प्रवाह (गणित): Difference between revisions

Revision as of 00:20, 7 February 2023

एक लंगर के अंतर समीकरण द्वारा निर्दिष्ट चरण स्थान में प्रवाह। क्षैतिज अक्ष पर, पेंडुलम की स्थिति, और ऊर्ध्वाधर पर इसका वेग।

गणित में, प्रवाह द्रव में कणों की गति के विचार को औपचारिक रूप देता है। अभियांत्रिकी और भौतिकी सहित विज्ञान में प्रवाह सर्वव्यापी हैं। साधारण अवकल समीकरणों के अध्ययन के लिए प्रवाह की धारणा आधारभूत है। अनौपचारिक रूप से, प्रवाह को समय के साथ बिंदुओं की निरंतर गति के रूप में देखा जा सकता है। अधिक औपचारिक रूप से, प्रवाह एक समुच्चय (गणित) पर वास्तविक संख्याओं की समूह क्रिया (गणित) है।

सदिश प्रवाह का विचार, अर्थात, सदिश क्षेत्र द्वारा निर्धारित प्रवाह, अंतर सांस्थिति (टोपोलॉजी), रीमैनियन ज्यामिति और लाई समूहों के क्षेत्रों में होता है। सदिश प्रवाह के विशिष्ट उदाहरणों में जियोडेसिक प्रवाह, हैमिल्टनियन प्रवाह, रिक्की प्रवाह, माध्य वक्रता प्रवाह और एनोसोव प्रवाह शामिल हैं। यादृच्छिक चर और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की प्रणालियों के लिए प्रवाह को भी परिभाषित किया जा सकता है, और एर्गोडिक डायनेमिक सिस्टम के अध्ययन में होता है। इनमें से सबसे प्रसिद्ध शायद बरनौली प्रवाह है।

औपचारिक परिभाषा

समुच्चय $X$ पर प्रवाह $X$ वास्तविक संख्याओं के योगात्मक समूह की एक समूह क्रिया हैI अधिक स्पष्ट रूप से, प्रवाह एक प्रतिचित्रण (मैपिंग_गणित) है

\varphi :X\times \mathbb {R} \to X

ऐसा कि, सभी के लिए $x \in X$ और सभी वास्तविक संख्याएँ $s$ और $t$ ,

{\begin{aligned}&\varphi (x,0)=x;\\&\varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,s+t).\end{aligned}}

लिखने का रिवाज है $φ t (x)$ के बजाय $φ (x, t)$ , ताकि उपरोक्त समीकरणों को व्यक्त किया जा सके $\varphi ^{0}={\text{Id}}$ (पहचान समारोह) और $\varphi ^{s}\circ \varphi ^{t}=\varphi ^{s+t}$ (समूह कानून)। फिर, सभी के लिए $t\in \mathbb {R} ,$ मानचित्रण $\varphi ^{t}:X\to X$ व्युत्क्रम के साथ एक आक्षेप है $\varphi ^{-t}:X\to X.$ यह उपरोक्त परिभाषा और वास्तविक पैरामीटर से अनुसरण करता है $t$ कार्य पुनरावृत्ति के रूप में सामान्यीकृत कार्यात्मक शक्ति के रूप में लिया जा सकता है।

प्रवाह को आमतौर पर समुच्चय पर प्रस्तुत गणितीय संरचनाओं के साथ संगत होने की आवश्यकता होती है $X$ . विशेष रूप से, अगर $X$ तब एक टोपोलॉजिकल स्पेस से लैस है $φ$ आमतौर पर निरंतर कार्य करने की आवश्यकता होती है। अगर $X$ एक अलग करने योग्य कई गुना से लैस है, फिर $φ$ आमतौर पर अलग-अलग फ़ंक्शन होने की आवश्यकता होती है। इन मामलों में प्रवाह क्रमशः होमोमोर्फिज्म और डिफियोमोर्फिज्म का एक-पैरामीटर समूह बनाता है।

कुछ स्थितियों में कोई भी विचार कर सकता हैlocal flowएस, जो केवल कुछ सबसमुच्चय में परिभाषित हैं

\mathrm {dom} (\varphi )=\{(x,t)\ |\ t\in [a_{x},b_{x}],\ a_{x}<0<b_{x},\ x\in X\}\subset X\times \mathbb {R}

