अभिलक्षण विधि

गणित में, अभिलक्षण विधि आंशिक अवकल समीकरणों को हल करने की एक तकनीक है। विशिष्ट रूप से, यह प्रथम कोटि रैखिक अवकलन समीकरण पर लागू होता है, हालांकि अधिक सामान्यतः अभिलक्षण विधि किसी भी अतिपरवलयिक आंशिक अंतर समीकरण के लिए मान्य है। यह विधि एक आंशिक अवकल समीकरण को साधारण अवकल समीकरणों के एक समूह से कम करने के लिए है जिसके साथ उपयुक्त ऊनविम पृष्ठ पर दिए गए कुछ प्रारंभिक डेटा से प्राप्त हल को समाकलित किया जा सकता है।

प्रथम क्रम आंशिक अंतर समीकरण की विशेषताएं

प्रथम-क्रम पीडीई (आंशिक अंतर समीकरण) के लिए, अभिलक्षण विधि घटता खोजती है (जिसे विशेषता वक्र या सिर्फ विशेषताओं कहा जाता है) जिसके साथ पीडीई एक सामान्य अंतर समीकरण (ओडीई) बन जाता है। एक बार ODE मिल जाने के बाद, इसे विशेषता वक्रों के साथ हल किया जा सकता है और मूल PDE के हल में परिवर्तित किया जा सकता है। प्रथम-कोटि  पीडीई (आंशिक अवकलन समीकरण) के लिए, अभिलक्षण विधि वक्र के द्वारा जानकारी होती है (जिसे अभिलक्षण विधि वक्र या सिर्फ अभिलक्षण विधि कहा जाता है) जिसके साथ पीडीई एक साधारण अवकल समीकरण (ओडीई) बन जाता है। [1] एक बार साधारण अवकल समीकरण ज्ञात हो जाने के बाद, इसे अभिलक्षण विधि वक्र वक्रों के साथ इसे हल किया जा सकता है और मूल PDE के हल में परिवर्तित किया जा सकता है।

सरलता के लिए, हम फिलहाल अपना ध्यान दो स्वतंत्र चर x और y के फलन के मामले तक ही सीमित रखते हैं। एक आंशिक अवकल समीकरण पर विचार करें#रूप के रेखीय और अरैखिक समीकरण

$a(x,y,z){\frac {\partial z}{\partial x}}+b(x,y,z){\frac {\partial z}{\partial y}}=c(x,y,z).$

(1)

मान लीजिए कि हल z ज्ञात है, और 'R' में सतही ग्राफ़ z = z(x,y) पर विचार करें^{3</उप>। इस सतह के लिए एक सामान्य वेक्टर द्वारा दिया गया है}

$\left({\frac {\partial z}{\partial x}}(x,y),{\frac {\partial z}{\partial y}}(x,y),-1\right).\,$

नतीजतन, समीकरण (1) सदिश क्षेत्र के ज्यामितीय कथन के समतुल्य है

$(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))\,$

उपरोक्त सामान्य वेक्टर के साथ इस वेक्टर फ़ील्ड के डॉट उत्पाद के लिए, प्रत्येक बिंदु पर सतह z = z(x,y) पर स्पर्शरेखा है। दूसरे शब्दों में, हल का ग्राफ इस सदिश क्षेत्र के अभिन्न वक्र ों का एक संघ होना चाहिए। इन अभिन्न वक्रों को मूल आंशिक अंतर समीकरण के अभिलक्षणिक वक्र कहा जाता है और Lagrange -चार्पिट समीकरणों द्वारा दिया जाता है।

${\begin{array}{rcl}{\frac {dx}{dt}}&=&a(x,y,z),\\{\frac {dy}{dt}}&=&b(x,y,z),\\{\frac {dz}{dt}}&=&c(x,y,z).\end{array}}$

लैग्रेंज-चार्पिट समीकरणों का एक पैरामीट्रिजेशन अपरिवर्तनीय रूपहै:

${\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z)}}.$

रैखिक और समरैखिक मामले

अब फॉर्म के पीडीई पर विचार करें

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{1},\dots ,x_{n},u){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=c(x_{1},\dots ,x_{n},u).$

इस पीडीई को रैखिक होने के लिए, गुणांक ए_i केवल स्थानिक चर के कार्य हो सकते हैं, और यू से स्वतंत्र हो सकते हैं। इसके लिए अर्धरेखीय होने के लिए, a_i फ़ंक्शन के मान पर भी निर्भर हो सकता है, लेकिन किसी डेरिवेटिव पर नहीं। यहां चर्चा के लिए इन दोनों मामलों के बीच अंतर अनिवार्य नहीं है।

