प्रवाह (गणित): Difference between revisions

Revision as of 13:37, 7 February 2023

लंगर के अंतर समीकरण द्वारा निर्दिष्ट चरण स्थान में प्रवाह है। क्षैतिज अक्ष पर, पेंडुलम की स्थिति, और ऊर्ध्वाधर पर इसका वेग।

गणित में, प्रवाह द्रव में कणों की गति के विचार को औपचारिक रूप देता है। अभियांत्रिकी और भौतिकी सहित विज्ञान में प्रवाह सर्वव्यापी हैं। साधारण अवकल समीकरणों के अध्ययन के लिए प्रवाह की धारणा आधारभूत है। अनौपचारिक रूप से, प्रवाह को समय के साथ बिंदुओं की निरंतर गति के रूप में देखा जा सकता है। अधिक औपचारिक रूप से, प्रवाह एक समुच्चय (गणित) पर वास्तविक संख्याओं की समूह क्रिया (गणित) है।

सदिश प्रवाह का विचार, अर्थात, सदिश क्षेत्र द्वारा निर्धारित प्रवाह, अंतर सांस्थिति (टोपोलॉजी), रीमैनियन ज्यामिति और लाई समूहों के क्षेत्रों में होता है। सदिश प्रवाह के विशिष्ट उदाहरणों में जियोडेसिक प्रवाह, हैमिल्टनियन प्रवाह, रिक्की प्रवाह, माध्य वक्रता प्रवाह और एनोसोव प्रवाह सम्मिलित हैं। यादृच्छिक चर और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की प्रणालियों के लिए प्रवाह को भी परिभाषित किया जा सकता है, और एर्गोडिक डायनेमिक प्रणाली के अध्ययन में होता है। इनमें से सबसे प्रसिद्ध संभवतया बरनौली प्रवाह है।

औपचारिक परिभाषा

समुच्चय $X$ पर प्रवाह $X$ वास्तविक संख्याओं के योगात्मक समूह की एक समूह क्रिया हैI अधिक स्पष्ट रूप से, प्रवाह एक प्रतिचित्रण (मैपिंग_गणित) है

\varphi :X\times \mathbb {R} \to X

ऐसा कि, सभी के लिए $x \in X$ और सभी वास्तविक संख्याएँ $s$ और $t$ ,

{\begin{aligned}&\varphi (x,0)=x;\\&\varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,s+t).\end{aligned}}

यह प्रथागत $φ t (x)$ के बदले में $φ (x, t)$ , ताकि उपरोक्त समीकरणों को व्यक्त किया जा सके $\varphi ^{0}={\text{Id}}$ (तत्समक फलन) और $\varphi ^{s}\circ \varphi ^{t}=\varphi ^{s+t}$ (समूह नियम) है। फिर, सभी के लिए $t\in \mathbb {R} ,$ मानचित्रण $\varphi ^{t}:X\to X$ व्युत्क्रम के साथ आक्षेप है $\varphi ^{-t}:X\to X.$ यह उपरोक्त परिभाषा और वास्तविक प्राचल से अनुसरण करता है $t$ कार्य पुनरावृत्ति के रूप में सामान्यीकृत कार्यात्मक शक्ति के रूप में लिया जा सकता है।

प्रवाह को साधारणतया समुच्चय पर प्रस्तुत गणितीय संरचनाओं के साथ संगत होने की आवश्यकता होती है $X$ . विशेष रूप से, यदि $X$ तब एक टोपोलॉजिकल स्पेस से समविभव है $φ$ साधारणतया निरंतर कार्य करने की आवश्यकता होती है। यदि $X$ एक अलग करने योग्य कई गुना से समविभव है, फिर $φ$ साधारणतया अलग-अलग फलन की आवश्यकता होती है। इन मामलों में प्रवाह क्रमशः होमोमोर्फिज्म और डिफियोमोर्फिज्म का एक-प्राचल समूह बनाता है।

कुछ स्थितियों में स्थानीय प्रवाहों पर भी विचार किया जा सकता है, जो केवल कुछ उपसमुच्चय में परिभाषित हैं

\mathrm {dom} (\varphi )=\{(x,t)\ |\ t\in [a_{x},b_{x}],\ a_{x}<0<b_{x},\ x\in X\}\subset X\times \mathbb {R}

φ का प्रवाह प्रभावक्षेत्र कहा जाता है। सदिश क्षेत्रों के प्रवाह के मामले में प्रायः ऐसा होता है।

