सप्तभुज: Difference between revisions
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[[ज्यामिति]] में, एक सप्तभुज या सप्तभुज एक सात भुजाओं वाला [[बहुभुज]] या 7-गॉन होता है। | [[ज्यामिति]] में, एक सप्तभुज या सप्तभुज एक सात भुजाओं वाला [[बहुभुज]] या 7-गॉन होता है। | ||
सप्तभुज को कभी-कभी ग्रीक प्रत्यय "-एगॉन" अर्थ कोण के साथ "सेप्ट-" (सेप्टुआ का एक अंश-, लैटिन-व्युत्पन्न [[संख्यात्मक उपसर्ग]], हेप्टा- के बदले, ग्रीक-व्युत्पन्न संख्यात्मक उपसर्ग; दोनों सजातीय हैं) का प्रयोग करके सेप्टागन के रूप में संदर्भित किया जाता है। | |||
== | == सम सप्तभुज == | ||
सम-सप्तभुज, जिसकी सभी भुजाएँ और सभी कोण बराबर हैं, का [[आंतरिक कोण]] 5π/7 रेडियन (128{{frac|4|7}} [[डिग्री (कोण)]] हैं। इसका स्याफ्ली प्रतीक (Schläfli symbol) {7} है। | सम-सप्तभुज, जिसकी सभी भुजाएँ और सभी कोण बराबर हैं, का [[आंतरिक कोण]] 5π/7 रेडियन (128{{frac|4|7}} [[डिग्री (कोण)]] हैं। इसका स्याफ्ली प्रतीक (Schläfli symbol) {7} है। | ||
=== क्षेत्र === | === क्षेत्र === | ||
भुजा (साइड) लंबाई a के एक | भुजा (साइड) लंबाई a के एक सम सप्तभुज का क्षेत्रफल (A) द्वारा दिया गया है: | ||
:<math>A = \frac{7}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{7} \simeq 3.634 a^2.</math> | :<math>A = \frac{7}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{7} \simeq 3.634 a^2.</math> | ||
: | : | ||
इसे केंद्र में और | इसे केंद्र में और सप्तभुज के शीर्ष पर इकाई-पक्षीय सप्तभुज को सात त्रिकोणीय "पाई स्लाइस" में उप-विभाजित करके देखा जा सकता है और फिर प्रत्येक त्रिकोण को अंतःत्रिज्या को सामान्य पक्ष के रूप में उपयोग करके देखा जा सकता है। अंतःत्रिज्या का आधा कोटिस्पर्श है <math>\pi/7, </math> और 14 छोटे त्रिभुजों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल अंतःत्रिज्या का एक-चौथाई है। | ||
त्रिज्या R के एक वृत्त में खुदे हुए एक सम-सप्तभुज का क्षेत्रफल है <math>\tfrac{7R^2}{2}\sin\tfrac{2\pi}{7}, </math> जबकि वृत्त का क्षेत्रफल ऐसा है <math>\pi R^2;</math> कि सम-सप्तभुज इसके परिधि वाले वृत्त का लगभग 0.8710 भाग भर जाता है। | त्रिज्या R के एक वृत्त में खुदे हुए एक सम-सप्तभुज का क्षेत्रफल है <math>\tfrac{7R^2}{2}\sin\tfrac{2\pi}{7}, </math> जबकि वृत्त का क्षेत्रफल ऐसा है <math>\pi R^2;</math> कि सम-सप्तभुज इसके परिधि वाले वृत्त का लगभग 0.8710 भाग भर जाता है। | ||
=== निर्माण === | === निर्माण === | ||
जैसा कि 7 एक [[पियरपोंट प्राइम]] है, लेकिन [[फर्मेट प्राइम]] नहीं है, | जैसा कि 7 एक [[पियरपोंट प्राइम]] है, लेकिन [[फर्मेट प्राइम]] नहीं है, सम सप्तभुज कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ निर्माण योग्य बहुभुज नहीं है, लेकिन चिह्नित [[शासक|मापक]] और [[कम्पास और सीधा|कम्पास]] निर्माण योग्य है। इस गुण के साथ सबसे छोटा सम-बहुभुज है। इस प्रकार के निर्माण को न्यूसिस निर्माण कहा जाता है। यह कम्पास, स्ट्रेटेज और एंगल ट्राइसेक्टर के साथ भी रचनात्मक है। स्ट्रेटेज और कम्पास निर्माण की