समानता (गणित): Difference between revisions

Revision as of 21:45, 13 December 2022

गणित में, समानता दो मात्राओं या अधिक सामान्य रूप से दो गणितीय अभिव्यक्तियों के बीच एक संबंध है,जिसका आशय है कि मात्राओं का एक ही मान है, या अभिव्यक्तियाँ एक ही गणितीय वस्तु का प्रतिनिधित्व करती हैं। $A$ और $B$ के बीच समानता को $A = B$ लिखा है , और $A$ का उच्चारण $B$ के बराबर होता है।.^[1] प्रतीक "=" को "बराबर चिह्न" कहा जाता है। दो वस्तुएँ जो समान नहीं हैं, भिन्न कहलाती हैं.

उदाहरण के लिए:

$x=y$ का अर्थ है, कि $x$ और $y$ एक ही वस्तु को दर्शाते हैं।।^[2]
पहचान (गणित) $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ इसका तात्पर्य है कि यदि $x$ कोई संख्या है, तो दोनों व्यंजकों का मान समान है। इसे यह कहते हुए भी समझा जा सकता है कि बराबर चिह्न के दो पक्ष एक ही कार्य (गणित) का प्रतिनिधित्व करते हैं।
और केवल अगर $\{x\mid P(x)\}=\{x\mid Q(x)\}$ $P(x)\Leftrightarrow Q(x).$ यह अभिकथन, जो समूह निर्माता नोटेशन का उपयोग करता है, का अर्थ है कि यदि तत्व संपत्ति को संतुष्ट करते हैं $P(x)$ $Q(x),$ को संतुष्ट करने वाले तत्वों के समान हैं तो समूह निर्माता नोटेशन के दो उपयोग एक ही समूह को परिभाषित करते हैं। इस संपत्ति को सामान्यतः दो समूहों के रूप में व्यक्त किया जाता है जिनमें समान तत्व होते हैं। यह समुच्चय सिद्धांत के सामान्य स्वयंसिद्धों में से एक है, जिसे विस्तार का स्वयंसिद्ध कहा जाता है।^[3]

व्युत्पत्ति

शब्द की व्युत्पत्ति लैटिन भाषा के एक्वालिस ("समान", "समान", "तुलनीय", "समान") से हुई है, जो एसेस ("समान", "स्तर", "निष्पक्ष", "न्यायसंगत") से है।

मूल गुण

प्रतिस्थापन संपत्ति: किसी के लिए मात्रा a तथा b और कोई अभिव्यक्ति F(x), यदि a = b, तब F(a) = F(b) (प्रतिबंध कि दोनों पक्ष अच्छी तरह से गठित] हों).
इसके कुछ विशिष्ट उदाहरण हैं:
Template:अव्यवस्थित सूची
प्रतिवर्त गुण: किसी भी मात्रा के लिए a, a = a.
सममित संपत्ति: किसी भी मात्रा के लिए a और b, यदि a = b, तब b = a.
सकर्मक संपत्ति:किसी भी मात्रा के लिए a, b, और c, यदि a = b और b = c, तब a = c.^[4]

ये अंतिम तीन गुण समानता को एक तुल्यता संबंध बनाते हैं। वे मूल रूप से प्राकृतिक संख्याओं के लिए पीआनो स्वयंसिद्धों में सम्मलित थे। चूँकि सममित और सकर्मक गुणों को सामान्यतः मौलिक के रूप में देखा जाता है, उन्हें प्रतिस्थापन और प्रतिवर्ती गुणों से घटाया जा सकता है।

विधेय के रूप में समानता

जब A और B पूरी तरह से निर्दिष्ट नहीं होते हैं या कुछ चर (गणित) पर निर्भर होते हैं, तो समानता एक प्रस्ताव (गणित) है, जो कुछ मूल्यों के लिए सही हो सकता है और अन्य मूल्यों के लिए गलत हो सकता है। समानता एक द्विआधारी संबंध है (एक दो-तर्क विधेय (गणितीय तर्क)) जो अपने तर्कों से एक सत्य मान (गलत या सत्य) उत्पन्न कर सकता है। कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में, दो भावों से इसकी गणना को संबंधपरक संकारक के रूप में जाना जाता है।

पहचान

जब A और B को कुछ चरों के फलन (गणित) के रूप में देखा जा सकता है, तब A = B का अर्थ है कि A और B एक ही फलन को परिभाषित करते हैं। कार्यों की ऐसी समानता को कभी-कभी एक तत्समक

(पहचान गणित) कहा जाता है। एक उदाहरण है $\left(x+1\right)\left(x+1\right)=x^{2}+2x+1.$ कभी-कभी, लेकिन हमेशा नहीं, एक ट्रिपल बार के साथ एक पहचान लिखी जाती है: $\left(x+1\right)\left(x+1\right)\equiv x^{2}+2x+1.$