एक रेखीय या अर्धरेखीय PDE के लिए, अभिलाक्षणिक वक्रों को पैरामीट्रिक रूप से दिया जाता है

$(x_{1},\dots ,x_{n},u)=(x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s),u(s))$

$u(\mathbf {X} (s))=U(s)$

जैसे कि मुक्त एवं दूरस्थ शिक्षा की निम्नलिखित प्रणाली संतुष्ट है

${\frac {dx_{i}}{ds}}=a_{i}(x_{1},\dots ,x_{n},u)$

(2)

${\frac {du}{ds}}=c(x_{1},\dots ,x_{n},u).$

(3)

समीकरण (2) और (3) पीडीई की विशेषताएं दें।

क्वासिलिनियर केस के लिए सबूत

क्वैसिलिनियर मामले में, अभिलक्षण विधि का उपयोग ग्रोनवाल की असमानता द्वारा उचित है। उपरोक्त समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है

$$\mathbf {a} (\mathbf {x} ,u)\cdot \nabla u(\mathbf {x} )=c(\mathbf {x} ,u)$$

हमें ओडीई के हलों और पीडीई के हलों के बीच अंतर करना चाहिए, जिन्हें हम नहीं जानते कि प्राथमिकता बराबर है। बड़े अक्षरों को हमारे द्वारा खोजे जाने वाले ODE का हल होने दें

$$\mathbf {X} '(s)=\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))$$

$$U'(s)=c(\mathbf {X} (s),U(s))$$

जांच $\Delta (s)=|u(\mathbf {X} (s))-U(s)|^{2}$, हम पाते हैं कि अंतर करने पर

$$\Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}\mathbf {X} '(s)\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-U'(s){\Big )}$$

जो समान है

$$\Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-c(\mathbf {X} (s),U(s)){\Big )}$$

हम यह निष्कर्ष नहीं निकाल सकते कि उपरोक्त 0 है जैसा हम चाहते हैं, क्योंकि पीडीई केवल हमें गारंटी देता है कि यह संबंध संतुष्ट है $u(\mathbf {x} )$, $\mathbf {a} (\mathbf {x} ,u)\cdot \nabla u(\mathbf {x} )=c(\mathbf {x} ,u)$, और हम अभी तक यह नहीं जानते हैं $U(s)=u(\mathbf {X} (s))$.

हालाँकि, हम इसे देख सकते हैं

$$\Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-c(\mathbf {X} (s),U(s))-{\big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s)))\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-c(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big )}{\Big )}$$

चूँकि PDE द्वारा, अंतिम पद 0 है। यह बराबर है

$$\Delta '(s)=2{\big (}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big )}{\Big (}{\big (}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))-\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big )}\cdot \nabla u(\mathbf {X} (s))-{\big (}c(\mathbf {X} (s),U(s))-c(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big )}{\Big )}$$

त्रिभुज असमानता से, हमारे पास है

$$|\Delta '(s)|\leq 2{\big |}u(\mathbf {X} (s))-U(s){\big |}{\Big (}{\big \|}\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),U(s))-\mathbf {a} (\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big \|}\ \|\nabla u(\mathbf {X} (s))\|+{\big |}c(\mathbf {X} (s),U(s))-c(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s))){\big |}{\Big )}$$

यह मानते हुए $\mathbf {a} ,c$ कम से कम हैं $C^{1}$, हम इसे छोटे समय के लिए बाध्य कर सकते हैं। एक पड़ोस चुनें $\Omega$ चारों ओर $\mathbf {X} (0),U(0)$ इतना छोटा कि $\mathbf {a} ,c$ स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ हैं। निरंतरता से, $(\mathbf {X} (s),U(s))$ में रहेगा $\Omega$ काफी छोटे के लिए $s$. तब से $U(0)=u(\mathbf {X} (0))$, हमारे पास भी है $(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s)))$ में होगा $\Omega$ काफी छोटे के लिए $s$ निरंतरता से। इसलिए, $(\mathbf {X} (s),U(s))\in \Omega$ और $(\mathbf {X} (s),u(\mathbf {X} (s)))\in \Omega$ के लिए $s\in [0,s_{0}]$. इसके अतिरिक्त, $\|\nabla u(\mathbf {X} (s))\|\leq M$ कुछ के लिए $M\in \mathbb {R}$ के लिए $s\in [0,s_{0}]$ सघनता से। इससे, हम पाते हैं कि ऊपर के रूप में घिरा हुआ है

