रोटेशन (गणित)

For broader coverage of this topic, see रोटेशन.

File:Rotation illustration2.svg

किसी बिंदु के चारों ओर दो आयामों में किसी वस्तु का घूमना O.

गणित में घूर्णन ज्यामिति से उत्पन्न एक अवधारणा है। कोई भी घूर्णन एक निश्चित स्थान की गति है जो कम से कम एक बिंदु को सुरक्षित रखता है। यह वर्णन कर सकता है, उदाहरण के लिए, एक निश्चित बिंदु के चारों ओर कठोर शरीर की गति, घूर्णन के चिह्न हो सकते हैं (जैसे कोण के चिह्न में): दक्षिणावर्त घूर्णन ऋणात्मक कांतिमान होता है, इसलिए वामावर्त घुमाव का परिमाण धनात्मक होता है।

घुमाव अन्य प्रकार की गतियों से भिन्न होता है: अनुवाद, जिसमें कोई निश्चित बिंदु नहीं होते हैं, और (हाइपरप्लेन) प्रतिबिंब होते हैं, उनमें से प्रत्येक में संपूर्ण (n − 1) एक n-आयामी स्पेस में निश्चित बिंदुओं का आयामी समतल होता है।

गणितीय रूप से, घूर्णन एक नक्शा है। निश्चित बिंदु के बारे में सभी घुमाव रचना के तहत समूह बनाते हैं जिसे रोटेशन ग्रुप (किसी विशेष स्थान का) कहा जाता है। लेकिन यांत्रिकी में और, अधिक सामान्यतः, भौतिकी में, इस अवधारणा को प्रायः समन्वय परिवर्तन (महत्वपूर्ण रूप से, अलौकिक आधार का परिवर्तन) के रूप में समझा जाता है, क्योंकि शरीर की किसी भी गति के लिए, व्युत्क्रम परिवर्तन होता है, जिसे अगर फ्रेम पर लागू किया जाता है शरीर में संदर्भ परिणामों के समान निर्देशांक पर होने के कारण। उदाहरण के लिए, दो आयामों में पिंड को बिंदु के बारे में दक्षिणावर्त घुमाना और अक्षों को स्थिर रखना अक्षों को उसी बिंदु के बारे में वामावर्त घुमाने के बराबर है, जबकि शरीर स्थिर रहता है। इन दो प्रकार के घूर्णन को सक्रिय और निष्क्रिय रूपांतरण कहा जाता है।

संबंधित परिभाषाएं और शब्दावली

रोटेशन ग्रुप निश्चित बिंदु के बारे में रोटेशन का लाई समूह है। इस (सामान्य) निश्चित बिंदु को रोटेशन का केंद्र कहा जाता है और इसे सामान्यतः उत्पत्ति के साथ पहचाना जाता है। रोटेशन समूह (अभिविन्यास-संरक्षण) गतियों के व्यापक समूह में एक बिंदु स्टेबलाइजर है।

विशेष रोटेशन के लिए:

• रोटेशन की धुरी इसके निश्चित बिंदुओं की एक रेखा है। वे केवल n> 2 में मौजूद हैं।
• रोटेशन (घूर्णन) का तल ऐसा तल है जो रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है। अक्ष के विपरीत, इसके बिंदु स्वयं स्थिर नहीं होते हैं। धुरी (जहां मौजूद है) और घूर्णन का तल ओर्थोगोनल हैं।

रोटेशन का प्रतिनिधित्व एक विशेष औपचारिकता है, या तो बीजगणितीय या ज्यामितीय, जिसका उपयोग रोटेशन मानचित्र को पैरामीट्रिज करने के लिए किया जाता है। यह अर्थ किसी तरह समूह सिद्धांत के अर्थ के विपरीत है।

बिंदुओं और संबंधित सदिश स्थानों के (एफ़िन) रिक्त स्थान के घुमाव हमेशा स्पष्ट रूप से अलग नहीं होते हैं। पूर्व को कभी-कभी एफाइन रोटेशन के रूप में संदर्भित किया जाता है (हालांकि यह शब्द भ्रामक है), जबकि बाद वाले वेक्टर रोटेशन हैं। विवरण के लिए नीचे दिया गया लेख देखें।

परिभाषाएं और प्रतिनिधित्व

यूक्लिडियन ज्यामिति में

Further information: यूक्लिडियन स्पेस रोटेशन और रिफ्लेक्शन and विशेष लंबकोणीय समूह

File:Rotation4.svg

एक बिंदु के चारों ओर एक विमान के घूमने के बाद एक अलग बिंदु के चारों ओर एक और रोटेशन के परिणामस्वरूप कुल गति होती है जो या तो एक रोटेशन है (जैसा कि इस चित्र में है), या एक अनुवाद (गणित) ।