वैकल्पिक अंकन

अभियांत्रिकी, भौतिकी और अंतर समीकरणों के अध्ययन सहित कई क्षेत्रों में यह बहुत आम है, एक संकेतन का उपयोग करने के लिए जो प्रवाह को अंतर्निहित बनाता है। इस प्रकार, $x (t)$ के लिए लिखा गया है $\varphi ^{t}(x_{0}),$ और कोई कह सकता है कि चर $x$ समय पर निर्भर करता है $t$ और प्रारंभिक स्थिति $x = x 0$ . उदाहरण नीचे दिए गए हैं।

सदिश क्षेत्र फ्लो कर्व्स के मामले में $V$ एक स्मूथ मैनिफोल्ड पर $X$ , प्रवाह को प्रायः इस तरह से निरूपित किया जाता है कि इसके जनरेटर को स्पष्ट किया जाता है। उदाहरण के लिए,

Φ_{V} : X \times R \to X; (x, t) \mapsto

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 [[File:PenduleEspaceDesPhases.png|thumb|[[लंगर]] के अंतर समीकरण द्वारा निर्दिष्ट [[चरण स्थान]] में प्रवाह है। क्षैतिज अक्ष पर, पेंडुलम की स्थिति, और ऊर्ध्वाधर पर इसका वेग।]][[गणित]] में, '''प्रवाह''' द्रव में कणों की गति के विचार को औपचारिक रूप देता है। [[अभियांत्रिकी]] और भौतिकी सहित विज्ञान में प्रवाह सर्वव्यापी हैं। साधारण अवकल समीकरणों के अध्ययन के लिए प्रवाह की धारणा आधारभूत है। अनौपचारिक रूप से, प्रवाह को समय के साथ बिंदुओं की निरंतर गति के रूप में देखा जा सकता है। अधिक औपचारिक रूप से, प्रवाह एक [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] पर [[वास्तविक संख्या]]ओं की [[समूह क्रिया (गणित)]] है।
-[[सदिश कलन|सदिश]] प्रवाह का विचार, अर्थात, सदिश क्षेत्र द्वारा निर्धारित प्रवाह, अंतर सांस्थिति (टोपोलॉजी), [[रीमैनियन कई गुना|रीमैनियन]] [[ज्यामिति]] और लाई समूहों के क्षेत्रों में होता है। सदिश प्रवाह के विशिष्ट उदाहरणों में जियोडेसिक प्रवाह, हैमिल्टनियन प्रवाह, रिक्की प्रवाह, माध्य वक्रता प्रवाह और एनोसोव प्रवाह सम्मिलित हैं। यादृच्छिक चर और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की प्रणालियों के लिए प्रवाह को भी परिभाषित किया जा सकता है, और एर्गोडिक डायनेमिक सिस्टम के अध्ययन में होता है। इनमें से सबसे प्रसिद्ध शायद [[बरनौली प्रवाह]] है।
+[[सदिश कलन|सदिश]] प्रवाह का विचार, अर्थात, सदिश क्षेत्र द्वारा निर्धारित प्रवाह, अंतर सांस्थिति (टोपोलॉजी), [[रीमैनियन कई गुना|रीमैनियन]] [[ज्यामिति]] और लाई समूहों के क्षेत्रों में होता है। सदिश प्रवाह के विशिष्ट उदाहरणों में जियोडेसिक प्रवाह, हैमिल्टनियन प्रवाह, रिक्की प्रवाह, माध्य वक्रता प्रवाह और एनोसोव प्रवाह सम्मिलित हैं। यादृच्छिक चर और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की प्रणालियों के लिए प्रवाह को भी परिभाषित किया जा सकता है, और एर्गोडिक डायनेमिक प्रणाली के अध्ययन में होता है। इनमें से सबसे प्रसिद्ध संभवतया [[बरनौली प्रवाह]] है।
 == औपचारिक परिभाषा ==
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 यह प्रथागत {{math|''φ<sup>t</sup>''(''x'')}} के बदले में {{math|''φ''(''x'', ''t'')}}, ताकि उपरोक्त समीकरणों को व्यक्त किया जा सके <math>\varphi^0 = \text{Id}</math> ([[पहचान समारोह|तत्समक फलन]]) और <math>\varphi^s \circ \varphi^t = \varphi^{s+t}</math> (समूह नियम) है। फिर, सभी के लिए {{tmath|t \isin \R,}} मानचित्रण {{tmath|\varphi^t: X \to X}} व्युत्क्रम के साथ आक्षेप है {{tmath|\varphi^{-t}: X \to X.}} यह उपरोक्त परिभाषा और वास्तविक प्राचल से अनुसरण करता है {{mvar|t}} कार्य पुनरावृत्ति के रूप में सामान्यीकृत [[कार्यात्मक शक्ति]] के रूप में लिया जा सकता है।