इसको कॉल किया गयाflow domainका $φ$ . यह अक्सर वेक्टर फ़ील्ड # फ्लो कर्व्स के मामले में होता है।

वैकल्पिक अंकन

अभियांत्रिकी, भौतिकी और अंतर समीकरणों के अध्ययन सहित कई क्षेत्रों में यह बहुत आम है, एक संकेतन का उपयोग करने के लिए जो प्रवाह को अंतर्निहित बनाता है। इस प्रकार, $x (t)$ के लिए लिखा गया है $\varphi ^{t}(x_{0}),$ और कोई कह सकता है कि चर $x$ समय पर निर्भर करता है $t$ और प्रारंभिक स्थिति $x = x 0$ . उदाहरण नीचे दिए गए हैं।

वेक्टर फील्ड # फ्लो कर्व्स के मामले में $V$ एक चिकने मैनिफोल्ड पर $X$ , प्रवाह को अक्सर इस तरह से निरूपित किया जाता है कि इसके जनरेटर को स्पष्ट किया जाता है। उदाहरण के लिए,

\Phi _{V}\colon X\times \mathbb {R} \to X;\qquad (x,t)\mapsto \Phi _{V}^{t}(x).

परिक्रमा

दिया गया $x$ में $X$ , समुच्चय

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 {{short description|Motion of particles in a fluid}}
 {{for|flows in graph theory|flow network}}
-{{One source|date=May 2020}}
+[[File:PenduleEspaceDesPhases.png|thumb|एक [[लंगर]] के अंतर समीकरण द्वारा निर्दिष्ट [[चरण स्थान]] में प्रवाह। क्षैतिज अक्ष पर, पेंडुलम की स्थिति, और ऊर्ध्वाधर पर इसका वेग।]][[गणित]] में, '''प्रवाह''' द्रव में कणों की गति के विचार को औपचारिक रूप देता है। [[अभियांत्रिकी]] और भौतिकी सहित विज्ञान में प्रवाह सर्वव्यापी हैं। साधारण अवकल समीकरणों के अध्ययन के लिए प्रवाह की धारणा आधारभूत है। अनौपचारिक रूप से, प्रवाह को समय के साथ बिंदुओं की निरंतर गति के रूप में देखा जा सकता है। अधिक औपचारिक रूप से, प्रवाह एक [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] पर [[वास्तविक संख्या]]ओं की [[समूह क्रिया (गणित)]] है।
-[[File:PenduleEspaceDesPhases.png|thumb|एक [[लंगर]] के अंतर समीकरण द्वारा निर्दिष्ट [[चरण स्थान]] में प्रवाह। क्षैतिज अक्ष पर, पेंडुलम की स्थिति, और ऊर्ध्वाधर पर इसका वेग।]]गणित में, प्रवाह द्रव में कणों की गति के विचार को औपचारिक रूप देता है। [[अभियांत्रिकी]] और भौतिकी सहित विज्ञान में प्रवाह सर्वव्यापी हैं। साधारण अवकल समीकरणों के अध्ययन के लिए प्रवाह की धारणा बुनियादी है। अनौपचारिक रूप से, प्रवाह को समय के साथ बिंदुओं की निरंतर गति के रूप में देखा जा सकता है। अधिक औपचारिक रूप से, प्रवाह एक [[सेट (गणित)]] पर [[वास्तविक संख्या]]ओं की एक [[समूह क्रिया (गणित)]] है।
-सदिश प्रवाह का विचार, अर्थात, सदिश क्षेत्र द्वारा निर्धारित प्रवाह, [[अंतर टोपोलॉजी]], रीमैनियन ज्यामिति और लाई समूहों के क्षेत्रों में होता है। सदिश प्रवाह के विशिष्ट उदाहरणों में [[जियोडेसिक प्रवाह]], [[हैमिल्टनियन प्रवाह]], [[रिक्की प्रवाह]], माध्य वक्रता प्रवाह और एनोसोव प्रवाह शामिल हैं। प्रवाह को यादृच्छिक चर और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की प्रणालियों के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है, और [[एर्गोडिक]] [[गतिशील प्रणाली]] के अध्ययन में होता है। इनमें से सबसे प्रसिद्ध शायद [[बरनौली प्रवाह]] है।
