गणित: Difference between revisions

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तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड ने कैलीपर्स को पकड़े हुए, जैसा कि एथेंस के स्कूल से इस विस्तार से राफेल द्वारा कल्पना की गई थी (1509-1511)^{[lower-alpha 1]}

गणित (from Ancient Greek μάθημα; máthēma: 'knowledge, study, learning') ज्ञान का एक क्षेत्र है जिसमें संख्याएं (अंकगणित और संख्या सिद्धांत),^[1] सूत्र और संबंधित संरचनाएं (बीजगणित),^[2] आकार जैसे विषय शामिल हैं। और वे स्थान जिनमें वे समाहित हैं (ज्यामिति),^[1] और मात्राएँ और उनके परिवर्तन (कैलकुलस और विश्लेषण)।^[3]^[4]^[5] अधिकांश गणितीय गतिविधि में अमूर्त वस्तुओं के गुणों को खोजने या साबित करने के लिए शुद्ध कारण का उपयोग शामिल होता है, जिसमें या तो प्रकृति से अमूर्त होते हैं या—आधुनिक गणित में—ऐसी संस्थाएं होती हैं जो कुछ गुणों के साथ निर्धारित होती हैं, जिन्हें स्वयंसिद्ध कहा जाता है। एक गणितीय प्रमाण में पहले से सिद्ध किए गए प्रमेयों, स्वयंसिद्धों और (प्रकृति से अमूर्तता के मामले में) कुछ बुनियादी गुणों सहित पहले से ज्ञात परिणामों के लिए कुछ निगमन नियमों के अनुप्रयोगों का उत्तराधिकार होता है, जिन्हें विचाराधीन सिद्धांत के सही प्रारंभिक बिंदु माना जाता है।

विज्ञान में गणित का उपयोग मॉडलिंग परिघटनाओं के लिए किया जाता है, जो तब प्रायोगिक नियमों से भविष्यवाणियां करने की अनुमति देता है। किसी भी प्रयोग से गणितीय सत्य की स्वतंत्रता का तात्पर्य है कि ऐसी भविष्यवाणियों की सटीकता केवल मॉडल की पर्याप्तता पर निर्भर करती है। गलत भविष्यवाणियां, गलत गणित के कारण होने के बजाय, इस्तेमाल किए गए गणितीय मॉडल को बदलने की आवश्यकता का संकेत देती हैं। उदाहरण के लिए, बुध के पेरिहेलियन पूर्वसर्ग को आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के उद्भव के बाद ही समझाया जा सकता है, जिसने न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को बेहतर गणितीय मॉडल के रूप में बदल दिया।

गणित विज्ञान, इंजीनियरिंग, चिकित्सा, वित्त, कंप्यूटर विज्ञान और सामाजिक विज्ञान में आवश्यक है। गणित के कुछ क्षेत्रों, जैसे कि सांख्यिकी और खेल सिद्धांत, को उनके अनुप्रयोगों के साथ घनिष्ठ संबंध में विकसित किया गया है और अक्सर उन्हें अनुप्रयुक्त गणित के अंतर्गत समूहीकृत किया जाता है। अन्य गणितीय क्षेत्रों को किसी भी अनुप्रयोग से स्वतंत्र रूप से विकसित किया जाता है (और इसलिए उन्हें शुद्ध गणित कहा जाता है), लेकिन व्यावहारिक अनुप्रयोगों को अक्सर बाद में खोजा जाता है।^[6]^[7] एक उपयुक्त उदाहरण पूर्णांक गुणनखंडन की समस्या है, जो यूक्लिड में वापस जाता है, लेकिन जिसका RSA क्रिप्टोसिस्टम (कंप्यूटर नेटवर्क की सुरक्षा के लिए) में उपयोग करने से पहले कोई व्यावहारिक अनुप्रयोग नहीं था।

ऐतिहासिक रूप से, प्रमाण की अवधारणा और उससे जुड़ी गणितीय कठोरता सबसे पहले ग्रीक गणित में दिखाई दी, विशेष रूप से यूक्लिड के तत्वों में।^[8] इसकी शुरुआत के बाद से, गणित को अनिवार्य रूप से ज्यामिति, और अंकगणित (प्राकृतिक संख्याओं और अंशों का हेरफेर) में विभाजित किया गया था, जब तक कि 16वीं और 17वीं शताब्दी तक, जब बीजगणित और इनफिनिट्सिमल कैलकुलस को विषय के नए क्षेत्रों के रूप में पेश किया गया था। तब से, गणितीय नवाचारों और वैज्ञानिक खोजों के बीच पारस्परिक क्रिया ने गणित के विकास में तेजी से वृद्धि की है। उन्नीसवीं सदी के अंत में, गणित के मूलभूत संकट ने स्वयंसिद्ध पद्धति के व्यवस्थितकरण को जन्म दिया। इससे गणित के क्षेत्रों की संख्या और उनके अनुप्रयोगों के क्षेत्रों में नाटकीय वृद्धि हुई। इसका एक उदाहरण गणित विषय वर्गीकरण है, जिसमें गणित के 60 से अधिक प्रथम-स्तर के क्षेत्रों की सूची है।