असंभवता इस अवलोकन से होती है कि <math>\scriptstyle {2\cos{\tfrac{2\pi}{7}} \approx 1.247}</math> [[अलघुकरणीय बहुपद|अखंडनीय बहुपद]] घनीय फलन का शून्य है {{nowrap|''x''<sup>3</sup> + ''x''<sup>2</sup> − 2''x'' − 1}}. नतीजतन, यह बहुपद का [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]] है {{nobreak|2cos({{frac|2π|7}}),}} जबकि स्वीकार्य संख्या के लिए न्यूनतम बहुपद की डिग्री 2 की पावर होनी चाहिए। | ||
{| class=wikitable width=640 | {| class=wikitable width=640 | ||
|[[File:Neusis-heptagon.png|330px]]<br> | |[[File:Neusis-heptagon.png|330px]]<br>सम सप्तभुज में आंतरिक कोण का एक नया निर्माण है। | ||
|[[File:01-Siebeneck-Tomahawk-Animation.gif|380px]]<br>एंड्रयू एम. ग्लीसन<ref name="Gleason">{{cite journal|last=Gleason|first=Andrew Mattei|title=Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon p. 186 (Fig.1) –187 |journal=The American Mathematical Monthly|date=March 1988|volume=95|issue=3 |pages=185–194|url=http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/1.pdf#3 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20151219180208/http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/7.pdf#3 |doi= 10.2307/2323624|archivedate=2015-12-19 |url-status=dead}}</ref> के अनुसार, टॉमहॉक के माध्यम से कोण ट्राइसेक्शन के आधार पर परिवृत्त <math>\overline{OA} = 6</math> की [[त्रिज्या]] के साथ एक नेउसिस निर्माण से एक एनीमेशन है। यह निर्माण इस तथ्य पर निर्भर करता है कि | |[[File:01-Siebeneck-Tomahawk-Animation.gif|380px]]<br>एंड्रयू एम. ग्लीसन<ref name="Gleason">{{cite journal|last=Gleason|first=Andrew Mattei|title=Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon p. 186 (Fig.1) –187 |journal=The American Mathematical Monthly|date=March 1988|volume=95|issue=3 |pages=185–194|url=http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/1.pdf#3 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20151219180208/http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/7.pdf#3 |doi= 10.2307/2323624|archivedate=2015-12-19 |url-status=dead}}</ref> के अनुसार, टॉमहॉक के माध्यम से कोण ट्राइसेक्शन के आधार पर परिवृत्त <math>\overline{OA} = 6</math> की [[त्रिज्या]] के साथ एक नेउसिस निर्माण से एक एनीमेशन है। यह निर्माण इस तथ्य पर निर्भर करता है कि | ||
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[[File:01-Siebeneck-nach Johnson.gif|thumb|left|400px|दी गई पार्श्व लंबाई के साथ | [[File:01-Siebeneck-nach Johnson.gif|thumb|left|400px|दी गई पार्श्व लंबाई के साथ सप्तभुज:<br /> | ||
डेविड जॉनसन लीस्क ([[क्रॉकेट जॉनसन]]) के अनुसार चिह्नित रूलर के साथ एक नेउसिस निर्माण से एक एनीमेशन।]]<br />{{clear}} | डेविड जॉनसन लीस्क ([[क्रॉकेट जॉनसन]]) के अनुसार चिह्नित रूलर के साथ एक नेउसिस निर्माण से एक एनीमेशन।]]<br />{{clear}} | ||
=== सन्निकटन === | === सन्निकटन === | ||