+[[सदिश कलन|सदिश]] प्रवाह का विचार, अर्थात, सदिश क्षेत्र द्वारा निर्धारित प्रवाह, अंतर सांस्थिति (टोपोलॉजी), [[रीमैनियन कई गुना|रीमैनियन]] [[ज्यामिति]] और लाई समूहों के क्षेत्रों में होता है। सदिश प्रवाह के विशिष्ट उदाहरणों में जियोडेसिक प्रवाह, हैमिल्टनियन प्रवाह, रिक्की प्रवाह, माध्य वक्रता प्रवाह और एनोसोव प्रवाह शामिल हैं। यादृच्छिक चर और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की प्रणालियों के लिए प्रवाह को भी परिभाषित किया जा सकता है, और एर्गोडिक डायनेमिक सिस्टम के अध्ययन में होता है। इनमें से सबसे प्रसिद्ध शायद [[बरनौली प्रवाह]] है।
 == औपचारिक परिभाषा ==
-एक सेट पर एक प्रवाह {{mvar|X}} पर वास्तविक संख्याओं के योज्य समूह की समूह क्रिया (गणित) है  {{mvar|X}}. अधिक स्पष्ट रूप से, एक प्रवाह एक कार्य है (गणित)
+समुच्चय {{mvar|X}} पर प्रवाह {{mvar|X}}  वास्तविक संख्याओं के योगात्मक समूह की एक समूह क्रिया हैI अधिक स्पष्ट रूप से, प्रवाह एक [[प्रतिचित्रण (मैपिंग गणित)|प्रतिचित्रण]] (मैपिंग_गणित) है
 :<math>\varphi : X \times \R \to X</math>
 ऐसा कि, सभी के लिए {{math|''x'' ∈ ''X''}} और सभी वास्तविक संख्याएँ {{mvar|s}} और {{mvar|t}},
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 लिखने का रिवाज है {{math|''φ<sup>t</sup>''(''x'')}} के बजाय {{math|''φ''(''x'', ''t'')}}, ताकि उपरोक्त समीकरणों को व्यक्त किया जा सके <math>\varphi^0 = \text{Id}</math> ([[पहचान समारोह]]) और <math>\varphi^s \circ \varphi^t = \varphi^{s+t}</math> (समूह कानून)। फिर, सभी के लिए {{tmath|t \isin \R,}} मानचित्रण {{tmath|\varphi^t: X \to X}} व्युत्क्रम के साथ एक आक्षेप है {{tmath|\varphi^{-t}: X \to X.}} यह उपरोक्त परिभाषा और वास्तविक पैरामीटर से अनुसरण करता है {{mvar|t}} कार्य पुनरावृत्ति के रूप में सामान्यीकृत [[कार्यात्मक शक्ति]] के रूप में लिया जा सकता है।
-प्रवाह को आमतौर पर सेट पर प्रस्तुत [[गणितीय संरचना]]ओं के साथ संगत होने की आवश्यकता होती है {{mvar|X}}. विशेष रूप से, अगर {{mvar|X}} तब एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] से लैस है {{mvar|φ}} आमतौर पर [[निरंतर कार्य]] करने की आवश्यकता होती है। अगर {{mvar|X}} एक [[अलग करने योग्य कई गुना]] से लैस है, फिर {{mvar|φ}} आमतौर पर अलग-अलग फ़ंक्शन होने की आवश्यकता होती है। इन मामलों में प्रवाह क्रमशः होमोमोर्फिज्म और डिफियोमोर्फिज्म का [[एक-पैरामीटर समूह]] बनाता है।
+प्रवाह को आमतौर पर समुच्चय पर प्रस्तुत [[गणितीय संरचना]]ओं के साथ संगत होने की आवश्यकता होती है {{mvar|X}}. विशेष रूप से, अगर {{mvar|X}} तब एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] से लैस है {{mvar|φ}} आमतौर पर [[निरंतर कार्य]] करने की आवश्यकता होती है। अगर {{mvar|X}} एक [[अलग करने योग्य कई गुना]] से लैस है, फिर {{mvar|φ}} आमतौर पर अलग-अलग फ़ंक्शन होने की आवश्यकता होती है। इन मामलों में प्रवाह क्रमशः होमोमोर्फिज्म और डिफियोमोर्फिज्म का [[एक-पैरामीटर समूह]] बनाता है।