शब्द व्युत्पत्ति

गणित शब्द की उत्पत्ति प्राचीन यूनानी गणित (μάθημα) से हुई है, जिसका अर्थ है "जो सीखा जाता है,"^[9] "जो कुछ भी पता चलता है," इसलिए "अध्ययन" और "विज्ञान" भी। शास्त्रीय काल में भी "गणित" शब्द का संक्षिप्त और अधिक तकनीकी अर्थ "गणितीय अध्ययन" आया।^[10] इसका विशेषण Mathēmatikós (μαθηματικός) है, जिसका अर्थ है "सीखने से संबंधित" या "अध्ययनशील", जिसका अर्थ "गणितीय" भी है। विशेष रूप से, mathēmatikḗ tékhnē (μαθηματικὴ ; लैटिन: ars mathematica) का अर्थ "गणितीय कला" है।

इसी तरह, पाइथागोरसवाद में विचार के दो मुख्य विद्यालयों में से एक को गणितज्ञ (μαθηματικοί ) के रूप में जाना जाता था - जो उस समय आधुनिक अर्थों में "गणितज्ञ" के बजाय "शिक्षार्थी" था।

लैटिन में, और अंग्रेजी में लगभग 1700 तक, गणित शब्द का अर्थ "गणित" के बजाय "ज्योतिष" (या कभी-कभी "खगोल विज्ञान") से अधिक होता था; अर्थ धीरे-धीरे लगभग 1500 से 1800 तक अपने वर्तमान में बदल गया। इसके परिणामस्वरूप कई गलत अनुवाद हुए हैं। उदाहरण के लिए, सेंट ऑगस्टाइन की चेतावनी कि ईसाइयों को गणितज्ञ से सावधान रहना चाहिए, जिसका अर्थ है ज्योतिषी, कभी-कभी गणितज्ञों की निंदा के रूप में गलत अनुवाद किया जाता है।^[11]

अंग्रेजी में स्पष्ट बहुवचन रूप लैटिन नपुंसक बहुवचन गणित (सिसरो) में वापस चला जाता है, जो ग्रीक बहुवचन ता गणितिका (τὰ μαθηματικά) पर आधारित है, जिसका उपयोग अरस्तू (384-322 ईसा पूर्व) द्वारा किया गया था, और इसका अर्थ मोटे तौर पर "सभी चीजें गणितीय" हैं, हालांकि यह प्रशंसनीय है कि अंग्रेजी ने केवल विशेषण गणित (अल) को उधार लिया और भौतिकी और तत्वमीमांसा के पैटर्न के बाद संज्ञा गणित का गठन किया, जो ग्रीक से विरासत में मिला था।^[12] इसे अक्सर गणित या, उत्तरी अमेरिका में, गणित के रूप में संक्षिप्त किया जाता है।^[13]

गणित के क्षेत्र

पुनर्जागरण से पहले, गणित को दो मुख्य क्षेत्रों में विभाजित किया गया था: अंकगणित — संख्याओं के हेरफेर के बारे में, और ज्यामिति — आकृतियों के अध्ययन के बारे में। कुछ प्रकार के छद्म विज्ञान, जैसे अंकशास्त्र और ज्योतिष, तब स्पष्ट रूप से गणित से अलग नहीं थे।

पुनर्जागरण के दौरान दो और क्षेत्र सामने आए। गणितीय संकेतन ने बीजगणित की ओर अग्रसर किया, जो मोटे तौर पर, अध्ययन और सूत्रों के हेरफेर से बना है। कैलकुलस, दो उपक्षेत्रों इनफिनिटसिमल कैलकुलस और इंटीग्रल कैलकुलस से मिलकर बना है, निरंतर कार्यों का अध्ययन है, जो अल�

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 तब से गणित का बहुत विस्तार हुआ है, और गणित और विज्ञान के बीच एक उपयोगी अंतःक्रिया हुई है, जिससे दोनों को लाभ हुआ है। आज भी गणितीय खोजें जारी हैं। अमेरिकी गणितीय सोसायटी के बुलेटिन के जनवरी 2006 के अंक में मिखाइल बी. सेवरीुक के अनुसार, "1940 (एमआर के संचालन का पहला वर्ष) से गणितीय समीक्षा डेटाबेस में शामिल पत्रों और पुस्तकों की संख्या अब 1.9 से अधिक है मिलियन, और प्रत्येक वर्ष डेटाबेस में 75 हजार से अधिक आइटम जोड़े जाते हैं। इस महासागर में अधिकांश कार्यों में नए गणितीय प्रमेय और उनके प्रमाण शामिल हैं।"{{sfn|Sevryuk|2006|pp=101–09}}
-=== व्युत्पत्ति ===
-गणित शब्द प्राचीन ग्रीक मथम से आता है ({{Lang-grc|{{wikt-lang|en|μάθημα}}|label=none}}), जिसका अर्थ है कि जो सीखा है,<ref>{{cite dictionary|title=mathematic (n.)|dictionary=[[Online Etymology Dictionary]]|url=http://www.etymonline.com/index.php?term=mathematic&allowed_in_frame=0|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20130307093926/http://etymonline.com/index.php?term=mathematic&allowed_in_frame=0|archive-date=March 7, 2013|df=mdy-all}}</ref> किसी को क्या पता है, इसलिए अध्ययन और विज्ञान भी।गणित के लिए शब्द शास्त्रीय समय में भी संकीर्ण और अधिक तकनीकी अर्थ गणितीय अध्ययन था।<ref>Both meanings can be found in Plato, the narrower in [[Republic (Plato)|''Republic'']] [https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Plat.+Rep.+6.510c&fromdoc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0168 510c] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210224152747/http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Plat.+Rep.+6.510c&fromdoc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0168 |date=February 24, 2021 }}, but Plato did not use a ''math-'' word; Aristotle did, commenting on it. {{LSJ|maqhmatiko/s|μαθηματική|ref}}. ''OED Online'', "Mathematics".</ref> इसका विशेषण Mathēmatikós है ({{lang|grc|μαθηματικός}}), सीखने या अध्ययनशील से संबंधित अर्थ, जो आगे भी गणितीय का अर्थ था।विशेष रूप से, Mathēmatikḗ tékhnē ({{lang|grc|μαθηματικὴ τέχνη}}; {{lang-la|ars mathematica}}) गणितीय कला का मतलब था।
-इसी तरह, पाइथागोरसिज़्म में विचार के दो मुख्य स्कूलों में से एक को मैथमैटिकोई (μαθηματικοί) के रूप में जाना जाता था, जो उस समय आधुनिक अर्थों में गणितज्ञों के बजाय शिक्षार्थियों का मतलब था।
-लैटिन में, और अंग्रेजी में लगभग 1700 तक, गणित शब्द का अर्थ आमतौर पर गणित के बजाय ज्योतिष (या कभी -कभी खगोल विज्ञान) होता है;अर्थ धीरे -धीरे लगभग 1500 से 1800 तक अपने वर्तमान में बदल गया। इसके परिणामस्वरूप कई गलतियाँ हुईं।उदाहरण के लिए, सेंट ऑगस्टीन की चेतावनी कि ईसाइयों को गणितज्ञ से सावधान रहना चाहिए, जिसका अर्थ है ज्योतिषी, कभी -कभी गणितज्ञों की निंदा के रूप में गलत तरीके से किया जाता है।<ref name="Boas">{{cite book | title=Lion Hunting and Other Mathematical Pursuits: A Collection of Mathematics, Verse, and Stories by the Late Ralph P. Boas, Jr | publisher=Cambridge University Press | author=Boas, Ralph | author-link=Ralph P. Boas Jr. | year=1995 | orig-year=1991 | page=257 | chapter-url=https://books.google.com/books?id=f-EWj5WtQHgC&pg=PA257 | chapter=What Augustine Didn't Say About Mathematicians | isbn=978-0-88385-323-8 | access-date=January 17, 2018 | archive-date=May 20, 2020 | archive-url=https://web.archive.org/web/20200520183837/https://books.google.com/books?id=f-EWj5WtQHgC&pg=PA257 | url-status=live }}</ref>