आरेख लगभग 0.2% की त्रुटि के साथ व्यावहारिक उपयोग के लिए एक सन्निकटन दिखाता है। इसका श्रेय अल्ब्रेक्ट ड्यूरर को दिया जाता है।<ref>G.H. Hughes, [https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1205/1205.0080.pdf#12 "The Polygons of Albrecht Dürer-1525, The Regular Heptagon", Fig. 11] [https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1205/1205.0080.pdf#15 the side of the Heptagon (7) Fig. 15, image on the left side], retrieved on 4 December 2015</ref> माना A परिवृत्त की परिधि पर स्थित है। चाप BOC खींचिए। फिर <math>\scriptstyle {BD = {1 \over 2}BC}</math> | आरेख लगभग 0.2% की त्रुटि के साथ व्यावहारिक उपयोग के लिए एक सन्निकटन दिखाता है। इसका श्रेय अल्ब्रेक्ट ड्यूरर को दिया जाता है।<ref>G.H. Hughes, [https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1205/1205.0080.pdf#12 "The Polygons of Albrecht Dürer-1525, The Regular Heptagon", Fig. 11] [https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1205/1205.0080.pdf#15 the side of the Heptagon (7) Fig. 15, image on the left side], retrieved on 4 December 2015</ref> माना A परिवृत्त की परिधि पर स्थित है। चाप BOC खींचिए। फिर <math>\scriptstyle {BD = {1 \over 2}BC}</math> सप्तभुज के किनारे के लिए एक सन्निकटन देता है। | ||
यह सन्निकटन उपयोग करता है <math>\scriptstyle {\sqrt{3} \over 2} \approx 0.86603 </math> यूनिट सर्कल में खुदा हुआ | यह सन्निकटन उपयोग करता है <math>\scriptstyle {\sqrt{3} \over 2} \approx 0.86603 </math> यूनिट सर्कल में खुदा हुआ सप्तभुज के पक्ष के लिए, जबकि सटीक मान है <math>\scriptstyle 2\sin{\pi \over 7} \approx 0.86777</math>. | ||
गड़बड़ी को समझाने के लिए उदाहरण:<br /> | गड़बड़ी को समझाने के लिए उदाहरण:<br /> | ||
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=== समरूपता === | === समरूपता === | ||
[[File:Symmetries_of_heptagon.png|thumb|200px|एक | [[File:Symmetries_of_heptagon.png|thumb|200px|एक सम सप्तभुज की समरूपता। शिखरों को उनकी सममिति स्थितियों के अनुसार रंगा जाता है। नीली दर्पण रेखाएँ शीर्षों और किनारों के माध्यम से खींची जाती हैं। केंद्र में जाइरेशन ऑर्डर दिए जाते हैं।<ref>John H. Conway, Heidi Burgiel, [[Chaim Goodman-Strauss]], (2008) The Symmetries of Things, {{ISBN|978-1-56881-220-5}} (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275-278)</ref>]]सम सप्तभुज डायहेड्रल समरूपता से संबंधित है। D<sub>7h</sub> [[बिंदु समूह]] (शॉनफ्लाइज़ संकेतन), क्रम 28. समरूपता तत्व हैं: एक 7-गुना उचित घूर्णन अक्ष C<sub>7</sub>, एक 7-गुना अनुचित घूर्णन अक्ष, S<sub>7</sub>, 7 ऊर्ध्वाधर दर्पण तल, σ<sub>v</sub>, 7 2-गुना घूर्णन कुल्हाड़ियों, सी<sub>2</sub>, सप्तभुज के तल में और एक क्षैतिज दर्पण तल में, σ<sub>h</sub>, सप्तभुज के तल में भी है।<ref>{{cite book|last1=Salthouse|first1=J.A|last2=Ware|first2=M.J.|title=प्वाइंट ग्रुप कैरेक्टर टेबल और संबंधित डेटा|date=1972|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|isbn=0 521 08139 4}}</ref> | ||