-कुछ स्थितियों में कोई भी विचार कर सकता है{{visible anchor|local flow}}एस, जो केवल कुछ सबसेट में परिभाषित हैं
+कुछ स्थितियों में कोई भी विचार कर सकता है{{visible anchor|local flow}}एस, जो केवल कुछ सबसमुच्चय में परिभाषित हैं
 :<math>\mathrm{dom}(\varphi) = \{ (x,t) \ | \ t\in[a_x,b_x], \ a_x<0<b_x, \ x\in X \} \subset X\times\mathbb R </math>
 इसको कॉल किया गया{{visible anchor|flow domain}}का {{mvar|φ}}. यह अक्सर वेक्टर फ़ील्ड # फ्लो कर्व्स के मामले में होता है।
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 == परिक्रमा ==
-दिया गया {{mvar|x}} में {{mvar|X}}, सेट <math>\{ \varphi(x,t): t \in \R \}</math> की [[कक्षा (गतिकी)]] कहलाती है {{mvar|x}} अंतर्गत {{mvar|φ}}. अनौपचारिक रूप से, इसे एक कण के प्रक्षेपवक्र के रूप में माना जा सकता है जो प्रारंभ में स्थित था {{mvar|x}}. यदि प्रवाह एक वेक्टर क्षेत्र द्वारा उत्पन्न होता है, तो इसकी कक्षाएँ इसके [[अभिन्न वक्र]]ों की छवियां होती हैं।
+दिया गया {{mvar|x}} में {{mvar|X}}, समुच्चय <math>\{ \varphi(x,t): t \in \R \}</math> की [[कक्षा (गतिकी)]] कहलाती है {{mvar|x}} अंतर्गत {{mvar|φ}}. अनौपचारिक रूप से, इसे एक कण के प्रक्षेपवक्र के रूप में माना जा सकता है जो प्रारंभ में स्थित था {{mvar|x}}. यदि प्रवाह एक वेक्टर क्षेत्र द्वारा उत्पन्न होता है, तो इसकी कक्षाएँ इसके [[अभिन्न वक्र]]ों की छवियां होती हैं।
 == उदाहरण ==
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 निम्नलिखित प्रारंभिक सीमा स्थिति के साथ {{math| ''u''(0) {{=}} ''u''<sup>0</sup>}} में {{math|Ω}} .
-समीकरण  {{math|1=''u'' = 0}} पर {{math|Γ × (0, ''T'')}} सजातीय डिरिचलेट सीमा स्थिति से मेल खाती है। इस समस्या के लिए गणितीय सेटिंग सेमीग्रुप दृष्टिकोण हो सकती है। इस टूल का उपयोग करने के लिए, हम अनबाउंड ऑपरेटर का परिचय देते हैं  {{math|Δ<sub>''D''</sub>}} पर परिभाषित <math>L^2(\Omega)</math> इसके डोमेन द्वारा
+समीकरण  {{math|1=''u'' = 0}} पर {{math|Γ × (0, ''T'')}} सजातीय डिरिचलेट सीमा स्थिति से मेल खाती है। इस समस्या के लिए गणितीय समुच्चयिंग सेमीग्रुप दृष्टिकोण हो सकती है। इस टूल का उपयोग करने के लिए, हम अनबाउंड ऑपरेटर का परिचय देते हैं  {{math|Δ<sub>''D''</sub>}} पर परिभाषित <math>L^2(\Omega)</math> इसके डोमेन द्वारा
 :<math> D(\Delta_D) = H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega) </math> (क्लासिकल सोबोलेव स्पेस # सोबोलेव स्पेस पूर्णांक के साथ देखें <math> H^k(\Omega) = W^{k,2}(\Omega)</math> और
 :<math>H_0^1(\Omega) = {\overline{C_0^\infty (\Omega)} } ^{H^1(\Omega)}</math> में कॉम्पैक्ट सपोर्ट के साथ असीम रूप से अलग-अलग कार्यों का बंद होना है {{mvar|Ω}} के लिए <math> H^1(\Omega)-</math>मानदंड)।

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