समीकरण

एक समीकरण कुछ चरों के मान ज्ञात करने की समस्या है, जिसे अज्ञात कहा जाता है जिसके लिए निर्दिष्ट समानता सत्य है। शब्द समीकरण भी एक समानता संबंध को संदर्भित कर सकता है जो केवल उन चरों के मूल्यों के लिए संतुष्ट होता है जिनमें रुचि होती है। उदाहरण के लिए, $x^{2}+y^{2}=1$ इकाई घेरा समीकरण का है।

कोई मानक संकेतन नहीं है जो एक समीकरण को एक पहचान से भिन्न करता है, या समानता संबंध के अन्य उपयोग: किसी को अभिव्यक्ति के शब्दार्थ और संदर्भ से एक उपयुक्त व्याख्या का अनुमान लगाना पड़ता है। किसी दिए गए डोमेन में चर के सभी मूल्यों के लिए एक पहचान को सही माना जाता है। एक "समीकरण" का अर्थ कभी-कभी एक पहचान हो सकता है, लेकिन अधिक बार नहीं, यह चर स्थान के एक उपसमुच्चय के रूप में निर्दिष्ट करता है जहां समीकरण सत्य है।

अनुमानित समानता

कुछ गणितीय तर्क ऐसे हैं जिनमें समानता की कोई धारणा नहीं है। यह दो वास्तविक संख्याओं की समानता की अनिर्णीत समस्या को दर्शाता है, जो पूर्णांकों, मूल अंकगणितीय संक्रियाओं, लघुगणक और घातीय फलन से जुड़े सूत्रों द्वारा परिभाषित है। दूसरे शब्दों में, ऐसी समानता तय करने के लिए कोई कलन विधि सम्मलित नहीं हो सकती है ।

द्विआधारी संबंध सन्निकटन (प्रतीक द्वारा निरूपित $\approx$ ) वास्तविक संख्याओं या अन्य चीजों के बीच, भले ही अधिक त्रुटिहीन रूप से परिभाषित हो, सकर्मक नहीं है (चूंकि कई छोटे अंतर (गणित) कुछ बड़ा जोड़ सकते हैं)। चूँकि , समानता लगभग हर जगह सकर्मक है।

परीक्षण के अंतर्गत एक संदिग्ध समानता को ≟ प्रतीक का उपयोग करके निरूपित किया जा सकता है।

तुल्यता, सर्वांगसमता और समरूपता से संबंध

एक संबंध के रूप में देखा गया, समानता एक समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध की अधिक सामान्य अवधारणा का मूलरूप है: वे द्विआधारी संबंध जो प्रतिवर्त संबंध, सममित संबंध और सकर्मक संबंध हैं। पहचान संबंध एक तुल्यता संबंध है। विलोमतः, मान लीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है, और आइए हम x के तुल्यता वर्ग को x^R से निरूपित करें, जिसमें सभी अवयव z ऐसे हैं कि x R z है। तब संबंध x R y समता x^R = y^R