यूक्लिडियन स्पेस की गति इसकी आइसोमेट्री के समान है: यह परिवर्तन के बाद अपरिवर्तित किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी को छोड़ देता है। लेकिन एक (उचित) रोटेशन को भी अभिविन्यास संरचना को संरक्षित करना होता है। "अनुचित रोटेशन" शब्द आइसोमेट्रीज़ को संदर्भित करता है जो अभिविन्यास को उल्टा (फ्लिप) करता है। समूह सिद्धांत की भाषा में, भेद को यूक्लिडियन समूह में प्रत्यक्ष बनाम अप्रत्यक्ष समरूपता के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां पूर्व में पहचान घटक सम्मिलित होता है। किसी भी प्रत्यक्ष यूक्लिडियन गति को निश्चित बिंदु और अनुवाद के बारे में घूर्णन की संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है।

आयाम में गैर-तुच्छ रोटेशन नहीं होते हैं। दो आयामों में, मूल के बारे में एक रोटेशन निर्दिष्ट करने के लिए केवल कोण की आवश्यकता होती है - रोटेशन का कोण जो चक्र समूह के तत्व को निर्दिष्ट करता है (जिसे U(1) भी कहा जाता है)। रोटेशन मूल के बारे में कोण θ के माध्यम से किसी वस्तु को घड़ी की विपरीत दिशा में घुमाने के लिए कार्य कर रहा है; जानकारी के लिए नीचे देखें। घुमावों की संरचना उनके कोणों के सापेक्ष 1 मोड़ का योग करती है, जिसका अर्थ है कि सभी द्वि-आयामी घुमाव एक ही बिंदु के बारे में हैं। विभिन्न बिंदुओं के बारे में घुमाव, सामान्य तौर पर, आवागमन नहीं करते। कोई भी द्वि-आयामी प्रत्यक्ष गति या तो अनुवाद है या घूर्णन है; विवरण के लिए यूक्लिडियन समतल सममिति देखें।

Error creating thumbnail:

पृथ्वी का यूलर घूर्णन। आंतरिक (हरा), अग्रगमन (नीला) और पोषण (लाल)

त्रि-आयामी स्पेस में घूर्णन कई महत्वपूर्ण तरीकों से दो आयामों में भिन्न होता है। तीन आयामों में घुमाव सामान्यतः कम्यूटिव (विनिमेय) नहीं होते हैं, इसलिए जिस क्रम में घुमाव लागू होते हैं वह उसी बिंदु के बारे में भी महत्वपूर्ण होता है। इसके अलावा, द्वि-आयामी मामले के विपरीत, त्रि-आयामी प्रत्यक्ष गति, सामान्य स्थिति में, घूर्णन नहीं बल्कि स्क्रू ऑपरेशन है। उत्पत्ति के बारे में घूर्णन में स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती है (विवरण के लिए तीन आयामों में घूर्णन औपचारिकताएं देखें), आयामों की संख्या के समान।

त्रि-आयामी रोटेशन को कई तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है। सबसे सामान्य विधियाँ हैं:

• यूलर कोण (बाईं ओर चित्रित)। उत्पत्ति के बारे में किसी भी घुमाव को अन्य दो स्थिरांकों को छोड़ते समय यूलर कोणों में से एक को बदलकर प्राप्त गति के रूप में परिभाषित तीन घुमावों की संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है। वे रोटेशन सिस्टम के मिश्रित अक्षों का निर्माण करते हैं क्योंकि कोणों को अलग-अलग संदर्भ फ़्रेमों के मिश्रण के संबंध में मापा जाता है, बजाय एक फ्रेम के जो पूरी तरह से बाहरी या विशुद्ध रूप से आंतरिक है। विशेष रूप से, पहला कोण बाहरी अक्ष z के चारों ओर नोड्स की रेखा को घुमाता है, दूसरा नोड्स की रेखा के चारों ओर घूमता है और तीसरा शरीर में तय की गई धुरी के चारों ओर एक आंतरिक घुमाव (स्पिन) होता है जो गति करता है। यूलर कोणों को सामान्यतः α, β, γ, या φ, θ, ψ के रूप में दर्शाया जाता है। यह प्रस्तुति केवल निश्चित बिंदु के बारे में घुमाव के लिए सुविधाजनक है।

• अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व (दाईं ओर चित्रित) अक्ष के साथ एक कोण निर्दिष्ट करता है जिसके बारे में रोटेशन होता है। इसे आसानी से देखा जा सकता है। इसका प्रतिनिधित्व करने के दो रूप हैं:

• एक जोड़ी के रूप में कोण और अक्ष के लिए एक इकाई वेक्टर से मिलकर, या
  • इस इकाई वेक्टर के साथ कोण को गुणा करके प्राप्त यूक्लिडियन वेक्टर के रूप में, जिसे रोटेशन वेक्टर कहा जाता है (हालांकि, सख्ती से बोलना, यह स्यूडोवेक्टर है)।
  • मैट्रिसेस, वर्सर्स (चतुर्भुज), और अन्य बीजगणितीय चीजें: विवरण के लिए अनुभाग रैखिक और बहुरेखीय बीजगणित औपचारिकता देखें।