<!-- These 4 symmetries can be seen in 4 distinct symmetries on the heptagon. [[John Horton Conway|John Conway]] labels these by a letter and group order. Full symmetry of the regular form is '''r14''' and no symmetry is labeled '''a1'''. The dihedral symmetries are divided depending on whether they pass through vertices ('''d''' for diagonal) or edges ('''p''' for perpendiculars), and '''i''' when reflection lines path through both edges and vertices. Cyclic symmetries in the middle column are labeled as '''g''' for their central gyration orders. | <!-- These 4 symmetries can be seen in 4 distinct symmetries on the heptagon. [[John Horton Conway|John Conway]] labels these by a letter and group order. Full symmetry of the regular form is '''r14''' and no symmetry is labeled '''a1'''. The dihedral symmetries are divided depending on whether they pass through vertices ('''d''' for diagonal) or edges ('''p''' for perpendiculars), and '''i''' when reflection lines path through both edges and vertices. Cyclic symmetries in the middle column are labeled as '''g''' for their central gyration orders. | ||
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:<math>\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}=5.</math> | :<math>\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}=5.</math> | ||
सप्तकोणीय त्रिभुज में वर्टेक्स (ज्यामिति) होता है जो एक | सप्तकोणीय त्रिभुज में वर्टेक्स (ज्यामिति) होता है जो एक सम सप्तभुज के पहले, दूसरे और चौथे कोने के साथ मेल खाता है (एक मनमाने ढंग से प्रारंभ होने वाले शीर्ष से) और कोण <math>\pi/7, 2\pi/7,</math> तथा <math>4\pi/7.</math> इस प्रकार इसकी भुजाएँ सम सप्तभुज के एक पार्श्व और दो विशेष विकर्णों से मेल खाती हैं।<ref name=Altintas/> | ||
=== बहुफलक (पॉलीहेड्रा) में === | === बहुफलक (पॉलीहेड्रा) में === | ||
[[हेप्टागोनल प्रिज्म|सप्तकोणीय प्रिज्म]] और [[हेप्टागोनल एंटीप्रिज्म|सप्तकोणीय एंटीप्रिज्म]] के अलावा, | [[हेप्टागोनल प्रिज्म|सप्तकोणीय प्रिज्म]] और [[हेप्टागोनल एंटीप्रिज्म|सप्तकोणीय एंटीप्रिज्म]] के अलावा, सम बहुभुजों से पूरी तरह से बने कोई उत्तल पॉलीहेड्रॉन में फेस के रूप में एक सप्तभुज नहीं होता है। | ||
=={{anchor|Star Heptagons}} स्टार सप्तभुज == | =={{anchor|Star Heptagons}} स्टार सप्तभुज == | ||
सम सप्तभुज से दो प्रकार के स्टार सप्तभुज ([[हेप्टाग्राम]]) का निर्माण किया जा सकता है, जिसे श्लाफली प्रतीकों {7/2}, और {7/3} द्वारा लेबल किया जाता है, जिसमें वि[[भाजक]] कनेक्शन का अंतराल होता है। | |||
[[File:Heptagrams.svg|200px]]<br>नीला, {7/2} और हरा {7/3} लाल सप्तभुज के भीतर तारा सप्तभुज | [[File:Heptagrams.svg|200px]]<br>नीला, {7/2} और हरा {7/3} लाल सप्तभुज के भीतर तारा सप्तभुज | ||