-प्रवाह को साधारणतया समुच्चय पर प्रस्तुत [[गणितीय संरचना]]ओं के साथ संगत होने की आवश्यकता होती है {{mvar|X}}. विशेष रूप से, अगर {{mvar|X}} तब एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] से समविभव है {{mvar|φ}} साधारणतया [[निरंतर कार्य]] करने की आवश्यकता होती है। अगर {{mvar|X}} एक अलग करने योग्य कई गुना से समविभव है, फिर {{mvar|φ}} साधारणतया अलग-अलग फलन की आवश्यकता होती है। इन मामलों में प्रवाह क्रमशः होमोमोर्फिज्म और डिफियोमोर्फिज्म का [[एक-पैरामीटर समूह|एक-प्राचल समूह]] बनाता है।
+प्रवाह को साधारणतया समुच्चय पर प्रस्तुत [[गणितीय संरचना]]ओं के साथ संगत होने की आवश्यकता होती है {{mvar|X}}. विशेष रूप से, यदि {{mvar|X}} तब एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] से समविभव है {{mvar|φ}} साधारणतया [[निरंतर कार्य]] करने की आवश्यकता होती है। यदि {{mvar|X}}  एक अलग करने योग्य कई गुना से समविभव है, फिर {{mvar|φ}} साधारणतया अलग-अलग फलन की आवश्यकता होती है। इन मामलों में प्रवाह क्रमशः होमोमोर्फिज्म और डिफियोमोर्फिज्म का [[एक-पैरामीटर समूह|एक-प्राचल समूह]] बनाता है।
 कुछ स्थितियों में स्थानीय प्रवाहों पर भी विचार किया जा सकता है, जो केवल कुछ उपसमुच्चय में परिभाषित हैं
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 === वैकल्पिक अंकन ===
 अभियांत्रिकी, भौतिकी और [[अंतर समीकरण]]ों के अध्ययन सहित कई क्षेत्रों में यह बहुत आम है, एक संकेतन का उपयोग करने के लिए जो प्रवाह को अंतर्निहित बनाता है। इस प्रकार, {{math|''x''(''t'')}} के लिए लिखा गया है {{tmath|\varphi^t(x_0),}} और कोई कह सकता है कि चर {{mvar|x}} समय पर निर्भर करता है {{mvar|t}} और प्रारंभिक स्थिति {{math|1= ''x'' = ''x''<sub>0</sub>}}. उदाहरण नीचे दिए गए हैं।
 सदिश क्षेत्र फ्लो कर्व्स के मामले में {{mvar|V}} एक स्मूथ मैनिफोल्ड पर {{mvar|X}}, प्रवाह को प्रायः इस तरह से निरूपित किया जाता है कि इसके जनरेटर को स्पष्ट किया जाता है। उदाहरण के लिए,
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 तब {{math|'''''y'''''(''t'')}} समय-स्वतंत्र प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान है
 :<math> \dot{\boldsymbol{y}}(s) = \boldsymbol{G}(\boldsymbol{y}(s)), \qquad \boldsymbol{y}(0)=(\boldsymbol{x}_0,t_0)</math>
-अगर और केवल अगर {{math|'''''x'''''(''t'')}} मूल समय-निर्भर प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान है। इसके अतिरिक्त, फिर मैपिंग {{mvar|φ}} पूर्णतया समय-स्वतंत्र सदिश क्षेत्र का प्रवाह है {{mvar|'''G'''}}.
+यदि और केवल यदि {{math|'''''x'''''(''t'')}} मूल समय-निर्भर प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान है। इसके अतिरिक्त, फिर मैपिंग {{mvar|φ}} पूर्णतया समय-स्वतंत्र सदिश क्षेत्र का प्रवाह है {{mvar|'''G'''}}.
 === मैनिफोल्ड्स पर सदिश क्षेत्रों का प्रवाह ===