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 {{unordered list
 |1=
-''प्रतिस्थापन संपत्ति'': [[किसी के लिए]] मात्रा ''a'' तथा ''b'' और कोई अभिव्यक्ति ''F''(''x''), [[सामग्री सशर्त | यदि]] ''a'' = ''b'', तब ''F''(''a'') = ''F''(''b'') (बशर्ते कि दोनों पक्ष [[अच्छी तरह से निर्मित सूत्र|अच्छी तरह से गठित] हों]]).
+''प्रतिस्थापन संपत्ति'': [[किसी के लिए]] मात्रा ''a'' तथा ''b'' और कोई अभिव्यक्ति ''F''(''x''), [[सामग्री सशर्त | यदि]] ''a'' = ''b'', तब ''F''(''a'') = ''F''(''b'') (प्रतिबंध कि दोनों पक्ष [[अच्छी तरह से निर्मित सूत्र|अच्छी तरह से गठित] हों]]).
 इसके कुछ विशिष्ट उदाहरण हैं:
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 ''सकर्मक संपत्ति'':किसी भी मात्रा के लिए ''a'', ''b'', और ''c'', [[सामग्री सशर्त | यदि]] ''a'' = ''b'' [[और (तर्क) | और]] ''b'' = ''c'', तब ''a'' = ''c''.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Equal|url=https://mathworld.wolfram.com/Equal.html|access-date=2020-09-01|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>
 }}
-ये अंतिम तीन गुण समानता को एक [[तुल्यता संबंध]] बनाते हैं। वे मूल रूप से प्राकृतिक संख्याओं के लिए पीआनो स्वयंसिद्धों में शामिल थे। चूँकि सममित और सकर्मक गुणों को सामान्यतः मौलिक के रूप में देखा जाता है, उन्हें प्रतिस्थापन और प्रतिवर्ती गुणों से घटाया जा सकता है।
+ये अंतिम तीन गुण समानता को एक [[तुल्यता संबंध]] बनाते हैं। वे मूल रूप से प्राकृतिक संख्याओं के लिए पीआनो स्वयंसिद्धों में सम्मलित थे। चूँकि सममित और सकर्मक गुणों को सामान्यतः मौलिक के रूप में देखा जाता है, उन्हें प्रतिस्थापन और प्रतिवर्ती गुणों से घटाया जा सकता है।
 == विधेय के रूप में समानता ==
-जब ''A'' और ''B'' पूरी तरह से निर्दिष्ट नहीं होते हैं या कुछ [[चर (गणित)]] पर निर्भर होते हैं, तो समानता एक [[प्रस्ताव (गणित)]] है, जो कुछ मूल्यों के लिए सही हो सकता है और अन्य मूल्यों के लिए गलत हो सकता है। समानता एक [[द्विआधारी संबंध]] है (यानी, एक दो-तर्क [[विधेय (गणितीय तर्क)]]) जो अपने तर्कों से एक सत्य मान (गलत या सत्य) उत्पन्न कर सकता है। [[कंप्यूटर प्रोग्रामिंग]] में, दो भावों से इसकी गणना को [[रिलेशनल ऑपरेटर]] के रूप में जाना जाता है।
+जब ''A'' और ''B'' पूरी तरह से निर्दिष्ट नहीं होते हैं या कुछ [[चर (गणित)]] पर निर्भर होते हैं, तो समानता एक [[प्रस्ताव (गणित)]] है, जो कुछ मूल्यों के लिए सही हो सकता है और अन्य मूल्यों के लिए गलत हो सकता है। समानता एक [[द्विआधारी संबंध]] है (एक दो-तर्क [[विधेय (गणितीय तर्क)]]) जो अपने तर्कों से एक सत्य मान (गलत या सत्य) उत्पन्न कर सकता है। [[कंप्यूटर प्रोग्रामिंग]] में, दो भावों से इसकी गणना को  [[रिलेशनल ऑपरेटर|संबंधपरक संकारक]] के रूप में जाना जाता है।
 == पहचान ==
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+{{main|पहचान (गणित)
-जब A और B को कुछ चरों के फलन (गणित) के रूप में देखा जा सकता है, तब A = B का मतलब है कि A और B एक ही फलन को परिभाषित करते हैं। कार्यों की ऐसी समानता को कभी-कभी एक तत्समक
+}}
+जब A और B को कुछ चरों के फलन (गणित) के रूप में देखा जा सकता है, तब A = B का अर्थ है कि A और B एक ही फलन को परिभाषित करते हैं। कार्यों की ऐसी समानता को कभी-कभी एक तत्समक
 (पहचान गणित) कहा जाता है। एक उदाहरण है <math>\left(x + 1\right)\left(x + 1\right) = x^2 + 2 x + 1.</math> कभी-कभी, लेकिन हमेशा नहीं, एक [[ट्रिपल बार]] के साथ एक पहचान लिखी जाती है: <math>\left(x + 1\right)\left(x + 1\right) \equiv x^2 + 2 x + 1.</math>
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 == [[समीकरण]] ==
-एक समीकरण कुछ चरों के मान ज्ञात करने की समस्या है, जिसे  {{em|अज्ञात }}  कहा जाता है जिसके लिए निर्दिष्ट समानता सत्य है। शब्द समीकरण भी एक समानता संबंध को संदर्भित कर सकता है जो केवल उन चरों के मूल्यों के लिए संतुष्ट होता है जिनमें रुचि होती है। उदाहरण के लिए, <math>x^2 + y^2 = 1</math> [[यूनिट सर्कल]] {{em|समीकरण }}  का है।
