल्य वर्ग की क्रिया को दूसरे पर परिभाषित कर सकते हैं, और इस प्रकार हमें एक समूह प्राप्त होता है। इन समूहों को होमोटोपी समूह कहा जाता है। यदि <math>n = 1</math>, इसे मौलिक समूह भी कहा जाता है।
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 === होमोटॉपी श्रेणी ===
 {{Main articles|Homotopy category}}
-समरूपता के विचार को [[श्रेणी सिद्धांत]] की एक औपचारिक श्रेणी में बदला जा सकता है। [[होमोटॉपी श्रेणी]] वह श्रेणी है जिसकी वस्तुएँ टोपोलॉजिकल स्पेस हैं, और जिनकी आकृति विज्ञान निरंतर मानचित्रों के होमोटोपी तुल्यता वर्ग हैं। इस श्रेणी में दो टोपोलॉजिकल स्पेस 'एक्स' और 'वाई' आइसोमोर्फिक हैं यदि और केवल अगर वे होमोटोपी-समतुल्य हैं। फिर टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी पर एक [[ऑपरेटर]] होमोटॉपी इनवेरिएंट है यदि इसे होमोटॉपी श्रेणी पर एक फ़ैक्टर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
+समरूपता के विचार को [[श्रेणी सिद्धांत]] की एक औपचारिक श्रेणी में बदला जा सकता है। [[होमोटॉपी श्रेणी]] वह श्रेणी है जिसकी वस्तुएँ सांस्थितिक स्थल हैं, और जिनकी आकृति विज्ञान निरंतर मानचित्रों के होमोटोपी तुल्यता वर्ग हैं। इस श्रेणी में दो सांस्थितिक स्थल 'एक्स' और 'वाई' आइसोमोर्फिक हैं यदि और केवल अगर वे होमोटोपी-समतुल्य हैं। फिर सांस्थितिक रिक्त स्थान की श्रेणी पर एक [[ऑपरेटर]] होमोटॉपी इनवेरिएंट है यदि इसे होमोटॉपी श्रेणी पर एक फ़ैक्टर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
-उदाहरण के लिए, होमोलॉजी समूह एक ''फंक्शनल'' होमोटॉपी इनवेरिएंट हैं: इसका मतलब है कि अगर ''f'' और ''g'' ''X'' से ''Y'' होमोटोपिक हैं, तो [[समूह समरूपता]] प्रेरित होमोलॉजी समूहों के स्तर पर 'एफ' और 'जी' द्वारा समान हैं: एच<sub>''n''</sub>(एफ) = एच<sub>''n''</sub>(जी): एच<sub>''n''</sub>(एक्स) → एच<sub>''n''</sub>(वाई) सभी एन के लिए। इसी तरह, यदि X और Y अतिरिक्त जुड़ाव में हैं, और f और g के बीच की होमोटॉपी को इंगित किया गया है, तो होमोटोपी समूहों के स्तर पर f और g द्वारा प्रेरित समूह समरूपता भी समान हैं: π<sub>''n''</sub>(एफ) = पी<sub>''n''</sub>(जी): पी<sub>''n''</sub>(एक्स) → पी<sub>''n''</sub>(और)।
+उदाहरण के लिए, होमोलॉg समूह एक ''फंक्शनल'' होमोटॉपी इनवेरिएंट हैं: इसका मतलब है कि अगर ''f'' और ''g'' ''X'' से ''Y'' होमोटोपिक हैं, तो [[समूह समरूपता]] प्रेरित होमोलॉg समूहों के स्तर पर 'f' और 'g' द्वारा समान हैं: एच<sub>''n''</sub>(f) = एच<sub>''n''</sub>(g): एच<sub>''n''</sub>(एक्स) → एच<sub>''n''</sub>(वाई) सभी एन के लिए। इसी तरह, यदि X और Y अतिरिक्त जुड़ाव में हैं, और f और g के बीच की होमोटॉपी को इंगित किया गया है, तो होमोटोपी समूहों के स्तर पर f और g द्वारा प्रेरित समूह समरूपता भी समान हैं: π<sub>''n''</sub>(f) = पी<sub>''n''</sub>(g): पी<sub>''n''</sub>(एक्स) → पी<sub>''n''</sub>(और)।
 == अनुप्रयोग ==