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== टाइलिंग और पैकिंग == | == टाइलिंग और पैकिंग == | ||
{{multiple image|align=right | {{multiple image|align=right | ||
|image1=3.7.42 vertex.png| | |image1=3.7.42 vertex.png|कैप्शन1=त्रिकोण, सप्तभुज, और 42-गॉन वर्टेक्स | ||
|image2=Heptagonal tiling.svg| | |image2=Heptagonal tiling.svg|कैप्शन2=अतिशयोक्तिपूर्ण हेप्टागन टाइलिंग | ||
|total_width=480}} | |total_width=480}} | ||
सम त्रिभुज, सप्तभुज, और 42-गॉन पूरी तरह से समतल शीर्ष को भर सकते हैं। हालांकि, केवल इन बहुभुजों के साथ समतल की कोई टाइलिंग नहीं है, क्योंकि उनमें से किसी एक को त्रिकोण के तीसरे पक्ष पर एक अंतर छोड़े बिना या एक ओवरलैप बनाए बिना फिट करने का कोई तरीका नहीं है। अतिपरवलयिक तल में, सम सप्तभुजों द्वारा झुकाव संभव है। | |||
सम सप्तभुज में पैकिंग घनत्व लगभग 0.89269 के यूक्लिडियन विमान का एक [[डबल जाली]] पैकिंग है। यह किसी उत्तल सेट के इष्टतम डबल जाली पैकिंग घनत्व के लिए सबसे कम घनत्व संभव है, और आमतौर पर किसी भी उत्तल सेट के इष्टतम पैकिंग घनत्व के लिए अनुमान लगाया गया है।<ref>{{cite journal | |||
| last = Kallus | first = Yoav | | last = Kallus | first = Yoav | ||
| arxiv = 1305.0289 | | arxiv = 1305.0289 | ||
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| title = पेसिमल पैकिंग आकार| volume = 19 | | title = पेसिमल पैकिंग आकार| volume = 19 | ||
| year = 2015}}</ref> | | year = 2015}}</ref> | ||
== अनुभवजन्य उदाहरण == | == अनुभवजन्य उदाहरण == | ||
[[File: Geometry problem-Sb 13088-IMG 0593-white.jpg|thumb|शास्त्रियों के लिए एक स्कूल से संबंधित मिट्टी की गोली पर त्रिभुजों में विभाजित एक सप्तभुज की सतह की ज्यामिति समस्या; [[सूसा]], दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व की पहली छमाही]]यूनाइटेड किंगडम, 2022 तक, दो हेप्टागोनल सिक्के, 50p और 20p टुकड़े हैं, और बारबाडोस डॉलर भी हेप्टागोनल है। 20-यूरो सेंट के सिक्के में इसी तरह की गुहाएं होती हैं। सख्ती से, सिक्कों का आकार एक रेउलेक्स | [[File: Geometry problem-Sb 13088-IMG 0593-white.jpg|thumb|शास्त्रियों के लिए एक स्कूल से संबंधित मिट्टी की गोली पर त्रिभुजों में विभाजित एक सप्तभुज की सतह की ज्यामिति समस्या; [[सूसा]], दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व की पहली छमाही]]यूनाइटेड किंगडम, 2022 तक, दो हेप्टागोनल सिक्के, 50p और 20p टुकड़े हैं, और बारबाडोस डॉलर भी हेप्टागोनल है। 20-यूरो सेंट के सिक्के में इसी तरह की गुहाएं होती हैं। सख्ती से, सिक्कों का आकार एक रेउलेक्स सप्तभुज है, एक घुमावदार सप्तभुज जिसमें निरंतर चौड़ाई के वक्र होते हैं; वेंडिंग मशीन में डाले जाने पर सिक्कों को सुचारू रूप से रोल करने की अनुमति देने के लिए पक्ष बाहर की ओर मुड़े हुए होते हैं। बोत्सवाना पुला के सिक्के 2 पुला, 1 पुला, 50 थेबे और 5 थेबे के मूल्यवर्ग में भी समबाहु-वक्र सप्तभुज के आकार के हैं। रेलेक्स सप्तभुज के आकार के सिक्के मॉरीशस, संयुक्त अरब अमीरात, तंजानिया, समोआ, पापुआ न्यू गिनी, साओ टोमे और प्रिंसिपे, हैती, जमैका, लाइबेरिया, घाना, गाम्बिया, जॉर्डन, जर्सी, ग्वेर्नसे, आइल ऑफ मैन, में भी प्रचलन में हैं। जिब्राल्टर, गुयाना, सोलोमन द्वीप, फ़ॉकलैंड द्वीप और सेंट हेलेना | ||