+एक समीकरण कुछ चरों के मान ज्ञात करने की समस्या है, जिसे  {{em|अज्ञात }}  कहा जाता है जिसके लिए निर्दिष्ट समानता सत्य है। शब्द समीकरण भी एक समानता संबंध को संदर्भित कर सकता है जो केवल उन चरों के मूल्यों के लिए संतुष्ट होता है जिनमें रुचि होती है। उदाहरण के लिए, <math>x^2 + y^2 = 1</math>  [[यूनिट सर्कल|इकाई घेरा]] {{em|समीकरण }}  का है।
-कोई मानक संकेतन नहीं है जो एक समीकरण को एक पहचान से अलग करता है, या समानता संबंध के अन्य उपयोग: किसी को अभिव्यक्ति के शब्दार्थ और संदर्भ से एक उपयुक्त व्याख्या का अनुमान लगाना पड़ता है। किसी दिए गए डोमेन में चर के सभी मूल्यों के लिए एक पहचान को सही माना जाता है। एक "समीकरण" का अर्थ कभी-कभी एक पहचान हो सकता है, लेकिन अधिक बार नहीं, यह चर स्थान के एक उपसमुच्चय को उपसमुच्चय के रूप में निर्दिष्ट करता है जहां समीकरण सत्य है।
+कोई मानक संकेतन नहीं है जो एक समीकरण को एक पहचान से भिन्न करता है, या समानता संबंध के अन्य उपयोग: किसी को अभिव्यक्ति के शब्दार्थ और संदर्भ से एक उपयुक्त व्याख्या का अनुमान लगाना पड़ता है। किसी दिए गए डोमेन में चर के सभी मूल्यों के लिए एक पहचान को सही माना जाता है। एक "समीकरण" का अर्थ कभी-कभी एक पहचान हो सकता है, लेकिन अधिक बार नहीं, यह चर स्थान के एक उपसमुच्चय के रूप में निर्दिष्ट करता है जहां समीकरण सत्य है।
 == अनुमानित समानता ==
-कुछ [[गणितीय तर्क]] ऐसे हैं जिनमें समानता की कोई धारणा नहीं है। यह दो [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] की समानता की [[अनिर्णीत समस्या]] को दर्शाता है, जो [[पूर्णांक|पूर्णांकों]], मूल अंकगणितीय संक्रियाओं, लघुगणक और घातीय फलन से जुड़े सूत्रों द्वारा परिभाषित है। दूसरे शब्दों में, ऐसी समानता तय करने के लिए कोई एल्गोरिद्म मौजूद नहीं हो सकता।
+कुछ [[गणितीय तर्क]] ऐसे हैं जिनमें समानता की कोई धारणा नहीं है। यह दो [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] की समानता की [[अनिर्णीत समस्या]] को दर्शाता है, जो [[पूर्णांक|पूर्णांकों]], मूल अंकगणितीय संक्रियाओं, लघुगणक और घातीय फलन से जुड़े सूत्रों द्वारा परिभाषित है। दूसरे शब्दों में, ऐसी समानता तय करने के लिए कोई कलन विधि सम्मलित नहीं हो सकती है ।
-द्विआधारी संबंध [[सन्निकटन]] (प्रतीक द्वारा निरूपित <math>\approx</math>) वास्तविक संख्याओं या अन्य चीजों के बीच, भले ही अधिक सटीक रूप से परिभाषित हो, सकर्मक नहीं है (चूंकि कई छोटे [[अंतर (गणित)]] कुछ बड़ा जोड़ सकते हैं)। चूँकि , समानता [[लगभग हर जगह]] सकर्मक है।
+द्विआधारी संबंध [[सन्निकटन]] (प्रतीक द्वारा निरूपित <math>\approx</math>) वास्तविक संख्याओं या अन्य चीजों के बीच, भले ही अधिक त्रुटिहीन रूप से परिभाषित हो, सकर्मक नहीं है (चूंकि कई छोटे [[अंतर (गणित)]] कुछ बड़ा जोड़ सकते हैं)। चूँकि , समानता [[लगभग हर जगह]] सकर्मक है।
-परीक्षण के तहत एक संदिग्ध समानता को ≟ प्रतीक का उपयोग करके निरूपित किया जा सकता है।
+परीक्षण के अंतर्गत एक संदिग्ध समानता को ≟ प्रतीक का उपयोग करके निरूपित किया जा सकता है।
 == तुल्यता, सर्वांगसमता और समरूपता से संबंध ==
-{{Main|Equivalence relation|Isomorphism|Congruence relation|Congruence (geometry)}}
+{{Main|तुल्यता संबंध
+|समाकृतिकता
+|सर्वांगसमता संबंध
+|सर्वांगसमता (ज्यामिति)
+}}
 एक संबंध के रूप में देखा गया, समानता एक समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध की अधिक सामान्य अवधारणा का मूलरूप है: वे द्विआधारी संबंध जो [[प्रतिवर्त संबंध]], [[सममित संबंध]] और [[सकर्मक संबंध]] हैं। पहचान संबंध एक तुल्यता संबंध है। विलोमतः, मान लीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है, और आइए हम x के तुल्यता वर्ग को ''x<sup>R</sup>''  से निरूपित करें, जिसमें सभी अवयव z ऐसे हैं कि x R z है। तब संबंध x R y समता ''x<sup>R</sup>'' = ''y<sup>R</sup>'' के तुल्य है। यह इस प्रकार है कि समानता किसी भी समुच्चय S पर इस अर्थ में सबसे अच्छा तुल्यता संबंध है कि यह ऐसा संबंध है जिसमें सबसे छोटा तुल्यता वर्ग है (प्रत्येक वर्ग को एक तत्व में घटाया जाता है)।

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