File:8-cell.gif

चार-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घुमाए जा रहे टेसरैक्ट के तीन-आयामों पर एक परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण।

चार आयामों में एक सामान्य घुमाव में केवल निश्चित बिंदु होता है, रोटेशन का केंद्र और रोटेशन की कोई धुरी नहीं होती है; विवरण के लिए 4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन देखें। इसके बजाय, रोटेशन में रोटेशन के दो पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल विमान होते हैं, जिनमें से प्रत्येक इस अर्थ में तय होता है कि प्रत्येक विमान में बिंदु विमानों के भीतर रहते हैं। रोटेशन में रोटेशन के दो कोण होते हैं, रोटेशन के प्रत्येक विमान के लिए एक, जिसके माध्यम से विमानों में बिंदु घूमते हैं। यदि ये ω1 और ω2 हैं तो वे सभी बिंदु जो समतल में नहीं हैं, ω₁ और ω₂ के बीच के कोण से घूमते हैं। एक निश्चित बिंदु के चारों ओर चार आयामों में घूमने की स्वतंत्रता की छह डिग्री होती है। सामान्य स्थिति में चार-आयामी प्रत्यक्ष गति निश्चित बिंदु के बारे में एक रोटेशन है (जैसा कि सभी यूक्लिडियन आयामों में भी है), लेकिन स्क्रू ऑपरेशन भी मौजूद हैं।

रेखीय और बहुरेखीय बीजगणितीय औपचारिकता

Main article: रोटेशन मैट्रिक्स

जब कोई यूक्लिडियन स्पेस की गतियों पर विचार करता है जो उत्पत्ति को संरक्षित करता है, शुद्ध गणित में महत्वपूर्ण बिंदुओं और वैक्टरों के बीच का अंतर मिटाया जा सकता है क्योंकि बिंदुओं और स्थिति वैक्टरों के बीच एक कैनोनिकल एक-से-एक सामंजस्य होता है। यूक्लिडियन के अलावा अन्य ज्यामिति के लिए भी यही सच है, लेकिन जिसका स्थान पूरक संरचना के साथ सजातीय स्थान है; नीचे उदाहरण देखें। वैकल्पिक रूप से, घुमावों के वेक्टर विवरण को अनुवाद के साथ उनकी रचना तक ज्यामितीय घुमावों के पैरामीट्रिजेशन के रूप में समझा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सदिश घूर्णन अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं के बारे में कई समतुल्य घुमाव प्रस्तुत करता है।

गति जो मूल को संरक्षित करती है वह वैक्टर पर एक रैखिक ऑपरेटर के समान होती है जो एक ही ज्यामितीय संरचना को संरक्षित करती है लेकिन वैक्टर के संदर्भ में व्यक्त की जाती है। यूक्लिडियन सदिशों के लिए, यह व्यंजक उनका परिमाण (यूक्लिडियन मानदंड) है। घटकों में, ऐसे ऑपरेटर ने n × n ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के साथ व्यक्त किया है जो कॉलम वेक्टर से गुणा किया जाता है।

जैसा कि पहले ही कहा गया था, सदिश स्थान के अभिविन्यास के संरक्षण में एक (उचित) रोटेशन एक मनमाना निश्चित बिंदु गति से अलग है। इस प्रकार, रोटेशन ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का निर्धारक 1 होना चाहिए। ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के निर्धारक के लिए एकमात्र अन्य संभावना −1 है, और इस परिणाम का मतलब है कि परिवर्तन एक हाइपरप्लेन प्रतिबिंब है, एक बिंदु प्रतिबिंब (विषम n के लिए), या अन्य एक प्रकार का अनुचित घुमाव। सभी उचित घुमावों के आव्यूह विशेष लांबिक समूह बनाते हैं।

दो आयाम

Main article: रोटेशन और प्रतिबिंब दो आयामों में

दो आयामों में, एक मैट्रिक्स, बिंदु का उपयोग करके घूर्णन करने के लिए (x, y) वामावर्त घुमाने के लिए कॉलम वेक्टर के रूप में लिखा जाता है, फिर कोण से गणना की गई रोटेशन मैट्रिक्स से गुणा किया जाता है θ:

${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$.

रोटेशन के बाद बिंदु के निर्देशांक हैं x′, y′, और के लिए सूत्र x′ और y′ हैं

${\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}$

वैक्टर ${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ और ${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}$ एक ही परिमाण है और कोण से अलग हो गए हैं θ जैसा सोचा था।

पर अंक R² समतल को सम्मिश्र संख्या के रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है: बिंदु (x, y) समतल में सम्मिश्र संख्या द्वारा दर्शाया जाता है

$z=x+iy$

इसे कोण से घुमाया जा सकता है θ से गुणा करके e^iθ, फिर यूलर के सूत्र का उपयोग करके उत्पाद का विस्तार इस प्रकार करें:

$\begin{array}{rl}{e}^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}z& =(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+i\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})(x+iy)\\ & =x\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+iy\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\end{array}$