[[ब्राज़िल]] के 25-प्रतिशत सिक्के में सिक्के की डिस्क में एक सप्तभुज खुदा हुआ है। [[जॉर्जियाई सोवियत समाजवादी गणराज्य]] सहित जॉर्जिया (देश) के हथियारों के कोट के कुछ पुराने संस्करणों ने एक तत्व के रूप में {7/2} हेप्टाग्राम का उपयोग किया। | [[ब्राज़िल]] के 25-प्रतिशत सिक्के में सिक्के की डिस्क में एक सप्तभुज खुदा हुआ है। [[जॉर्जियाई सोवियत समाजवादी गणराज्य]] सहित जॉर्जिया (देश) के हथियारों के कोट के कुछ पुराने संस्करणों ने एक तत्व के रूप में {7/2} हेप्टाग्राम का उपयोग किया। | ||
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Latest revision as of 10:49, 4 January 2023
| Regular heptagon | |
|---|---|
| File:Regular polygon 7 annotated.svg A regular heptagon | |
| प्रकार | Regular polygon |
| किनारेs और कोने | 7 |
| स्लीपी सिंबल | {7} |
| कॉक्सेटर-डाइनकिन आरेख एस | File:CDel node 1.pngFile:CDel 7.pngFile:CDel node.png |
| समरूपता समूह | Dihedral (D7), order 2×7 |
| आंतरिक कोण (डिग्री) | ≈128.571° |
| गुण | Convex, cyclic, equilateral, isogonal, isotoxal |
ज्यामिति में, एक सप्तभुज या सप्तभुज एक सात भुजाओं वाला बहुभुज या 7-गॉन होता है।
सप्तभुज को कभी-कभी ग्रीक प्रत्यय "-एगॉन" अर्थ कोण के साथ "सेप्ट-" (सेप्टुआ का एक अंश-, लैटिन-व्युत्पन्न संख्यात्मक उपसर्ग, हेप्टा- के बदले, ग्रीक-व्युत्पन्न संख्यात्मक उपसर्ग; दोनों सजातीय हैं) का प्रयोग करके सेप्टागन के रूप में संदर्भित किया जाता है।
सम सप्तभुज
सम-सप्तभुज, जिसकी सभी भुजाएँ और सभी कोण बराबर हैं, का आंतरिक कोण 5π/7 रेडियन (1284⁄7 डिग्री (कोण) हैं। इसका स्याफ्ली प्रतीक (Schläfli symbol) {7} है।
क्षेत्र
भुजा (साइड) लंबाई a के एक सम सप्तभुज का क्षेत्रफल (A) द्वारा दिया गया है:
इसे केंद्र में और सप्तभुज के शीर्ष पर इकाई-पक्षीय सप्तभुज को सात त्रिकोणीय "पाई स्लाइस" में उप-विभाजित करके देखा जा सकता है और फिर प्रत्येक त्रिकोण को अंतःत्रिज्या को सामान्य पक्ष के रूप में उपयोग करके देखा जा सकता है। अंतःत्रिज्या का आधा कोटिस्पर्श है और 14 छोटे त्रिभुजों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल अंतःत्रिज्या का एक-चौथाई है।
त्रिज्या R के एक वृत्त में खुदे हुए एक सम-सप्तभुज का क्षेत्रफल है जबकि वृत्त का क्षेत्रफल ऐसा है कि सम-सप्तभुज इसके परिधि वाले वृत्त का लगभग 0.8710 भाग भर जाता है।
निर्माण
जैसा कि 7 एक पियरपोंट प्राइम है, लेकिन फर्मेट प्राइम नहीं है, सम सप्तभुज कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ निर्माण योग्य बहुभुज नहीं है, लेकिन चिह्नित मापक और कम्पास निर्माण योग्य है। इस गुण के साथ सबसे छोटा सम-बहुभुज है। इस प्रकार के निर्माण को न्यूसिस निर्माण कहा जाता है। यह कम्पास, स्ट्रेटेज और एंगल ट्राइसेक्टर के साथ भी रचनात्मक है। स्ट्रेटेज और कम्पास निर्माण की असंभवता इस अवलोकन से होती है कि