$$|\Delta '(s)|\leq C|u(\mathbf {X} (s))-U(s)|^{2}=C|\Delta (s)|$$

कुछ के लिए $C\in \mathbb {R}$. यह दिखाने के लिए ग्रोनवाल की असमानता का एक सीधा अनुप्रयोग है $\Delta (0)=0$ अपने पास $\Delta (s)=0$ जब तक यह असमानता रहती है। हमारे पास कुछ अंतराल है $[0,\epsilon )$ ऐसा है कि $u(X(s))=U(s)$ इस अंतराल में। सबसे बड़ा चुनें $\epsilon$ ऐसा है कि यह सच है। फिर, निरंतरता से, $U(\epsilon )=u(\mathbf {X} (\epsilon ))$. बशर्ते ओडीई के बाद भी कुछ अंतराल में हल हो $\epsilon$, हम उसे खोजने के लिए ऊपर दिए गए तर्क को दोहरा सकते हैं $u(X(s))=U(s)$ बड़े अंतराल में। इस प्रकार, जब तक ODE के पास हल है, हमारे पास है $u(X(s))=U(s)$.

पूरी तरह से अरैखिक मामला

आंशिक अंतर समीकरण पर विचार करें

$F(x_{1},\dots ,x_{n},u,p_{1},\dots ,p_{n})=0$

(4)

जहाँ चर p_i आंशिक डेरिवेटिव के लिए आशुलिपि हैं

$p_{i}={\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}.$

चलो (एक्स_i(एस), यू (एस), पी_i(एस)) 'आर' में एक वक्र हो²ⁿ⁺¹. मान लीजिए कि यू कोई हल है, और वह

$u(s)=u(x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s)).$

एक हल के साथ, विभेद करना (4) के संबंध में देता है

$\sum _{i}(F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}){\dot {x}}_{i}+\sum _{i}F_{p_{i}}{\dot {p}}_{i}=0$

${\dot {u}}-\sum _{i}p_{i}{\dot {x}}_{i}=0$

$\sum _{i}({\dot {x}}_{i}dp_{i}-{\dot {p}}_{i}dx_{i})=0.$

दूसरा समीकरण श्रृंखला नियम को एक हल यू पर लागू करने से आता है, और तीसरा संबंध के बाहरी व्युत्पन्न लेने से होता है $du-\sum _{i}p_{i}\,dx_{i}=0$. इन समीकरणों में हेरफेर करने से मिलता है

${\dot {x}}_{i}=\lambda F_{p_{i}},\quad {\dot {p}}_{i}=-\lambda (F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}),\quad {\dot {u}}=\lambda \sum _{i}p_{i}F_{p_{i}}$

जहां λ एक नियतांक है। इन समीकरणों को अधिक सममित रूप से लिखने पर, विशेषता के लिए लैग्रेंज-चार्पिट समीकरण प्राप्त होता है

${\frac {{\dot {x}}_{i}}{F_{p_{i}}}}=-{\frac {{\dot {p}}_{i}}{F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}}}={\frac {\dot {u}}{\sum p_{i}F_{p_{i}}}}.$

ज्यामितीय रूप से, पूरी तरह से गैर-रैखिक मामले में अभिलक्षण विधि की व्याख्या की जा सकती है कि अंतर समीकरण के मोंज शंकु हर जगह हल के ग्राफ के लिए स्पर्शरेखा होना चाहिए। दूसरे क्रम के आंशिक अंतर समीकरण को चरपिट विधि से हल किया जाता है।

उदाहरण

एक उदाहरण के रूप में, अभिवहन समीकरण पर विचार करें (यह उदाहरण पीडीई संकेतन और बुनियादी ओडीई के हल के साथ परिचितता मानता है)।

$a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0$

कहां $a$ स्थिर है और $u$ का एक कार्य है $x$ और $t$. हम इस रैखिक प्रथम-क्रम PDE को उपयुक्त वक्र के साथ ODE में बदलना चाहते हैं; यानी कुछ रूप

${\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s)),$

कहां $(x(s),t(s))$ विशेषता रेखा है। सबसे पहले, हम पाते हैं

${\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}$

श्रृंखला नियम द्वारा। अब, अगर हम सेट करते हैं ${\frac {dx}{ds}}=a$ और ${\frac {dt}{ds}}=1$ हम पाते हैं

$a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}$

जो पीडीई के बायीं ओर है जिससे हमने शुरुआत की थी। इस प्रकार

${\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0.$

तो, विशेषता रेखा के साथ $(x(s),t(s))$, मूल PDE ODE बन जाता है $u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0$. कहने का तात्पर्य यह है कि गुणधर्मों के साथ-साथ हल भी स्थिर होता है। इस प्रकार, $u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)$ कहां $(x_{s},t_{s})\,$ और $(x_{0},0)$ एक ही विशेषता पर लेट जाओ। इसलिए, सामान्य हल निर्धारित करने के लिए, ODEs की विशेषता प्रणाली को हल करके विशेषताओं को खोजने के लिए पर्याप्त है:

• ${\frac {dt}{ds}}=1$, दे रहा है $t(0)=0$ हम जानते हैं $t=s$,
• ${\frac {dx}{ds}}=a$, दे रहा है $x(0)=x_{0}$ हम जानते हैं $x=as+x_{0}=at+x_{0}$,
• ${\frac {du}{ds}}=0$, दे रहा है $u(0)=f(x_{0})$ हम जानते हैं $u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)$.

