विभेदक ऑपरेटर

File:Laplace's equation on an annulus.svg

वलय पर परिभाषित हार्मोनिक फलन। हार्मोनिक फलन वास्तव में वे फलन होते हैं जो लाप्लास संकारक के कर्नेल में स्थित होते हैं, जो एक महत्वपूर्ण अवकल संकारक है।

गणित में, अवकल संकारक एक संकारक होता है जिसे अवकल संकारक के फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह सहायक है, पहले अंकन के रूप में, अवकलन को एक संक्षेप संकारक के रूप में माना जाता है जो फलन को स्वीकार करता है और एक अन्य फलन (कंप्यूटर विज्ञान में उच्च-क्रम फलन की शैली में) देता है।

यह लेख मुख्य रूप से रैखिक अवकल संकारकों पर विचार करता है, जो कि सबसे सामान्य प्रकार हैं। हालांकि, अरैखिक अवकल संकारक भी उपस्थित हैं, जैसे श्वार्जियन व्युत्पन्न।

परिभाषा

क्रम-$m$ रैखिक अवकल संकारक फलन स्थान ${\mathcal {F}}_{1}$ से दूसरे फलन स्थान ${\mathcal {F}}_{2}$ तक का मानचित्र $A$ है जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है-

$$A=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,$$

जहाँ $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का बहु-सूचकांक है, $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$ और प्रत्येक अल्फ़ा के लिए, $\alpha$, $a_{\alpha }(x)$ n-आयामी स्थान में कुछ खुले क्षेत्र पर एक फलन है।संकारक $D^{\alpha }$ की व्याख्या इस प्रकार की जाती है

$$D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}$$

इस प्रकार फलन $f\in {\mathcal {F}}_{1}$ के लिए-

$$Af=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}$$

दो फलनों $D(g,f)$ पर काम करने वाले अवकल संकारक को द्विविभेद संकारक भी कहा जाता है।

अंकन

सबसे सामान्य अवकल संकारक व्युत्पन्न लेने की क्रिया है। चर x के संबंध में प्रथम व्युत्पन्न लेने के लिए सामान्य संकेतन में सम्मिलित हैं-

${d \over dx}$, $D$, $D_x,$