 समरूपता की अवधारणा के आधार पर, [[बीजगणितीय समीकरण]]ों और अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियों का विकास किया गया है। बीजगणितीय समीकरणों की विधियों में समरूपता निरंतरता विधि शामिल है<ref>{{Cite book |last=Allgower |first=E. L. |url=https://www.worldcat.org/oclc/52377653 |title=Introduction to numerical continuation methods |date=2003 |publisher=SIAM |others=Kurt Georg |isbn=0-89871-544-X |location=Philadelphia |oclc=52377653}}</ref> और निरंतरता विधि ([[संख्यात्मक निरंतरता]] देखें)। विभेदक समीकरणों के तरीकों में होमोटॉपी विश्लेषण पद्धति शामिल है।
-होमोटॉपी सिद्धांत को होमोलॉजी (गणित) के लिए एक नींव के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है: होमोटॉपी समतुल्यता तक एक्स के मैपिंग द्वारा स्पेस एक्स पर एक कोहोलॉजी फ़ैक्टर का प्रतिनिधित्व करने योग्य फ़ंक्टर हो सकता है। उदाहरण के लिए, किसी भी एबेलियन समूह जी और किसी भी आधारित सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स एक्स के लिए, सेट <math>[X,K(G,n)]</math> एक्स से ईलेनबर्ग-मैकलेन स्पेस पर आधारित नक्शों के आधारित होमोटॉपी वर्गों का <math>K(G,n)</math> एन-वें विलक्षण कोहोलॉजी समूह के साथ प्राकृतिक आपत्ति में है <math>H^n(X,G)</math> एक का कहना है कि [[स्पेक्ट्रम (टोपोलॉजी)]] | ईलेनबर्ग-मैकलेन स्पेस का ओमेगा-स्पेक्ट्रम जी में गुणांक के साथ एकवचन कोहोलॉजी के लिए स्थान का प्रतिनिधित्व कर रहा है।
+होमोटॉपी सिद्धांत को होमोलॉg (गणित) के लिए एक नींव के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है: होमोटॉपी समतुल्यता तक एक्स के मैपिंग द्वारा स्थल एक्स पर एक कोहोलॉg फ़ैक्टर का प्रतिनिधित्व करने योग्य फ़ंक्टर हो सकता है। उदाहरण के लिए, किसी भी एबेलियन समूह g और किसी भी आधारित सीडब्ल्यू-परिसरों एक्स के लिए, समुच्चय <math>[X,K(G,n)]</math> एक्स से ईलेनबर्ग-मैकलेन स्थल पर आधारित नक्शों के आधारित होमोटॉपी वर्गों का <math>K(G,n)</math> एन-वें विलक्षण कोहोलॉg समूह के साथ प्राकृतिक आपत्ति में है <math>H^n(X,G)</math> एक का कहना है कि [[स्पेक्ट्रम (टोपोलॉजी)|स्पेक्ट्रम (सांस्थिति)]] | ईलेनबर्ग-मैकलेन स्थल का ओमेगा-स्पेक्ट्रम g में गुणांक के साथ एकवचन कोहोलॉg के लिए स्थान का प्रतिनिधित्व कर रहा है।
 == यह भी देखें ==

v t e Topology
Fields	General (point-set) Algebraic Combinatorial Continuum Differential Geometric low-dimensional Homology cohomology Set-theoretic Digital
Key concepts	Open set / Closed set Interior Continuity Space compact Connected Hausdorff metric uniform Homotopy homotopy group fundamental group Simplicial complex CW complex Polyhedral complex Manifold Bundle (mathematics) Second-countable space Cobordism
Metrics and properties	Euler characteristic Betti number Winding number Chern number Orientability
Key results	Banach fixed-point theorem De Rham's theorem Invariance of domain Poincaré conjecture Tychonoff's theorem Urysohn's lemma
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Revision as of 22:13, 18 February 2023

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गुण

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