इस मामले में, विशेषता रेखाएँ ढलान वाली सीधी रेखाएँ हैं $a$, और का मूल्य $u$ किसी भी विशेषता रेखा के साथ स्थिर रहता है।

लीनियर डिफरेंशियल ऑपरेटर्स के लक्षण

एक्स को एक अलग करने योग्य कई गुना और पी एक रैखिक अंतर ऑपरेटर होने दें

$P:C^{\infty }(X)\to C^{\infty }(X)$

आदेश के. एक स्थानीय समन्वय प्रणाली में x^मैं,

$P=\sum _{|\alpha |\leq k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}$

जिसमें α बहु-सूचकांक को दर्शाता है। P के अवकल संकारक का मुख्य प्रतीक, σ निरूपित करता है_P, स्पर्शरेखा बंडल टी पर फ़ंक्शन है^∗X द्वारा इन स्थानीय निर्देशांकों में परिभाषित किया गया है

$\sigma _{P}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }$

जहां ξ_i समन्वय अंतर dx द्वारा प्रेरित cotangent बंडल पर फाइबर निर्देशांक हैं^{मैं । हालांकि यह एक विशेष समन्वय प्रणाली का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, ξ से संबंधित परिवर्तन कानून_i और एक्सi सुनिश्चित करता है कि σ_P कॉटैंजेंट बंडल पर एक अच्छी तरह से परिभाषित कार्य है।}

समारोह σ_P ξ चर में डिग्री k का सजातीय कार्य है। σ के शून्य_P, T के शून्य खंड से दूर^∗X, P की विशेषताएँ हैं। समीकरण F(x) = c द्वारा परिभाषित X की एक हाइपरसफ़ेस को x पर एक विशेष हाइपरसफ़ेस कहा जाता है यदि

$\sigma _{P}(x,dF(x))=0.$

अनिवार्य रूप से, एक विशेषता हाइपरसफेस एक हाइपरसफेस है जिसका सामान्य बंडल पी के विशेषता सेट में है।

विशेषताओं का गुणात्मक विश्लेषण

पीडीई में गुणात्मक अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए लक्षण भी एक शक्तिशाली उपकरण हैं।

एक संपीड़ित तरल पदार्थ में संभावित प्रवाह के लिए सदमे तरंगों को खोजने के लिए विशेषताओं के क्रॉसिंग का उपयोग कर सकते हैं। सहज रूप से, हम प्रत्येक विशेषता रेखा के बारे में सोच सकते हैं जिसका हल है $u$ साथ ही। इस प्रकार, जब दो विशेषताएं पार हो जाती हैं, तो फ़ंक्शन बहु-मूल्यवान हो जाता है जिसके परिणामस्वरूप एक गैर-भौतिक हल होता है। शारीरिक रूप से, इस विरोधाभास को शॉक वेव, एक स्पर्शरेखा असंतुलन या कमजोर असंतोष के गठन से हटा दिया जाता है और प्रारंभिक धारणाओं का उल्लंघन करते हुए गैर-संभावित प्रवाह में परिणाम हो सकता है। लक्षण पीडीई के डोमेन के हिस्से को कवर करने में विफल हो सकते हैं। इसे विरल करना कहा जाता है, और इंगित करता है कि हल आमतौर पर केवल एक कमजोर, यानी अभिन्न समीकरण , अर्थ में मौजूद होता है।

विशेषता रेखाओं की दिशा हल के माध्यम से मूल्यों के प्रवाह को इंगित करती है, जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण से पता चलता है। पीडीई को संख्यात्मक रूप से हल करते समय इस प्रकार का ज्ञान उपयोगी होता है क्योंकि यह इंगित कर सकता है कि समस्या के लिए कौन सी परिमित अंतर योजना सर्वोत्तम है।

यह भी देखें

• क्वांटम अभिलक्षण विधि

संदर्भ

• Courant, Richard; Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume II, Wiley-Interscience
• Evans, Lawrence C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
• Polyanin, A. D.; Zaitsev, V. F.; Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations, London: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X
• Polyanin, A. D. (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9
• Sarra, Scott (2003), "The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws", Journal of Online Mathematics and Its Applications.
• Streeter, VL; Wylie, EB (1998), Fluid mechanics (International 9th Revised ed.), McGraw-Hill Higher Education

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