-टाइम-इंडिपेंडेंट और टाइम-डिपेंडेंट सदिश क्षेत्र के प्रवाह को स्मूथ मैनिफोल्ड्स पर परिभाषित किया गया है, ठीक उसी तरह जैसे वे यूक्लिडियन स्पेस पर परिभाषित हैं। {{tmath|\R^n}} और उनका स्थानीय व्यवहार समान है। हालांकि, एक स्मूथ मैनिफोल्ड की वैश्विक टोपोलॉजिकल संरचना दृढ़ता से प्रकट होती है कि यह किस प्रकार के वैश्विक सदिश क्षेत्रों का समर्थन कर सकता है, और स्मूथ मैनिफोल्ड पर सदिश क्षेत्रों का प्रवाह वास्तव में अंतर टोपोलॉजी में एक महत्वपूर्ण उपकरण है। डायनेमिक सिस्टम में अधिकांश अध्ययन स्मूथ मैनिफोल्ड्स पर किए जाते हैं, जिन्हें अनुप्रयोगों में प्राचल स्पेस के रूप में माना जाता है।
+टाइम-इंडिपेंडेंट और टाइम-डिपेंडेंट सदिश क्षेत्र के प्रवाह को स्मूथ मैनिफोल्ड्स पर परिभाषित किया गया है, ठीक उसी तरह जैसे वे यूक्लिडियन स्पेस पर परिभाषित हैं। {{tmath|\R^n}} और उनका स्थानीय व्यवहार समान है। हालांकि, एक स्मूथ मैनिफोल्ड की वैश्विक टोपोलॉजिकल संरचना दृढ़ता से प्रकट होती है कि यह किस प्रकार के वैश्विक सदिश क्षेत्रों का समर्थन कर सकता है, और स्मूथ मैनिफोल्ड पर सदिश क्षेत्रों का प्रवाह वास्तव में अंतर टोपोलॉजी में एक महत्वपूर्ण उपकरण है। डायनेमिक प्रणाली में अधिकांश अध्ययन स्मूथ मैनिफोल्ड्स पर किए जाते हैं, जिन्हें अनुप्रयोगों में प्राचल स्पेस के रूप में माना जाता है।
 औपचारिक रूप से:  <math>\mathcal{M}</math> एक अलग करने योग्य कई गुना हो। होने देना <math>\mathrm{T}_p \mathcal{M}</math> एक बिंदु के [[स्पर्शरेखा स्थान]] को निरूपित करें <math>p \in \mathcal{M}.</math> होने देना <math>\mathrm{T}\mathcal{M}</math> पूर्ण स्पर्शरेखा कई गुना हो; वह है, <math>\mathrm{T}\mathcal{M} = \cup_{p\in\mathcal{M}}\mathrm{T}_p\mathcal{M}.</math> होने देना
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 === बरनौली प्रवाह ===
-एर्गोडिक डायनेमिक सिस्टम, यानी यादृच्छिकता प्रदर्शित करने वाली प्रणालियाँ, प्रवाह को भी प्रदर्शित करती हैं। इनमें से सबसे प्रसिद्ध शायद बरनौली प्रवाह है। [[ऑर्नस्टीन समरूपता प्रमेय]] कहता है कि, किसी दिए गए [[कोलमोगोरोव एन्ट्रापी]] के लिए {{mvar|H}}, एक प्रवाह उपस्थित है {{math|''φ''(''x'', ''t'')}}, बर्नौली प्रवाह कहा जाता है, जैसे समय पर प्रवाह {{math|1=''t'' = 1}}, अर्थात {{math| ''φ''(''x'', 1)}}, [[बरनौली पारी|बरनौली प्रवाह]] है।
+एर्गोडिक डायनेमिक प्रणाली, यानी यादृच्छिकता प्रदर्शित करने वाली प्रणालियाँ, प्रवाह को भी प्रदर्शित करती हैं। इनमें से सबसे प्रसिद्ध संभवतया बरनौली प्रवाह है। [[ऑर्नस्टीन समरूपता प्रमेय]] कहता है कि, किसी दिए गए [[कोलमोगोरोव एन्ट्रापी]] के लिए {{mvar|H}}, एक प्रवाह उपस्थित है {{math|''φ''(''x'', ''t'')}}, बर्नौली प्रवाह कहा जाता है, जैसे समय पर प्रवाह {{math|1=''t'' = 1}}, अर्थात {{math| ''φ''(''x'', 1)}}, [[बरनौली पारी|बरनौली प्रवाह]] है।
 इसके अतिरिक्त, यह प्रवाह अद्वितीय है, समय के निरंतर पुनर्विक्रय तक है। यदि {{math| ''ψ''(''x'', ''t'')}}, उसी एंट्रॉपी के साथ एक और प्रवाह है, फिर {{math|''ψ''(''x'', ''t'') {{=}} ''φ''(''x'', ''t'')}}, कुछ स्थिर के लिए {{mvar|c}}. यहाँ विशिष्टता और समरूपता की धारणा गतिशील प्रणालियों के समरूपतावाद की है। सिनाई के बिलियर्ड्स और एनोसोव प्रवाह सहित कई गतिशील प्रणालियां बर्नौली शिफ्टों के लिए आइसोमॉर्फिक हैं।

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