-फ्रांसीसी बहुवचन रूप की तरह अंग्रेजी में स्पष्ट बहुवचन रूप {{lang|fr|les mathématiques}} (और कम आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले विलक्षण व्युत्पन्न {{lang|fr|la mathématique}}), लैटिन न्यूटर बहुवचन में वापस चला जाता है {{lang|la|mathematica}} (Cikero), Mathēmatiká के लिए ग्रीक बहुवचन पर आधारित है ({{lang|el|τὰ μαθηματικά}}), अरस्तू द्वारा उपयोग किया जाता है (384–322 & nbsp; bc), और जिसका अर्थ है कि लगभग सभी चीजें गणितीय हैं, हालांकि यह प्रशंसनीय है कि अंग्रेजी ने केवल विशेषण गणितिक (अल) को उधार लिया और संज्ञा गणित का गठन किया, जो भौतिकी और तत्वमीमांसा के पैटर्न के बाद, जोग्रीक से विरासत में मिले थे।<ref>''[[The Oxford Dictionary of English Etymology]]'', ''[[Oxford English Dictionary]]'', ''sub'' "mathematics", "mathematic", "mathematics"</ref> अंग्रेजी में, संज्ञा गणित एक विलक्षण क्रिया लेती है।यह अक्सर गणित के लिए या उत्तरी अमेरिका, गणित में छोटा किया जाता है।<ref name=maths>[http://oed.com/view/Entry/114982 "maths, ''n.''"] and [http://oed.com/view/Entry/114962 "math, ''n.3''"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200404201407/http://oed.com/view/Entry/114982 |date=April 4, 2020 }}. ''Oxford English Dictionary,'' on-line version (2012).</ref>
 == प्रस्तावित परिभाषाएँ ==
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 वीं शताब्दी में, जब गणित के अध्ययन में कठोरता में वृद्धि हुई और समूह सिद्धांत और प्रक्षेप्य ज्यामिति जैसे अमूर्त विषयों को संबोधित करना शुरू किया, जिनका मात्रा और माप के लिए कोई स्पष्ट संबंध नहीं है, गणितज्ञों और दार्शनिकों ने विभिन्न प्रकार की नई परिभाषाओं का प्रस्ताव करना शुरू किया।।<ref name="Cajori">{{cite book|author=Cajori, Florian|title=A History of Mathematics|publisher=American Mathematical Society (1991 reprint)|year=1893|isbn=978-0-8218-2102-2|pages=[https://books.google.com/books?id=mGJRjIC9fZgC&pg=PA285 285–86]|author-link=Florian Cajori}}</ref> आज तक, दार्शनिक गणित के दर्शन में सवालों से निपटना जारी रखते हैं, जैसे कि गणितीय प्रमाण की प्रकृति।<ref>{{cite book |title=Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy |author1=Gold, Bonnie|author1-link=Bonnie Gold |author2=Simons, Rogers A. |publisher=MAA |year=2008}}</ref>
 == तार्किक तर्क ==
 {{See also|Logic}}
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 गणित की मान्यता के बावजूद, कई प्रमाणों को व्यक्त करने के लिए सैकड़ों पृष्ठों की आवश्यकता होती है। कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाणों के उद्भव ने प्रूफ लंबाई को और विस्तार करने की अनुमति दी है। यदि साबित करने वाले सॉफ़्टवेयर में खामियां हैं और यदि वे लंबे हैं, तो जांच करना मुश्किल है।{{efn|For considering as reliable a large computation occurring in a proof, one generally requires two computations using independent software}}<ref>Ivars Peterson, ''The Mathematical Tourist'', Freeman, 1988, {{isbn|978-0-7167-1953-3}}. p. 4 "A few complain that the computer program can't be verified properly", (in reference to the Haken–Apple proof of the Four Color Theorem).</ref> दूसरी ओर, प्रूफ असिस्टेंट उन विवरणों के सत्यापन के लिए अनुमति देते हैं जो हाथ से लिखे गए प्रमाण में नहीं दिए जा सकते हैं, और 255-पृष्ठ Feit-Thompson प्रमेय जैसे लंबे प्रमाणों की शुद्धता की निश्चितता प्रदान करते हैं।{{efn|The book containing the complete proof has more than 1,000 pages.}}
 == प्रतीकात्मक संकेतन ==
 {{see also|Mathematical notation}}
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 कर्ट गोडेल ने साबित कर दिया कि यह लक्ष्य अपने गोडेल के अपूर्णता प्रमेय के साथ मौलिक रूप से असंभव था। अपूर्णता प्रमेय, जो किसी भी औपचारिक प्रणाली को दिखाती थी कि साधारण अंकगणित भी सिंपल अंकगणित का वर्णन करने के लिए अपनी पूर्णता या स्थिरता की गारंटी नहीं दे सकता है। बहरहाल, औपचारिक अवधारणाएं गणित को बहुत प्रभावित करती रहती हैं, बिंदु विवरणों को डिफ़ॉल्ट रूप से सेट-थ्योरिटिक फॉर्मूला में स्पष्ट होने की उम्मीद की जाती है। केवल बहुत असाधारण परिणाम एक स्वयंसिद्ध प्रणाली या किसी अन्य में फिटिंग के रूप में स्वीकार किए जाते हैं।<ref>Patrick Suppes, ''Axiomatic Set Theory'', Dover, 1972, {{isbn|978-0-486-61630-8}}. p. 1, "Among the many branches of modern mathematics set theory occupies a unique place: with a few rare exceptions the entities which are studied and analyzed in mathematics may be regarded as certain particular sets or classes of objects."</ref>
 == सार ज्ञान ==
 {{multiple image

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